TEORÍA DE CONJUNTOS I

CONJUNTO

No existe una definición; solo se puede dar una idea conceptual como colección,

agrupación, clase o agregado de objetos, llamados elementos.

NOTACIÓN:

Los conjuntos se nombran con letras mayúsculas (A,B,C,D,….) y los elementos con letras

minúsculas (a,b,c,…..). Así el conjunto de los diez primeros números naturales positivos:

Se observa que los elementos que van separados por punto y coma y encerrados entre

llaves, determinan el conjunto N.

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO:

a) POR EXTENSIÓN:

Un conjunto queda determinado por extensión, cuando se nombra a todos y cada

uno de los elementos.

A = {2; 4; 6; 8}

b) POR COMPRENSIÓN:

Un conjunto queda determinado por compresión, cuando se nombra una propiedad

común que caracteriza a todos los elementos del conjunto, generalmente se

emplea x/x: “x tal x”

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. RELACIÓN DE PERTENENCIA

Es una relación que vincula un elemento con un conjunto.

* Si un elemento está en un conjunto, se dice que pertenece

* Si no está en un conjunto, se dice que no pertenece

Ejemplo:

PROPIEDADES

*Propiedadreflexiva : A A*Propiedadantisimetrica :Si : A B B A A B

*Propiedadtransitiva :Si : A B B C A C

Dado:

Así diremos que:

2. RELACIÓN DE INCLUSIÓN O SUBCONJUNTO

Se dice que el conjunto A esta incluido en B, si todos los elementos de A están en

B. Se denota como: ”A incluido en B”

Si:

Ejemplo:

Se observa que todos los elementos de A son también elementos de B, luego:

3. RELACIÓN DE IGUALDAD DE CONJUNTOS

Dos conjuntos A y B son iguales cuando tienen los mismos elementos.

Si:

Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si, A es subconjunto de B y B es

subconjunto de A.

4. RELACIÓN DE COORDINABILIDAD O EQUIPOTENCIA DE CONJUNTOS

Dos conjuntos A y B son coordinables cuando entre sus elementos puede

establecerse una correspondencia biunívoca.

Cuando dos conjuntos son coordínales tienen el mismo número de elementos.

Cardinal de un conjuntoEl cardinal de un conjunto es el número de elementos de dicho conjunto y se denota como n(A).

A 2;4;7;9 n A 4

M a;b; m;n n M 3

B 2,3;2;2;5;6;7 n B 5

CLASES DE CONJUNTOS

1. CONJUNTO FINITO

Cuando el conjunto tiene un determinado número de elementos diferentes.

Ejemplos:

A = {1; 3; 5; 7; …; 29}

2. CONJUNTO INFINITO

Cuando el proceso de contar los elementos del conjunto no tiene límite.

Ejemplos:

A = {x/x es un número real}

3. CONJUNTO VACIO

Llamado también conjunto nulo; es aquel conjunto que carece de elementos. Se

denota como: .

Ejemplo:

A = {x ∈ N/ x2 – x - 1 = 0}

4. CONJUNTO UNITARIO

Llamado también singletón, es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplos:

A = {a}

A BU

B = {1; 1; 1; 1}

5. CONJUNTO UNIVERSAL

Es aquel conjunto que abarca a todos los conjuntos dados y se les representa por

regiones planas rectangulares.

6. CONJUNTO POTENCIA

Se llama conjunto potencia de A, al conjunto formado por todos los subconjuntos

de A y se le denota como P(A)

Ejemplos:

Dado:

A = {2; 3; 4}

P(A) = {{2}, {3}, {4}, {2; 3}, {2; 4}, {3; 4}; {2; 3; 4}, ∅ }

El número de elementos de P(A) o número de subconjuntos de A, está dado por:

Donde “n” representa el número de elementos del conjunto A.

Ejemplos:

Si:

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. UNIÓN O REUNIÓN (U)

Para dos conjuntos A y B se llama unión o reunión al conjunto formado por los

elementos de A, de B o de ambos. Se denota como

Numero de subconjuntos propios: Dado el conjunto A, su número de

subconjuntos propios será: .No se considera el mismo conjunto A.

A B

U

A B

U

A B

U

2. INTERSECCIÓN (∩)

Para dos conjuntos A y B se llama intersección de A y B al conjunto formado por

los elementos que pertenecen a A y a B (elementos comunes).

Se denota como .

3. DIFERENCIA (–)

Para dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A con B, al conjunto formado por

todos los elementos de A, que no son elementos de B, Se denota por A – B.

4. DIFERENCIA SIMETRICA (∆)

Para dos conjuntos A y B, se llama diferencia de A y B, al conjunto formado por

los elementos que pertenecen a la unión de A y B; pero no pertenecen a la

intersección de A y B.

Se denota por:

Formas usuales:

5. COMPLEMENTO

Para dos conjuntos A y B, donde A es un subconjunto de B.

Se denota ; se lee complemento de A respecto a B.

AB

AB

* El complemento de un subconjunto A respecto del conjunto universal U.

LEYES Y PROPIEDADES DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS

I. IDEMPOTENCIA

A A = A

A A = A

II. CONMUTATIVA

A B = B A

A B = B A

A B = B A

III. ELEMENTOS NEUTROS

A U = U

A U = A

A = A

A =

IV. COMPLEMENTO

A A’ = U

A A’ =

(A’)’ = A

V. DIFERENCIA DE CONJUNTOS

A – B = A’ B’

A – B = B’ - A’

VI. LEYES DE MORGAN

(A B)’ = A’ B’

(A B)’ = A’ B’

VII. ASOCIATIVAS

(A B) C = A (B C)

(A B) C = A (B C)

(A B) C = A (B C)

VIII. DISTRIBUTIVAS

A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

IX. SI A y B SON DISJUNTOS

A B =

A – B = A

B – A = B

A B = A B

X. ABSORCIÓN

A (A B) = A

A (A B) = A

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Dado el conjunto unitario

A = { a + b ; a + 2b − 3 ; 12 }Calcular: a2 + b2

a) 80 b) 74 c) 104

d) 90 e) 39

2. Los conjuntos A y B son tales que n ( A ∪ B ) = 30 , n ( A − B ) = 12 y

n ( B − A ) = 10 . Hallar n ( A ) + n ( B )

a) 22 b) 38 c) 36

d) 25 e) 37

3. Si: n [ P ( A ∪ B ) ] = 128 , n [ P ( B ) ] = 16 y n [ P ( A ∩ B ) ] = 8

Hallar: n [ P ( A ∩ B ) ]a) 128 b) 32 c) 256

d) 1024 e) 512

4. Dados:

A = { a2 +b2 + c2 ; d + e }B= { c2 + 1 ; d − e + 4 ; 5 }

Si: A = B ; A es unitario, c > a > b y son no negativos.

Hallar: a + b + c + d x e

a) 9 b) 6 c) 8

d) 7 e) 10

5. ¿Cuántos elementos tiene conjunto potencia de H?

H = { ( A − C ) ∪ ( C − A ) } ∩ B

Si:

A = { m , n , p } B = { n , p , q } C = { p , q , s } a) 8 b) 4 c) 64

d) 16 e) 32

6. Dados los conjuntos A y B contenidos en un universo. ¿A que es igual:

( ( ( A ' ∪ B ) ' ) ' ) ' ∪ ( ( B − A ) ' ) ' ∪ ( A ' ∪ B ' ) '?

a) A B b) A B c) A B

d) A’ B c) B’ A

7. Si:

A = { x / x2 − 13 x + 40= 0 }B= { 2x + 1/ 1≤ x < 6∧ x ∈ Z }C = { x2− 1/ x ∈ B∧ x < 5 }D = ( A ∪ C ) − BCalcular: n [ P (D) ]

a) 2 b) 8 c) 64

d) 32 e) 16

8. Sean los conjuntos:

A = { x3 / x ∈ Z+ ∧ 2 x − 3 ≤ 9 }B= { x − x 4 / x ∈ Z ∧ 2 < x < 5 }Cuántas proposiciones son falsas

a) A y B son disjuntos .................

b) n (A) > n (B) ..........................

c) n (A) = n (B) ..........................

d) A B .....................................

e) A = B ....................................

f) A y B son comparables ..........

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

9. Si: A B. Simplificar:{ [ ( B ∪ A ) ∩ ( B '∩ C ) ] ∪ A ' } ∪ B '

a) B’ b) A’ B’ c) A - B

d) A’ e) ( A B )’

10. Si los conjuntos A y C; B y C son conjuntos disjuntos, además:

n ( A - C ) = n ( B - C ) = 12

n [ P (A) P (B) ] =16

n ( A B C ) = 23

Calcular: n (C)

a) 5 b) 4 c) 2

d) 6 e) 3

11. A y B son subconjuntos de U y se cumple que:

A B =

BC tienen 512 subconjuntos

n ( A ) = 34n ( B )

El número de subconjuntos de B excede el número de subconjuntos propios de A

en 193. ¿Cuántos subconjuntos tiene AC?

a) 526 b) 2048 c) 1496

c) 684 e) 1024

12. Dado el A = { a, { a }, , { } }

a) A

b) A

c) { } A

d) {{ a } ; } P ( A )

e) {{ }} P (A)

f) {{ a }}, , { } P (A)

g) {{ }} A

¿Cuántas son verdaderas?

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

13. Se tiene 3 conjuntos A, B y C cuyos números cardinales son consecutivos,

además se sabe que:

n [ P ( A ) ] + n [ P ( B ) ] + n [ P ( C ) ] = 448

Hallar el número de elementos que puede tener como máximo el conjunto potencia

de A ∪ B∪ C

a) 85 b) 89 c) 87

d) 84 e) 810

14. Si A=B, halle la suma de elementos de C.

A = { 2x + 1,3x }B= { 2x , y }C = { x2 / x ∈ A }

a) 5 b) 2 c) 3

d) 8 e) 6

15. Si: M = { a + b; 12; 2a - 2b + 4 } es un conjunto unitario.

Además:

S = { x / x = ak ; k∈ Z }G = { x / x = bk ; K ∈ Z }

Hallar: ( S ’ G ’) ‘

a) { x / x = 8k ; k ∈ Z }

b) { x / x = 4k ; k ∈ Z }

c) { x / x = 2k ; k ∈ Z }

d) { x / x = 12 k ; k ∈ Z }e) N.a.

TAREA DOMICILIARIA

1. Un conjunto A tiene 1023 subconjuntos propios y el producto cartesiano de A y B

tiene 50 elementos ¿cuántos subconjuntos propios de 3 elementos posee el

conjunto potencia de B?

a) 10 b) 12 c) 11

d) 13 e) 9

2. Dado el conjunto:

P = {5; 6; 7; 8; 9}

y los conjuntos:

M = {x ∈ P/ x2 > 50 ⋀ x < 9}

N = {x ∈ P/ x es impar ⋀ 6 < x}

Determinar: n(M) + n(N)

a) 1 b) 2 c) 4

d) 3 e) 5

3. Simplificar la expresión conjuntista:

{ [ A ∩ ( A Δ C ) ] ∪ [ ( B∩ C ) C ∩ A ] ∪ [ B ∪ ( A ∩ BC ) ] }a) AC b) A B c) A BC

d) B e) A B

4. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene B?. Siendo:

B= { √ 3 x + 1 ∈ Z / x ∈ N ∧ x<10 }a) 31 b) 127 c) 63

d) 7 e) N.a.

5. Si:

A = {a, b, c, d} y

B = {(m2 + 1); -1; 5; (n – 3); 2}

Donde: n ∧ m ∈ Z+ y 3 < n < 8

Además A y B son equipotentes. Hallar la suma de valores de n + m.

a) 10 b) 23 c) 14

d) 13 e) 6

TEORÍA DE CONJUNTOS II

Recordemos algunos conceptos:

Los elementos se relacionan con los conjuntos mediante pertenencia.

Los conjuntos se relacionan entre si mediante inclusión.

∅ no pertenece a ningún conjunto pero está incluido como subconjunto en todos

los conjuntos.

Todo conjunto tiene 2n(A) subconjuntos donde n(A) es la cantidad de elementos.

A B = (A - B) (B - A)

En gráficos:

DOS CONJUNTOS

U = Conjunto Universal

x = elementos que sólo pertenecen a A.

z = elementos que sólo pertenecen a B.

y = elementos que pertenecen tanto a A como B.

w = elementos que no pertenecen ni a A ni a B.

TRES CONJUNTOS

WxAyA

xA

U

BA

h

fde

cba

BA

U = Conjunto Universal

a = elementos que pertenecen solo al Conjunto A

e = elementos que pertenecen solo al Conjunto B

g = elementos que pertenecen solo al Conjunto C

b = elementos que pertenecen a A y B pero no C

f = elementos que pertenecen a B y C pero no A

d = elementos que pertenecen a A y C pero no B

e = elementos que pertenecen a A, B y C a la vez

h = elementos que no pertenecen ni a A, ni a B, ni a C

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. En un grupo de 90 alumnos:

i. 36 no llevan el curso de matemática

ii. 24 no llevan el curso de lenguaje y,

iii. 18 no llevan matemática ni leguaje.

¿Cuántos alumnos llevan exactamente un solo curso?

a) 24 b) 48 c) 36

d) 30 e) N.a.

2. En un momento de una fiesta se observó que el número de varones que no

bailaban era el doble del número de personas que estaban bailando y además el

número de damas que no bailaban es al número de varones como 2 es a 5. si en

total asistieron 104 personas. ¿Cuántas personas no bailaban?

a) 82 b) 78 c) 72

d) 39 e) 26

3. En una encuesta de un club se determinó que le 60% de los socios lee. “La

República” y el 30% “El Comercio”. Se sabe que los que leen “La República” o “El

Comercio” pero no ambos constituyen el 70% del club y hay 400 socios que no

leen ningún diario. ¿Cuántos socios leen ambos diarios?

a) 240 b) 210 c) 180

d) 200 e) 150

4. De 100 personas que leen por lo menos dos de tres revistas ( A, B y C ), se

observó que 40 leen A y B; 50 leen A y C, 60 leen B y C. ¿Cuántas personas leen

sólo dos revistas?

a) 50 b) 25 c) 75

d) 29 e) 80

5. Durante todas las noches del mes de Octubre, Soledad escucha música o lee un

libro. Si escucha música 21 noches y lee un libro 15 noches. ¿Cuántas noches

escucha música y lee un libro simultáneamente?

a) 5 b) 6 c) 4

d) 3 e) 10

6. De un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan el curso de Matemática y 53 no

siguen el curso de Administración. Si 27 alumnos no siguen Matemática ni

Administración. ¿Cuántos alumnos llevan exactamente uno de tales cursos?

a) 47 b) 43 c) 42

d) 44 e) 45

7. En una encuesta realizada a 190 personas sobre la preferencia de leer las revistas

A y B, el resultado fue el siguiente: el número de personas que les gusta A y B es

¼ de los hombres que sólo les gusta A y la mitad de las mujeres que sólo les

gusta A. El número de hombres que sólo les gusta B es 2/3 del número de mujeres

que sólo les gusta B. Los que leen A son 105, los que leen B son 70. Halle el

número de personas que no leen ni A ni B.

a) 30 b) 32 c) 36

d) 38 e) 40

8. El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos de fruta de manzana,

fresa y piña es el siguiente:

60% gustan manzana

50% gustan fresa

40% gustan piña

30% gustan manzana y fresa

20% gustan fresa y piña

10% gustan manzana y piña

5% gustan de los tres

¿Qué porcentaje de las personas encuestadas no gustan alguno de los jugos de

frutas mencionados?

a) 5% b) 10% c) 12%

d) 20%e) 50%

9. En un aula de 25 alumnos deportistas hay: 16 alumnos que practican básquet, 14

alumnos que practican futbol, 11 alumnos que practican tenis, 6 alumnos que

practican los tres deportes, 2 alumnos que practican futbol y básquet pero no tenis,

1 alumno que practica básquet y tenis pero no futbol, 3 alumnos que practican sólo

tenis. ¿cuántos alumnos practican sólo un deporte?

a) 3 b) 5 c) 7

d) 12 e) 15

10. Las fichas de datos personales llenados por 74 estudiantes que ingresaron a San

Marcos, arrojaron los siguientes resultados:

20 estudiantes son de Lima

49 se prepararon en academia

27 postularon por primera vez

13 de Lima se prepararon en academia

17 postularon por primera vez y se prepararon en academia

7 de Lima postularon por primera vez

8 de provincias que no se prepararon en academia postularon por primera vez

Hallar respectivamente:

I. ¿Cuántos alumnos de Lima que se prepararon en academia postularon por

primera vez?

II. ¿Cuántos alumnos de provincia que no se prepararon en academia postularon

más de una vez?

a) 5 y 12 b) 5 y 10 c) 3 y 10

d) 4 y 12 e) 4 y 10

11. De 60 personas se sabe:

i. 6 hombres tienen 20 años

ii. 18 hombres no tienen 21 años.

iii. 22 hombres no tienen 20 años.

iv. Tantas mujeres tienen 20 años como hombres tienen 21 años.

¿Cuántas mujeres no tienen 20 años?

a) 18 b) 22 c) 24

d) 32 e) N.a.

12. En un grupo de 100 estudiantes, 49 no llevan el curso de Sociología y 53 no

siguen el curso de Filosofía. Si 27 alumnos no siguen Filosofía ni Sociología,

¿cuántos alumnos llevan exactamente uno de tales cursos?

a) 40 b) 44 c) 48

d) 52 e) 56

13. Cierto número de medallas de Oro, Plata y Bronce es distribuido entre 100 atletas

en un festival deportivo. Se sabe que 45 atletas reciben medallas de Oro, 45

reciben medallas de Plata , 60 reciben medallas de Bronce, 15 reciben medallas

de Oro como de Plata, 25 atletas reciben de Plata y Bronce, 20 reciben medallas

de Oro y Bronce, 5 reciben de Oro, Plata y Bronce. ¿Cuántos atletas no recibieron

medallas?

14. 60 alumnos rinden un examen que consta de tres partes, si se sabe que:

• 10 aprobaron sólo la primera parte

• 20 aprobaron la primera parte

• 25 aprobaron la segunda parte

• 21 aprobaron la tercera parte

• 6 aprobaron la segunda y tercera parte pero no la primera

• 7 aprobaron las dos primeras partes

• 3 aprobaron las tres partes.

¿Cuántos desaprobaron las tres partes?

15. De un grupo de 70 estudiantes se sabe lo siguiente:

• 10 fuman pero no van a la academia

• 25 van a la academia pero no tienen 17 años

• 16 que no van a la academia no fuman y tienen 17 años.

• 5 van a la academia tienen 17 años pero no fuman.

• 2 fuman van a la academia y tiene 17 años.

¿Cuántos alumnos no tienen 17 años, no fuman, ni van a la academia?