proposta de traballo fin de grao - usc...se recomienda tener una buena formación básica en algebra...

1

Avda. Lope Gómez de Marzoa, s/n. Campus Universitario Sur

15782 Santiago de Compostela Teléfono: 881813130

e-mail: [email protected]

PROPOSTAS DE TRABALLOS FIN DE GRAO CURSO 2014-2015

Código AL01_15

Área de coñecemento Álxebra

Título Geometría proyectiva: Teoremas clásicos sobre cónicas

Director/a Ana Jeremías López

Breve descrición do contido

El espacio proyectivo, obtenido añadiendo los puntos del infinito a un espacio afín, permite aunar y simplificar resultados analizados en geometría afín. Estudiaremos el principio de dualidad, las transformaciones proyectivas, las correlaciones y, el principal invariante proyectivo, la razón doble de cuatro puntos alineados. Aplicaremos las técnicas proyectivas al estudio de las cónicas del plano proyectivo para demostrar algunos de los teoremas clásicos sobre cónicas como: el teorema de Chasles-Steiner, el teorema de Pascal y su dual el teorema de Brianchon, los teoremas de Desargues, Pappus sobre cónicas, el teorema de Sturm.

Código AL02_15


Título Teoría xeneralizada da proporción nos Elementos de Euclides

Director/a Celso Rodríguez Fernández


Estudiarase o método que siguen os Elementos de Euclides no tratamento da proporcionalidade entre magnitudes (segmentos, áreas, volumes, etc.), facendo unha versión de máis fácil lectura das demostracións.

Recomendacións O alumno deberá facer unha revisión do contido dos 5 primeiros libros co fin de abordar o estudo da teoría da proporción.

Código AL03_15

Área de coñecemento Alxebra

Título Los teoremas de las unidades de Dirichlet y de finitud del número de clase de los cuerpos globales (demostración idélica).

Director/a Leoncio Franco Fernández


Se comienza con una introducción a los cuerpos de números y sus divisores primos. Luego se exponen la llamada “geometría de números” y la teoría de Minkowski, que llevan a teoremas clásicos de teoría de números algebraicos como los citados en el título de este trabajo. 1. Cuerpos de números algebraicos y de funciones algebraicas [4, 5, 56 2. Adeles. Geometría de números. Teoría de Minkowski [3,4,5] 3. Ideles. Finitud del número de clase [1,2,4,5,6] 4. Teorema de las unidades de Dirichlet [1,5, 6]

Recomendacións

[1] Adams-Goldstein, Introduction to Number Theory, Prentice Hall 1976 [2] Cassels-Fröhlich, Algebraic Number Theory, AP 1967 [3] Childress, Class field theory, Springer 2009 [4] Lang, Algebraic number theory, Addison-Wesley 1970 [5] Neukirch, Algebraic number theory, Springer 1999 [6] Weiss, Algebraic number theory, MacGraw-Hill 1963

Outras observacións

Se recomienda tener superadas todas las materias del tercer curso de Grao en Matematicas así como haber cursado o estar matriculado Códos y Criptografía y en Algebra, números y geometría. Se recomienda tener una buena formación básica en Algebra abstracta y en Algebra conmutativa, así como tener facilidad para recopilar y unificar varias fuentes bibliográficas sobre un tema dado. TFG recomendado para alumnos interesados en la Teoría de Números Algebraicos.

Código AL04_15

Área de coñecemento ÁLXEBRA

Título Aneis e módulos semisimples: Teorema de Wedderburn-Artin

Director/a José Manuel Fernández Vilaboa


Trátase de introducir a teoría de módulos semisimples como unha xeneralización da teoría de espazos vectoriais sobre un corpo e de estudar a interconexión entre a estrutura de un anel e a estrutura de módulos sobre este anel.

Código AL05_15


Título Algunhas aplicacións do Axioma de Elección

2




Director/a Felipe Gago Couso


Históricamente, o progreso en matemáticas fluctúa entre desenvolver as consecuencias de certas suposicións e o estudo das suposicións mesmas en relación con outras. Neste traballo trátase de poñer en perspectiva histórica que suposicións deron orixe á introducción do Axioma de Elección, analizar a súa relación cos demáis axiomas da teoría de conxuntos e presentar unha selección de resultados nas distintas áreas das matemáticas que dependen crucialmente da súa aceptación.

Código AL06_15


Título Tests de primalidade probabilistas

Director/a José Luis Gómez Pardo


Os primos grandes teñen importantes aplicacións en criptografía e isto fai que sexa necesario dispor de métodos eficientes para xeralos. Farase un estudo dos algoritmos coñecidos para determinar se un enteiro grande é primo ou composto, centrado nos tests probabilistas, que proporcionan unha maior eficiencia a cambio de admitir unha pequena probabilidade de error. Estudarase en particular o test de Miller-Rabin e a súa complexidade así como os tests de seudoprimos de Fibonacci, Lucas e Frobenius. Estudaranse tamén as aplicacións destes algoritmos á xeración de primos grandes (seudo-)aleatorios necesarios para a implementación de varios esquemas criptográficos. Referencias: E. Bach, J. Shallit, Algorithmic Number Theory, The MIT Press, 1996. R.Crandall, C. Pomerance, Prime Numbers-A Computational Perspective, 2nd Ed., Springer, 2005. J.L. Gómez Pardo, Introduction to Cryptography with Maple, Springer, 2013. V. Shoup, A Computational Introduction to Number Theory and Algebra, 2nd Ed., Cambridge University Press, 2009.

Recomendacións É recomendable ter cursada materia “Códigos correctores e criptografía”.

Código AL07_15

Área de coñecemento Alxebra

Título Infinitésimos y Lógica : Análisis no estandar

Director/a Javier Barja Pérez


El "análisis no standard" que fue desarrollado por A. Robinson en la mitad del pasado siglo, permite entroncar con la tradición del uso de infinitésimos por Euler y Leibnitz. Los infinitésimos fueron considerados inadmisibles por Gauss, y excluidos por Cauchy y Weierstrass quienes fundamentaron el cálculo diferencial sobre el concepto de infinito potencial (base de la usual definición de límite). Las bases de dicha construccion son la teoría de modelos y el uso de ultrapotencias del modelo estandar de R, usando un ultrafiltro no principal de N. Dentro de esa teoría pueden probarse algunos de los clásicos teoremas del análisis de una forma sencilla, pero rigurosa. Se trataría de ver algunos de esos resultados formulados con este nuevo lenguaje.

Recomendacións

Este es un tema clásico de Lógica Matemática y las referencias remiten a libros de teoría de Modelos Robinson, A. Non standard analysis (1966),1974 2ª ed. Nord Holland Barnes D.W ; Mack, J. M. An Algebraic Inroduction to Mathematical Logic. Springer. 1975 N.Y. Chang, C. C. ; Keisler, H. J. Model Theory. North-Holland Amsterdam, Bell, J.L.; Machover M.. A-course-in-mathematical-logic (1977), North Holland N.Y CHAP 11. Enderton, H. A Mathematical Introduction to Logic, 2thEd 2001/1972 Harcourt/ Acad. Press. Chap Two. Stroyan,_ K..D._; _Luxemburg. W._A._J._Introduction to the theory of infinitesimals. Acad Press 1976 NY Keisler, H. J Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. Creative Commons

Código AL08_15


Título Introdución á teoría de categorías

Director/a Manuel Ladra González


Gran parte dos avances nas matemáticas débense á xeneralización e a abstracción. A teoría de grupos xurdiu a partir do estudo das simetrías en diversos contextos, e a devandita teoría produciuse cando os matemáticos observaron que había unha abstracción xeral, que capturou as ideas que se estaban a desenvolver por separado. Da mesma forma a teoría de categorías xorde pola abstracción do estudo de moitos obxectos e propiedades en diferentes campos das matemáticas. O obxectivo deste traballo é introducir o alumno na linguaxe de categorías, estudando os obxectos e morfismos especiais en diferentes categorías estudadas ao longo do grao: conxuntos, conxuntos e relacións, conxuntos parcialmente ordenados, grupos, grupos abelianos, aneis, corpos, módulos, matrices, espazos topolóxicos, espazos métricos, espazos de Hilbert, espazos de Banach e variedades.

Recomendacións Bibliografía:

3




J. Adámek, H. Herrlich, G. E. Strecker, Abstract and concrete categories : the joy of cats, New York, Wiley-Interscience, 1990. S. Awodey, Category theory, Clarendon Press, Oxford University Press, 2006.

Código AL09_15


Título Algebra lineal sobre anillos de Dedekind

Director/a Leovigildo Alonso Tarrío


Los anillos de Dedekind surgen en teoría de números y geometría algebraica. Estos anillos pueden no tener la propiedad de factorización única de elementos, es decir, no siempre son dominios de ideales principales. Sin embargo, si consideramos ideales en vez de elementos, esta factorización es posible. En este trabajo veremos cómo esta propiedad se traduce en un teorema de clasificación de los módulos al estilo de la ya conocida de los dominios de ideales principales.

Recomendacións Cursar la asignatura “Álxebra, Números e Xeometría”. Tener superada la asignatura de 3º “Estruturas Alxébricas”.

Código AL10_15

Área de coñecemento Álgebra

Título Ramificación en extensiones finitas de dominios de Dedekind.

Director/a José Javier Majadas Soto


Se estudiará la teoría de la ramificación de Hilbert, que es uno de los pilares de la teoría de números. Para ello se estudiará y desarrollará toda la teoría de números algebraicos necesaria.

Recomendacións

Una buena formación en Álgebra es muy recomendable, y en particular manejar con soltura los conceptos correspondientes a las asignaturas ”Estructuras Algebraicas”, “Ecuaciones Algebraicas” y “Álgebra, Números y Geometría” (pudiendo cursar esta última simultáneamente). Al comienzo del trabajo se completará esta formación también con algunos aspectos de la Teoría de Números Algebraicos. Una orientación sobre estos temas puede verse en: J. Neukirch, Algebraic Number Theory, chap. 1. J.-P. Serre, Corps locaux, chap. 1. Para una descripción más detallada del trabajo y de las recomendaciones se recomienda hablar con el profesor previamente. El tema es de gran importancia para quienes deseen iniciar su formación en Geometría Algebraica o en Teoría de Números, por ello se recomienda que quien pretenda realizar el trabajo tenga su interés centrado en alguno de esos temas

Código AL11_15

Área de coñecemento Álgebra

Título Clasificación de transformaciones ortogonales. Teorema de Cartan–Dieudonné.

Director/a María Jesús Vale Gonsalves


En este trabajo se propone en primer lugar el estudio de la forma de Jordan real de una transformación ortogonal con el objetivo de presentar la clasificación de las transformaciones ortogonales. Luego se pretende demostrar el teorema de Cartan-Dieudonné en un espacio euclídeo que afirma que toda transformación ortogonal es composición de un número de simetrías respecto a hiperplanos menor o igual que la dimensión del espacio. Utilizando la forma de Jordan real de una transformación ortogonal se tratará de probar que el número mínimo de simetrías en esta descomposición es igual a la dimensión del espacio menos la dimensión del subespacio de vectores fijos. Finalmente, se plantea estudiar el teorema de Cartan-Dieudonné en un espacio afín euclídeo.

Código AL12_15


Título Códigos BCH

Director/a Nieves Rodríguez González


Despois de estudar a teoría xeral dos códigos cíclicos centrarase o traballo no estudo da familia mais importante destes códigos: os códigos BCH. Este estudo mostrará que é posible elixir a priori a capacidade correctora desexada e que existen algoritmos efectivos de descodificación.

Recomendacións É recomendable ter cursada materia “Códigos correctores e criptografía”.

Código AL13_15


4




Título La categoría de R- Módulos. Teorema de Morita

Director/a M. Purificación López López


Introducción sobre categorías. Estudio del carácter monoidal de la categoría de R-módulos cuando R es un anillo conmutativo. Módulos projectivos de tipo finito. Teorema de Morita.

Recomendacións Haber superado la materia de Estructuras Algebraicas.

Código AL14_15


Título Ceros de la función zeta de Riemann en la recta crítica

Director/a Antonio García Rodicio


Estudio de la función zeta de Riemann, incluyendo la prolongación analítica, la ecuación funcional y los ceros, hasta llegar a probar el resultado de Hardy de 1914 que afirma que tiene infinitos ceros sobre la recta crítica Re z = ½.

Recomendacións Conocer la mayor cantidad posible de análisis complejo.

Código AL15_15


Título O problema da extensión en módulos

Director/a Rosa Mª Fernández Rodríguez


Introdución ás nocións e propiedades básicas de módulos e á linguaxe de categorías, estudando os conceptos e construcións necesarios para aborda-lo problema da extensión en módulos.

Recomendacións Ter superada-las materias Estruturas Alxebraicas e Ecuacións Alxebraicas.

Código AN01_15

Área de coñecemento Análise Matemática

Título Hiperbolicidade e conxugación topolóxica

Director/a Fernando Costal Pereira


Á hora de buscar modelos matemáticos para estudar diversos problemas, temos que recorrer, con frecuencia, a sistemas de ecuacións diferenciais non lineares. A dificultade de tratar con este tipo de ecuacións, fai que o concepto de conxugación topolóxica adquira unha importancia enorme xa que nos permitirá, en certas situacións, simplificar o estudo a realizar. Si temos en conta que a hiperbolicidade é unha propiedade xenérica, o teorema de Hartman-Grobman adquire unha importancia moi grande, pois permite reducir o estudo do comportamento do sistema nunha contorna dun punto de equilibrio hiperbólico, ao do sistema linearizado en torno a devandito punto, xa que proba que ambos sistemas son localmente topolóxicamente conxugados. Este feito permite,entre outras moitas cousas, deducir dun modo sinxelo a estabilidade asintótica ou inestabilidade dunha singularidade hiperbólica.

Recomendacións É recomendable coñecer e manexar con soltura, os diferentes temas estudados nas materias de ecuacións diferenciais ordinarias do grado en matemáticas.

Código AN02_15

Área de coñecemento ANÁLISE MATEMÁTICA

Título A controversia Bernoulli-D’Alembert-Euler sobre o problema da corda vibrante

Director/a Rodrigo López Pouso


Trátase de coñecer e reflexionar sobre as aportacións de Daniel Bernoulli, D’Alembert e Euler sobre o problema da corda vibrante. Arredor do ano 1750 estes tres matemáticos apuntaron distintos aspectos esenciais do que hoxe é a teoría básica da ecuación de ondas unidimensional. En retrospectiva, cada un deles realizou descubrimentos importantes e esencialmente correctos, mais na súa época criticáronse mutuamente por supostos erros ou imprecisións. Este traballo complementa desde un punto de vista histórico o estudado sobre a ecuación de ondas unidimensional na materia Series de Fourier e introdución ás ecuacións en derivadas parciais.

Código AN03_15


Título Teoría da medida e integración abstracta

Director/a Rodrigo López Pouso


Trátase de coñecer as bases da teoría da medida, a integración de tipo Lebesgue con respecto a medidas abstractas, e a utilidade da teoría na análise matemática a través de teoremas importantes como o de representación de Riesz e o de Lebesgue-Radon-Nikodym.

5




Esto complementa o aprendido na materia Cálculo vectorial e integración de Lebesgue, onde a única medida que se considera é a de Lebesgue.

Código AN04_15


Título FUNCIONES ARMÓNICAS. EL PROBLEMA DE DIRICHLET

Director/a José María Paredes Álvarez


Se trata de abordar el estudio de las funciones armónicas en dos dimensiones a partir de la teoría de funciones holomorfas. Su desarrollo va encaminado a la resolución del problema de Dirichlet en un disco.

Recomendacións Haber cursado la asignatura “Variable complexa”, así como de algunos aspectos referentes a ecuaciones en derivadas parciales.

Código AN05_15


Título SERIES Y PRODUCTOS INFINITOS. EL TEOREMA DE FACTORIZACIÓN DE WEIERSTRASS

Director/a José María Paredes Álvarez


Se trata de realizar un estudio de las funciones enteras. Series y productos infinitos, tanto numéricos como funcionales, será la herramienta a utilizar, con el doble objetivo de representar una función entera como un producto infinito y construir funciones enteras con ceros prefijados.

Recomendacións Tener un buen conocimiento acerca de series numéricas y funcionales, así como de los distintos tipos de convergencia de las mismas. Haber cursado la asignatura “Variable complexa”.

Código AN06_15


Título Ecuacións diferenciais en espazos de Banach

Director/a Rosana Rodríguez López


O traballo consiste na revisión dos principais conceptos e propiedades relativas ao cálculo diferencial en espazos de Banach para a súa posterior aplicación ao estudo das ecuacións diferenciais neste contexto máis xeral. En particular, estudarase a existencia de solucións aproximadas, a existencia e unicidade de solución, e tamén se analizará a dependencia da solución con respecto aos datos. Para o estudo, considerarase tanto o caso lineal coma o non lineal.

Recomendacións

Ter superadas as materias Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais Series Funcionales e Integración de Riemann en Varias Variables Reales Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias Ecuacións Diferenciais Ordinarias Series de Fourier e Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias

Código AN07_15


Título Dificultades no cálculo de matrices fundamentais para sistemas diferenciais lineais de coeficientes variables

Director/a Rosana Rodríguez López


O traballo consiste no estudo das dificultades que xorden na obtención de matrices fundamentais para sistemas diferenciais lineais de coeficientes non constantes, analizando os casos particulares nos que se poden obter expresións explícitas e afondando nos obstáculos que imposibilitan un tratamento xeral do problema.

Recomendacións

Ter superadas as materias Series Funcionales e Integración de Riemann en Varias Variables Reales Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias Álxebra Linear e Multilinear Ecuacións Diferenciais Ordinarias Ecuacións Alxébricas Ter coñecementos de programas de cálculo simbólico

Código AN08_15


Título As Ecuacións en diferenzas. Aplicacións a modelos de poboacións

Titor/a M. Victoria Otero Espinar, Eva Candal Suárez (cotitora)


As ecuacións en diferenzas son ferramentas que proporcionan modelos matemáticos adecuados para o estudio de problemas que xorden en distintas disciplinas. O obxectivo deste traballo é introducir ao alumno no eido das ecuacións en diferenzas e mostrar a importancia das aplicacións a problemas da bioloxía.

6




Ademais dos conceptos e definicións básicas e as súas solucións, estudaranse as ecuacións en diferenzas lineais de primeiro e segundo orden con coeficientes constantes, así como os sistemas de ecuacións en diferenzas de primeiro orden. As técnicas desenvolvidas serán aplicadas ao estudo do comportamento de distintas poboacións.

Código AN09_15


Título El concepto de caos en sistemas dinámicos discretos

Director Miguel Antonio del Río Vázquez


Desde la publicación por Li-Yorke en 1975 del trabajo “período tres implica caos”, el término caos fue utilizado por distintos autores para expresar diferentes comportamientos complejos de los sistemas dinámicos discretos generalmente asociados a fenómenos de impredecibilidad. En este trabajo se pretende analizar la relación entre distintos conceptos de caos en sistemas dinámicos discretos.

Código AN10_15


Título Polinomios de Legendre

Director/a Juan José Nieto Roig


Estudar a orixe dos polinomios de Legendre e as súas propiedades elementais. A súa relación coa ecuación diferencial ordinaria de Legendre. Detallar as propiedades de ortogonalidade dos polinomios de Legendre e a súa completitude. Por último se verán algunhas aplicacións de ditos polinomios como poden ser á Aproximación por mínimos cadrados e á Teoría do potencial.

Código AN11_15


Título Transformada integral de Laplace

Director/a Juan José Nieto Roig


Definición de transformada integral. Concepto de transformada integral de Laplace. Propiedades elementais. Aplicacións á resolución de ecuacións diferenciais ordinarias. Convolución de dos funcións. Transformada integral da convolución. Aplicación á resolución do problema mecánico de Abel.

Código AN12_15

Título Transformadas Integrais. Aplicación á Resolución de Ecuacións Diferenciais

Director Alberto Cabada Fernández


Estudarase a definición e as propiedades fundamentais de diversas Transformadas integrais como a de Laplace e de Fourier. Farase unha aplicación destas transformadas á resolución de Ecuacións Diferenciais tanto Ordinarias como en Derivadas Parciais.


Recomendacións Bos coñecementos de Integración. Dominio das técnicas de resolución de Ecuacións Diferenciais.

Código AN13_15

Título Ecuacións en Diferenzas. Cálculo Discreto.

Director Alberto Cabada Fernández


Describiranse fenómenos modelados por ecuacións en diferencias (modelos de poboacións, económicos, epidemiolóxicos, …). Desenrolanranse técnicas básicas da matemática discreta, como son o operador incremento e incremento inverso, a resolución de ecuacións en diferencias lineais tanto escalares como vectoriais, así como o estudio da estabilidade das ecuacións estudadas.


Recomendacións Dominio do cálculo diferencial e integral.

Código AN14_15


Título Un pequeno catálogo de transformacións conformes

7




Director/a Rosa Mª Trinchet Soria


Dende moitos puntos de vista, é interesante considerar ás funcións complexas dunha variable complexa como transformacións do plano complexo en si mesmo (e mesmo a algunhas das súas extensións ó plano ampliado coma transformacións deste en si mesmo). Grazas ó celebre Teorema da Aplicación de Riemann, rexións do plano aparentemente moi distintas resultan indistinguibles en certo sentido, debido á existencia de isomorfismos analíticos entre elas, o que resulta tamén de interese en moitas aplicacións prácticas. O obxectivo do traballo é estudar algunhas das transformacións máis representativas. Como parte deste estudo, inclúese a elaboración de aplicacións informáticas (co Maple) que, principalmente mediante a xeración de animacións, axuden a visualizar algúns dos efectos producidos polas transformacións consideradas. O traballo incluirá tamén aqueles conceptos e feitos máis significativos que conveñan como prerrequisitos para o estudo en cuestión (por exemplo: significado xeométrico da derivada complexa; conservación de ángulos, etc.)

Código AN15_15


Título O Teorema de Fubini revisitado

Director/a Rosa Mª Trinchet Soria


O obxectivo deste traballo é afondar no Teorema de Fubini que, en particular, formularase e probarase en distintos contextos.

Outras observacións Baixo a denominación xenérica ”Teorema de Fubini”, referímonos a aqueles teoremas que establecen a igualdade entre integrais múltiples e integrais reiteradas, con independencia das hipóteses baixo as que se establece esta igualdade.

Código AST01_15

Área de coñecemento Astronomía e Astrofísica

Título Cálculo de órbitas de estrelas dobres visuais

Director/a José Ángel Docobo Durántez


Trátase de facer un estudo comparativo dos distintos métodos de cálculo de órbitas, tendo en conta os que se obtén xeometricamente ou analíticamente a órbita relativa a partir da aparente, e mais aqueles outros nos que se determina directamente a órbita relativa a partires das observacións.

Recomendacións Ter cursado Fundamentos de Astronomía

Código AST02_16


Título Aplicación da Trigonometría Esférica á Astronomía de Posición. Sistematización e Programación.

Director/a José Ángel Docobo Durántez


Trátase de establecer e programar unha metodoloxía para resolver triángulos esféricos calesquera que sean os datos do problema e a súa aplicación a situacións reais en Astronomía.

Código AST03_15


Título FOTOGRAFÍA ASTRONÓMICA CON CCD

Director/a Josefina F. Ling


Traballo teórico-observacional de introdución á fotografía astronómica con dispositivos electrónicos. O alumno/a unha vez adquiridos os coñecementos necesarios sobre a estrutura e fundamentos de telescopios, cámaras CCD, catálogos astronómicos, recursos de redución e análise de imaxes, etc, fará uso do instrumental óptico e fotográfico do Observatorio Astronómico R. M. Aller da USC co que elaborará un programa persoal de observación, para a adquisición de imaxes de obxectos astronómicos e seu posterior tratamento.

Recomendacións Haber cursado a materia de Fundamentos de Astronomía

Código AST04_15


Título O TEMPO ASTRONÓMICO: ESCALAS TRADICIONAIS E MODERNAS

Director/a Josefina F. Ling


O estudo da medida do tempo, como variable para describir fenómenos físicos ou dinámicos, é unha parte fundamental da Astronomía. Farase un percorrido histórico dende os seus inicios, baseados en sucesos astronómicos periódicos, ata a súa relación coas novas escalas fundamentadas en fenómenos cuánticos. Analizaranse as recomendacións da Unión Astronómica Internacional relativa aos novos sistemas de tempo. Xustificarase a súa importancia en diversas aplicacións civís.

Haber cursado a materia de Fundamentos de Astronomía

Código EST01_15

8




Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa

Título Implementación de algoritmos de optimización en procesos de separación de sustancias en ingeniería química

Director/a Julio González Díaz


El objetivo principal de este trabajo de fin de grado sería el estudio de un problema de optimización que surge de forma natural en ingeniería química. Dicho problema trata con la obtención de diagramas con las distintas fases asociadas a procesos de separación de sustancias (equilibrio líquido-líquido). La elaboración de este trabajo consistiría entonces en la realización de las siguientes tareas: -Familiarización del alumno con el problema químico en estudio, aunque sin necesidad de profundizar en él. -Estudio matemático del problema de optimización asociado al proceso de separación e identificación de posibles heurísticas que se puedan utilizar para resolverlo. -Implementación de alguna de esas heurísticas y comparación de los resultados obtenidos por las mismas con los resultados de las heurísticas clásicas que se usan para resolver dicho problema (desarrolladas hace casi 50 años).

Recomendacións Sentirse cómodo trabajando con problemas de optimización y tener una predisposición favorable a la programación en ordenador, ya sea en Fortran, R, o algún otro lenguaje.

Código EST02_15


Título Implicaciones del comportamiento racional en teoría de juegos

Director/a Julio González Díaz


. Este trabajo puede verse como una toma de contacto con los fundamentos en los que se basa la teoría de juegos. Para ello el alumno profundizará en las implicaciones de dos supuestos que, de modo implícito, subyacen a cualquier trabajo en teoría de juegos:

Los jugadores son racionales.

La racionalidad es “common knowledge”: todos los jugadores saben que todos los jugadores son racionales, todos saben que lo todos lo saben, todos saben que todos saben que todos lo saben…

El trabajo requerirá que el alumno se familiarice previamente con otros conceptos como el equilibrio de Nash, el equilibrio correlado y las estrategias dominadas. Aunque se trata de conceptos bastante naturales e intuitivos, el estudio formal de racionalidad y “common knowledge” requiere el desarrollo de modelos más complejos que los manejados habitualmente en cursos introductorios a la teoría de juegos.

Recomendacións No es necesario haber cursado la teoría de juegos, aunque el haberlo hecho o el estar matriculado de esta asignatura permitirá un mayor aprovechamiento del trabajo.

Código EST03_15

Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa

Título Introducción a los modelos de colas

Director/a María de los Ángeles Casares de Cal


En este trabajo se hará una introducción a la teoría de colas en el contexto de los procesos estocásticos y se estudiarán los modelos de colas basados en los procesos de nacimiento y muerte, en particular, los modelos M/M/s. Se ilustrará con ejemplos y se introducirá al alumno en la simulación de los modelos de colas como herramienta para su estudio.

Código EST04_15


Título Teoría de Xogos e Asignación de Recursos

Director/a Balbina Virginia Casas Méndez


Un problema que aparece en moi diversas situacións da vida real é a asignación dun total de recursos entre axentes cuxas demandas, en total, exceden a cantidade a asignar. É o caso dun organismo público que reparte fondos a educación, sanidade, etc. Tamén aparece cando repartimos órganos procedentes de donantes entre pacientes que os necesitan ou ao asignar cotas pesqueras dunha especie entre diferentes rexións que se dedican á súa captura. Si remontámosnos ao Talmud, son ben coñecidos problemas de repartos de herdanzas como o denominado de Ibn Ezra ou o discutido polo rabino Nathan. Unha parte da teoría de xogos (cf. González Díaz, García Jurado e Fiestras Janeiro [1]) supón que é posible a cooperación entre un conxunto de axentes quen, en principio con intereses contrapuestos, ven xerarse un beneficio como froito de devandita cooperación. A partir de aquí, proporciona modelos, solucións e propiedades das mesmas, potencialmente aplicables, entre outros, ao problema da asignación de recursos.

9




Un traballo seminal nesta liña é debido a O'Neill [4] quen considera o caso dunha empresa que creba e reparte o seu capital entre os acreedores. Neste contexto, o coñecido valor de Shapley da teoría de xogos admite unha interpretación especial e verifica propiedades matemáticamente elegantes e intuitivas desde un punto de vista práctico. Traballos posteriores son entre outros o de Moulin [3] e o de Thomson [5] nos que se fai unha revisión da literatura matemática existente e discútense en profundidade distintos exemplos da vida real. Resulta interesante a programación de aplicacións que facilitan o cálculo dos valores que se empregan (cf. [2]) e existen liñas abertas de investigación neste campo. Referencias: [1] González Díaz J, García Jurado I, Fiestras Janeiro G (2010) An Introductory Course on Mathematical GameTheory. Graduate Studies in Mathematics, Vol. 115. American Mathematical Society and RSME. [2] http://webs.uvigo.es/mmiras/TUGlab/ [3] Moulin H (2002) Axiomatic Cost and Surplus Sharing. In: Arrow K, Sen A, Suzumura K. (eds.) Handbook of Social Choice and Welfare vol. 1. Elsevier Science B.V. [4] O’Neill B (1982) A problem of rights arbitration from the Talmud. Mathematical Social Sciences 2: 345–371 [5] Thomson W (2003) Axiomatic and game theoretic analysis of bankruptcy and taxation problems. Mathematical Social Sciences 45: 249–297

Código EST05_15


Título Modelización de Series de Tiempo Financieras

Director/a Manuel Febrero Bande


Una serie de tiempo es una secuencia ordenada de valores respecto a un índice (tiempo). Ejemplos de series de tiempo en el mundo financiero pueden ser la prima de riesgo medida cada día o el precio de un stock en el mercado de valores. El objetivo de la modelización de series de tiempo es doble: describir la estructura dinámica de los valores observados y predecir valores futuros de acuerdo a esa dinámica. En este trabajo se pretende describir y plantear las herramientas básicas para la modelización con series de tiempo y aplicar estas herramientas al análisis de alguna serie financiera relevante. Esta propuesta es continuación de la realizada en el curso 2013-2014 diferenciándose de la anterior en el ejemplo a tratar que se focalizará en el mercado de cambio de divisas.

Código EST06_15


Título Conxuntos convexos e estatística

Director/a Alberto Rodríguez Casal


A convexidade é un dos conceptos matemáticos máis interesantes. É unha idea que está presente en case todas as ramas da matemática. Neste traballo trátase de estudar a aplicación das ideas de convexidade a estatística. Así, revisaremos desigualdades básicas como a desigualdade de Jensen, o comportamento da envoltura convexa dunha nube de puntos así como investigaremos a relación da convexidade coa noción de unimodalidade dunha distribución. Bibliografía Dharmadhikari,S. e Joag-Dev,K. (1988).Unimodality, convexity and applications. Academic Press. Reitzner, M. (2011). Random polytopes. En New Perspectives in Stochastic Geometry por W.S. Kendall e I. Molchanov (editores). Oxford University Press-

Código EST07_15


Título O bootstrap

Director/a Alberto Rodríguez Casal


O método bootstrap é amplamente utilizado en inferencia estatística. Neste traballo preténdese facer unha introdución a esta metodoloxía e as súas aplicacións. De forma máis específica, revisaranse os distintos procedementos existentes para a construción de intervalos de confianza. Compararase o seu funcionamento a través de un estudo de simulación. Bibliografía Efron,B.and Tibshirani,R.J.(1993). An Introduction to the Bootstrap. Chapman

10




And Hall.

Código EST08_15


Título Simulación de variables aleatorias e métodos computacionais

Director/a Beatriz Pateiro López


Os métodos de simulación están baseados na xeración de variables aleatorias que se distribúen de acordo cunha distribución, que non é necesariamente coñecida. O obxectivo deste traballo é que o alumno revise os principais métodos de simulación de variables aleatorias e as súas aplicacións. Dende o punto de vista práctico, moitos paquetes estatísticos ofrecen funcións que usan números pseudoaleatorios e executan o método de inversión para obter mostras aleatorias de determinadas distribucións. Existen, sen embargo, outras distribucións nas que este algoritmo non é a mellor opción e se require de métodos específicos. Se pretende que o alumno implemente diversos métodos usando a linguaxe de programación R. Referencias Non-Uniform Random Variate Generation. Luc Devroye (1986) Random number generation and Montecarlo methods. James E. Gentle (2003)

Código EST09_15


Título Distancias estatísticas

Director/a Beatriz Pateiro López


O concepto de distancia ou medida de similitude entre individuos é esencial en moitas técnicas de análise multivariante, por exemplo en problemas de clasificación ou clustering. Neste traballo se pretende que o alumno faga unha revisión exhaustiva das principais distancias estatísticas, das súas propiedades e aplicacións.

Código EST10_15


Título Una introducción al remuestreo de modelos de regresión lineal.

Director/a José Manuel Prada Sánchez


Se presentará un recordatorio de los principales aspectos de la inferencia en modelos de regresión lineal, para a continuación introducir el remuestreo como alternativa a la inferencia clásica. Se ilustrará todo con estudios de simulación y aplicación al tratamiento de datos reales.

Código EST11_15


Título El algoritmo de Barrodale y Roberts

Director/a César Sánchez Sellero


La regresión cuantil (de orden p), definida como el cuantil p de la variable respuesta condicionado a las variables explicativas, se estima minimizando una pérdida cuantílica en lugar de los mínimos cuadrados, clásicos de la media. La pérdida cuantílica se reduce al valor absoluto para la mediana, p=0’5, mientras que es un valor absoluto ponderado para otros cuantiles. Pues bien, el cálculo de los coeficientes de un modelo lineal de regresión cuantil estimados por mínima pérdida cuantílica conduce a un problema de programación lineal, que se resuelve mediante el algoritmo de Barrodale y Roberts (1973), que es una adaptación del algoritmo primal del simplex a este problema. Este trabajo consistirá en revisar el algoritmo de Barrodale y Roberts y programarlo en lenguaje Fortran, C o similar. A mayores, se podrán efectuar representaciones o pequeñas verificaciones de las propiedades estadísticas de los modelos de regresión cuantil. Bibliografía: Barrodale, I. y Roberts, F.D.K. (1973). An improved algorithm for discrete l1 linear approximation. SIAM Journal on Numerical Analysis, 10, 839-848.

Código EST12_15


Título Splines como instrumento de aproximación y estimación

Director/a César Sánchez Sellero


Los splines son polinomios a trozos, que poseen una gran utilidad como instrumento para la interpolación numérica, para la aproximación de funciones y para la estimación de curvas en contexto no paramétrico. En este trabajo se revisarán los conceptos básicos relativos a los splines: la definición de un spline cúbico, las propiedades de interpolación, los splines de suavización y los métodos de cálculo de los splines. Además se ilustrarán algunas propiedades estadísticas de los estimadores no paramétricos de la regresión

http://luc.devroye.org/

11




mediante técnicas spline. Bibliografía: Green, P.J. y Silverman, B.W. (1994). Nonparametric regression and generalized linear models. Chapman and Hall.

Código EST13_15


Título Modelos de regresión con covariables en alta dimensión

Director/a Wenceslao González Manteiga


Se trata de extender los estudios de modelos de regresión múltiple al contexto de que el vector de variables predictoras tenga alta dimensión. Guión aproximadado del estudio: 1) Revisión del modelo lineal general 2) Datos en alta dimensión. El fenómeno de la "sparsity". 3)Criterios de ajuste de tipo penalizado.El grupo Lasso 4) Elaboración de rutinas R para esta modelización. 5) Aplicación a la predicción en bases de datos de interés.

Código EST14_15


Título Técnicas de reducción de la dimensión en datos de alta dimensión

Director/a Wenceslao González Manteiga


Se trata de extender los estudios de componentes principales al contexto de que el vector de variables tenga alta dimensión. Guión aproximadado del estudio: 1) Análisis de técnicas clásicas de reducción de la dimensión. 2) Componentes principales, correlación canónica, regresión en componentes principales y técnicas relacionadas 3) Datos en alta dimensión. El fenómeno de la "sparsity". 4)Análisis de las técnicas antes citadas en datos de alta dimensión 5) Elaboración de rutinas R para esta modelización. 6) Aplicación a bases de datos de interés

Código EST15_15

Área de coñecemento ESTATÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Título REGRESIÓN CON DATOS DEPENDENTES

Director/a ROSA M. CRUJEIRAS CASAIS


No contexto da regresión lineal (simple e múltiple), os procedementos de estimación por mínimos cadrados resultan adecuados baixo certos supostos da mostra observada. En concreto, o método de mínimos cadrados ordinario non é a mellor opción (en termos de eficiencia estatística) cando os datos presentan dependencia e non é estraño atoparse na práctica con este tipo de situacións, por exemplo, cando se observan procesos ao longo do tempo ou en localizacións do espazo. O/A alumno/a realizará as seguintes tarefas:

a) Revisión dos conceptos básicos da regresión lineal simple e múltiple. b) Modelo de regresión lineal con erros dependentes: estimación, validación e predición. c) Estudo de simulación. d) Aplicación a datos reais.

No apartado (c), revisarase a utilidade do código existente en R deseñando un estudo de simulación para ilustrar as propiedades dos estimadores. Na última parte do traballo analizaranse datos reais sobre contaminación por metais pesados en musgo en Galicia.

Código EST16_15

Área de coñecemento ESTATÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Título ESTIMACIÓN DE MIXTURAS DE DISTRIBUCIÓNS

Director/a ROSA M. CRUJEIRAS CASAIS


Os modelos paramétricos clásicos de distribución poden non resultar suficientemente flexibles para modelar situacións reais, sobre todo cando aparecen estruturas complexas con multimodalidade e/ou asimetría. Se ben existen técnicas non paramétricas para a estimación de densidade, unha alternativa intermedia pasa pola

12




consideración de mixturas de distribucións: distribución construídas a partir da combinación, con distintas ponderacións, de modelos de distribucións clásicos, como por exemplo, o modelo gaussiano. Neste Traballo Fin de Grao, o/a alumno/a centrarase principalmente na análise de mixturas de distribución gaussianas, con especial atención ao procedemento de estimación. En concreto, traballarase sobre o algoritmo EM (Expectation-Maximization). O traballo complementarase cun estudo de simulación no que se ilustren as propiedades dos estimadores, e cunha aplicación a exemplos de datos reais.

Código MA01_15

Área de coñecemento Matemática Aplicada

Título Identificación de parámetros en modelos de reacciones químicas

Director/a Alfredo Bermúdez de Castro


Os modelos de reactores químicos do tipo “tanque axitado” son sistemas de ecuacións diferenciais ordinarias que involucran parámetros que deben ser identificados a partir de experimentos en laboratorio mediante técnicas matemáticas. Estas técnicas comprenden métodos alxébricos e de optimización. O obxectivo do traballo e estudar algúns deles e escribir programas de ordenador para implementalos.

Código MA02_15


Título Unha introdución á resolución de ecuacións alxébricas

Director/a Carmen Rodríguez Iglesias


No segundo tema da materia de Cálculo numérico nunha variable vense os métodos clásicos de dicotomía, iteración funcional simple e o método de Newton-Raphson para aproximar as raíces dunha ecuación numérica non linear. Sendo unha ecuación alxébrica un tipo particular de ecuación numérica, pódese utilizar para resolvela calquera dos métodos anteriores. Non obstante, neste caso o problema complícase normalmente porque se desexan encontrar as raíces complexas (aínda cando se trate dun polinomio con coeficientes reais) ou porque interesa obtelas todas. En resumo, a busca das raíces dunha ecuación alxébrica require un tratamento especial, existindo con tal motivo métodos específicos que explotan as características especiais deste tipo de funcións. O obxectivo deste traballo é, previa busca bibliográfica, realizar unha introdución ao estudo e análise deste tipo de métodos.

Código MA03_15


Título Simulación termoeléctrica con COMSOL Multiphysics de procesos de templado por inducción

Director/a Mª Dolores Gómez Pedreira


El endurecimiento o temple por inducción es un proceso basado en el calentamiento y posterior enfriamiento brusco de una pieza de material ferromagnético, generalmente acero, para aumentar su dureza y resistencia. Para ello, la pieza se somete a un campo magnético alterno generado por un inductor convenientemente diseñado, el cual induce en la pieza tratada corrientes electromagnéticas que producen calor y elevan la temperatura de la misma. La ventaja principal de esta técnica de calentamiento es que permite generar calor rápidamente y de forma localizada en una parte de la pieza. El perfil de temperaturas en la etapa de calentamiento dependerá de distintas variables: la frecuencia de la corriente, su intensidad, la geometría del inductor, las propiedades físicas de los materiales, etc. El elevado coste de confección de los inductores hace de la simulación numérica un elemento fundamental a la hora de determinar los parámetros que determinan su funcionamiento y el diseño más adecuado de los mismos, permitiendo predecir no solo su comportamiento sino también su fiabilidad. El objetivo de este trabajo es simular el comportamiento termoeléctrico de un sistema inductor-mangueta utilizado en procesos de templado en la industria de la automoción. Para ello se propone utilizar el software comercial COMSOL Multiphysics basado en el método de elementos finitos. Concretamente, se bordará la resolución de un modelo termoeléctrico considerando una geometría con simetría cilíndrica. El modelo electromagnético permitirá determinar el calor generado por inducción y el modelo térmico determinará la evolución de la pieza en la fase de calentamiento. El estudiante deberá describir los modelos térmico y electromagnético apropiados para simular el comportamiento del sistema inductor-mangueta así como elegir las herramientas idóneas del paquete comercial para poder simular diversas condiciones de operación.

Recomendacións Los contenidos del trabajo están relacionados con las materias del grado Modelización Matemática y Taller de Simulación Numérica, por lo que sería recomendable que el estudiante las hubiera cursado.

13




Código MA04_15


Título Simulación numérica do fluxo en sangue tendo en conta a confluencia de veas ou arterias

Director/a M. Elena Vázquez Cendón


O obxectivo deste traballo é estudar modelos unidimensionais do fluxo sanguíneo considerando a confluencia de veas ou arterias. Modelizarase cada un dos vasos sanguíneos que conflúen e analizarase a implementación das condicións que son necesarias para garantir a conservación das magnitudes calculadas. Dende o punto de vista matemático estes modelos son ecuacións en derivadas parciais hiperbólicas e presentan distintos tipos de solucións, tanto continuas como febles. Estas solucións permitirán validar a implementación do modelo en cada un dos condutos e asemade estudarase como definir as condicións que contorno de cada conduto no punto de confluencia, co fin de garantir a conservación das magnitudes que se están a calcular. Consideraranse as diferentes expresións da presión que permiten modelar veas ou arterias e valores dos parámetros, a partir de datos da literatura do tema, que teñan en conta situacións reais. Definidas as condicións na confluencia procederase á resolución numérica de problemas test que permitan programalas e analizalas, modificando códigos en Matlab/OCTAVE, facilitados pola directora. Referencias: E. F. Toro and A. Siviglia, “Simplified blood flow model with discontinuous vessel properties: analysis and exact solutions” Ambrosi, D.; Quarteroni, A.; Rozza, G. (Eds.) Modeling of Physiological Flows. Springer, 2012. M.E. Vázquez-Cendón, “Introducción al método de volúmenes finitos”. Servizo de Publicacións e intercambio científico da USC, 2008.

Código MA05_15


Título Implementación de modelos de combustión en ANSYS Fluent

Director/a José Luis Ferrín González


ANSYS Fluent es un software de propósito general de Mecánica de Fluidos Computacional que permite la simulación de numerosos problemas en los que están involucrados flujos reactivos. El objetivo de este proyecto es la implementación de modelos para la combustión de partículas sólidas o gotas líquidas más sofisticados que los que ANSYS Fluent incorpora.

Recomendacións Conocimientos de programación, preferiblemente en C

Código MA06_15


Título Desenvolvemento dunha interfaz amigable para software de simulación científica

Director/a Francisco José Pena Brage


Preténdese dotar dunha interfaz amigable a un software de simulación numérica de fenómenos electromagnéticos. O traballo consistirá en indentificar os formatos de entrada e saída de datos requeridos pola aplicación, nomeadamente para as mallas que delimitan a xeometría do dominio e para os campos de resultados. No traballo adaptarase a interfaz reconfigurable OpenNum, para o que se precisará da definición dos ficheiros XML de configuración.

Recomendacións O traballo está relacionado cos contidos de Programación e Modelización Matemática adquiridos no Grao de Matemáticas. Son importantes os coñecementos de linguaxes de programación (Fortran ou Python).

Código MA07_15


Título Elaboración de una biblioteca de utilidades de análisis de secuencias de ADN

Director/a José A. Alvarez Dios


Usando un lenguaje de programación como MATLAB o similar, se diseñarán algoritmos de estudio, anotación y visualización de secuencias de ADN, ARN o SNPs, junto con su implementación informática y un manual de utilización.

Recomendacións Conocimientos de MATLAB

Código MA08_15

Área de coñecemento Matemática Aplicada.

Título Resolución numérica de la ecuación de ondas mediante ecuaciones integrales.

Director/a Jerónimo Rodríguez García

Breve descrición do En multitud de aplicaciones (acústica de salas, aplicaciones radar,...) nos interesa simular numéricamente cómo

14




contido una onda acústica se ve perturbada por un obstáculo (dominio regular acotado). En este tipo de problemas el dominio de propagación de la onda es, con frecuencia, homogéneo y no acotado. Ello dificulta su simulación numérica. El principal objetivo de este proyecto reside en obtener ecuaciones integrales planteadas sobre la frontera del obstáculo que difracta la onda y que sean equivalentes al problema original. Una vez obtenidas estas ecuaciones integrales se propondrán y se analizarán métodos numéricos para su resolución. Uno de los métodos propuestos se implementará en el ordenador. Dado que la dificultad específica del problema reside en el carácter transitorio del mismo (dependencia temporal de la solución) se comenzará realizando el estudio para la ecuación de ondas 1D. En caso de que el tiempo lo permita se abordará el caso dos dimensional. [1] F. J. Sayas. Retarded potentials and time domain boundary integral equations: A road-map. On-line (12 junio de 2014): http://www.math.udel.edu/~fjsayas/TDBIEclassnotes2012.pdf [2] S. A. Sauter, C. Schwab. Boundary element methods. Springer (2011).

Recomendacións Se recomienda haber superado (o cursado) las asignaturas “Series de Fourier e Introducción a las Ecuaciones en Derivadas Parciales”, “Análisis Numérico para Ecuaciones en Derivadas Parciales” y “Variable Compleja” del Grado en Matemáticas de la USC.

Código MA09_15


Título Aproximación dos autovalores e autovectores dunha matriz tridiagonal simétrica mediante un algoritmo “Divide e Vencerás”

Director/a Pilar Mato Eiroa


“Divide e Vencerás” é unha antiquísima estratexia militar, e un importante paradigma no deseño de algoritmos. En 1981, J. J. M. Cuppen propuxo un algoritmo, baseado en dito paradigma, para aproximar dun modo eficiente os autovalores e autovectores dunha matriz tridiagonal simétrica. Neste traballo trátase de elaborar un manual que responda aos seguintes ítems:

Exposición e análise do algoritmo.

Implementación do mesmo en FORTRAN 90 ou MATLAB.

Aplicación nalgún exemplo. Bibliografía básica: P. Arbenz. Lecture Notes on Solving Large Scale Eigenvalue Problems. 2012. Disponible en: http://people.inf.ethz.ch/arbenz/ewp/Lnotes/lsevp.pdf J. J. M. Cuppen. A Divide and Conquer Method for the Symmetric Tridiagonal Eigenproblem. Numerische Mathematik, 36:177-195, 1981. J. W. Demmel. Applied Numerical Linear Algebra.SIAM, 1997. Ll. N. Trefethen y D. Bau. Numerical Linear Algebra. SIAM, 1997.

Recomendacións Gusto pola Análise Numérica Matricial e a implementación de algoritmos.

Código MA10_15


Título Simulación termoeléctrica dun forno de inducción con COMSOL Multiphysics

Director/a Mª del Pilar Salgado Rodríguez


Os fornos de inducción empréganse en numerosos sectores da industria metalúrxica tales como fusión, forxado en quente, endurecemento superficial, templado, etc. O funcionamento destes fornos baséase na inducción electromagnética que permite quentar materiais conductores sen contacto coa fonte de enerxía. As compoñentes esenciais dun forno de inducción son: unha bobina (ou inductor) conectada a unha fonte de potencia e unha peza conductora que se coloca no interior da bobina co obxectivo de quentala. Os campos electromagnéticos creados nas bobinas xeran correntes inducidas, que por efecto Joule, quentan á peza conductora. A magnitude das correntes electromagnéticas e en consecuencia a temperatura xerada na peza dependen de factores como a xeometría do forno, as propiedades termoeléctricas dos materiais, a fonte de alimentación, etc. A simulación numérica neste campo representa unha ferramenta esencial para coñecer os diferentes procesos multifísicos que ocorren no forno e optimizar así o seu deseño e funcionamento. O obxectivo deste traballo é simular o comportamento termoeléctrico dun forno de inducción con xeometría cilíndrica e no cal a peza a quentar se move continuamente. Para iso próponse empregar o software comercial COMSOL Multiphysics baseado no método de elementos finitos. O estudante deberá describir os modelos

http://www.math.udel.edu/~fjsayas/TDBIEclassnotes2012.pdf

15




térmico e electromagnético axeitados para simular o comportamento do forno e elexir as aplicacións e ferramentas idóneas do paquete comercial para abordar a simulación termoeléctrica nunha xeometría con simetría cilíndrica. Asimesmo, de ser preciso aproveitará a versatilidade de COMSOL para implementar ferramentas novas e/ou recurrir ó acoplamento con outros paquetes de software. Dende o punto de vista do modelado cabe sinalar que o modelo térmico e o electromagnético se atopan acoplados debido a que a fonte de enerxía no problema térmico vén dada polo efecto Joule mentres que as propiedades electromagnéticas dependen á súa vez da temperatura. O traballo concluirá coa simulación termoeléctrica de fornos de inducción empregados na forxa en quente baixo distintas condicións de operación.

Recomendacións Os contidos do traballo están relacionados coas materias do grao Modelización Matemática e Taller de Simulación Numérica, polo que sería recomendable que o estudante as cursara.

Código MA11_15


Título Modelado e simulación numérica de ecuacións en derivadas parciais.

Director/a Peregrina Quintela Estévez


Trátase de realizar a simulación numérica de un modelo matemático correspondente a un problema das ciencias aplicadas ou da enxeñería a partir da bibliografía existente. Farase a simulación numérica dalgún sub-proceso involucrado, ben utilizando software existente ou desenrolando un código propio.

Recomendacións Haber cursado as materia de Modelización Matemática e Taller de Simulación Numérica.

Código MA12_15


Título Algunos resultados clásicos de aproximación por polinomios algebraicos.

Director/a Rafael Muñoz Sola


El trabajo comenzaría con una breve introducción al problema de la mejor aproximación en un espacio normado. Después se centraría en la exposición de algunos aspectos clásicos de la teoría de la aproximación de funciones de una variable por polinomios algebraicos, por ejemplo: la densidad del espacio de los polinomios en el espacio C([a,b]) y la interrelación entre la estimación del error de la mejor aproximación de una función por polinomios de grado menor o igual que N y la regularidad de la función aproximada.

Código MA13_15 Área de coñecemento Matématica Aplicada Título Resolución numérica del problema de mínimos cuadrados Director/a María Luisa Seoane Martínez


En este trabajo se propone realizar el estudio del los problemas de mínimos cuadrados en los casos lineal y no lineal. La memoria incluirá motivación, análisis de la existencia y unicidad de solución y descripción y programación de algunos de los métodos más eficientes para su resolución numérica

Recomendacións Buen nivel de programación en Matlab. Haber superado las asignatura de Análisis Numérico Matricial y Métodos Numéricos en Optimización y Ecuaciones Diferenciales.

Código MA14_15 Área de coñecemento Matématica Aplicada Título Estrategias de pivoteo para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales Director/a María Luisa Seoane Martínez


Se trata de elaborar una biblioteca documentada de programas en Fortran 90 para la resolución con métodos de factorización de sistemas de ecuaciones lineales y sus aplicaciones, con especial atención a los aspectos de estabilida numérica. La memoria incluirá la descripción de los métodos de factorización LU con estrategias de pivote parcial y total, factorizaciones de Crout y Cholesky con elección de pivote en la diagonal y factorización AP=QR, y, entre las aplicaciones, la determinación del rango de una matriz, el cálculo de determinantes y de inversas de matrices cuadradas y la resolución de sistemas sobre y subdeterminados.

Recomendacións Buen nivel de programación en Fortran 90. Haber superado las asignaturas de Análisis Numérico Matricial y Métodos Numéricos en Optimización y Ecuaciones Diferenciales.

Código MA15_15

Área de coñecemento MATEMÁTICA APLICADA.

Título Cuadratura adaptativa.

Director/a ÓSCAR LÓPEZ POUSO.

Breve descrición do La cuadratura adaptativa es el método más utilizado en el software comercial para el cálculo “no simbólico” de

16




contido integrales. El problema que subyace (y que en su sentido más amplio es irresoluble) consiste en calcular el valor de una integral definida con una tolerancia prefijada efectuando el menor número posible de evaluaciones del integrando. El objetivo de este TFG es que el estudiante adquiera los conocimientos necesarios para programar alguno de los posibles acercamientos a este problema. Bibliografía:

[1] W. Gander and W. Gautschi, Adaptive quadrature re-visited, BIT Numerical Mathematics 40, no. 1 (2000), pp. 84–101.

[2] P. Gonnet, “Adaptive Quadrature Re-Revisited,” Ph.D Thesis, ETH Zürich, Switzerland, 2009. [3] L. F. Shampine, Vectorized adaptive quadrature in MATLAB, Journal of Computational and Applied

Mathematics 211, Issue 2 (2008), pp. 131–140.

Código MA16_15

Área de coñecemento MATEMÁTICA APLICADA.

Título Investigación matemática en el mundo.

Director/a ÓSCAR LÓPEZ POUSO.


El objetivo de este TFG es elaborar una memoria que describa las líneas de investigación en Matemáticas seguidas hoy en día en centros de referencia como Harvard University, Massachusetts Institute of Technology, University of Oxford, University of California at Berkeley, University of Cambridge, Princeton University y Stanford University. Las páginas web institucionales serán la fuente de información fundamental. Para que el alumno adquiera además conocimiento matemático añadido al que le proporciona nuestro grado, algún capítulo de la memoria se dedicará a explicar con detalle alguna de esas líneas de investigación, entendiendo por esto que el estudiante comprenda cuáles son los problemas estudiados, y no tanto las técnicas matemáticas involucradas.

Código XT01_15

Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía

Título El modelo de Poincaré de la geometría no-euclidiana

Titor/a J. F. Torres Lopera


Se trata de mostrar como el semi-plano y>0 posee una estructura de espacio métrico (de hecho, de variedad riemanniana de curvatura constante negativa) que modeliza los axiomas de la geometría de Lobachevky –Bolyai (actualmente más conocida como geometría hiperbólica plana). Se estudiarán el grupos de sus isometrías, las geodésicas, la curvatura, el ángulo de paralelismo y los horociclos. Se comparará con el modelo de dicha geometría (conformemente equivalente) del disco abierto unitario y opcionalmente con otros modelos, sea locales, como la pseudo-esfera de Beltrami, sea globales, como el modelo “proyectivo” de Beltrami-Klein). Referencias básicas:

1) Anderson, Hyperbolic Geometry. Springer. 2) Coxeter, Non-euclidean Geometry.6th ed.MAA 3) Iversen, Hyperbolic Geometry. CUP 4) Kulczycki, Non-Euclidean Geometry. Dover

Recomendacións Se recomienda una base suficiente de variable compleja y teoría global de superficies (incluyendo geodésicas y el teorema de Gauss-Bonnet).

Código XT02_15

Área de coñecemento XEOMETRÍA E TOPOLOXÍA

Título O TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLXEBRA PARA POLINOMIOS CUATERNIÓNICOS

Titor/a ENRIQUE MACÍAS VIRGÓS


En xeral non é certo que todo polinomio cuaterniónico teña algunha raíz. Un resultado de Eilenberg-Niven garantiza que o “teorema fundamental da álxebra” se cumple para polinomios que teñan un único termo de grao máximo. A demostración utiliza a noción de “grao topolóxico” para aplicacións continuas dunha esfera en sí mesma.

Recomendacións Aconsellase ter cursado materias de Topoloxía ("Topoloxía xeral", "Topoloxía de superficies" ou "Topoloxía alxébrica") xa que se usan nocións de homotopía.

Código XT03_15


17




Título Teoremas de integración e ecuacións de Maxwell

Titor/a José Carlos Díaz Ramos


O alumno deberá presentar os teoremas clásicos de integración (teorema de Green, teorema da diverxencia, teorema de Stokes) e empregalos para dar varias presentacións alternativas das ecuacións de Maxwell do electromagnetismo. Bibliografía básica: J. E. Marsden, A. J.Tromba, Vector calculus. 3rd ed., W.H. Freeman and Company (1988).

Recomendacións Estar familiarizado coa integración ó longo de curvas e de superficies.

Código XT04_15


Título Imposibilidade de clasificar as variedades compactas de dimensión 4

Titor/a Jesús Antonio Álvarez López


O primeiro obxetivo é probar que existe unha variedade compacta con grupo fundamental isomorfo a calquer grupo finitamente presentado dado. O que reduce a inexistencia de clasificación de 4-variedades á inexistencia de clasificación de grupos finitamente presentados. Unha boa parte desta fase do traballo vai ser desenrolar e entender ben as técnicas que se van usar: ciruxía de variedades, veciñanzas tubulares, presentacións de grupos e, sobre todo, o teorema de Van Kampen. Un obxetivo segundo é adentrarse na demostración de que non existe un algoritmo que permita decidir se duas presentacións finitas de grupos representan grupos isomorfos. Para facer este traballo, seguirase a línea indicada na Capítulo IV do libro “Algebraic Topology: An Introduction”, por W.S. Massey, tendo que consultar as referencias que se dan ahí.

Código XT05_15


Título Espazos de revestimento ramificado

Titor/a Jesús Antonio Álvarez López


Trátase de expoñer a teoría de espazos de revestimento ramificado, xurdidos como xeralizacións das superficies de Riemann definidas por funcións analíticas con múltiples valores. Para facer este traballo, seguiranse as seguintes referencias:

- R.H. Fox, Covering spaces with singularities, no libro Algebraic Geometry and Topology: A symposium in Honor of S. Lefschetz, Princeton University Press, 1957, Princeton, N.J., pp. 243-257.

- E. Michael, Completing a spread (in the sense of R. H. Fox) without local connectedness, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A 66 (Indag. Math. 25) (1963), 629–633.

- J.M. Montesinos-Amilibia, Branched coverings after Fox, Bol. Soc. Mat. Mexicana (3) Vol. 11, 2005.

Código XT06_15

Área de coñecemento XEOMETRÍA E TOPOLOXÍA

Título O MODELO DO HIPERBOLOIDE DE POINCARÉ

Titor/a FERNANDO ALCALDE CUESTA


O obxectivo do traballo é a descripción do modelo do hiperboloide de Poincaré a partir da acción natural do grupo de Lorentz e a súa relación cos modelos de Klein e Poincaré sobre o disco.

Código XT07_15


Título Espazos fibrados sobre variedades diferenciables

Titor/a José Antonio Oubiña Galiñanes


Os espazos fibrados son unha xeneralización importante do produto de dous espazos; un fibrado sobre unha variedade diferenciable é localmente unha variedade produto. A noción de fibrado é básica en topoloxía e xeometría. Neste traballo propoñemos o estudo das nocións fundamentais e exemplos importantes dos espazos fibrados sobre variedades diferenciables, o concepto de grupo estructural dun fibrado e a relación cos espazos fibrados principais e as seccións, que xeneralizan as funcións escalares. Como modelo para o desenvolvemento do traballo aconséllase usar principalmente o Capítulo 6 do libro “Manifolds and Differential Geometry”, de Jeffrey M. Lee.

Recomendacións Cursar a materia optativa “Variedades Diferenciables”

Código XT08_15


Título Espazos topolóxicos homoxéneos

18




Titor/a Xosé M. Masa Vázquez


Descrición da topoloxía dos grupos clásicos; especialmente, grupos de matrices. Estudo de accións continuas de grupos sobre espazos topolóxicos. Aplicación ao caso particular de accións de subgrupos sobre grupos topolóxicos e estudo dos espazos cocientes resultantes.

Código XT09_15


Título Proxeccións cartográficas: unha perspectiva xeométrica da representación da Terra

Titor/a Eduardo García Río


O obxectivo do traballo é realizar un estudio das ferramentas xeométricas subxacentes á construcción de distintos mapas da Terra. A imposibilidade de construir mapas perfectos (que é consecuencia do Teorema Egregium de Gauss) motivou históricamente o estudio de distintas propiedades que se desexan preservar nos mapas como son a forma ou as áreas. Ademais, dependendo do uso que se lles pretenda dar, resulta especialmente importante a posibilidade de detectar de forma sinxela familias especiais de curvas como son as loxodromas ou as xeodésicas. Neste traballo abordarase a formulación matemática de cada unha das problemáticas anteriores. Se ben non é posible construir mapas perfectos da Terra, podese plantexar a cuestión de cales serán os mellores. Seguindo a Milnor [A problem in cartography, Amer. Math. Monthly 76 (1969), 1101-1112] mostrarase que os sistemas de coordenadas normais proporcionan a mellor representación da Terra.

Recomendacións É recomendable ter un coñecemento axeitado de cuestións básicas de curvas e superficies: curvatura de Gauss, primeira forma fundamental, xeodésicas.

Código XT10_15


Título Geometría Diferencial de curvas no Espazo de Minkowski de dimensión tres

Titor/a María Elena Vázquez Abal


Estudio da xeometría de curvas no espazo de Minkowski de dimensión tres, realizando unha análise comparativa coa xeometría de curvas no espazo euclídiano. O traballo consistirá básicamente na lectura, comprensión e realización dos exercicios propostos dos temas que se expoñen a continuación e tratados nos traballos [1] e [2] citados na bibliografía.

Álxebra linear do espazo de Minkowski. Métrica de lorentz. Caráter causal. Transformacións e grupo de Lorentz.

Curvas no espazo de Minkowski Curvas regulares. Fórmulas de Serret-Frenet. Aplicacións.

Motivación histórica. Bibliografía [1] G.Ruiz Hernández. Geometría Diferencial en el Espacio de Minkowski de dimensión tres. Curso impartido en 2011 en la Facultad de Ciencias de la UNAM (México) http://www.matem.unam.mx/gruiz/notasminkowski.pdf [2] R. Lopez, Differential geometry of curves and surfaces in Lorentz-Minkowski space, arXiv:0810.3551v1 http://arxiv.org/pdf/0810.3351v1.pdf

Recomendacións Interés na xeometría diferencial de curvas e superficies e as súas aplicacións á teoría da relativididade.

Código XT11_15


Título Cando unha función periódica é a curvatura dunha curva plana pechada?

Titor/a María Elena Vázquez Abal


Toda curva plana regular ten asociada unha función curvatura. O Teorema Fundamental de Curvas planas afirma que cada función curvatura determina unha única (salvo movementos ríxidos) curva plana. No caso de que a curva plana sexa periódica, a súa curvartura, evidentemente, tamén o é. O traballo consistirá básicamente na lectura e comprensión da demostración dunha resposta á cuestión: Cando unha función periódica é a curvatura dunha curva plana pechada? Bibliografía [1] J. Arroyo, O.J. Garay e J.J. Mencía. When is a periodic function the curvature of a closed plane curve? American Mathematical Monthly 115:5 (2008), 405–414

http://www.matem.unam.mx/gruiz/notasminkowski.pdf

http://arxiv.org/pdf/0810.3351v1.pdf

19




https://math.la.asu.edu/~kawski/classes/apm581/restricted/curvature-closed-curve.pdf

Recomendacións Interés na xeometría diferencial de curvas e superficies e as súas aplicacións.

Código XT12_15


Título Propiedades globais das curvas planas

Titor/a Luis Mª Hervella Torrón


Unha vez definidas as curvas planas e estudadas as suas propiedades elementais, abordaranse teoremas globais relacionados con elas, facendo énfasis no teorema dos catro vértices e na desigualdade isoperimétrica

Código XT13_15


Título O grupo dun nó

Titor/a Xosé Manuel Carballés Vázquez


Obtención dunha presentación do grupo dun nó por xeradores e relacións mediante o uso da versión axeitada do teorema de Seifert-Van Kampen. Utilización do grupo no tratamento do problema da clasificación.

Recomendacións Ter superadas “Topoloxía xeral" e “Topoloxía de superficies", e cursar "Topoloxía alxébrica”.

Código XT14_15

Área de coñecemento XEOMETRIA E TOPOLOXIA

Título Dende a regra e o cartabón ao fibrado das referencias lineais

Titor/a Luis Angel Cordero Rego


Na Memoria describirase, co debido rigor matemático, o proceso conceptual que conduce dende a noción de paralelismo euclideo no plano ata a definición formal de conexión lineal nunha variedade diferenciable no espacio fibrado das súas referencias lineais; as nocións de curvatura e holonomía da conexión lineal deberan ser tamén abordadas na memoria. Bibliografía: I.M. Singer, John A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, 67, Springer-Verlag, New York, 1976. S.Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, vol. I, Interscience Publ., New York 1963.

Recomendacións Recomendase que o alumno teña cursada a materia “Variedades diferenciables” do cuarto curso do Grao en Matemáticas.

Código XT15_15

Área de coñecemento XEOMETRIA E TOPOLOXIA

Título A xeometria diferencial do espazo fibrado das referencias lineais dunha variedade diferenciable

Titor/a Luis Angel Cordero Rego


Na Memoria describirase a estructura de variedade diferenciable do espacio fibrado principal FM das referencias lineais dunha variedade diferenciable M, e farase unha introdución somera ao estudo das propiedades xeométricas de FM e da construcción de estructuras xeométricas en FM a partir das estructuras que existan na variedade base M. Bibliografía: L.A. Cordero, C.T.J Dodson, M. de León, Differential Geometry of Frame Bundles, Mathematics and Its Appl., Kluwer Acad. Publ.Dordrech, Holanda, 1989. S.Kobayashi, K. Nomizu, Foundations of Differential Geometry, vol. I, Interscience Publ., New York 1963.

Recomendacións Recomendase que o alumno teña cursada a materia “Variedades diferenciables” do cuarto curso do Grao en Matemáticas.

https://math.la.asu.edu/~kawski/classes/apm581/restricted/curvature-closed-curve.pdf

proposta de traballo fin de grao - usc...se recomienda tener una buena formación básica en algebra...

Documents