teorÍa de conjuntos
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TEORÍA DE CONJUNTOS
Conjunto Elementos de un conjunto Conjunto vacío Número cardinal de un conjunto Conjunto finito e infinito Conjunto bien definido Conjuntos iguales Conjunto Universal Subconjuntos
Conjuntos – Definiciones Básicas
Definición como proceso cognitivo
La definición de un objeto es la descripción concreta de sus características esenciales”
La definición de un objeto es la descripción concreta de sus características esenciales”
Premisas
Debe estar claro:
¿Qué es?
¿Cuáles son sus características esenciales?
Conjuntos Definiciones Básicas
ConjuntoEs una colección de elementos que cumplen un criterio establecido
Conjunto vacíoEs un conjunto que no tiene elementos.
Se denota por Φ o
Número cardinalNúmero de elementos sin repetición que contiene un conjunto.
Se denota como n(A)
Conjuntos Definiciones Básicas
Conjunto finitoEs aquel cuyo número cardinal se puede expresar con un número natural o el cero (se pueden contar todos los elementos del conjunto)
Conjunto infinitoEs aquel cuyo número cardinal no se puede expresar con un número natural ni el cero (no se pueden contar todos los elementos del conjunto)
Conjunto bien definidoEs aquel en el cual es posible decidir si cada elemento pertenece o no al conjunto
Conjuntos Representación
Llaves A = { }
Diagramas de Venn-Euler
A
ConjuntosFormas de expresión
Descripción verbal
El conjunto de los números impares comprendidos entre 8 y 14
Listado, enumeración o extensión
{9,11,13}
Notación de construcción o comprensión
14y8entreimparnúmerounesx/x 14y8entreimparnúmerounesx/x
Otro ejemplo: Descripción verbal
El conjunto de los números pares comprendidos entre 5 y 11
Listado, enumeración o extensión{6,8,10}
Notación de construcción (o en forma algebraica)
11y5entreparnúmerounesx/x 11y5entreparnúmerounesx/x 11x5N,n2n,x/Nx 11x5N,n2n,x/Nx
ConjuntosFormas de expresión
Conjuntos Definiciones Básicas
Conjuntos iguales
Los conjuntos A y B son iguales si y sólo si se
cumplen las siguientes dos condiciones: “ todo
elemento de A es elemento de B y todo elemento
de B es elemento de A ”
Conjuntos Definiciones Básicas
Conjuntos igualesEjemplo
Dados los conjuntos A y B, determine si son iguales y por qué:
A= {3,4,5,2,2,1,6,3,8 }
B= {4,5,2,1,6,3,8}
Conjuntos Definiciones Básicas
Conjunto Universal (o Conjunto Universo)
Es el conjunto que incluye a todos los elementos a los que se hace referencia en un momento dado.
Se denota con la letra UU
Conjuntos Definiciones Básicas
Conjunto Universal Ejemplos
En geometría plana el conjunto universal es el de todos los puntos del plano.
En los estudios de población humana el conjunto universal
estará formado por todos los seres humanos del mundo.
Si A es el conjunto conformado por todas las mujeres del
mundo y B por todos los hombres, el conjunto U será todos los
seres humanos
Subconjuntos. Se dice que A es un subconjunto de B si todo elemento del conjunto A es también elemento del conjunto B. Esta relación se denomina relación de inclusión y se denota como: A B.
Esta situación puede representarse mediante un diagrama así:
Esta relación también se puede leer: "A está contenido en B", "A es una parte de B". Para expresar que A no está contenido en B, se escribe: A B
Conjuntos Definiciones Básicas
Sobre los conjuntos y sus definiciones
Complemento de un conjunto:
Para cualquier conjunto A dentro del
conjunto universal U, el complemento de A,
denotado por A´ es el conjunto de
elementos en U que no son elementos de A
Diagramas de Venn y Subconjuntos
Universo o conjunto universal (asociado a un problema)
A’ es el complemento de A Si unimos A con A’ tenemos el conjunto universal
U
A
A’´
Sobre los conjuntos y sus definiciones
Intersección de conjuntos:
La intersección de los conjuntos A y B, es el
conjunto de elementos comunes a A y a B.
Sobre los conjuntos y sus definiciones
Unión entre conjuntos:
La unión de los conjuntos A y B, denotada por
AUB, es el conjunto formado por todos los
elementos de ambos conjuntos.
Sobre los conjuntos y sus definiciones
Diferencia entre conjuntos:
La diferencia entre los conjuntos A y B, denotada por A
– B, es el conjunto formado por los elementos que
pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto
B.
PROBLEMA Sean los conjuntos:
U= {1,2,3,4,5,6,7,8,9 } A= {1,3, 5, 7 } B= {1,3, 4,6,8 } C= {1,4, 5,6,7,9}
Encuentra:
1. AB’2. C’ 3. AB 4. B C 5. U – A6. A’7. A’B’
Respuestas
B’= {2,5,7,9 } entonces: AB’ = {5, 7}
C’ = {2,3,8}
AB = {1, 3,4,5,6,7,8 }
B C = {1, 4, 6}
U – A = A’= {2, 4, 6, 8, 9 }
A’B’ = {2, 4,5,6,7,8,9 }
Operaciones entre conjuntosSean A y B dos conjuntos, con U como conjunto
universal:
El complemento de A:
La intersección de A y B:
La unión de A y B:
La diferencia de A y B:
El producto cartesiano de A y B:
AxyUx/xA'
BxyAx/xBA
BxoAx/xBA
BxyAx/xBA
ByyAy)/x(x,BA
TIPS
Intersección……… ”y”
Unión…………….. ”o”
Complemento…… ”no”
NO olvidarás:
Ejercicios
Dado el conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Defina por extensión los siguientes conjuntos:
Intersección de A con el conjunto de los “números
naturales pares menores que 10”
Intersección de A con el conjunto de los “números
naturales impares menores que 11”
Los complementos de los dos primeros