Facilitador: Prof. Renzo Briceño Sistema Numérico Participantes: Oscar García Marianni Peña

Teoría de Conjuntos

República Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la Educación

Universidad Pedagógica Experimental LibertadorInstituto de Mejoramiento Profesional del Magisterio

Acarigua –Edo-Portuguesa

Acarigua, Abril del 2015

Teoría de conjuntos

Teoría Básica de conjuntos

¿Qué es un conjunto?

Un elemento es...Un conjunto es...

Clases de conjuntos

Conjuntos Coordinables y Subconjuntos

Relación entre conjuntos

Un conjunto no es más que la agrupación de varios elementos . ¿Has coleccionado fichas, juguetes o láminas para un álbum? pues imagina que los conjuntos son exactamente eso; la colección de varios elementos que pueden clasificarse debido a que comparten características en común (fichas, láminas, etc).

¿Qué es un conjunto?

Un elemento es...

Aquello que podemos imaginar único, individual, independiente y distinto de las demás cosas a su alrededor. Por ejemplo una persona, un pájaro, una flor, un carro, etc.

Los elementos no tienen que ser solo cosas tangibles sino también que existen solo en nuestro pensamiento como por ejemplo una idea, un sentimiento, una letra etc.

Un conjunto es...

De otro lado, un conjunto es la agrupación de varios elementos que comparten características o rasgos similares.

Por ejemplo, una flor puede agruparse con otras de su misma especie para que nos quede un conjunto de rosas. Los conjuntos pueden volverse elementos en sí, ya que ahora pensaremos en un ramo de rosas.

Notación de un Conjunto

Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los conjuntos A y D se usa una definición intensiva o por comprensión, donde se especifica una propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los conjuntos B y C se usa una definición extensiva, listando todos sus elementos explícitamente.Es habitual usar llaves para escribir los elementos de un conjunto, de modo que:B = {verde, blanco, rojo}C = {a, e, i, o, u}Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican de forma intensiva mediante una propiedad:A = {Números naturales menores que 5}D = {Palos de la baraja francesa}Otra notación habitual para denotar por comprensión es:A = {m : m es un número natural, y 1 ≤ m ≤ 5}D = {p : p es un palo de la baraja francesa}F = {n2 : n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10},

Clases de conjuntos

Existen varios tipos de conjuntos que podemos encontrar cuando trabajamos con ellos, los combinamos o examinamos todas las posibilidades que existen para formarlos.

1. Conjunto finito

Se refiere a un conjunto formado por elementos que se pueden contar en su totalidad. Por ejemplo el conjunto de los colores del arcoíris es finito debido a que ellos se pueden contar o listar en su totalidad: violeta, índigo, azul, verde, amarillo, naranja y rojo.2. Conjunto infinito

Es un conjunto formado por elementos imposibles de contar o enumerar en su totalidad debido a que nunca terminan o no tienen fin. Por ejemplo el conjunto de las estrellas en el universo o de los números. Para representar estos conjuntos, solo podemos hacerlo mediante comprensión.

3. Conjunto unitario

En un conjunto formado por un único elemento. Por ejemplo el conjunto de estrellas en nuestro sistema solar: la única estrella de nuestro sistema solar es precisamente el sol.

4. Conjunto vacío

Es un conjunto que no tiene elementos porque no existen. Por ejemplo el conjunto de árboles de monedas. Este tipo de conjuntos también se representan por comprensión.

5. Conjuntos homogéneos

Se refiere a los conjuntos formados por elementos que pertenecen a un mismo tipo o género. Por ejemplo el conjunto de monedas de cincuenta centavos.

6. Conjuntos heterogéneos

A diferencia de los conjuntos homogéneos, estos se caracterizan porque sus elementos son de diferentes tipos o géneros. Por ejemplo el conjunto de juguetes de Samuel.

7. Conjuntos equivalentes

Se entiende que un conjunto es equivalente a otro cuando ambos tienen el mismo número o cantidad de elementos, no importa de qué tipo sean sino el número de elementos.

8. Conjuntos iguales

Cuando ambos conjuntos están compuestos por los mismos elementos, se dice que son conjuntos iguales. Por ejemplo dos cajas de chocolates están compuestas por los mismos elementos.

Conjuntos Coordinables y Subconjuntos

Conjuntos Coordinables

Se dice que dos conjuntos son coordinables cuando están formados por el mismo número de elementos y puede establecerse una correspondencia entre ambos.

Para que tengas un ejemplo, supón que en una fiesta de cumpleaños existen la misma cantidad de copas de vino como de invitados. En este caso, tanto el conjunto de invitados como de copas es coordinable, ya que cada persona recibirá su copa de vino.

Conjuntos no coordinables

Aquí pasa todo lo contrario, ya que se refiere a que ambos conjuntos, a pesar de tener elementos correspondientes entre sí, no cuentan con el mismo número de elementos en cada uno de ellos. Volvamos al ejemplo de la fiesta de cumpleaños.

Imagina que ahora ha llegado a la fiesta una persona de improvisto. Por lo tanto, el conjunto de las copas de vino es insuficiente para corresponder con el de las personas de la fiesta. En este caso se dice que sólo una porción del conjunto de copas de vino es coordinable con el de personas.

Subconjuntos

Cuando con algunos de los elementos de un conjunto podemos crear otro, decimos que hemos formado un subconjunto. Es decir que un subconjunto siempre está formado por algunos elementos de un conjunto más grande.

Para que tengas un ejemplo, imagina que "A" corresponde al conjunto de los días del año. De él podemos extraer un subconjunto "B" que solo contenga algunos de esos días y que llamaremos el subconjunto de marzo. ¿Ves cómo los meses son subconjuntos formados para organizar un conjunto de días más grande que denominamos año?

Un conjunto A es un subconjunto del conjunto B si cada elemento de A es a su vez un elemento de B.

Relación entre conjuntos

Al combinar y trabajar conjuntos, se establecen relaciones entre ellos. Estas relaciones se representan mediante símbolos para que al hacer operaciones, sepamos de qué se trata.

Pertenencia

Este símbolo se usa para representar que un elemento determinado hace parte del conjunto señalado.

Así mismo, representamos que un elemento no pertenece al conjunto señalado, escribiendo el mismo símbolo, pero con una línea cruzada en la mitad.

Intersección

Es el conjunto formado por los elementos comunes de A y B .

Unión

Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen tanto a B como a A.

Relacionar conjuntos

Al trabajar con conjuntos haciendo operaciones matemáticas, es importante saber representarlos de manera escrita. Por ello existen algunos símbolos importantes que te ayudaran a representar las relaciones entre ellos.

Subconjunto

Para representar que un conjunto es subconjunto de otro usamos este símbolo que tiene la forma de una U acostada y subrayada.

En este caso, queremos determinar que el conjunto A es subconjunto del B ya que 2, 4, 6 y 8 son números que también forman parte este último.

Unión

Cuando queremos representar la unión de los elementos de dos conjuntos, usamos la letra U como símbolo. En la siguiente imagen, se simboliza un conjunto formado con todos los elementos tanto del conjunto C como del D. Por lo anterior, para representarlo de forma matemática usamos: "C U D".

Intersección

Una intersección es el conjunto formado por los elementos que comparten o son comunes entre dos conjuntos, es decir, que forman parte tanto del uno como del otro.

Para representar una intersección utilizamos este símbolo parecido a una U, pero al revés. En este caso, el ejemplo de la imagen señala la intersección de los conjuntos E y F.

Diferencia

La diferencia se forma con los elementos de un conjunto que no pertenecen a otro. Dicho así, parece difícil de comprender, pero no lo es.

En la imagen se representa un conjunto con los elementos de J que no pertenecen a K. Eso quiere decir que ambos conjuntos tienen elementos comunes, pero queremos formar un conjunto con aquellos elementos del conjunto J que no forman parte de la intersección.

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las apreciones de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.

El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana, de conjuntos, formalizada por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del siglo XX.

Teoría de conjuntos

Teoría Básica de conjuntos

La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos elementos, unos objetos matemáticos como números o polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenecen al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de un elemento a a un conjunto A se indica como a A.∈Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B A.⊆

Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los números racionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:

Ejemplos.

Álgebra de conjuntos

Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:•Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A   ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.•Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de A y B.•Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.•Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.•Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.•Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y su segundo elemento b pertenece a B.

Los diagramas de Venn son esquemas usados en la teoría de conjuntos, tema de interés en matemática, lógica de clases y razonamiento diagramático. Estos diagramas muestran colecciones (conjuntos) de cosas (elementos) por medio de líneas cerradas. La línea cerrada exterior abarca a todos los elementos bajo consideración, el conjunto universal U.

Diagrama de Venn

Diagramas de Venn que corresponden respectivamente a las relaciones topológicas de intersección, inclusión y disyunción entre dos conjuntos

Los diagramas de Venn tienen el nombre de su creador, John Venn, matemático y filósofo británico. Estudiante y más tarde profesor del Caius College de la Universidad de Cambridge, Venn desarrolló toda su producción intelectual en ese ámbito.Los diagramas que hoy conocemos fueron presentados en julio de 1880 en el trabajo titulado De la representación mecánica y diagramática de proposiciones y razonamientos, que tuvo gran repercusión en el mundo de la lógica formal.

Facilitador: Prof. Renzo Briceño Sistema NuméricoAbril 2015

Participante: Marianni Peña

Participante: Oscar García

Universidad Pedagógica Experimental LibertadorInstituto de Mejoramiento Profesional del Magisterio

Acarigua –Edo-Portuguesa

Community Foundation International En línea: http://www.gcfaprendelibre.org/matematicas/curso/los_conjuntos/entender_los_conjuntos/2.do

Referencias Electrónicas consultadas y sugeridas

DIAGRAMAS DE VENN PARA 3 CONJUNTOS PROBLEMAS RESUELTOS TIPO EXAMEN DE ADMISION A LA UNIVERSIDAD. En línea https://www.youtube.com/watch?v=DKEzK4Whq4E

Operaciones con conjuntos en diagramas de Venn. En línea https://www.youtube.com/watch?v=xK_qKI88Y8E

Conjuntos numéricos, clasificación y ejercicios. En línea: https://www.youtube.com/watch?v=ncQkduXPwuY