Flujo de fluidos unidimensional

Balance de energía

𝑑 𝑚 𝑢 + 𝑔𝑧 +𝑣2

2𝑠𝑖𝑠𝑡

=

𝑢 + 𝑃+ 𝑔𝑧 +𝑣2

2 𝑒𝑛𝑡𝑑𝑚𝑒𝑛𝑡 - 𝑢 + 𝑃+ 𝑔𝑧 +

𝑣2

2 𝑠𝑎𝑙𝑑𝑚𝑠𝑎𝑙 + dQ + d𝑊𝑛.𝑓.

Balance de energía para estado estacionario, flujo incompresible

𝑑𝑢 + 𝑑𝑃

𝜌+ 𝑔𝑑𝑧 + 𝑑

𝑣2

2=𝑑𝑄

𝑑𝑚−𝑑𝑊𝑛𝑓

𝑑𝑚

reordenando e integrando(considerando densidad constante)

∆𝑃

𝜌+ 𝑔𝑧 +

𝑣2

2=𝑑𝑊𝑛𝑓

𝑑𝑚− ∆𝑢 −

𝑑𝑄

𝑑𝑚

Nombrada como ecuación de Bernouilli

El término de energía cinética

• ∆𝑃

𝜌+ 𝑔𝑧 +

𝑣2

2=

𝑑𝑊𝑛𝑓

𝑑𝑚− ∆𝑢 −

𝑑𝑄

𝑑𝑚

El término contempla el cambio de energía cinética

Estrictamente es el ∆𝑣3

𝑣 flujo pistón

A partir del balance de cantidad de movimiento (* 3.2-10 pp. 79), multiplicando por (producto escalar) la velocidad local: se obtiene el balance de energía mecánica por unidad de masa (3.3-1 o 3.3-2 pp. 81).

Integrando cada término respecto al volumen de control y aplicando el teorema de la divergencia de Gauss (para convertir las integrales de volumen a integrales de superficie) y dividiendo por 𝜌 𝑣 𝑆, se obtiene la ecuación de BEM con el término de variación de energía cinética correspondiente a

∆1

2

𝑣3

𝑣

Siendo 𝑣 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎

*Transport Phenomena, R. B. Bird, W. E Stewart, E. N. Lightfoot

v

v3

Evaluación de en ductos de sección circular

Flujo laminar(fluido Newtoniano e incompresible que escurre en estado estacionario con perfil de velocidades totalmente desarrollado)

2

max 1R

rvrvz donde

20max

4R

L

PPv L

6

v

v3

Evaluación de en ductos de sección circular

2

0 0

2

0 01R

R

z

A

zz

ddrr

ddrrrvdAv

Av

2

maxvvz

Por definición, la velocidad media en el área de flujo:

2

0 0

2

0 0

3

33 1R

R

z

A

zz

ddrr

ddrrrvdAv

Av

7

332 zz vv

v

v3

Evaluación de en ductos de sección circular

2

3

2

z

z

z vv

v

332 zz vv

Flujo laminar

8

v

v3

Evaluación de en ductos de sección circular

2

3

z

z

z vv

v

33 zz vv

Flujo pistón (perfil de velocidades completamente plano)

krvz Si entonces kvvrv zz max

9

resumen

Se define un coeficiente a que cumple:

a

23

v

v

v

Flujo turbulento:

Fluido NewtonianoFlujo laminar: 5.0a

1a10

2

3

2

z

z

z vv

vRégimen laminar

Flujo pistón~turbulento

2

3

z

z

z vv

v

v

v3

Evaluación de en ductos de sección circular

Flujo turbulento: estrictamente el flujo turbulento no es perfectamente plano

(fluido Newtoniano e incompresible que escurre en EE con perfil de velocidades totalmente desarrollado, tubo liso)

m

zR

rvrv

1

max 1

Ley de potencia m

121

2 2

max

mm

m

v

v

11

v

v3

Evaluación de en ductos de sección circular

Flujo turbulento

Refm

12

m

v

v3

Evaluación de en ductos de sección circular

Flujo turbulento

Para flujo turbulento se puede aproximar a = 1

33

4

121

2334

mm

mmma

N a Re

6 0.93 1.8 x 104

7 0.94 8 x 104

10 0.97 5 x 106

13

m=6

m=10

Fluidos pseudoplásticos y dilatantes que siguen la ley de Potencia:

dy

dv

dy

dvk x

n

xyx

1

Viscosidad aparente

1

13max

n

nvv

nn

zR

rvrv

/1

max 1

Fluidos no NewtonianosRégimen laminar

14

213

3524

6

1

n

nna

n a 1/ a

0.3 0.665 1.5

0.5 0.587 1.7

1 0.500 2.0

1.8 0.449 2.2

n < 1, fluido seudoplásticon = 1, fluido newtonianon > 1, fluido dilatante

El término de energía cinética

• ∆𝑃

𝜌+ 𝑔𝑧 +

𝑣2

2𝛼=

𝑑𝑊𝑛𝑓

𝑑𝑚− ∆𝑢 −

𝑑𝑄

𝑑𝑚

El término contempla el cambio de energía cinética

𝑣 es la velocidad media

a=0,5 si el régimen es laminar (fluido newtoniano)

a=1 si el régimen es turbulento

flujo pistón

Término de pérdidas por fricción

Un kilogramo de agua cae en caída libre desde una altura de 100 m, hasta el piso permaneciendo en reposo.

∆𝑢 = −𝑔∆𝑧 = −9.81𝑚

𝑠2−100𝑚 = 981

𝐽

𝐾𝑔

∆𝑇 =∆𝑢

𝐶𝑣=

981 Τ𝐽 𝐾𝑔

4184 Τ𝐽 𝐾𝑔°𝐶= 0.23°𝐶

Cálculo realizado con fines ilustrativos. Se ha despreciado la evaporación del agua durante la caída

Término de pérdidas por fricción (2)El calentamiento por fricción involucra la conversión de otra forma de energía (cinética, potencial) o trabajo externo (inyección, trabajo al eje, expansión) en energía interna.

Para materiales de densidad constante, la única vía (excluyendo fuente magnética, electrostática, etc. ) de cambio de energía interna por unidad de masa es a través de calentamiento (o enfriamiento) externo. Por tanto:

∆𝑢 =𝑑 𝑐𝑎𝑙. 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛

𝑑𝑚+𝑑𝑄

𝑑𝑚Recordando la ec. De Bernouilli

∆𝑃

𝜌+ 𝑔𝑧 +

𝑣2

2𝛼=𝑑𝑊𝑛𝑓

𝑑𝑚− ∆𝑢 −

𝑑𝑄

𝑑𝑚

𝑑 𝑐𝑎𝑙. 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛

𝑑𝑚

Término de pérdidas por fricción (3)El calentamiento por fricción no está relacionado con otro medio de calentamiento o enfriamiento del fluido a través de Transferencia de Calor con el exterior.

El incremento de energía producido por fricción, es generalmente inútil en procesos industriales, por lo que el calentamiento por fricción se llama habitualmente pérdidas por fricción (por tanto en forma errónea “pérdida de energía”).

Para flujo incompresible (densidad constante o pequeña variación)

∆𝑢 −𝑑𝑄

𝑑𝑚= ℱ = 𝑔∆ℎ𝑓 =

𝑐𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎

∆𝑃

𝜌+ 𝑔𝑧 +

𝑣2

2𝛼=𝑑𝑊𝑛𝑓

𝑑𝑚− 𝑔∆ℎ𝑓

BEM en formato de altura (head)

Flujo incompresible

∆𝑃

𝑔𝜌+ 𝑧 +

𝑣2

2𝑔=𝑑𝑊𝑛𝑓

𝑔𝑑𝑚− ∆ℎ𝑓

o∆𝑣2

2𝛼𝑔+ ∆𝑧 +

∆𝑃

𝑔𝜌+ ∆ℎ𝑓 −𝑊 = 0

BEM en formato de altura (head)

∆𝑣2

2𝛼𝑔+ ∆𝑧 +

∆𝑃

𝑔𝜌+ ∆ℎ𝑓 −𝑊 = 0

Cambio de energía cinética

Habitualmente consideramos

a=1

Cambio de Energía

Potencial

PPPdPP

P

11112

2

1

Pérdidas por fricción

es el trabajo mecánico realizado sobre el fluido

ejemplo

Tanque lleno con agua, abierto a la atmósfera.En la salida hay una tobera. Considerar que no aporta fricción y que el diámetro de la misma es mucho menor que el diámetro del tanqueCalcular la velocidad de flujo en la tobera

𝑔 𝑧2 − 𝑧1 +𝑣22

2= 0

ejemplo

Repetir el ejemplo si el área de salida de la tobera es 0.5 m2 y el área del tanque es 2 m2

𝑔 𝑧2 − 𝑧1 +𝑣22 − 𝑣1

2

2= 0

𝑔 𝑧2 − 𝑧1 +1

2𝑣22 −

𝑣2𝐴1

𝐴1

2

= 0

𝑣2 =2𝑔ℎ

1 − Τ𝐴2 𝐴12

12