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ESCUELA POLITECNICA NACIONAL ALGEBRA LINEAL

MATRICES

1SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Se llama sistema de ecuaciones lineales en las variables al siguiente sistema de m ecuaciones con incgnitas

TAMBIN SE ESCRIBE DE LA FORMA MATRICIALES DECIR EL SISTEMA SE LO PUEDE REPRESENTAR POR:(A)(X)=BDonde: A es la matriz por los coeficientes del sistema.X es una matriz columna formada por las incgnitas.B es una matriz columna, formada por los trminos independientes del sistema. EJEMPLO:METODO DE GAUSS El mtodo de Gauss, conocido tambin como de triangulacin o de cascada, nos permite resolver sistemas de ecuaciones lineales con cualquier nmero de ecuaciones y de incgnitas.Es un proceso que parte estructurando la matriz aumentada constituida por la matriz de coeficientes (A), con la de los trminos independientes (K); seguida la matriz (A) se transforma en escalonada, con lo cual se encuentra la solucin del sistema. ( A : K ) Matriz aumentada

ProcesoEscribir las ecuaciones del sistema en su forma normalIdentificar los coeficientes de la incgnita y de los trminos independientes.Construir la matriz aumentada con los coeficientes de las incgnitas y la matriz de los trminos independientesUtilizando las operaciones de fila, la matriz transformarla a escalonada.En base a la matriz escalonada para el caso de un sistema de tres ecuaciones con tres incgnitas se trata de obtener un sistema equivalente cuya primera ecuacin tenga tres incgnitas, la segunda dos y la tercera una. Se obtiene as unsistema triangularo en cascada de la forma: Ax+ By+ Cz= D Ey+ Fz= G Hz= I

Ejemplo 1Utilizando el mtodo de gauss encontrar la solucin del siguiente sistema

solucin

3x+2y+z=15x+3y+4z=2x+y-z=1

Ejemplo 2Es un proceso que teniendo la matriz aumentada, este la transforma en una matriz triangular reducida por filas, obteniendo directamente los valores de las incgnitas.

METODO DE GAUSS JORDAN ProcesoEstructurar la matriz aumentadaUtilizar el algoritmo anterior para partiendo de la matriz aumentada llegar a la escalonadaTransformar la matriz escalonada en una matriz de identidad , para lo cual utilizamos operaciones convenientes de filas y columnas Identificar los valores de las incgnitas y escribir el conjunto solucin.

X = 5

Y = -3

Z = -2

Clasificacin de los Sistemas de EcuacionesSoluciones de un sistema de ecuaciones :Una vez aplicado Gauss o Gauss Jordan el sistema.1.-Tiene nica solucin si el numero de ecuaciones es igual al numero de incgnitas.2.-Tiene infinitas soluciones si el numero de ecuaciones validas es menor al numero de incgnitas.3.-No tiene solucin si el numero de filas no nulas de la matriz de coeficientes es distinta al numero de filas no nulas de la matriz ampliada.