algebra vectorial

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Enrique R. Aznar Dpto. de Álgebra Página web personal Página de Abertura Contenido JJ II J I Página 1 de 51 Atrás Pantalla grande/pequeña Cerrar ÁLGEBRA VECTORIAL. ¿Cómo calcular con puntos y vectores? 1. Introducción. 5 1.1. Los orígenes del espacio Afín 6 1.2. El Espacio Afín Euclídeo 7 2. Producto escalar y grammianas. 8 Definición 1 8 Lema 1 8 Definición 2 9 Ejemplo 1 10 Ejemplo 2 10 Teorema 1 10 Teorema 2 12 Corolario 1 12 Corolario 2 13 Corolario 3 14 3. Producto vectorial. 16

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    LGEBRA VECTORIAL.

    Cmo calcular con puntos y vectores?

    1. Introduccin. 51.1. Los orgenes del espacio Afn 61.2. El Espacio Afn Eucldeo 72. Producto escalar y grammianas. 8

    Definicin 1 8Lema 1 8Definicin 2 9Ejemplo 1 10Ejemplo 2 10Teorema 1 10Teorema 2 12Corolario 1 12Corolario 2 13Corolario 3 14

    3. Producto vectorial. 16

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    Definicin 3 17Lema 2 18Lema 3 20Ejemplo 3 20

    4. Producto triple escalar. 20Definicin 4 21Ejemplo 4 21Ejemplo 5 23

    5. Espacio Afn. 23Definicin 5 23Definicin 6 24Lema 4 25Ejemplo 6 26Definicin 7 26

    5.1. Rectas 27Definicin 8 27Ejemplo 7 28Ejemplo 8 29Lema 5 29Ejemplo 9 30Ejemplo 10 30

    5.2. Planos 31Definicin 9 31

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    Definicin 10 32Definicin 11 33Lema 6 33Ejemplo 11 34Ejemplo 12 34Lema 7 35Ejemplo 13 35

    5.3. Distancia de un punto a una recta 36Lema 8 36

    6. Tringulos en Rn 37Definicin 12 37Lema 9 37Definicin 13 38Lema 10 39Corolario 4 39Corolario 5 40

    6.1. Puntos distinguidos de un tringulo en Rn 40Definicin 14 40Lema 11 41Ejemplo 14 41Definicin 15 43Ejemplo 15 44

    7. Tetraedros en Rn 45

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    Definicin 16 45Definicin 17 46Lema 12 46Definicin 18 46Definicin 19 47Ejemplo 16 47

    8. Test de repaso. 48

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    1. INTRODUCCIN.

    Aunque la geometra clsica griega estudia o define el plano y el espacio 3Dusando axiomas y deduce los teoremas a partir de ellos.

    Actualmente, es comn definir estos conceptos usando coordenadas. O sea,usando R2 o R3 como conjunto subyacente de puntos.

    Este es el enfoque de la geometra llamada analtica. Permite usar todas lasherramientas de las operaciones algebraicas. Adems, tiene la ventaja de quela generalizacin a Rn no ofrece casi ninguna dificultad.

    As, una manera de pensar en el plano eucldeo es que es un conjunto depuntos que satisfacen ciertas relaciones expresables en trminos de distancia(tamao de vectores) y ngulos (direccin de vectores).

    Hay tres operaciones fundamentales en el plano. Una es la traslacin quesignifica mover cada punto en la misma direccin, una misma distancia.

    La otra es la rotacin alrededor de un punto, en la cual cada punto se muevealrededor (misma distancia) de ese punto un cierto ngulo.

    La tercera es la reflexin segn una recta que mueve cada punto hacia larecta, en la perpendicular a ella, el doble de la distancia a la misma.

    Una manera de hacer todo esto preciso, es definiendo el plano eucldeo comoel esp. vect. R2 con un producto escalar.

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    De esta forma, los vectores se corresponden con los puntos. La suma conun vector fijo corresponde con una traslacin. Finalmente. el producto es-calar proporciona los conceptos de ngulo (perpendicularidad) y distanciaque permiten definir las transformaciones de rotacin y reflexin arbitrarias.

    La generalizacin a Rn es fcil, ya que el vocabulario, frmulas y opera-ciones son los mismos con mas coordenadas. La generalizacin de rotaciny reflexin a Rn , tampoco es difcil conociendo R2.

    La dificultad est en la visualizacin a partir de R4, aunque no es necesaria.

    La sutileza a tener en cuenta, es que tcnicamente el espacio eucldeo no esslo un esp. vect. sobre R, sino mas bien un espacio afn sobre el que actael espacio vectorial.

    Intuitivamente, la distincin consiste en que no hay un punto distinguido quesirva como origen. Todos pueden servir. En este tema lo precisaremos.

    1.1. Los orgenes del espacio Afn. Aunque el estudio de la geometra es muyantiguo, slo recientemente se ha intentado separar la parte afn de la mtrica.

    In 1748, Euler introdujo el trmino afn1. In 1827, August Mbius estudi lageometra afn en su Der barycentrische Calcul.

    1En su libro, Introductio in analysin infinitorum.

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    Pero no fue hasta que Felix Klein describi su famoso programa de Erlangen,cuando la geo. afn fue reconocida como una generalizacin de la eucldea.

    Aunque es usual estudiarla con coordenadas, tambin es posible estudiarla ala griega. O sea, con postulados y axiomas, sin decir quienes son los puntos.

    As, en 1969, Coxeter axiomatiza el plano afn sobre los reales. Y Cameron,en 1991, da axiomas para los espacios afines n-dimensionales.

    1.2. El Espacio Afn Eucldeo. Hoy da, el espacio eucldeo2 es esencialmenteRn con el producto escalar usual, lo que permite calcular distancias y n-gulos. Generaliza al plano eucldeo (geometra 2D) y al espacio eucldeo(geometra 3D) clsicos.

    El adjetivo eucldeo distingue a estos espacios de otras formas de medir enRn . O sea, de otras definiciones de norma de un vector, que pueden conducira espacios llamados curvos.

    En particular, a las geometras Hiperblica y Elptica del plano y a los espa-cios de la teora general de la relatividad de Einstein.

    En este tema, estudiaremos algunos conceptos importantes para el esp. eu-cldeo n-dimensional. Tambin el concepto de producto vectorial en R3.Despus nos centraremos en el afn y en el afn eucldeo.

    2Euclides de Alejandra fue un matemtico y gemetra griego (325-265 a. C.) que viviy ense en Alejandra (Egipto) bajo el reinado de Ptolomeo II.

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    2. PRODUCTO ESCALAR Y GRAMMIANAS.

    Dado un esp. vect. V , real (sobre el cuerpo R), y dada una aplicacin < , >:V xV R, denotada a veces (en notacin infija) como < u,v >=u vDefinicin 1. Decimos que es un producto escalar si verifica para todou,u1,u2,v V y todo K

    1) Definida positiva: u u 0 y u u = 0 u = 02) Conmutativa: u v = v u3) Distributiva: (u1+u2) v = u1 v +u2 v4) Lineal: u v = (u v)

    Dado un producto escalar, por la distributiva, se tiene que

    0u = (0+0)u = 0u+0u = 0u = 0Por la conmutativa, tambin 0u = u 0= 0Por la distributiva y lineal, adems se tiene

    (1u1+2u2) v = (1u1) v + (2u2) v =1(u1 v)+2(u2 v)Este es el primer caso, de una induccin, para demostrar el siguiente

    Lema 1. Dado un producto escalar en V , se verifica que

    (1u1+ +rur ) (1v1+ +svs)=i ji j (ui v j )

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    Demostracin: Por la conmutativa, basta demostrar el llamado paso de lainduccin, en uno de los factores:

    (1u1+ +rur ) v = (1u1+ +r1ur1) v +r (ur v)==1(u1 v)+ +r1(ur1 v)+r (ur v)

    El producto escalar usual de dos vectores u,v Rn es el definido por

    u v = (u1, . . . ,un)

    v1...vn

    = u1v1+ +unvnEscribiendo los vectores por columnas, coincide con el producto matricialu v = utv . Adems, por el lema anterior, si se elige una base ortonormal,todo producto escalar coincide con el usual.

    Dado un conjunto de vectores u1, . . . ,ur Rn , podemos formar los r 2 produc-tos escalares ui u j R. Por la conmutativa, hay como mucho

    (r2

    ) = r (r1)2nmeros distintos y la matriz U tU = (ui u j ) es simtrica.Definicin 2. La llamamos G =U tU = (ui u j ) la matriz grammiana delos vectores u1, . . . ,ur . A su determinante, lo denotamos

    Gram(u1, . . . ,ur )=Det (G)=Det (U tU )= |(ui u j )|y lo llamamos simplemente la grammiana del mismo conjunto.

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    Ejemplo 1. Dados u1 = (1,1),u2 = (2,3),u3 = (0.5,1.5) R2 su matriz gram-miana

    G = 1 12 30.5 1.5

    (1 2 0.51 3 1.5

    )=2 5 25 13 5.52 5.5 2.5

    es simtrica de orden 33 y su determinante es cero

    Gram(u1,u2,u3)=Det (G)=2 5 25 13 5.52 5.5 2.5

    = 0Ejemplo 2. Dados v1 = (1,2,0.5),v2 = (1,3,1.5) R3 su matriz grammiana

    G =(1 2 0.51 3 1.5

    ) 1 12 30.5 1.5

    = (5.25 7.757.5 12.55

    )

    es simtrica de orden 22 y su determinante vale

    Gram(v1,v2)=Det (G)=5.25 7.757.75 12.55

    = 4.25Los ejemplos anteriores no son casualidad, ya que u1,u2,u3 R2 son l.d.mientras que v1,v2 R3 son l.i. Ya que se tiene el

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    Teorema 1. [de caracterizacin de la dependencia]Los vectores u1, . . . ,ur Rn , son l.d. si y slo si Det (G)= 03.

    Demostracin: Veamos las dos implicaciones.

    ) Si u1, . . . ,ur Rn , son l.d., entonces existen nmeros reales 1, . . . ,r R no todos nulos tales que 1u1+ +rur = 0 Rn . O sea, existeun vector v Rr no nulo tal que el producto matricial,Uv = 0 es ceroy por tanto tambin Gv =U tUv = 0.

    Ahora, como G =U tU es una matriz cuadrada r xr , si su deter-minante fuera distinto de cero, existira su matriz inversa y multipli-cando por ella, v =G1Gv = 0 lo que es absurdo.Por tanto, el determinante Det (G)= 0 es cero como queramos.

    ) Si Det (G) = 0 es cero, el sistema lineal y homogneo Gx = 0 tieneuna solucin, v =

    (1...r

    ), distinta de la trivial.

    Pero U tUv =Gv = 0 implica ||Uv ||2 =Uv Uv = v tU tUv = 0.Por tanto, ||Uv || = 0 y tambin ese vector ser cero

    1u1+ +rur =Uv = 0O sea, los vectores son l.d. como queramos.

    3Veremos que en cualquier otro caso, se tiene que Det (G)=Gram(u1, . . . ,ur )> 0.

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    Esta ltima demostracin usa que siempre v tGv = v tU tUv = ||Uv ||2 0.O sea, que toda matriz grammiana G es semidefinida positiva.Ahora, si R verifica que Gv =v , como siempre v tv 0, se tiene

    v tGv = v t (v)=(v tv)=(11+ +2r ) 0 = 0As, como G es una matriz simtrica real, todos sus autovalores, 1, ,rson nmeros reales no negativos.

    Por tanto, tambin Det (G)=1 r 0 y hemos demostrado elTeorema 2. [de caracterizacin de la independencia]4Los vectores u1, . . . ,ur Rn , son l.i. si y slo si Det (G)> 0.

    Este teorema tiene otras consecuencias interesantes. Por ejemplo,

    Corolario 1. [Desigualdad de Cauchy-Schwartz en Rn]Para todo x, y Rn , x y ||x|| ||y ||

    Demostracin: Si x, y Rn son dos vectores cualesquiera, su grammianadebe ser no negativa

    Det (G)= x2 x yx y y2

    = ||x||2||y ||2 (x y)2 04Esta caracterizacin es mas complicada que hallar directamente el rango en la matrizU

    de las coordenadas. Su inters est en que permite demostrar otros resultados.

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    Lo que equivale a la

    (x y)2 ||x||2||y ||2 x y ||x|| ||y ||salvo que y =x sean vectores dependientes. El teorema 2 permite generalizar un resultado bien conocido en el plano.

    Corolario 2. [Tringulo formado formado por 3 puntos en Rn]La suma de los ngulos de un tringulo en Rn suman 180 grados.

    x y = x.y.cos(180)x z = x.z.cos(180)y z = y.z.cos(180)x = xx , y =

    y

    y , z =z

    z

    180

    A B

    C

    z

    y x

    Demostracin: Dado un tringulo en Rn , formado por 3 puntos A = (a1, . . . ,an),B = (b1, . . . ,bn) y C = (c1, . . . ,cn) no colineales. Se tiene que los vectoresy = AC = (a1c1, . . . ,ancn), x =CB = (c1b1, . . . ,cnbn), z =BA =(b1a1, . . . ,bnan), verifican x+ y+z = 0. Luego por el teorema 2 se tiene.

    Det (G)=x2 x y x zx y y2 y zx z y z z2

    == x2y2z2 y2(x z)2x2(y z)2 z2(x y)2+2(x y)(x z)(y z)= 0

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    Dividiendo por x2y2z2 y normalizando los vectores tenemos

    1 (x z)2 (y z)2 (x y)2+2(x y)(x z)(y z)= 01 (x z)2 (y z)2 = (x y)22(x y)(x z)(y z)(1 (x z)2)(1 (y z)2)= (x y + (x z)(y z))21 (x z)2

    1 (y z)2 =x y + (x z)(y z)

    x y = (x z)(y z)1 (x z)2

    1 (y z)2

    cos(180)= cos(180)cos(180) sen(180)sin(180)Por tanto, cos(180)= cos()cos() sen()sin()= cos(+)de donde 180=+5. O sea, ++= 180.Corolario 3. [Desigualdad triangular para un triedro en Rn] +Donde = y z, = xz, = x y , para cualesquiera x, y,z Rn .

    Demostracin: Si x, y,z Rn son dos vectores cualesquiera, su grammianadebe ser no negativa

    Det (G)=x2 x y x zx y y2 y zx z y z z2

    05Ya que la funcin coseno es biyectiva de 0 a 180.

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    desarrollando el determinante equivale a la desigualdad

    x2y2z2+2(x y)(x z)(y z) y2(x z)2x2(y z)2 z2(x y)2 0Dividiendo por los cuadrados de las normas, ||x||2||y ||2||z||2 = x2y2z2 y lla-mando u = x/||x||, v = y/||y ||, w = z/||z|| a los correspondientes vectoresunitarios, obtenemos la desigualdad

    1+2(u v)(u v)(u v) (u v)2 (v w)2 (u w)2 0equivalentemente

    1 (v w)2 (u w)2 (u v)22(u v)(u w)(v w)sumando en ambos miembros el producto (v w)2(u w)2

    (1 (v w)2)(1 (u w)2) ((u w)(v w)u v)2

    extrayendo races cuadradas se tienen las desigualdades1 (v w)2

    1 (u w)2 (u w)(v w)u v

    u v (u w)(v w)1 (v w)2

    1 (u w)2

    Si llamamos = y z, = xz, = x y se tiene queCos()= x y||x|| ||y || =

    x

    ||x||y

    ||y || = v w Sen()=1 (v w)2

    Cos()= u w Sen()=1 (u w)2

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    y anlogamente Cos()= u v . Por tantoCos()Cos()Cos()Sen()Sen()=Cos(+)

    Como la funcin coseno es decreciente de 0 a 180, se tiene + quees la desigualdad triangular para un triedro en Rn . Este ltimo resultado es la desigualdad triangular para tringulos esfricosen la esfera unidad de Rn6.

    3. PRODUCTO VECTORIAL.

    El producto vectorial de dos vectores, que definiremos, es un producto in-terno en R3. O sea, una aplicacin de R3R3 en R3, tal que a una pareja devectores (u,v) le hace corresponder otro vector u v (escrito a veces u v)que llamaremos su producto vectorial, externo o cruzado (cross product).

    Ser un producto importante por sus aplicaciones sobre todo geomtricas,pero no es un producto algebraicamente bueno. En concreto, no ser ni aso-ciativo, ni conmutativo aunque si ser distributivo respecto de la suma7.

    6Tambin, con un proceso casi idntico se puede demostrar que los ngulos inscritos encualquier crculo de Rn son la mitad del correspondiente ngulo central.

    7Se puede demostrar fcilmente que no existe ningn producto en R3 que sea a la vez dis-tributivo, asociativo y conmutativo. Los productos no asociativos son raros en matemticas.

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    Antes de definir este producto, observamos que dados dos vectores arbitrar-ios u = (x1,x2,x3), v = (y1, y2, y3). Un tercer vector w = (n1,n2,n3) serperpendicular a ambos si los productos escalares u w = 0, v w = 0 son cero.Pero esto equivale a que los nmeros reales n1,n2,n3 sean solucin del s.l.

    n1x1+n2x2+n3x3 = 0n1y1+n2y2+n3y3 = 0

    Por Cramer, es fcil de ver que la solucin general de este sistema son losmltiplos arbitrarios de la terna de nmeros reales

    (x2y3x3y2, x3y1x1y3, x1y2x2y1)Esto motiva la siguiente

    Definicin 3. Llamamos producto vectorial de u,v R3 al vector

    u v = (x2y3x3y2, x3y1x1y3, x1y2x2y1)=(x2 x3y2 y3

    , x3 x1y3 y1 , x1 x2y1 y2

    )

    Con esta definicin, si u = v entonces uu = 0. Adems, los vectores de labase cannica i= (1,0,0), j= (0,1,0), k= (0,0,1), verifican que

    i j= k, jk= i, k i= jj i=k, k j=i, ik=j

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    Por tanto, este producto no es conmutativo. Adems

    i (i j)= ik=j(i i) j= 0 j= 0

    se ve que tampoco este producto es asociativo.

    Tambin de la definicin, si se intercambian los papeles de u y v , se ve quelas coordenadas cambian de signo, u v = v u. O sea, este producto esanticonmutativo (a veces se dice antisimtrico).

    Tambin, se ve que si uno de los vectores es mltiplo de un nmero real ,ste sale factor comn en las 3 coordenadas. O sea, se tiene

    u v =(u v)= uvTambin es sencillo, aunque es un poco largo de demostrar, la distributiva enambos factores. As

    (u+ v)w = uw + v wu (v +w)= u v +uw

    Resumimos todo esto en el siguiente

    Lema 2. [Propiedades del producto vectorial]

    1) u v es ortogonal a u y a v .2) (u+v)w =(uw)+(v w)3) u v =v u y tambin uu = 0.

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    4) u v = 0 si y slo si existen escalares , R tales que u =v

    Demostracin: Demostraremos la propiedad 4)8.Primero, si u =v con 6= 0 entonces v =

    u y se tiene

    u v = u u =

    (uu)=

    0= 0

    Recprocamente, si u v = 0 entonces xi y j = x j yi para todo i , j = 1,2,3.Entonces, para cada j se tiene x j v = y ju.Si u 6= 0, tambin algn xk 6= 0. Entonces, podemos tomar = yk , = xk .En caso contrario, u = 0 y tomamos = 1, = 0. La norma usual o longitud de un producto vectorial es fcil de calcular. As

    u v2 = (x2y3x3y2)2+ (x3y1x1y3)2+ (x1y2x2y1)2 == (x21+x22+x23)(y21 + y22 + y23) (x1y1+x2y2+x3y3)2 = u2v2 (u v)2 == u2v2u2v2 cos2()= u2v2(1cos2())= u2v2 sin2()As, hemos demostrado que

    Gram(u,v)= |(ui u j )| =u u u vu v v v

    = u2v2 (u v)2 = uv2= 08O sea, dos vectores u,v R3 son l.d. si y slo si el rango de su matriz es menor que 2.

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    y hemos obtenido de nuevo la desigualdad 1 de Schwartz.Tambin, hemos demostrado el siguiente

    Lema 3. [Mdulo del producto vectorial] Si = uv es el ngulo formadopor dos vectores en Rn . Entonces, u v = uvsin()

    Ejemplo 3. [rea de un tringulo en R3] Dados los puntos p = (1,2,0),q = (2,5,2) y r = (4,1,2) en R3. Si se calcula, sucesivamente

    u =pq = q p = (21, 52, 20)= (1,3,2)v =pr = r p = (41, 12, 20)= (3,3,2)

    u v = ((2)3 (3) (2), 3 (2)1 (2), 1 (3)33)= (12, 4, 12)u v = (12, 4, 12) =

    (12)2+ (4)2+ (12)2 = 17.4356

    Entonces, por el lema anterior y la definicin de la altura de un tringulocomo h = vsin(), se tiene que el rea del tringulo vale

    S = base al tura2

    = uvsin()2

    = u v2

    = 17.43562

    = 8.7178

    4. PRODUCTO TRIPLE ESCALAR.

    Una forma de combinar tres vectores u,v,w en R3, para obtener un escalar

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    Definicin 4. Llamamos producto triple escalar al nmero real

    [u,v,w] = u (v w)

    Si los 3 vectores son u = (x1,x2,x3), v = (y1, y2, y3), w = (z,z2,z3).Por el desarrollo por la primera fila de un determinante 33, se tiene

    [u,v,w] = x1y2 y3z2 z3

    +x2 y3 y1z3 z1+x3 y1 y2z1 z2

    =x1 x2 x3y1 y2 y3z1 z2 z3

    O sea, el producto triple escalar es el valor de un determinante que puede serpositivo o negativo. Como un determinante es cero si dos filas son iguales,lo mismo le pasa al producto triple escalar.

    Ejemplo 4. Dados los vectores u = (1,2,0), v = (2,5,2) y w = (4,1,2)en R3, se tiene que su producto triple escalar vale

    [u,v,w] =1 2 02 5 24 1 2

    = 20Tambin por las propiedades distributiva y lineal de los productos vectorial yescalar. Se tiene que el producto triple escalar tambin es lineal y distribuye

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    en cada uno de los 3 vectores. Por todo esto, tenemos

    0= [u + v, u + v, w] = [u, v, w] + [v, u, w]O sea, [v, u, w] = [u, v, w]. Anlogamente, por simetra se tiene[u, v, w] = [v, u, w] = [u, w, v] = [w, v, u].Y aplicando lo anterior dos veces, tambin se tiene que9

    [u, v, w] = [w, u, v] = [v, w, u]El valor absoluto10 de un producto triple escalar siempre se puede interpretarcomo el volumen del paraleleppedo formado por los 3 vectores.

    Ya que el volumen es el producto del rea, S = v w, del paralelogramodefinido por v , w por la altura h de u sobre dicho paralelogramo.

    Como el vector v w es perpendicular a ambos v , w , la altura de u sedetermina por su proyeccin sobre v w o sobre su opuesto.O sea, el valor de dicha altura es la norma de esa proyeccin h = u|cos()|donde es el ngulo que forma u con la perpendicular v w . Entonces11

    |[u, v, w]| = u v w |cos()| = h v w = h S = volumen9En realidad, estamos demostrando propiedades de los determinantes 33 a partir de las

    propiedades de los productos vectorial y escalar.10Ya que un volumen es siempre positivo.11En realidad, lo que se hace es definir el volumen de un paraleleppedo.

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    El caso mas sencillo, es cuando los 3 vectores, u, v , w , son mutuamenteperpendiculares. Entonces, si llamamos a la matriz por columnasU = (u,v,w)

    [u, v, w]2 = U tU =u u u v u wu v v v v wu w v w w w

    =u2 0 00 v2 00 0 w2

    == u2 v2 w2 y extrayendo races |[u, v, w]| = u v w

    As, para u = (2,0,0), v = (0,3,0), w = (0,0,4), que son ortogonales, elvolumen vale |[u, v, w]| = 234= 24.Ejemplo 5. Para los vectores u = (2,4,0), v = (1,6,2) y w = (1,7,0),como

    [u, v, w]=2 4 01 6 21 7 0

    =36El volumen del paraleleppedo que forman vale |[u, v, w]| = |36| = 36

    5. ESPACIO AFN.

    Dado un conjunto de puntos A, no vaco, y un espacio vectorial V

    Definicin 5. Decimos que A es un espacio afn sobre V cuando existe unaaccin de V sobre A. O sea, una aplicacin V A A, que lleva cada

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    pareja de vector, punto a un nuevo punto

    (u,P ) 7 u P =Q Ay que adems verifica las tres propiedades

    Identidad El vector cero acta como la identidad, 0P = P Transitiva12 La suma acta transitivamente, (u+v)P = u (v P ) Unicidad13 Para cada punto P A, la aplicacin V A definida

    por u 7 u P =Q A es biyectiva.

    Esta ltima propiedad, nos dice que fijado un punto P A, entonces se puedeidentificar V con A. Si se elige una base en el espacio vectorial subyacente,esto permite asociar coordenadas a todos los puntos Q de A.

    Se toman como coordenadas de Q, las coordenadas del nico vector u Vtal que u P =Q. A este nico vector se le suele llamar u =PQ.Con esta identificacin, las coordenadas de P son cero y claramente se tieneu =QP . Esta identificacin no es nica, porque depende de la eleccin delpunto origen P y de una base de V 14.

    12Si se escribe u P = u+P esta propiedad es una asociativa13Equivale a que la accin es libre y tiene una nica rbita.14Puede haber infinitas identificaciones ya que todos los puntos sirven como origen.

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    Definicin 6. Dado u =PQ, decimos que P es el punto origen de u y Q elpunto final. Tambin decimos que V es el espacio vectorial subyacente deA y que A es el espacio diferencia de V .Llamamos dimensin del espacio afn A a la del espacio vectorial subya-cente, dim(V )= n.Llamamos un sistema de referencia del espacio afn al conjunto de un puntoP y una base B = {u1, . . . ,un} de V .

    Dados 3 puntos, P,Q,R A, los vectores nicos u =PQ, v =QR,verifican

    (v +u) P = v (u P )= v Q =R = u+ v = v +u =PQ

    O sea, siempre se tienePQ+QR =PR.

    As, hemos demostrado que existe una aplicacin AA V , tal que (P,Q) 7PQ y se cumplen las llamadas

    Lema 4. [Condiciones de Weyl]15

    Para cada P A y cada u V , existe un nico Q tal que u =PQ. Dados 3 puntos P,Q,R A, se tiene que PQ+QR =PR.

    15Hermann Klaus Hugo Weyl (1885 - 1955) fue un matemtico y fsico terico alemn.

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    Tambin es fcil de demostrar, el recproco. Las dos condiciones de Weylimplican las tres de espacio afn. Con estas definiciones, se tiene que todo es-pacio vectorial V se puede considerar como un espacio afn sobre s mismo.

    Tomando A = V , se define la accin como la suma vectorial u v = u+ v .Entonces las 3 propiedades de espacio afn son consecuencia de la aritmticavectorial. En este caso, el vector u =PQ es exactamente QP .Ejemplo 6. Tomando A =V =R2 obtenemos el plano afn ordinario.Tomando A =V =R3 obtenemos el espacio afn tridimensional ordinario.

    En realidad, considerar Rn como espacio afn sobre s mismo, equivale apoder tomar cualquier punto como origen de coordenadas. Basta fijar unpunto P Rn y considerar la biyeccin definida por u =PQ =QP .Esto permite definir variedades afines como las rectas, planos etc.En efecto, si W V =Rn es un subespacio vectorial y P Rn fijo.Definicin 7. Definimos una variedad afn de Rn como el conjunto

    L ={Q Rn : PQ W

    }Se comprueba que W acta sobre L y verifica las propiedades de esp. afn.Decimos que L es un subesp. afn o variedad afn de dimensin la de W .

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    5.1. Rectas. Por ejemplo, si P,Q Rn la recta definida por ambos puntos ladefinimos como el conjunto

    L = {P +(QP ) Rn : R} = {(1)P +Q Rn : R}comprobamos que dados dos puntos cualesquiera de L, P1 = P +1(Q P ),P2 = P +2(QP ) su diferencia es un mltiplo del vector u =QP Rn .

    P2P1 = (21)(QP )= (21)uO sea, L es una variedad afn sobre W = y tiene dimensin uno.Tambin, comprobamos que la recta es independiente del punto de apoyo,

    L = {1P +2Q Rn : 1+2 = 1}ya que sus puntos se obtienen como combinaciones lineales simtricas.

    Definicin 8. Llamamos combinacin afn (c.a.) de dos puntos de Rn alpunto definido por R =1P +2Q tal que 1+2 = 1A la pareja de nmeros (1,2) le llamamos sus coordenadas baricntricas.

    As, una recta que pasa por P y Q es el conjunto de todas sus c.a.. La combi-nacin afn mas sencilla despus de los propios puntos es la suma R = P2 +Q2 .Si en Rn consideramos el producto escalar usual, tenemos distancias entrepuntos, definiendo

    d(P,Q)= PQ = QP = d(Q,P )

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    Entonces, se obtienen dos vectores igualesPR = ( y1

    2 x1

    2, . . . ,

    yn2 xn

    2)=RQ

    y por tanto d(P,R) = d(Q,R) y tiene sentido llamar a R = P2 + Q2 = P+Q2 elpunto medio del segmento16.

    Ejemplo 7. Dados P = (1,1,1,1), Q = (1,0,0,1) R4. Un punto de la rectadefinida por ellos tiene por c.b., 1P +2Q con 1+2 = 1. O sea,

    L = {(1+2,1,1,12) : 1+2 = 1}Como u =QP = (0,1,1,2) tambin tiene por ecuaciones paramtricasP +u. O sea,

    L = {(1,1,1,12) : R}equivalentemente

    x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1, x4 = 12de donde eliminando se obtienen las ecuaciones cartesianas de la recta

    x1 = 1x2x3 = 0

    2x2x4 = 1

    Interseccin de 3 hiperplanos en R416De una manera natural, se puede considerar el segmento [P,Q] Rn formado por los

    puntos 1P +2Q tales que 1+2 = 1 y ambos 0 1,2 1. El resto de los puntos de larecta son exteriores a este segmento.

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    Ejemplo 8. Dados P = (1,1,1), Q = (1,0,1) R3. Un punto de la rectadefinida por ellos tiene por c.b., 1P +2Q con 1+2 = 1. O sea,

    L = {(1+2,1,12) : 1+2 = 1}Como u = Q P = (0,1,2) tambin tiene por ecuaciones paramtricasP +u. O sea,

    L = {(1,1,12) : R}equivalentemente

    x = 1, y = 1, z = 12de donde eliminando se obtienen las ecuaciones cartesianas de la recta

    x = 12y z = 1

    }Interseccin de 2 planos en R3

    Dados dos puntos P,Q R3 y X = P +(Q P ) un punto cualquiera de larecta LPQ , se tiene que el siguiente producto exterior vale cero.

    (X P ) (QP )=(QP ) (QP )= 0por tanto hemos demostrado que

    Lema 5. [Ecuacin vectorial de una recta en R3]La condicin para que un punto X pertenezca de la recta LPQ es

    (X P ) (QP )= 0

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    Esta ecuacin vectorial sirve para hallar de forma rpida las ec. cartesianas.

    Ejemplo 9. Dados P = (1,1,1), Q = (1,0,1) R3, se tiene u = Q P =(0,1,2) y la ec. vectorial de la recta LPQ es

    (X P ) (QP )=(y 1 z11 2

    , z1 x12 0 , x1 y 10 1

    )= 0de donde se obtienen las 3 igualdades

    2(y 1)+ z1=2y + z+1= 0, x1= 0, x1= 0y se obtienen las mismas dos ec. cartesianas del ejemplo anterior

    x = 12y z = 1

    }Interseccin de 2 planos en R3

    Ejemplo 10. Dados P = (1,0,0), Q = (0,0,1) R3, se tiene u = Q P =(1,0,1) y la ec. vectorial de la recta LPQ es

    (X P ) (QP )=(y z0 1

    , z x11 1 , x1 y1 0

    )= 0de donde se obtienen las 3 igualdades

    y = 0, x+ z1= 0, y = 0y la recta es la interseccin de 2 planos

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    5.2. Planos. Anlogamente, dados tres puntos en P,Q,R Rn se puede definir lavariedad afn que generan como el conjunto

    L = {P +(QP )+(RP ) Rn : , R} == {(1)P +Q+R : , R}= {1P +2Q+3R : 1+2+3 = 1}dados dos puntos cualesquiera de L, P1 = P +1(QP ), P2 = P +2(QP )su diferencia es una c.l. de los dos vectores u =QP,v =RP Rn .

    P2P1 = (21)u+ (21)uL es una variedad afn sobreW = que normalmente tendr dimensindos17 y la llamaremos el plano definido por P,Q,R.

    Tambin, comprobamos que cualquier plano es independiente del punto deapoyo, ya que sus puntos se obtienen como c.l. simtricas.

    Definicin 9. Llamamos combinacin afn (c.a.) de tres puntos de Rn alpunto definido por R =1P +2Q+3R tal que 1+2+3 = 1A la terna (1,2,3) le llamamos sus coordenadas baricntricas (c.b.).

    As, un plano que pasa por P , Q y R es el conjunto de todas sus c.a. La c.a.mas sencilla despus de los 3 puntos es la suma P3 + Q3 + R3 = P+Q+R3 .

    17si los vectores u,v son l.i.

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    Considerando los puntos medios de los 3 segmentos definidos por P,Q,R.Las rectas medianas18 son las rectas definidas por cada vrtice y el puntomedio del segmento opuesto. O sea,

    L1 ={P +Q2

    +R : += 1}

    L2 ={P +R2

    +Q : += 1}

    L3 ={Q+R2

    +P : += 1}

    Tomando = 23 y = 13 se ve que el punto P+Q+R3 pertenece a las tres rectas.Definicin 10. Llamamos baricentro o centroide de tres puntos de Rn alpunto P+Q+R3 , que pertenece a la interseccin de las 3 medianas.

    Si uno de los puntos es c.a. de los otros dos, p.ej. R =P+Q con += 1.Entonces, RP Q = 0 y se tiene +1= 0.Recprocamente, si existen 3 escalares verificando 1+2+3 = 0 y tambin1P +2Q+3R = 0. Si uno de ellos 3 6= 0, se tiene que R =13P

    23Q.

    Como esos coeficientes suman uno, R es una c.a. de los otros dos puntos.

    18No confundir con la mediatrices de los segmentos que son las perpendiculares por cadapunto medio. Ni con las bisectrices de cada ngulo.

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    Definicin 11. Decimos que 3 puntos son no colineales o afn independi-entes cuando ninguno de ellos se puede poner como c.a. de los otros dos.

    Equivalentemente, 3 puntos son no colineales, si 1+2+3 = 0 y tambin1P +2Q+3R = 0 entonces los tres escalares son cero 1 =2 =3 = 0.Esta condicin implica que los vectores diferencia u =QP, v =RP seanl.i. En efecto, si u+v = 0 y los puntos no colineales, entonces

    Q+R+ ()P = 0 = == 0Recprocamente, si 1+2+3 = 0 entonces 1 =23.Si adems, u =QP, v =RP son l.i., se tiene

    1P +2Q+3R = 0 = 2(QP )+3(RP )= 0 = 2 =3 = 0Finalmente, tambin 1 =23 = 0 como queramos demostrar.As, hemos demostrado el siguiente

    Lema 6. Tres puntos, P, Q, R Rn son no colineales si y slo si los vectoresdiferencia u =QP, v =RP son l.i. En cuyo caso definen un plano19.

    En este caso, se puede demostrar que las tres alturas tambin se intersectanen un punto llamado ortocentro. Las 3 mediatrices en el circuncentro. Lasbisectrices en el incentro o bicentro. Adems, los tres puntos, baricentro,ortocentro y circuncentro pertenecen a una lnea llamada recta de Euler

    19Tambin, decimos que forman tringulo. En otro caso, definen una recta o coinciden.

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    Ejemplo 11. Dados P = (1,1,1), Q = (1,0,1),R = (0,1,0) R3. Un punto delplano definido por ellos, tiene por ecuaciones baricntricas 1P+2Q+3Rcon 1+2+3 = 1. O sea,

    L = {(1+2,1+3,1+2) : 1+2+3 = 1}como u =Q P = (0,1,0), v = R P = (1,0,1) tambin tiene por ecua-ciones paramtricas

    L = {(1,1,1) : , R}equivalentemente x = 1, y = 1, z = 1 de donde eliminando , seobtiene la ecuacin cartesiana del plano x z = 0.Ejemplo 12. Dados P = (1,0,0), Q = (0,1,0),R = (0,0,1) R3. Un punto delplano definido por ellos, tiene por ecuaciones baricntricas 1P+2Q+3Rcon 1+2+3 = 1. O sea,

    L = {(1,2,3) : 1+2+3 = 1}como u =Q P = (1,1,0), v = R P = (1,0,1) tambin tiene por ecua-ciones paramtricas P +u+v . O sea,

    L = {(1,,) : , R}equivalentemente x = 1, y = , z = de donde eliminando , seobtiene la ecuacin cartesiana del plano x+ y + z = 1.

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    En R3, se puede obtener la ec. cartesiana de un plano de forma vectorial.En efecto, si P, Q,R R3 son 3 puntos, y u =Q P, v = R P . El productovectorial u v es perpendicular a cualquier c.l. de u, v . Por definicin, unpunto X R3 pertenece al plano cuando el vector X P es c.l. de u, v .Por tanto, tambin ser perpendicular a u v , (X P ) (u v)= 0As, hemos demostrado

    Lema 7. [Ecuacin vectorial de un plano en R3]La condicin para que un punto X pertenezca al plano LPQR es

    (X P ) ((QP ) (RP ))= [X P,QP,RP ]= 0

    equivalentemente xp1 y p2 zp3q1p1 q2p2 q3p3r1p1 r2p2 r3p3

    = 0Ejemplo 13. Dados P = (1,0,0), Q = (0,1,0),R = (0,0,1) R3, como u =Q P = (1,1,0), v = R P = (1,0,1) la ecuacin cartesiana del planoLPQR es la misma del ejemplo anterior

    x1 y z1 1 01 0 1

    = x1+ z+ y = 0

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    5.3. Distancia de un punto a una recta. Dado un punto R Rn y una rectadefinida por dos puntos P, Q Rn , queremos calcular la mnima distancia delpunto a la recta. Llamamos v =RP , u =QP a los vectores respectivos.Como un punto arbitrario de la recta es X = P+(QP )= P+u la distanciaal cuadrado entre ambos es

    d(R,X )2 = RX 2 = RP (QP )2 = (v u)2 =

    = v22(u v)+2u2 = v2+u2(22 u vu2

    )=

    = v2+u2( u vu2

    )2 (u v)

    2

    u2 v2 (u v)

    2

    u2Como los cuadrados de nmeros reales son mayores o iguales que cero, ladistancia mnima se obtiene cuando

    u vu2 = 0 =u vu2

    y el valor mnimo de la distancia al cuadrado vale

    d(R,LPQ)2 = v2 (u v)

    2

    u2 =u2v2u2v2 cos2()

    u2 == v2v2 cos2()= v2(1cos2())= v2 sin2()

    As, hemos demostrado el siguiente

    Lema 8. [Distancia de un punto a una recta]

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    d(R,LPQ)=pRP2QP2((RP )(QP ))2

    QP = RPsin()

    que coincide con la norma del vector w = v u = v uvu2u perpendiculara la recta, ya que

    w u =(v u vu2u

    )u = v uu v = 0

    De esta forma, la distancia es el cateto opuesto de un tringulo rectngulo20.

    6. TRINGULOS EN Rn

    Si P, Q, R Rn son no colineales, entoncesDefinicin 12. Decimos que a = QR, b = PR, c = PQ son las longi-tudes de los 3 lados del tringulo que forman.En particular, los nmeros reales a, b y c son mayores que cero.

    ComoPQ+QR =PR. Entonces si w =PQ, u =QR, v =RP =PR

    Lema 9. Tres puntos no colineales en Rn , siempre determinan tres vectores,no nulos y diferentes, cuya suma es cero.

    u+ v +w = 020Lo curioso aqu es que estamos en Rn .

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    En particular, a = u, b = v, c = w. Adems, si llamamos como en 2u v = u.v.cos(180)u w = u.w.cos(180)v w = v.w.cos(180)

    Definicin 13. Decimos que , , son los ngulos en los vrtices P , Q, R.

    Tenemos 3 parejas de vectores que parten de un mismo vrtice

    u =RR, v =RP , u =QR,w =QP , w =PQ,v =PRque nos pueden servir para definir el rea del tringulo

    1

    2u.vsin(), 1

    2u.wsin(), 1

    2w.vsin()

    para demostrar que son iguales las 3 cantidades, observamos que

    u2.v2 sin2()= u2.v2(1cos2())= u2.v2 (u v)2 =

    = (u u)(v v) (u v)2 =u u u vu v v v

    = det(G) = Gram(u,v)Anlogamente,

    u2.w2 sin2()=Gram(u,w), w2.v2 sin2()=Gram(v,w)

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    Pero si despejamos, u = v w , por las propiedades de los determinantes,tenemos

    Gram(u,v)=(v w) (v w) (v w) v(v w) v v v

    = (v w) (w) w v(v w) v v v =

    =(w) (w) w v(w) v v v

    = w w w vw v v v = Gram(u,w)

    Por simetra, tambin coincide con la tercera grammiana. Adems, como los3 puntos P,Q,R son no colineales, cada una de las parejas de vectores son l.i.y por tanto las grammianas son positivas. Entonces, hemos demostrado que

    Lema 10. [rea de un paralelogramo y de un tringulo en Rn] Se tiene

    0

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    asin() = bsin() = csin()

    Como la suma de los vectores de los lados da cero, u+ v +w = 0 se tienea2 = u2 = v w2 = v +w2 = (v +w) (v +w)= v v +2(v w)+w w =

    = v2+2v.w.cos(180)+w2 = b22b.c.cos()+ c2

    Anlogamente, tenemos otras dos igualdades y hemos demostrado el

    Corolario 5. [Teorema del coseno para un tringulo en Rn]

    a2 = b2+ c22b.c.cos()b2 = a2+ c22a.c.cos()c2 = a2+b22a.b.cos()

    6.1. Puntos distinguidos de un tringulo en Rn . Ahora, vamos a definir y cal-cular los 3 centros que nos faltan de un tringulo. Decimos que un punto

    Definicin 14. X Rn pertenece a la bisectriz (LP ) en el vrtice P si verificab(X P ) (QP )= c(X P ) (RP )

    Como u v = uvcos(), con 0 180, se tiene que X LP cuandobXPccos() = cXPb cos() cos() = cos() =

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    Por tanto, la definicin anterior es consecuente con la definicin usual.Las otras dos bisectrices21 del tringulo son respectivamente

    LQ ={X Rn : a(X Q) (P Q)= c(X Q) (RQ)}

    LR ={X Rn : a(X R) (P R)= b(X R) (QR)}

    Ahora, es fcil de comprobar que el punto B = aP+bQ+cRa+b+c pertenece a LP ,LQ y LR . Como, = , por 8 se tiene que las distancias desde B a los ladosdel tringulo coinciden

    h = B Psin()= B Psin()

    Por simetra h es la distancia desde B a los 3 lados del tringulo.O sea, es el radio de una circunferencia inscrita y tenemos

    Lema 11. [Existencia de circunferencias inscritas]Las 3 bisectrices se intersectan en un punto llamado bicentro o incentro.

    21En Rn , no son rectas sino hiperplanos. Son rectas sus intersecciones con el plano LPQR .Para hallar B lo que se hace es sustituir el punto X = P +(QP )+(RP ) y hallar ,.

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    Ejemplo 14. Dados P = (1,0,0), Q = (0,1,0),R = (0,0,1) R3, primero cal-culamos los lados del tringulo que forman

    a = QR = (0,1,1) =p2b = PR = (1,0,1) =p2c = PQ = (1,1,0) =p2

    el bicentro o incentro tiene de coordenadas22

    B = aP +bQ+ cRa+b+ c =

    (p2,p2,p2)

    3p2

    = (13,1

    3,1

    3)

    Ahora, calculamos el seno del ngulo de la bisectriz en P

    (B P ) (QP )= (23,1

    3,1

    3) (1,1,0)= 2

    3+ 13= 1

    como (23 , 13 , 13 ) =

    69 =

    23 obtenemos

    1=

    2

    3

    p2cos() = cos()=

    p3

    2= sin()= 1

    2Entonces, por 8, el radio de la circunferencia inscrita vale

    h = B Psin()=

    2

    3

    1

    2= 1p

    6= 0.408248

    22Coincide con el baricentro o centroide porque el tringulo es equiltero.

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    Definicin 15. Decimos que un punto X Rn pertenece a la mediatriz23

    (MPQ) del vectorPQ si verifica

    (X P+Q2

    ) (QP )= 0

    Las otras mediatrices son (X P +R

    2

    ) (RP )= 0(

    X Q+R2

    ) (RQ)= 0

    Para hallar la interseccin con el plano del tringulo, lo que se hace es susti-tuir el punto X = P +(QP )+(RP ) y hallar ,.Se puede comprobar que siempre definen un nico punto, llamado el circun-centro del tringulo.

    Anlogamente, se obtiene el ortocentro hallando la interseccin de las tresalturas. O sea, sustituyendo el punto X = P +(QP )+(RP ) en

    (X P ) (RQ)= 0(X Q) (QP )= 0(X R) (QP )= 0

    y resolviendo respecto a ,

    23No define una recta sino un hiperplano. Es una recta su interseccin con el plano LPQR

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    Ejemplo 15. Dados P = (1,0,0), Q = (0,1,0),R = (0,0,1) R3, primero cal-culamos los puntos medios de los lados del tringulo que forman.

    (1

    2,1

    2, 0), (

    1

    2, 0,

    1

    2), (0,

    1

    2,1

    2)

    Por tanto, las mediatrices son(X (1

    2,1

    2, 0)

    ) (1,1,0)= 0 x+ y = 0(

    X (12, 0,

    1

    2)

    ) (1,0,1)= 0 x+ z = 0(

    X (0, 12,1

    2)

    ) (0,1,1)= 0 y + z = 0

    cuya solucin general es x = y = z. Si sustituimos 1P + 2Q + 3R =(1, 2, 3), con 1 +2 +3 = 1. El circuncentro tiene de coordenadasC = (13 , 13 , 13 ). O sea, coincide con el bicentro calculado en el ejemplo ante-rior24 Ahora, calculamos las alturas

    (X (1,0,0)) (0,1,1)= 0 y + z = 0(X (0,1,0)) (1,0,1)= 0 x+ z = 0(X (0,0,1)) (1,1,0)= 0 x+ z = 0

    24Por ser el tringulo equiltero.

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    y de nuevo obtenemos la misma solucin (13 ,13 ,

    13 ). O sea, el ortocentro coin-

    cide con el circuncentro, con el bicentro y con el baricentro.

    El radio de la circunferencia cicunscrita vale (131, 13 , 13 ) =

    69 = 0.816497.

    7. TETRAEDROS EN Rn

    Dados 4 puntos en P1,P2,P3,P4 Rn , forman 6 vectores25 diferencia en Rnu1 = P2P1,u2 = P3P1,u3 = P4P1,u4 = P3P2,u5 = P4P2,u6 = P4P3Aunque, basta con tres de ellos para definir una variedad afn que contengaa los 4 puntos y cuyo subesp. vect. subyacente contenga a los 6 vectores

    L = {P!+1u1+2u2+3u3 Rn : 1,2,3 R} == {(1123)P1+1P2+2P3+3P4 : 1,2,3 R}=

    = {1P1+2P2+3P3+4P4 : 1+2+3+4 = 1}L es una variedad afn sobre W =< u1,u2,u3 > que normalmente tendr di-mensin tres26 y la llamaremos el espacio afn definido por P1,P2,P3,P4.

    Definicin 16. Llamamos combinacin afn (c.a.) de 4 puntos de Rn alpunto definido por 1P1+2P2+3P3+4P4 tal que 1+2+3+4 = 1

    25En realidad, hay 12 vectores diferencia pero los otros 6 son sus opuestos26si los vectores u1,u2,u3 son l.i.

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    A la cuaterna (1,2,3,4) le llamamos sus coordenadas baricntricas.Llamamos tetraedro completo al conjunto de las c.a. tales que sus coorde-nadas sean positivas o cero.

    As, un espacio que pasa por P1,P2,P3,P4 es el conjunto de todas sus c.a.La c.a. mas sencilla es la suma P14 + P24 + P34 + P44 = P1+P2+P3+P44 .Definicin 17. Decimos que 4 puntos son no coplanarios o afn indepen-dientes cuando ninguno de ellos se puede poner como c.a. de los otros tres.

    Tambin, 4 puntos son no coplanarios, si 1 +2 +3 +4 = 0 y tambin1P1+2P2+3P3+4P4 = 0 entonces 1 =2 =3 =4 = 0.Tambin equivale a que los vectores diferencia u1,u2,u3 sean l.i. O sea,

    Lema 12. P1,P2,P3,P4 Rn son no coplanarios si y slo si los vectoresdiferencia u1,u2,u3 son l.i. Entonces, decimos que definen un espacio 3D27.

    Dada una de las 6 parejas Pi ,P j de puntos

    Definicin 18. Llamamos lado, arista o segmento i j del tetraedro al con-junto {Pi +P j : += 1, 06,}. Decimos que dos lados de un tetrae-dro son opuestos cuando son disjuntos.

    27Decimos que forman tetraedro. En otro caso, definen un tringulo o coinciden.

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    Claramente, Pi+P j2 es el punto medio del lado i j . Adems, hay 3 pares delados opuestos, 12 y 34, 13 y 24, 14 y 23. Si unimos los puntos medios delas 3 parejas de lados opuestos, obtenemos las 3 rectas medianas. O sea,

    L1 ={P1+P2

    2+P3+P4

    2: += 1

    }L2 =

    {P1+P3

    2+P2+P4

    2: += 1

    }L3 =

    {P1+P4

    2+P2+P3

    2: += 1

    }Tomando = 12 = se ve que el punto P1+P2+P3+P44 pertenece a las tres rectas.Definicin 19. Llamamos baricentro o centroide de 4 puntos de Rn al puntoP1+P2+P3+P4

    4 , que pertenece a la interseccin de las 3 medianas.

    Es fcil de comprobar que las medianas son perpendiculares si y slo si cadapar de lados opuestos tienen la misma longitud (tetraedro regular).

    Ejemplo 16. [El tetraedro cannico de R3]Los puntos P1 = (0,0,0), P2 = (1,0,0),P3 = (0,1,0),P4 = (0,0,1) en R3 definenlos vectores u1 = (1,0,0), u2 = (0,1,0) y u3 = (0,0,1) que son l.i. Por tanto,forman un tetraedro en R3.

    Como 3 de sus lados miden 1 y los otrosp2, es un tetraedro no regular.

    Su baricentro es el punto P1+P2+P3+P44 = (14 , 14 , 14 )

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    8. TEST DE REPASO.

    Para comenzar el cuestionario pulsa el botn de inicio.Cuando termines pulsa el botn de finalizar.Para marcar una respuesta coloca el ratn en la letra correspondiente y pulsael botn de la izquierda (del ratn).

    1. Cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) La grammiana de un conjunto de vectores nunca es cero.(b) La grammiana de un conjunto de vectores siempre es distinta de cero.(c) La grammiana de un conjunto de vectores sirve para caracterizar su

    independencia.(d) La grammiana de un conjunto de vectores sirve para caracterizar su

    dependencia pero su independencia.

    2. Cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) La grammiana de un conjunto de vectores reales puede ser negativa.(b) La grammiana de un conjunto de vectores reales nunca es negativa.(c) La grammiana de un conjunto de vectores reales puede no existir.

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    (d) La grammiana de un conjunto de vectores reales existe cuando sonindependientes.

    3. Cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) La suma de los ngulos de un tringulo en R4 puede ser mayor de

    180.(b) La suma de los ngulos de un tringulo en R5 puede ser menor de

    180.(c) Los tringulos no existen en Rn cuando n > 3.(d) Los tringulos en Rn tienen las mismas propiedades que en R2.

    4. Cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) El producto vectorial de dos vectores existe siempre en Rn .(b) El producto vectorial de dos vectores puede ser negativo.(c) El producto vectorial de dos vectores existe siempre en R3.(d) El producto vectorial de dos vectores siempre es mayor que cero.

    5. Cul de las siguientes afirmaciones es verdadera en R3?.(a) El producto vectorial de dos vectores siempre es conmutativo.(b) El producto vectorial de dos vectores siempre es distributivo.(c) El producto vectorial de dos vectores siempre es asociativo.

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    (d) El producto vectorial de dos vectores nunca es conmutativo.

    6. Cul de las siguientes afirmaciones es verdadera en R3?.(a) El producto vectorial de dos vectores es ortogonal consigo mismo.(b) El producto vectorial de dos vectores puede ser el vector cero.(c) El producto vectorial de dos vectores nunca es el vector cero.(d) El producto vectorial de dos vectores nunca es antisimtrico.

    7. Cul de las siguientes afirmaciones es verdadera en R3?.(a) El producto triple escalar es siempre positivo.(b) El producto triple escalar de tres vectores es otro vector.(c) El producto triple escalar es un nmero real.(d) El producto triple escalar nunca es negativo.

    8. Cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) El producto triple escalar siempre se interpreta como un volumen.(b) El producto triple escalar a veces se interpreta como un volumen.(c) El producto triple escalar puede no existir en R3.(d) El producto triple escalar existe siempre en Rn .

    9. Cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?.

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    (a) El espacio afn no es mas que un espacio vectorial.(b) El espacio afn tiene un punto distinguido.(c) El espacio afn a veces contiene vectores a veces puntos.(d) En el espacio afn todos los puntos son iguales.

    10. Cul de las siguientes afirmaciones es verdadera?.(a) Una variedad afn siempre pasa por el origen.(b) Las variedades afines tienen todas la misma dimensin.(c) Una variedad afn no es mas que un subesp. vect..(d) Una variedad afn tiene la dimensin del esp. vect. subyacente.

    1. Introduccin.1.1. Los orgenes del espacio Afn1.2. El Espacio Afn Eucldeo

    2. Producto escalar y grammianas. Definicin Lema Definicin Ejemplo Ejemplo Teorema Teorema Corolario Corolario Corolario

    3. Producto vectorial. Definicin Lema Lema Ejemplo

    4. Producto triple escalar. Definicin Ejemplo Ejemplo

    5. Espacio Afn. Definicin Definicin Lema Ejemplo Definicin5.1. Rectas Definicin Ejemplo Ejemplo Lema Ejemplo Ejemplo5.2. Planos Definicin Definicin Definicin Lema Ejemplo Ejemplo Lema Ejemplo5.3. Distancia de un punto a una recta Lema

    6. Tringulos en Rn Definicin Lema Definicin Lema Corolario Corolario6.1. Puntos distinguidos de un tringulo en Rn Definicin Lema Ejemplo Definicin Ejemplo

    7. Tetraedros en Rn Definicin Definicin Lema Definicin Definicin Ejemplo

    8. Test de repaso.