Teoría de Conjuntos

Génesis Viloria

Teoría de Conjuntos

Permite visualizar las intersecciones que puedan existir entre las partes que conforman un problema, así como cada parte con el todo. Es un instrumento esencial para el desarrollo de la capacidad de análisis.

Conjuntos La palabra conjunto es una colección de objetos

cuyas propiedades o características están claramente definidas. Cada objeto que forma parte de un conjunto se llama elemento.

Es una colección de objetos considerados como una simple unidad. Los objetos que determinan un conjunto se denominan elementos del conjunto. Los conjuntos pueden denotarse con letras mayúsculas como A, B, C,…y los elementos con letras minúsculas como a, b, c,… o con números separados por comas y encerrados entre dos llaves. Así por ejemplo: el conjunto “A” formando por las vocales, la podemos escribir: A: {a, e, i, o, u} y un conjunto “B” cuyos elementos son los tres números impares lo denotamos B = {1, 3,5}.

Conjuntos de números naturales

Es el conjunto de los símbolos que se utilizan para representar los cardinales (principales), y se designan con la letra “N”, siendo su conjunto infinito porque no tiene ultimo termino. Los números naturales se pueden usar para contar o medir (2 sillas, 3 metros), es decir, para expresar cantidades, y en ese caso se denominan Cardinales. Si, en cambio, se usan para describir la posición o el orden de un determinado elemento en relación con otros en una secuencia ordenada, se llaman Ordinales.

Cuando se dice: <<Vivo en el tercer piso>>, se esta utilizando un numero Ordinal.

Conjunto de números Enteros

Esta formado por los números naturales y los números negativos. Se simboliza con la letra “Z”.

Propiedades de los números Enteros

El conjunto de los números enteros: Es un conjunto infinito No tiene ni primero ni ultimo elemento Cada número tiene su opuesto. Por ejemplo, el opuesto de

+ 2 es - 2. Si un numero esta a la derecha de otro en la recta

numérica, entonces es mayor que el. Ejemplo: 2 = {…,-2,-1,o,1,2,3,…} Conjunto de números enteros. Z+ = {0,1,2,3,4,5,…} Conjunto de los enteros positivos. Z- = {…-4,-3,-2,-1} Conjunto de los números enteros

negativos.

Numeros enteros positivos Los números naturales, que se escriben con un

signo <<+>>delante (excepto el cero), Z se llaman números enteros positivos. Por ejemplo, el numero +6 es un entero positivo; se puede representar como 6 o como +6. Los números naturales precedidos de un signo <<->> se llaman números enteros negativos. En este caso, dado que representan una cantidad que no se tiene, necesariamente se debe anteponer el signo -. Por ejemplo, el número -6 es Nº negativo. El “0” es el único numero entero que no es positivo ni negativo.

Conjunto de los números Racionales

Esta formado por los números enteros y los números fraccionarios. Se simbolizan con la letra “Q”.

Propiedades del conjunto de los números racionales

Es un conjunto infinito. No tiene ni primero ni último elemento. Todo número racional ya sea entero o

fraccionario se puede expresar con infinitas fracciones equivalentes.

Se define de la siguiente manera: Ejemplo: Q = {a/b,b"0} Conjunto de los números

racionales para b"0

Conjunto de los numeros irracionales

Tipo de números que no se pueden expresar de manera sencilla como el cociente de los números. Algunos ejemplos son "2 y.

Los numeros irracionales Se caracterizan por poseer infinitas cifras

decimales que no se repiten nunca, es decir, no periódicas. Por ello no pueden ser expresados en forma de fracción de dos enteros. Algunos números irracionales son identificados mediante símbolos.

Por Ejemplo: = 3,1415926535914039… e = 2,71828…

Conjunto de los numeros reales

Es el conjunto de los números (racionales o irracionales) que puedan medir longitudes, junto con sus inversos aditivos y el cero. Se llama real a un número que puede ser racional o irracional. Por lo tanto, el conjunto de los números reales es la unión del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales.

Propiedades del conjunto de los numeros reales

El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que corresponden a los puntos de la recta.

El conjunto de los números reales es el conjunto de todos los números que pueden expresarse con decimales finitos o infinitos periódicos o no periódicos.

El conjunto de los números reales se representa por la letra “R”.

Conjunto escrito por extensión Un conjunto esta expresado por extensión

cuando se enumeran todos los elementos que lo forman. Si el conjunto tiene infinitos elementos, se nombraran algunos de ellos y se escriben tres puntos suspensivos.

Ejemplo: A = {a,e,i,o,u} B = {0,2,4,6,8} C = {c,o,n,j,t,s}Es un conjunto determinado

por extensión no se repite un mismo elemento.

Conjunto escrito por comprensión

Un conjunto esta expresado por comprensión cuando se enuncian las propiedades o características comunes de sus elementos: El conjunto “A” esta formado por los números naturales comprendidos entre 0 y 5, ambos inclusive.

Ejemplo: A = {X/X Es una vocal} B = {X/X Es un numero par menor que 10} C = {X/X Es una letra de la palabra conjuntos}

Conjunto Universo Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. Es

un termino relativo se le denota por la letra U. Es un conjunto finito o infinito de elementos, tal que cualesquiera de su subconjuntos A queda determinado por una propiedad que depende únicamente de los elementos de U y solo de ellos.

Ejemplo: Si U es el conjunto de los números reales A puede ser el conjunto de

los números enteros. Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {Aves} B = {Peces} C = {Conejos} D = {Monos} Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A,B,C y D U = {Animales} Gráficamente se representan por un rectángulo tal como se observa

a continuación.

Conjunto Unitario Es todo conjunto que esta formado por

un solo y único elemento. Ejemplo: A = {5} B = {Números pares entre 6 y 10} =

{8} C = {La capital de Perú} = {Lima} D = {X/2x = 6} = {3}

Conjunto Vacío Es aquel que no posee ningún elemento, y se

representa por Ø. A = {Los perros que vuelan} A ={} A = {Ø} A =

{0} B = {X/X Es un mes que tiene 53 días} B ={} B

= {Ø} B = {0} C = {X/X³ = 8 y es impar} C = {} C = {Ø} C =

{0} D = {X/X Es un día de 90 horas} D = {} D = {Ø}

D = {0} A = {X/X a los números impares X² = 4} ; A = Ø

Subconjunto Definimos que un conjunto es subconjunto de

otro, cuando tiene todos sus elementos incluidos en otro. Decimos que A esta incluido o es subconjunto de B cuando se representan de la siguiente manera, A c B si solo si todos los elementos de A están en B.

Ejemplo: A = {2,3,4,5}y B = {1,2,3,4,5,6} , Decimos que

A û B A = {1,2,3} y B = {2,3,4,5} , A û B, A no es

subconjunto de B.

Identidad de Conjuntos Serían conjuntos idénticos entre ellos, aquellos que cumplieran

dos exigencias:

1.- Tener los mismos elementos. "Sean dos conjuntos A y B, en los cuales todo elemento de A tiene otro idéntico en B y todo elemento de B tiene otro idéntico en A". 

2.- Tener la misma convergencia, es decir, que la cohesión, ordenación y cualquier norma de agrupamiento se da en ambos conjuntos al mismo nivel. Por tanto han de ser dos conjuntos indistinguibles uno del otro.

Para representar dos conjuntos idénticos podemos usar el signo ><

Así, A >< B nos dice que el conjunto A es idéntico al conjunto B y viceversa.

Intersección de Conjuntos Se define la intersección de dos conjuntos A y B al

conjunto de elementos que son comunes a A y B se denota por A " B, que se lee: A intersección B la intersección de A y B también se puede definir:

Si A y B son dos conjuntos cualesquiera se denomina intersección de A y B y se representa por A " B el conjunto formado por todos los elementos que están simultáneamente en A y B, es decir, A " B = {X/X A y X B}.

A B A " B

Diferencia de Conjunto Si tenemos dos conjuntos cualesquiera A y B, se le llama

diferencia de A con B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B, se representan A - B y se lee “A menos B” o elementos que tenga A y que no tenga B. Simbólicamente se expresa:

A - B = {X/X A X B} Análogamente se obtiene: B - A = {X/X B X A} Ejemplo: A = {1,2,3,4,5} B = {4,5,6,7,8} A - B = {1,2,3} B - A = {6,7,8}