TEORÍA DE CONJUNTOS

NOCIÓN DE CONJUNTO. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS CLASES DE CONJUNTOS. OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS. PROBLEMAS DE APLICACIÓN.

NOCIÓN DE CONJUNTO• NOCION DE CONJUNTO: Intuitivamente se dice que es una lista, una colección, una clase o reunión

de objetos abstractos o concretos (elementos) bien definidos, que guardan una característica común.

Ejemplos: - Los días de la semana. - Los países de América del Sur - Los números impares - Los distritos de la provincia de Chiclayo

• NOTACION DE CONJUNTO Generalmente se denota a un conjunto con letras mayúsculas y a sus

elementos mediante letras minúsculas separados por comas y encerrados con llaves.

Ejemplos: C = { x / P(x) }

B = {cara, sello} Mayúsculas Propiedades que define al conjunto

Minúsculas llaves

u,o,i,e,aA

DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

• Consiste en precisar correctamente que elementos forman parte del conjunto. Puede hacerse de dos formas:

• Por Extensión (forma tabular) Cuando se nombran a todos y

cada uno de los elementos. Ejemplos:

El orden en el cual son listados los elementos del conjunto no afecta el hecho de que pertenezcan a él. Así, po ejemplo:

• Por Comprensión (forma constructiva)

Cuando se enuncia una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto, de tal manera que cada objeto que goza de la propiedad pertenece al conjunto y todo elemento del conjunto goza de la propiedad mencionada.

• Ejemplos:

A = {n/n es una vocal} B = {los números pares menores

que 13} C = {n2 - 1 / n es entero 1 n 7}

• Esquema general:

C = { x / P(x) }Mayúsculas Propiedades que define al conjunto

Llaves Minúsculas

u,o,i,e,aA

8,6,4,2D

e,i,u,o,au,o,i,e,aA

Números Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....}

Números Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}

Números Racionales (Q) Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}

Números Irracionales ( I ) I={...; ;....}2; 3;

Números Reales ( R )

R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}2; 3

12

15

12

43

Números Complejos ( C )

C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}2; 312

N

ZQ

I

RC

EJEMPLOS:

Expresar por extensión los siguientes conjuntos:

A ) 2P x N /x 9 0

B )

C )

D ) T x Q /(3x 4)(x 2) 0

E ) B x I /(3x 4)(x 2) 0

2Q x Z /x 9 0 2F x R /x 9 0

P={3}Q={-3;3}

F = { }

4T

3

B 2

RESPUESTAS INDICE

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

1. RELACION DE PERTENENCIA Se establece esta relación sólo de

elemento a conjunto y expresa si el elemento indicado forma parte o no del conjunto considerado.

Si un elemento está en un conjunto, se dice que: “. . . pertenece a. . .”

: Si no está en un conjunto, se dice que: “. . . no pertenece a. . .” :

• Ejemplo: Sea * 2 C * 8 C * {1; 2} C

2. RELACIÖN DE INCLUSION (): Se dice que A está incluido en otro

conjunto B, si todos los elementos de A pertenecen a B.

Se denota: A B Se lee: “A está incluido en B” “A está contenido en B” “A es subconjunto de B” Representación:

• Se lee: “A” está incluido en “B”, si y sólo si, para cualquier “x” que pertenece a “A”, éste también pertenece a “B”

Gráficamente:

Ejemplos: 1) A = {p, q} B = {p, q, r, s}

2) D = {2, 4, 6} E = {1, 2, 3, 5} Se observa que D no está contenido

en E, en ese caso se denota:

6 ; 5 ; 2,1 ; 2 ; 1C

A B x A: x A x B

A

B

A B .p

.q

A

B

.r

.s

D E D

E

.4

.6.2

.1.3

.5

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS2. RELACIÖN DE INCLUSION

(): PROPIEDADES: Propiedad reflexiva: A A propiedad antisimétrica: Si: A B B A A = B Propiedad transitiva: Si: A B B C A C

NOTA: En el caso que A B y por lo menos un elemento de B no es de A, entonces A es un subconjunto propio de B.

3. RELACIÓN DE IGUALDAD(=) Se dice que dos conjuntos son

iguales cuando ambos poseen los mismos elementos.

Ejemplo: A = {3n+2 / n Z 1 n 4} B = {5, 14, 8, 11} se observa: A = B

Se define como:

Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si, A es subconjunto de B y B es subconjunto de A.

• PROPIEDADES: Propiedad reflexiva: A = A Propiedad simétrica: A = B

implica B =A Propiedad transitiva: A= B y B= C

implica A = C

A B

.5

.8

.14

.11

A = B A B B A

RELACIONES ENTRE CONJUNTOS4.CONJUNTO POTENCIA O

CONJUNTO DE PARTES: Dado un conjunto A, el conjunto

potencia de A está formado por toda la familia de subconjuntos de A.

Notación: P (A) Ejemplo: A = {a, b} todos los subconjuntos de este

conjunto son: P(A) = { {a}; {b}; {a, b}; }

n [ P (A) ] = 23 = 8 El número de elementos de P(A) o

número de subconjuntos de A, está dado por:

Los subconjuntos propios de A son aquellos subconjuntos diferentes al conjunto A, entonces:

• Ejemplo: Si A = {m, a, r}; Entonces:

P(A) = { {m} , {a} , {r} , {m, a} , {m, r} ,

{a, r}, {m, a, r}, } n[P(A)] = 23 = 8 subconjuntos. n[ subconjuntos propios de “A”] = 23–

1=7

• problemas de aplicación: Dado: A = {5; {7}; 9; {2}}. Indicar

(V) o (F) según corresponda: i) {5} A( ) iii) {9} A

( )ii) {7} A( ) iv) {5; {2}}

A ( )

a) FVVF b) FVFV c) FVVV

d) VFFV e) VVFF

nAPn 2

# de subconjuntos propios de A = 12n

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE CONJUNTOS

1.Diagrama de Venn – Euler: Es una forma ilustrativa y muy práctica para comprender intuitivamente las relaciones entre conjuntos y se ase uso de figuras geométricas en su representación:

• Ejemplo.: Sea: A = {2; 3; 5; 7}; B = {2; 3; 4; 5; 6} y U = {1; 2; 3; 4; 5; 6;

7; 8; 9} Entonces:

Su interpretación sería: - {7} sólo pertenece a “A” - {2; 3; 5} pertenecen a “A” y a “B” - {4; 6} sólo pertenece a “B” - {1; 8; 9} no pertenecen a los conjuntos

“A” y “B”

2. Diagrama de Lewis Carroll: Se usa generalmente para representar conjuntos disjuntos.

Hombres Mujeres Fuman

No fuman

Se observa que: Hombres que fuman Mujeres que no fuman

3.3. DIAGRAMA LINEAL:DIAGRAMA LINEAL: Se utiliza para conjuntos comparables,

es decir, para aquellos que cumple: A B

Ejemplo A = {1; 2; 3} :

B = {4; 5; 6}

C = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

23 5

7 4

6

A B

1 8U

9

C

A B

CLASES DE CONJUNTOS.• Los conjuntos se clasifican teniendo en

cuenta la cantidad de elementos diferentes que poseen, según esto tenemos:

1. FINITO Si posee una cantidad limitada de

elementos, es decir el proceso de contar sus diferentes elementos termina en algún momento.

• Ejemplo:* K = {3n + 2 / n Z 1 n 4}

K es finito pues n(K) = 4 * L = {x/x es un día de la semana} L es finito pues n(L) = 7

2. INFINITO Si posee una cantidad ilimitada de

elementos es decir el proceso de contar sus diferentes elementos no termina nunca. Ejemplo:

M = {x/x Q 1 x 2} M es infinito pues n(M) = . . . . ? Z+ = {1, 2, 3, 4, 5, . . .} Z+ es infinito pues n(Z+) = . . . . ?

3.CONJUNTO NULO O VACIO Es aquel conjunto que carece de

elementos.• Ejemplo: A = {x/x es el actual INCA del Perú} B = {x/x N 7 < x < 8} Notación: “” ó { }• Nota: El conjunto vacío “” es subconjunto

de todo conjunto.

4.CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON Es aquel conjunto que tiene un solo

elemento. Ejemplo: A = {x/x Z 10 < x < 12} = {11} B = {2, 2, 2, 2,. . .} = {2} C = {x/x N; 5 < x < 7} = {6} puesto que “6 N” es el único

comprendido entre 5 y 7

CLASES DE CONJUNTOS.5. CONJUNTO UNIVERSAL (U) Es un conjunto referencial para el

estudio de una situación particular, que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto.

Ejemplo: A = {1, 3, 5} B = {2, 4, 5, 6} Podrían ser conjuntos universales U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} U = {x/x N} * Gráficamente el conjunto universal se

representa generalmente mediante el rectángulo.

Ejemplo: A = {x/x es peruano} B = {x/x es colombiano} C = {x/x es mexicano} U = {x/x es americano}

6. Subconjunto Propio: Se dice que A es subconjunto propio de B si y solo si.

A B y A B Número de subconjuntos propios de A: 2n(A) – 17. Disjuntos: Dos conjuntos son

disjuntos cuando no tienen ningún elemento común. Su gráfica es:

8. Diferentes: Aquellos que, teniendo distintos elementos tienen por lo menos un elemento común (pero no todos). Su gráfica es:

A B

9. Comparables: Dos conjuntos A y B son comparables si y solo si A B ó B A. Su gráfica es:

.1

.3.5

.2

.4.5

.6

U = N

A B

A B =

A B

AA

B

B

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

a)Unión o Reunión (A B): Es aquel conjunto que tiene como elementos a aquellos que pertenecen al conjunto A y/o a B

Gráficas de unión de conjuntos

• Propiedades. * A B = B A * A A = A * A (AB) * A = A * B (AB) * A U = U

b) Intersección (A B): Es aquel conjunto que tiene como elementos a aquellos que pertenecen al conjunto A y B (son elementos comunes o ambos)

Gráficas de intersección de conjuntos

A B =

A B x/x A ó x B

A

A

AB

B

B

A B = x/x A x B

A

A

AB

B

B

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSc) Diferencia ( A – B ): Es aquel conjunto

cuyos elementos pertenecen a "A" pero no al conjunto "B“

Gráficas:

A-B B-A A-B B-A

A-B B-A =• Propiedades: A-B = B-A * A-A = (A-B) A * A - = A (B-A) B * - A = (A-B) (A B) = A A - B = = B - A A = B

• Diferencia Simétrica (A B ): La diferencia simétrica de A y B es el conjunto de elementos que pertenecen a A ó B pero no a ambos conjuntos.

A B = x /x A ó x B; x ( A B)

También: A B = (A-B) (B-A) A B = (AB) - (AB) Gráficas:

• Propiedades: A A = A = A A B = B A Si: A y B son conjuntos disjuntos,

entonces A B = AB Si: B está incluida en A, entonces: A B = A - B

A - B = x / x A x B

A

A

AB B

A

B

A

A

AB

B

B

A

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOSd) Complemento (A') (Aº) : Es aquel

conjunto cuyos elementos pertenecen al universo pero no al conjunto A.

Gráficas:

• Propiedades: * A A' = U * A A = * (A')' = A * ' = U Leyes de Morgan: (AB)' = A' B' (A B)' = A' B'

• NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO:

1. Si A B = n(A U B ) = n(A) + n(B)

1. Si A y B son dos conjuntos cualesquiera: n (A – B) = n(A) – n(A B

1. Si A y B son conjuntos tales que A B =

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B )

A' = x / x U A x A

A AB B

A

B

A

B

A B

A B

U

A B

U

NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO:

4. Si: A B C = n( A U B UC ) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A B) – n(A C) - n(B C) + n(A B )

A B

C

EJEMPLOS: Determinar por extensión al conjunto "A“ Si: A = / n = 2m+1 , m = r -2, r2, 5, r Z Solución: Valores de "r" : 2, 3, 4 Valores de "m" : 0, 1, 2 Valores de "n" : 1, 3, 5 Valores de "3n+1/2" : 2, 5, 8

A = 2, 5, 8 Rpta

Problemas de aplicación• Dados los conjuntos unitarios: A = a2 + 1 ; 3a - 1 B = 3x + y ; x - y

+ 8 Calcular: S = a + x + y ; si: a, x e y son

números enteros. Dar como respuesta la suma de los

valores de S Solución: Si "A" es unitario * Si "B" es

unitario a2 + 1 = 3a – 1 3x + y = x

- y + 8 a2 - 3a + 2 = 0 2x + 2y =

8 (a - 1) (a - 2) = 0 x + y = 4 a = 1 ó a = 2 Luego: Para a = 1 S = 1 + 4 = 5 Para a = 2 S = 2 + 4 = 6 La suma de los valores de S,

es: 5 + 6 = 11

Rpta

• El conjunto A tiene 2 elementos menos que el conjunto B, que por cierto posee 768 subconjuntos más que A. Si tales conjuntos son disjuntos. Hallar: n (A B)

Solución: n (A) = x n (B) = x + 2 Además: n P( B ) = n P( A ) + 768 n P( B ) - n P( A ) = 768 2x+2 - 2x = 768 2x (22 - 1) = 768 2x = 768/3 2x = 256 2x = 28 x = 8 n (A) = 8 y n (B) = 10• Luego: Si A y B son disjuntos: n ( A B ) = n(A) + n(B) n ( A B ) = 8 + 10 = 18 Rpta

Prob. Sea: N = 1, 2, 3, …., Si: A = x N / x es impar y x 25 y B = x N / x 20 Entonces, se tiene que: i) A es conjunto finito ii) n (A B) = 10 iii) P (A B) = 211iV) A y B son disjuntos ¿Cuántos son verdaderos?

• Solución

• A = 1, 3, 5, 7, ….., 19, 21, 23

• B = 1, 2, 3, 4, ….., 17, 18, 19

• P (A B ) = , 2, 6 ….…. • Luego: n P(AB) = 211 .P( A B ) =

211 … falso

• A y B tienen elementos comunes. A y B no son conjuntos disjuntos A y B son disjuntos ….….……….

Falso

• Luego:• A es conjunto finito ………

verdadero• A B = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,

16, 18, 21, 23• n ( A B ) = 11 n ( A B )

= 10 ………. Falso

• En conclusión es verdadero: solamente i

Rpta. i

Prob. Para dos conjuntos A y B incluidos en el universo U, tal que:• n (A') = 12 • n ( A B ) = 3 • n (B) = 11 • n () = 20 Calcular: n ( A B )

• Solución:i. Graficando con los datos del

problema

iii. Por dato también se tiene:• n (U) = a + b + c + 3 = 20• a + 12 + 3 = 20 a = 5

ii. Por datos tenemos:• n (A') = b + c = 12• n (B) = b + 3 = 11 b = 8 c = 4

iv. Luego:• n (AB) = a + b• n (AB) = 13

• Rpta. 13

A B

a 3 b

U

c

Prob. De 100 alumnos del pre - UMB, 53 no estudian Razonamiento Matemático, 49 no estudian Matemática I. Si 27 no estudian Razonamiento Matemático ni Matemática I. ¿Cuántos estudian exactamente uno de los cursos?

• Solución

i. Utilizando el diagrama de Venn - Euler

Para: Raz. Matemático: RM Matemática I : M

iii. Luego tenemos:• Estudian exactamente uno

de los cursos: x + z = 48

ii.Según los datos tenemos:• 53 no estudian RM z + 27 = 53 z = 26• 49 no estudian M x + 27 = 49 x = 22

• Rpta. 48

x y z27

100RM M

Prob. De un grupo de turistas que visitó Chiclayo, Piura y Trujillo, se tiene la siguiente información: todos los que visitaron Trujillo también visitaron Chiclayo, 16 visitaron Trujillo, 28 visitaron Piura pero no Chiclayo, 72 visitaron Chiclayo o Piura, 6 visitaron Chiclayo y Piura pero no Trujillo.El número de turistas que visitó sólo Chiclayo es el doble de los que visitó Trujillo y Piura. ¿Cuántos visitaron sólo Trujillo y Chiclayo?

• SOLUCIÓNi. Utilizando el diagrama de Venn-Euler

Sea: n → # de personas que visitaron sólo Trujillo y Chiclayo

iii. De la figura tenemos: 28 + 6 + 16 + 2x = 72 50 + 2x = 72 2x = 72 – 50 2x = 22 x = 11

28 6

T=16

x n 2x

P

CHP

CH

CH

28 6

T=16

X n 2X

ii) Según datos: 72 visitaron Chiclayo o Piura

x + n = 16

Prob. De 25 personas que tienen sólo 20 ó 30 años; 6 mujeres tienen 20 años y 11 personas tienen 30 años. ¿Cuántas hombres

tienen 20 años?

iii. De la tabla se tiene: Las personas que tienen 20

años: 25 - 11 = 14

iv. Los hombres que tienen 20 años:

14 – 6 = 8

• Rpta. 8

HombreMujeres Total

20 años

30 años

Total

i. De los datos tenemos:

Solución

6

11

25

HombresMujeres Total

20 años

30 años

Total 25

6

11

148

ii. Completando tabla: