unidad ii: teoría de conjuntos

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Unidad II: Teoría de Conjuntos. Ing. Vanessa Borjas

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Unidad II: Teoría de Conjuntos. Ing. Vanessa Borjas. CONJUNTO:. G rupo de objetos con una o más características comunes. También se puede decir que es una colección desordenada de objetos. Un conjunto está bien definido si es posible conocer todos sus elementos. EJEMPLOS: - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Unidad II: Teoría de Conjuntos

Unidad II:Teoría de Conjuntos.

Ing. Vanessa Borjas

Page 2: Unidad II: Teoría de Conjuntos

CONJUNTO:

Grupo de objetos con una o más características comunes.

También se puede decir que es una colección desordenada de objetos. Un conjunto está bien definido si es posible conocer

todos sus elementos.

Page 3: Unidad II: Teoría de Conjuntos

ConjuntoEJEMPLOS:

• Las Vocales del Alfabeto V = {a; e; i; o; u}

V = Nombre del conjunto en mayúscula

a, e, i, o, u = Nombre de los elementos en minúscula.

• Los enteros positivos impares menores a 10

I = {1; 3; 5; 7; 9}

Los elementos pueden ser también números.

• B = {a; 2; Roberto; Francia}

Los elementos de un conjunto pueden también no estar relacionados.

Page 4: Unidad II: Teoría de Conjuntos

Elementos de un conjunto

Son los objetos que componen un conjunto, también se les conoce como miembros. Se dice que el conjunto contiene a sus elementos y los elementos pertenecen al conjunto.

• Si un elemento “a” pertenece a un conjunto “V”, se denota por: a Î V

• Si un elemento “d” no pertenece a un conjunto “V”, se denota por: d Ï V

Page 5: Unidad II: Teoría de Conjuntos

Modos de representación de un conjunto

• a) EXTENSIÓN:

Se detallan todos los elementos del conjunto.

Ejemplo:

V = {a; e; i; o; u}

• b) COMPRENSIÓN:

Se da una idea que representa los elementos.

Ejemplo:

Las vocales del alfabeto.

Page 6: Unidad II: Teoría de Conjuntos

Modos de representación de un conjunto

• c) DESCRIPCIÓN POR CONSTRUCCIÓN:

Se caracterizan todos los elementos del conjunto declarando la propiedad o propiedades que deben tener sus miembros.

Ejemplo: Conjunto I de todos los números enteros positivos menores que 10.

I = {x | x es un entero positivo menor que 10}

I = {x | x Î Z+, x < 10}

Page 7: Unidad II: Teoría de Conjuntos

• d) DIAGRAMA DE VENN:

Es una forma gráfica de representar un conjunto. Parte del concepto de conjunto Universal.

Se define el Conjunto Universal ‘U’ como aquel que contiene todos los elementos que están siendo objeto de estudio. Se representa por un rectángulo y la letra U.

El diagrama se construye con el conjunto universal representado por un rectángulo, y luego utilizando círculos dentro del rectángulo se representan los conjuntos, identificados con letras mayúsculas. Los elementos se representan dentro de los conjuntos, utilizando letras minúsculas.

Modos de representación de un conjunto

Page 8: Unidad II: Teoría de Conjuntos

U

VConjunto de Vocales

Conjunto Universal

.a.e

.i.o

.u

Elementos

Modos de representación de un conjunto

Page 9: Unidad II: Teoría de Conjuntos

Tipos de conjuntos según el número de elementos

• a) CONJUNTO VACÍO:

Es aquel que no tiene elementos. Se representa por Φ, también puede ser denotado por Φ o { }.

• b) CONJUNTO UNITARIO:

Es aquel que tiene un solo elemento.

Ejemplo: {a}, {Φ}, {5}

Page 10: Unidad II: Teoría de Conjuntos

• c) CONJUNTO FINITO:

Es aquel que tiene un número n de elementos definidos, n > 0. Ejemplo: las vocales.

• d) CONJUNTO INFINITO:

Es aquel que no es finito, es decir tiene elementos no definidos.

Ejemplo: el conjunto de los enteros positivos.

Tipos de conjuntos según el número de elementos

Page 11: Unidad II: Teoría de Conjuntos

• e) SUBCONJUNTO:

Se dice que el conjunto A es subconjunto de B, si y solo si todo elemento de A es también un elemento de B.

A Í B

Tipos de conjuntos según el número de elementos

Page 12: Unidad II: Teoría de Conjuntos

Teorema de Subconjuntos

• a) Φ Í S y S Í S Todo conjunto no vacío S, tiene 2 subconjuntos, el vacío y el propio conjunto.

• b) A Í B y B Í A Entonces se concluye que A = B

• c) Para enfatizar que A es subconjunto de B pero que A y B son diferentes, se denota A Ì B

Page 13: Unidad II: Teoría de Conjuntos

Teorema de Subconjuntos• d) En un diagrama de Venn, A Ì B se representa por:

U

AB

Page 14: Unidad II: Teoría de Conjuntos

Características de Conjuntos

• a) IGUALDAD DE CONJUNTOS:

Dos conjuntos son iguales si, y solo si, tienen los mismos elementos. Ejemplo:

{1; 2; 4} = {2; 4; 1} = {1; 2; 2; 2; 4}

.1

.2

.4

.2

.4 .1

.1.2

.2

.2

.4= =

Page 15: Unidad II: Teoría de Conjuntos

• b) TAMAÑO DE UN CONJUNTO:

Sea S un conjunto, si hay exactamente n elementos “distintos” en S, donde n es un entero no negativo, se dice que S es un conjunto finito y n es el cardinal de S, el cual define su tamaño. El cardinal del conjunto S se denota por |S|.

Ejemplos:

• A = Conjunto de los enteros positivos impares menores a 10. |A| = 5• S = Conjunto de las letras del alfabeto. |S| = 28• V = Conjunto de las vocales. |V| = 5• Φ = Conjunto vacío. |Φ| = 0 (ya que no tiene elementos)

Características de Conjuntos

Page 16: Unidad II: Teoría de Conjuntos

Conjuntos numéricos fundamentales

NÚMEROS NATURALES (N)N = {0; 1; 2; 3; …}

NÚMEROS ENTEROS (Z)Z = {…; -3; -2; -1; 1; 2; 3; …}

NÚMEROS RACIONALES (Q)Q = {p/q | p , Î Z q Î Z, q ¹ 0} = {…; -1; -½; 0; 1/5; ½; 1; 3/2; 2; …}

NÚMEROS IRRACIONALES (I)I = {…; 2 ; 3; p; …}

NÚMEROS REALES (R)R = {…; -2; -1; 0; 1; 2 ; 3; …}

NÚMEROS COMPLEJOS (C)C = {…; -2; -½; 0; 1; 2 ; 3; 2+3i; 3; …}

Page 17: Unidad II: Teoría de Conjuntos

Conjuntos numéricos fundamentales

CR

QZN

I

Page 18: Unidad II: Teoría de Conjuntos

Operaciones con Conjuntos

• a) UNIÓN DE CONJUNTOS:

Sean A y B conjuntos. La unión de los conjuntos A y B, denotada por A B, es el conjunto que contiene aquellos elementos que están en A o bien en B, o en ambos.

A B = {x | x ÎA Ú x ÎB}

A BA B

Page 19: Unidad II: Teoría de Conjuntos

Operaciones con Conjuntos EJEMPLO DE UNIÓN DE CONJUNTOS:

A = {1; 3; 5} B = {1; 2; 3; 4}

A B = {1; 2; 3; 4; 5}

.3

.1.5 .4

.2

U

Page 20: Unidad II: Teoría de Conjuntos

PROPIEDADES DE LA UNIÓN DE CONJUNTOS:

Operaciones con Conjuntos

• 1) A A = A• 2) A B = B A• 3) A Φ = A• 4) A U = U• 5) (A B) C = A (B C)• Si A B = Φ entonces A = Φ Ù A = Φ

Page 21: Unidad II: Teoría de Conjuntos

Operaciones con Conjuntos

• b) INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS:• Sean A y B conjuntos. La intersección de los conjuntos A y B,

denotada por A ∩ B, es el conjunto que contiene aquellos elementos que están tanto en A como en B.

A ∩ B = {x | xÎA Ù xÎB}

A BA B

Page 22: Unidad II: Teoría de Conjuntos

EJEMPLO DE INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS:

A = {1; 3; 5; 7} B = {1; 2; 3; 4}

Operaciones con Conjuntos

.3

.1.5

.4

.2

U.7

A B = {1; 3}

Page 23: Unidad II: Teoría de Conjuntos

Operaciones con Conjuntos PROPIEDADES DE LA INTERSECCIÓN DE

CONJUNTOS:

• 1) A A = A• 2) A B = B A• 3) A Φ = Φ• 4) A U = A• 5) (A B) C = A (B C)• 6) A (B C) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)