Teoría de Conjuntos

Conceptos básicosUn conjunto se puede entender como una colección o agrupación biendefinida de objetos de cualquier clase. Los objetos que forman un conjuntoson llamados miembros o elementos del conjunto.Ejemplos:

NOTACIÓNTodo conjunto se escribe entre llaves { } y se le denota mediante letras mayúsculas A, B, C, ...,sus elementos se separan mediante punto y coma o comas.

Ejemplos:

El conjunto de las letras del alfabeto; a, b, c, …, x, y, z. Se escribe:

L={a, b, c, …, x, y, z}.

El conjunto computadora; CPU, Memoria, Dispositivos E/S:

C={cpu, memoria, dispositivos de entrada y salida}

Ejemplo:

C= {memoria, cpu, disp. de entrada y salida} su cardinal n(A)= 3

B= {x,x,x,y,y,z} su cardinal n(B)= 3

En teoría de conjuntos no se acostumbra repetir los elementos por ejemplo:El conjunto {x, x, x, y, y, z } simplemente será { x, y, z }.El conjunto {mouse, mouse, teclado, teclado, monitor, monitor, monitor} será {mouse, teclado monitor}.

Al número de elementos que tiene un conjunto Q se le llama CARDINAL DEL CONJUNTO y se le representa por n(Q).

Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se usa el símbolo:Si un elemento no pertenece a un conjunto se usa el símbolo:

Ejemplo:Sea M = {Partes que componen una computadora}

Procesador y se lee “Procesador pertenece al conjunto M”

Relación de Pertenencia

M

Teléfono y se lee “Teléfono no pertenece al conjunto M”

M

Determinación de conjuntos

I) POR EXTENSIÓN.- Es la forma mediante la cual se indica cada uno de los elementos de un conjunto.Ejemplo: A) El conjunto de las partes que integran el CPU

A={Unidad de control, unidad lógico aritmética}

Hay dos formas de determinar un conjunto, por Extensión y por Comprensión

B) El conjunto de los números pares mayores que 5 y menores que 20. B = { 6,8,10,12,14,16,18 }

II) POR COMPRENSIÓN

Es aquella forma mediante la cual se da una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto.

se puede entender que el conjunto P esta formado por los programas Word, Excel, Power-Point, Acces, Publisher.

P = { los programas de la suite Microsoft Office}

se puede entender que el conjunto P esta formado por los números 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

P = { los números dígitos }

Otra forma de escribir es: P = { x : x = dígito } se lee “ P es el conjunto formado por los elementos x tal que x es un dígito “Ejemplo:

Expresar por extensión y por comprensión a) el conjunto de días de la semana. b) el conjunto de los dispositivos de entrada y salida.Por Extensión : A = { lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo }

Por Comprensión : A = { x : x = día de la semana }

Por Extensión : B = { Mouse, teclado, monitor, impresora, scanner, unidad de CD o DVD, disco duro, tarjeta de red, camara}

Por Comprensión : B = { x : x = Dispositivo E/S }

Los diagramas de Venn que se deben al filósofo inglés John Venn(1834-1883) sirven para representar conjuntos de manera gráfica mediante dibujos ó diagramas que pueden ser círculos, rectángulos, triángulos o cualquier curva cerrada.

AMT

7

23

6

9

ae

i

o

u(1;3) (7;6)

(2;4) (5;8)84

1 5

A = o A = { } se lee: “A es el conjunto vacío” o “A es el conjunto nulo “

CONJUNTO VACÍOEs un conjunto que no tiene elementos, también se le llama conjunto nulo. Generalmente se le representa por los símbolos: o { }.

Ejemplos:M = { números mayores que 9 y menores que 5 }

}01

:{x

xP

CONJUNTO UNITARIOEs un conjunto que tiene un solo elementoEjemplos:

S = { número de programas que puede ejecutar el CPU }

}062:{ xxF

CONJUNTO FINITOEs un conjunto con limitado número de elementosEjemplos:

E = { x:x es el número de procesadores enuna computadora}

}4:{ 2xxN

CONJUNTO INFINITO

Es un conjunto con ilimitado número de elementosEjemplos:

S = { x:x es el número de usuarios de Facebook}}14:{ xxR

F = { x:x es el conjunto de transiciones de unAutómata Finito Determinísta}

T = { x:x es el conjunto de transiciones de unAutómata Finito No Determinísta}

CONJUNTO UNIVERSALEs un conjunto referencial que contiene a todos los elementos de una situación particular, generalmente se representa por la letra U.Ejemplos:El universo o conjunto universal de todos los números es el conjunto de los NÚMEROS COMPLEJOS.

Una computadora es el universo o conjunto universal de los componentes: memoria, cpu y dispositivos de entrada / salida.

El servidor de una universidad es el conjunto universo de las bases de datos de los universitarios

El sistema operativo LINUX es el conjunto universo de los programas que constituyen el kernel (administrador de memoria, administrador de dispositivos, administrador de procesos, administrador de archivos).

El espectro electromagnético es el conjunto universo de la longitud de onda a diferentes frecuencias.

Ejemplos:

Números Naturales (N) N ={1, 2, 3, 4, 5, 6, ……}

Números Enteros (Z) Z={-N 0 N}

Números Racionales (Q) Q={…, -2, -1/2, 1/5, 1/2, 1, 4/3, 2, …}

Números Irracionales (I) I={…, sqrt(2), sqrt(3), Pi}

Números Reales (R) R ={N Z Q I }

Números Complejos (C) C ={R imaginarios }

N

Z

Q

I

R

C

EJEMPLOS:

Expresar por extensión los siguientes conjuntos:

A ) 2

P x N/ x 9 0

B )

C )

D ) T x Q /(3x 4)(x 2) 0

E )B x I/(3x 4)(x 2) 0

2

Q x Z / x 9 0

2

F x R / x 9 0

P={3}

Q={-3;3}

F = { }

4

T

3

B 2

– Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto de A, B A, si y solo si, todo elemento de B es un elemento de A.

B A x B, (x A)

– Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es un subconjunto propio de A, B A, si y solo si, B A pero B A.

B A B A A B

– Def. Sean A y B dos conjuntos cualquiera, decimos que B es igual a A, B=A, si y solo si, B A, y A B. Si esto no se cumple decimos que B es diferentede A, B A.

B = A B A A B

– Sea U, el conjunto Universal y A un conjunto arbitrario. El complemento del conjunto A, denotadoAc, es el conjunto:

Ac= {x| x U x A}

Propiedades del complemento:

1. (Ac)c = A2. Ac A = U

3. A Ac =

Operaciones con Conjuntos– Def. La unión de dos conjuntos A y B, es el conjunto:

A B = {x | x A x B}

– Def. La intersección de dos conjuntos A y B, es el conjunto:

A B = {x | x A x B}

– Def. La diferencia de dos conjuntos A y B, es el conjunto:

A - B = {x | x A x B} = A Bc

1. Leyes asociativasa) A (B C) = (A B) Cb)A (B C) = (A B) C

2. Leyes conmutativasa)A B = B Ab)A B = B A

3. Leyes distributivasa)A (B C) = (A B) (A C)b)A (B C) = (A B) (A C)

4. Leyes de Identidad:a)A = Ab)A U = A

5.Leyes de idempotenciaa) A Ac= Ub) A A = A

6. Leyes de acotacióna) A U = Ub) A =

7. Leyes de absorcióna) A (A B) = Ab) A (A B) = A

8. Leyes de involucióna) (Ac)c = A

9. Leyes 0/1

a) c = Ub) Uc =

10. Leyes de De Morgan

a) (A B)c = Ac Bc

b) (A B)c = Ac Bc

11. Ley de diferenciaa) A - B = A Bc

1. Sean A, B y C, tres conjuntos arbitrarios, demuestre las siguientes propiedades de conjuntos:

a). A– (B C) = (A – B) (A – C)b). A (A C) = Ac). [A-(A B)] [B-(A B)] (A B)=A Bd). (A-B)-C=A-(B C)

DefinicionesOperaciones con Conjuntos

– Def. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, es el conjunto:

A x B = {(x,y) | x A y B}

– Def. El conjunto potencia de un conjunto A, denotado 2A o P(A), es el conjunto:

P(A) = {X | X A}

Ejemplos:Dados los conjuntos A={a,b} y B={1,2,3}:

A x B = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)}

P(A) = { , {a}, {b}, {a,b}}

{} 0 0 0{1} 1 0 0{2} 0 1 0{3} 0 0 1{1,2} 1 1 0{2,3} 0 1 1{1,3} 1 0 1{1,2,3} 1 1 1