balance de energía con pérdidas de fricción

Balance de energía con pérdidas por fricción

Balance de energía

• La expresión de conservación de la energía en un ducto o tubería cuando no hay fuerzas disipativas es:

22

22

22

21

11 vgZPvgZP

Efecto de las fuerzas de fricción• A medida que un fluido fluye por un conducto, tubo o algún otro

dispositivo, ocurren pérdidas de energía debido a la fricción que hay entre el líquido y la pared de la tubería; tales energías traen como resultado una disminución de la presión entre dos puntos del sistema de flujo.

• Osborne Reynolds (1883) observó que un fluido puede circular por una tubería u otra conducción de dos formas diferentes.

• A bajas velocidades de flujo la caída de presión en el fluido es directamente proporcional a la velocidad del fluido, mientras que a velocidades elevadas dicha caída de presión aumenta mucho más rápidamente y, de forma aproximada, es proporcional al cuadrado de la velocidad.

A bajas velocidades P vA altas velocidades P v2

Flujo Laminar• Las partículas se desplazan siguiendo trayectorias paralelas, formando así en

conjunto capas o láminas de ahí su nombre, el fluido se mueve sin que haya mezcla significativa de partículas de fluido vecinas.

• La viscosidad del fluido es la magnitud física predominante y su acción amortigua cualquier tendencia a ser turbulento.

Flujo Turbulento• En el flujo turbulento las partículas se mueven sin seguir un orden

establecido, en trayectorias completamente erráticas e irregulares, que no son suaves ni fijas. El flujo es turbulento si las fuerzas viscosas son débiles en relación con las fuerzas inerciales.

• El flujo turbulento se caracteriza porque el fluido continuamente se mezcla, de forma caótica, como consecuencia de la ruptura de un flujo ordenado de vórtices, que afectan zonas en dirección del movimiento. El flujo del agua en los ríos o el movimiento del aire cerca de la superficie de la tierra son ejemplos típicos de flujos turbulentos.

Número de Reynoldsv: VelocidadD:diametro: densidadµ: viscosidad ( absoluta)

vD

inerciadeFuerzasascosvisFuerzas

Re

• Re < 2000Flujo laminar

• Re > 4000Flujo turbulento

• 4000 < Re < 2000Flujo transitorio

perfil de velocidades laminar

0,99

v

v

v

·u

y

perfil de velocidades turbulento

0,99 u·

v

v

v

y

Número de ReynoldsEjemplo 1. Glicerina a 25°C fluye por un conducto circular de 150 mm de diámetro con una velocidad promedio de 3.6 m/s. Determine si fluye en régimen laminar o turbulento. = 1258 kg/m3; µ = 0.96 Pa.s.

Como el N°de Reynold es menor que 2000 es flujo laminar.

70896.0

125815.06.3Re xx

Ecuación General de Energía

LRB pvgZPppvgZP

22

22

22

21

11

Lp Es la pérdida de energía por unidad de masa debida a la

fricción y expresada como pérdida o caída de presión

Rp Es la energía por unidad de masa entregada a un motor

de fluido

Bp Es la energía por unidad de masa agregada por un

dispositivo mecánico como una bomba

Ecuación General de Energía

LRB hgvZPhh

gvZP

22

22

22

21

11

hL = Es la cabeza de energía perdida por unidad de masa debida a la fricción y expresada como pérdida o caída de presión

hR = Es la cabeza de energía entregada a un motor de fluido

hB = Es la cabeza de energía agregada por un dispositivo mecánico como una bomba

Pérdidas de energía

mfL hhh

Pérdidas por fricción

Pérdidas por accesorios o

válvulas


f es el factor de fricciónL es la longitud de la tuberíaD es el diámetro de la tubería

Una de las fórmulas más exactas para cálculos hidráulicos es la de Darcy-Weisbach:

El coeficiente de fricción f es función del número de Reynolds (Re) y del coeficiente de rugosidad o rugosidad relativa de las paredes de la tubería (εr).

Henry DarcyFrancia (1803-1858)


f es el factor de fricción de FanningL es la longitud de la tuberíaD es el diámetro de la tubería

Otra fórmula usada es la de Fanning:

4 fF = fD

Factor de fricción

Factor de fricción• Flujo Laminar• La ecuación Hagen-Poiseuille se dedujo para el calculo de las perdidas de

energía de flujo laminar (Re < 2000) en función de parámetros medibles del sistema.

• Esta ecuación es solo aplicable para flujo laminar y ha sido comprobada experimentalmente.

f = 16/Re

Factor de fricción

El valor de f puede conocerse acudiendo al diagrama de Moody, el cual se basa en la ecuación de Colebrook-White:

Julius WeisbachAlemania (1806-1871)

Diagrama de Moody

Tuberías lisas

Tabla de rugosidades

Gráfico para calcular rugosidades

Ejercicio

• Por una tubería estándar de plástico de 20 metros de largo y 5 cm de diámetro circula

agua a 30°C a razón de 200 lpm. Encuentre el número de Reynolds y el factor de fricción.

• De las tablas de propiedades:• = 995.6 kg/m3

• µ = 0.801 x 10-3 Pa. s

Solución

• Calcular el área de la tubería• Calcular la velocidad con la ecuación de

continuidad• Calcular el Re• Leer el f en el diagrama de Moody para

tuberías lisas

Solución

• Calcular el área de la tubería, 2 x 10-3 m2

• Calcular la velocidad con la ecuación de continuidad, 1.69 m/s

• Calcular el Re, 1.06 x 105

• Leer el f en el diagrama de Moody para tuberías lisas, 0.0164

Ejercicio

Sea un flujo en tubería de acero de 31 l s⋅ –1 de agua a 22°C, = 1000 kg m⋅ –3, μ = 1cp = 1 mPa. s, un diámetro de 0.2 m. Determinar la cabeza de presión en una L = 30 m. = 0.025 mm.

Solución

1. Calcular el área de la sección transversal de la tubería. A = D2 /4 = 0.031 m2

2. Calcular velocidad con la Ec. de continuidad. v = Q/A = 0.031 m3s-1 /0.031 m2 = 1 m.s-1

3. Calcular Re = 1 x 1000 x 0.2 / 0.001 = 2 x 104

4. Calcular rugosidad relativa = /D = 0.000025/0.2 = 1.25 x 10-4

5. Leer f en el diagrama de Moody = 0.01666. Calcular hf = 0.13 m

Ejercicio

Sea un flujo en tubería de PVC de 25 l.s–1 de agua a 25°C, = 1000 kg m⋅ –3, μ = 1cp. Determinar el diámetro que produce una cabeza de presión de 0.2 m en 100 m de tubería. = 0.0015 mm.

Solución1. Con fo = 0,015, se calcula un diámetro aproximado Do en

la ecuación de Darcy-Weisbach2. Calcular el área de la sección transversal de la tubería. 3. Calcular velocidad con la Ec. de continuidad. 4. Calcular Re5. Calcular rugosidad relativa 6. Leer f en el diagrama de Moody 7. Recalcular el diámetro 8. Repetir hasta que el diámetro supuesto sea igual al

calculado

Pérdidas por fricción• Para la zona de completa turbulencia que se muestra en la Gráfico de

Moody encontramos que el factor de fricción es independiente del N° Reynold, y solo depende de la rugosidad relativa:

• Para la línea de tuberías lisas

Problemas1. A través de una cañería de acero comercial de 6" de diámetro fluye

benceno a 50oF con una velocidad promedio de 11 pie/s. Calcular la caída de presión en 200 pies de línea. Gravedad Específica : 0,9. Viscosidad : 5.15x10-4 lbm/pie·s.

2. Un líquido de densidad 875 kg/m3 y µ=1.13·10-3 Pa·s fluye por un pequeño capilar con un diámetro interior de 2.22x10-3m y longitud igual a 0.317 m. La caída de presión a través del capilar es de 0.0655 m. ¿Cuál es el caudal en m3/s? Asumir tubo liso.

3. Por una tubería con un diámetro interior de 2.067 pulgadas fluye agua a 303 K con una velocidad de 10 gal/min. Calcule el número de Reynolds.

4. Por una tubería de acero de 4 pulg cédula 40 fluye combustible a la velocidad máxima para que el flujo sea laminar. Si el líquido tiene una gravedad especifica de 0.895 y viscosidad dinámica de 8.3 · 10-4 lb·s/pie2. Calcule la perdida de energía por cada 100 pies de tubo.

Problema• Se requiere transportar benceno a 50 °C a un punto B a una presión de

550 kPa. El punto A localizado a la salida de una bomba se encuentra 12 m por debajo del punto B como lo muestra la figura. Los dos puntos están unidos por 240 m de tubería plástica cuyo diámetro es de 50 mm. Si el flujo volumétrico es de 110 lt/min, determine la presión requerida a la salida de la bomba.

Solución• Propiedades del benceno a 50 °C. • Nomograma de viscosidades de líquidos

X = 12.5 y Y = 10.9

Solución

50 oC

X =12.5

Y = 10.9µ= 0.45 cpµ= 4.5 x 10-4 Pa.s

Solución

T = 50 oC = 122 oF

847.0)50(

)4050(4060

858.0836.0858.0)50(

C

C

o

o

=847 kg/m3

Solución

• Calcular velocidad con la Ecuación de continuidad, 0.9379 m/s

• Calcular Re, 8.8 x 104

• Calcular rugosidad relativa, plástico es tubería lisa• Leer factor de friccíon en el Diagrama de Moody,

0.0184• Calcular hf, 3.96 m• Calcular PA con el balance de Bernoulli, 682 kPa.

ReologíaEs la especialidad de la física centrada en el análisis de los principios que determinan cómo se mueven los fluidos. Permite:1. Caracterizar la materia y definir sus

parámetros reológicos como viscosidad, consistencia, propiedades elásticas,

2. Diseñar equipos sofisticados de procesamiento industrial, conociendo previamente la caracterización de la materia a procesar;

3. Diseñar materiales nuevos con respuestas mecánicas muy específicas y bien definidas; entre muchas otras acciones.

Viscosidad• Propiedad de un fluido que da lugar a fuerzas que se oponen al movimiento

relativo de capas adyacentes en el fluido. Estas fuerzas viscosas se originan en las fuerzas que existen entre las moléculas del fluido.

• La viscosidad sólo se manifiesta en fluidos en movimiento, ya que cuando el fluido está en reposo adopta una forma tal en la que no actúan las fuerzas tangenciales que no puede resistir. Es por ello por lo que en un recipiente lleno con un líquido, la superficie permanece plana, es decir, perpendicular a la única fuerza que actúa en ese momento, la gravedad, sin existir por tanto componente tangencial alguna.

ViscosidadLa velocidad con que se desplaza la placa superior es proporcional a la fuerza aplicada, y fue un principio descubierto por Newton.

En un fluido ideal, μ = 0

En un fluido real, μ > 0

En un sólido, μ ≈

Viscosidad dinámica, μ. En unidades en el SI: [µ] = [Pa·s] = [kg·m-1·s-1] ; otras unidades: 1 Poise (P) = 10-1 Pa·s = [10-1 kg·s-1·m-1]

Viscosidad cinemática,, es igual a ν = μ/ρ. (En el SI: [ν] = [m2.s-1]. En el sistema cegesimal es el Stoke (St).

Fluido newtoniano y no newtoniano

• La relación entre la fuerza y la velocidad de desplazamiento lineal expresada en el párrafo anterior es válido solo para el caso de fluidos Newtonianos.

• Aquellos fluidos donde el esfuerzo cortante es directamente proporcional a la rapidez de deformación se denominan fluidos Newtonianos. Ej. el agua, el aire, la gasolina y el petróleo.

• Los fluidos No Newtonianos son aquellos en que el esfuerzo cortante no es directamente proporcional a la deformación. Ej. la crema dental, la grasa y el lavaplatos en gel.

• En estos fluidos existe un esfuerzo por debajo del cual se comportan como un sólido.

Pérdidas menores• Además de las pérdidas de energía por fricción, hay otras pérdidas "menores"

asociadas con los problemas en tuberías. • Estas pérdidas ocurren localmente debido a cualquier disturbio del flujo

provocado por curvaturas o cambios en la sección. • Son llamadas pérdidas menores porque pueden despreciarse con frecuencia,

particularmente en tuberías largas donde las pérdidas debidas a la fricción son altas en comparación con las pérdidas locales.

Pérdidas menores• Sin embargo en tuberías cortas y con un considerable número de accesorios,

el efecto de las pérdidas locales será grande y deberán tenerse en cuenta.• Las pérdidas menores son provocadas generalmente por cambios en la

velocidad, sea magnitud o dirección.

Pérdidas menores• Experimentalmente se ha demostrado que la magnitud de las pérdidas

es aproximadamente proporcional al cuadrado de la velocidad. • Es común expresar las pérdidas menores como función de la cabeza de

velocidad en el tubo, V2/2g:

• Con hL la pérdida menor y K el coeficiente de pérdida. Valores de K para todo tipo de accesorio, son encontrados en tablas.

Pérdida en una expansión súbita• Un ensanchamiento súbito en la tubería provoca un incremento en la presión de P1 a P2 y un

decrecimiento en la velocidad de V1 a V2

• Ocurre turbulencia cuando el flujo sale del tubo más pequeño y las condiciones normales del flujo no se restablecen hasta una cierta distancia aguas abajo. Una presión P0 actúa en la zona de remolinos y el

trabajo experimental ha demostrado que P0 = P1. 2

2

11

aak

Descarga de una tubería en un tanque

• Un caso especial ocurre cuando un tubo descarga en un tanque. El área a1 del

tubo es muy pequeña comparada con el área a2 del tanque; entonces,

112

2

1

aak

Pérdida en contracciones• Ésta pérdida es la que se da en el sistema, al empatar dos tuberías de distinto diámetro.

Generalmente estos cambios de diámetro se ve necesarios hacerlos al realizar los cálculos para el diámetro económico, que en la mayoría de los casos nos obliga a usar dos series comerciales distintas.

• Contracción Gradual: En este caso la pérdida se ve afectada por brusquedad con la que se haga la reducción del diámetro, que se determina por el ángulo de reducción .

4 a 5 7 10 15 20 25 30 35 40 45 60 75 80

K 0.060 0.16 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32 0.34 0.35

Difusores cónicos

Pérdida en contracciones• Contracción súbita: El flujo a través de una contracción súbita usualmente

involucra la formación de una vena contracta en el tubo pequeño, aguas abajo del cambio de sección.

11

cCk Cc es el coeficiente de contracción

A2/A1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Cc 0,617 0,624 0,632 0,643 0,659 0,681 0,712 0,755 0,813 0,892 1

Ka 0,0438 0,0362 0,0296 0,0231 0,0178 0,0135 0,00913 0,0057 0,00331 0,000796 0

Pérdida en contracciones

Expansión repentina

Salida de un tanque a una tubería• Un caso especial ocurre en el flujo

que entra a una tubería proveniente de un tanque.

• Como la pérdida de energía depende del valor del coeficiente de contracción Cc, pueden hacerse

varias modificaciones en la forma de la entrada al tubo para reducir las pérdidas.

• Por ejemplo una entrada de boca campana reduce considerablemente el coeficiente de pérdidas K.

Salida de un tanque a una tubería

Pérdidas por accesorios

Válvulas• Las válvulas controlan el caudal por medio por

medio de un mecanismo para ajustar el coeficiente de pérdida global del sistema al valor deseado.

• Al abrir la válvula se reduce KL , produciendo el caudal deseado.


• Longitud equivalente de tubería

gv

DLefh

2

2

Sistemas de tuberías• Sistemas de tuberías en serie. Si un sistema se arregla de manera tal que el fluido

fluye a través de una línea continua sin ramificaciones, dicho sistema se conoce como sistema en serie. Toda partícula de fluido que pasa por el sistema pasa a través de cada una de las tuberías.

Sistemas de tuberías• Sistemas de tuberías en paralelo. En este sistema en paralelo, una partícula de

fluido que se desplaza desde A hasta B puede seguir cualquiera de las trayectorias disponibles, donde el caudal total es la suma de los caudales en cada tubería

Problema• Determine el nivel del agua que se debe mantener en el depósito para producir

un gasto volumétrico de 0.15 m3/s de agua. La tubería es de hierro forjado con un diámetro interior de 100 mm.

• El coeficiente de perdidas K para la entrada es 0.04. El agua se descarga hacia la atmósfera. La densidad del agua es 1.000 kg/m3 y la viscosidad es 10-3 kg/m.s. La longitud equivalente de cada codo es 180 m.

60 m

20 m

1. Calcular A2. Calcular v3. Calcular Re4. Calcular /D5. Calcular f6. Calcular v2

7. Calcular hf y hL

8. Calcular Z

balance de energía con pérdidas de fricción

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