TEORIA DE CONJUNTOS

ESCUELA:

NOMBRES:

Ciencias de la Educación – Físico Matemáticas

Ing. Wilson Villa

BIMESTRE: Primero

Octubre 2011-Febrero 2012

CONJUNTO

• Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación bien definida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjunto son llamados miembros o elementos del conjunto.

Todo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota mediante letras mayúsculas A, B, C, ...,sus elementos se separan mediante punto y coma.

NOTACIÓN

Ejemplo:

El conjunto de las letras del alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. se puede escribir así:

L={ a; b; c; ...; x; y; z}

Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo:Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo

Ejemplo: Sea M = {2;4;6;8;10}

2 M ...se lee 2 pertenece al conjunto M

5 M ...se lee 5 no pertenece al conjunto M

INDICE

I) POR EXTENSIÓN

Hay dos formas de determinar un conjunto, por Extensión y por Comprensión

Es aquella forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos del conjunto.Ejemplos:A) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20.

A = { 6;8;10;12;14;16;18 }

B) El conjunto de números negativos impares mayores que -10 y menores que 1.

B = {-9;-7;-5;-3;-1}II) POR COMPRENSIÓNEs aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.Ejemplo:

se puede entender que el conjunto P esta formado por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

P = { los números dígitos }

Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés John Venn (1834-1883) sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada.

AMT7

2

3

69

ae

i

o

u(1;3) (7;6)

(2;4) (5;8)8

4

1 5

INDICE

A = o A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “

CONJUNTO VACÍOEs un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: o { }

Ejemplos:M = { números mayores que 9 y menores que 5 }

P = { x / }1

0X

CONJUNTO UNITARIOEs el conjunto que tiene un solo elemento.Ejemplos:

F = { x / 2x + 6 = 0 } G = 2x /x 4 x 0

CONJUNTO FINITOEs el conjunto con limitado número de elementos.

Ejemplos:

E = { x / x es un número impar positivo menor que 10 }

N = { x / x2 = 4 }

;

CONJUNTO INFINITOEs el conjunto con ilimitado número de elementos.Ejemplos:

R = { x / x < 6 } S = { x / x es un número par }CONJUNTO UNIVERSALEs un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se le representa por la letra U

Ejemplo: El universo o conjunto universal

;

de todos los números es el conjunto de los NÚMEROS COMPLEJOS.

INCLUSIÓNUn conjunto A esta incluido en otro conjunto B, sí y sólo sí, todo elemento de A es también elemento de BNOTACIÓN : A BSe lee : A esta incluido en B, A es subconjunto de B, A esta contenido en B , A es parte de B.REPRESENTACIÓN GRÁFICA :

B A

PROPIEDADES:

I ) Todo conjunto está incluido en si mismo. A AII ) El conjunto vacío se considera incluido en cualquier conjunto. AIII ) A está incluido en B ( ) equivale a decir que B incluye a A ( )

A BB A

IV ) Si A no está incluido en B o A no es subconjunto de B significa que por lo menos un elemento de A no pertenece a B. ( )A BV ) Simbólicamente:

A B x A x B

IGUALDAD DE CONJUNTOSDos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.Ejemplo:A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 }

Resolviendo la ecuación de cada conjunto se obtiene en ambos casos que x es igual a 3 o -3, es decir : A = {-3;3} y B = {-3;3} ,por lo tanto A=BSimbólicamente :

A B (A B) (B A)

CONJUNTOS DISJUNTOS

Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen elementos comunes.REPRESENTACIÓN GRÁFICA :

A B1

7

5 3

9

2

4

8

6

Como puede observar los conjuntos A y B no tienen elementos comunes, por lo tanto son CONJUNTOS DISJUNTOS

Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....}

Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}

Números Racionales (Q) Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}

Números Irracionales ( I ) I={...; ;....}2; 3;

Números Reales ( R )

R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}2; 3

12

15

12

43

Números Complejos ( C )

C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}2; 312

76

556

A B

El conjunto “A unión B” que se representa asi es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A,a B o a ambos conjuntos.

A B

A B x /x A x B

Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4;5;6;7;8;9

76

556

A B

El conjunto “A intersección B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B.

A B

A B x /x A x B

Ejemplo:

A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 5;6;7

76

556

A B

El conjunto “A menos B” que se representa es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

A B

A B x /x A x B

Ejemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9

9

87

3

1

4

2

A B 1;2;3;4

Dado un conjunto universal U y un conjunto A,se llama complemento de A al conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A.Notación: A’ o AC

Ejemplo:

U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} A ={1;3; 5; 7; 9}y

Simbólicamente: A ' x /x U x A

A’ = U - A

UNIDAD 2

CORRESPONDENCIA Y APLICACIONES

TIPOS DE APLICACIONESAplicaciones inyectivas:• Sean los conjuntos A y B. Sea una aplicación

entre ambos conjuntos tal que f : A → B. Se verifica que la aplicación es una aplicación de tipo inyectiva si cada imagen de un elemento de B corresponde a un sólo elemento de A, aunque no todos los elementos de B han de tener elemento de A, es decir, ∀x,y ∈ A si f(x) = f(y) entonces x=y.

Aplicación Sobreyectiva• Considerando A y B. Una aplicación es

sobreyectiva si para cada elemento de B existe un elemento de A tal que f(a) = b.

Aplicaciones biyectivasSean A y B dos conjuntos. Sea la aplicación f: A → B. La aplicación entre A y B verifica ser una aplicación biyectiva si para cada imagen hay un elemento A asociado y que además debe ser único. Es decir debe ser una aplicación sobreyectiva e inyectiva al mismo tiempo.

Composición de aplicaciones: Definición

Sean f una aplicación del conjunto A en el conjunto B y g una aplicación del conjunto B en el conjunto C. Entonces, construimos una tercera aplicación, h, del conjunto A en el conjunto C de la siguiente forma:

Para cada x A, obtenemos un elemento f(x) B, y podemos considerar la imagen de f(x) mediante g. g(f(x)), que es un elemento de C. Entonces definimos la aplicación h como

h(x)=g(f(x)), para todo x A.

PREGUNTAS• ¿ … ?

GRACIAS

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Profesor: Ing. Wilson Villa

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