unidad uno: teorÍa de conjuntos

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS TECNOLOGA E INGENIERA

Formatos de autoevaluacin y coevaluacin

UNIDAD UNO: TEORA DE CONJUNTOS

PROCESO OPERATIVO Y PROPOSITIVO DE LA TEORA DE CONJUNTOS

PENSAMIENTO LOGICO Y MATEMATICO

200611A_223

BERNAL ARENAS DANIEL EDUARDO

JAIR ROBERTO RIBERO

ESLEIDY YUMARI CARRILLO

CAROLINA GUERRERO

LUIS EDUARDO ANGARITA

ESTUDIANTE

OSCAR JHONNY GOMEZ

DIRECTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BSICAS TECNOLOGA E INGENIERA

TECNOLOGA EN GESTIN INDUSTRIAL

Junio de 2015

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INTRODUCCIN

En esta actividad sobre teora de conjuntos elementos y propiedades

y operaciones con conjuntos lo que se busca es que nosotros como estudiantes

comprendamos y apliquemos adecuadamente los elementos de la teora general

de conjuntos en el estudio y anlisis del todo el contenido programado en esta

unidad y dinamizarle proceso de aprendizaje en situaciones especificas donde es

pertinente dar aplicabilidad a todo lo que aprendamos, de igual manera, aprender

a utilizar los conceptos de propiedades analticas y grficas y las operaciones de

conjuntos para dar una adecuada solucin a estos problemas que se plantean,

poder as argumentar la estructura de planteamiento del problema y la resolucin

de cada situaciones la Segunda Fase se realiz un consolidado grupal en donde

vamos a desarrollar tres problemas que se plantearon mediante pasos

consecutivos que se llevaron a cabo con base a los aportes que realizo cada uno

delos integrantes del grupo en los cuales mediante conceptos y diagramas se les

dio una adecuada interpretaciones enunciado y una solucin a las propiedades

analticas, grficas y las operaciones de conjuntos

Rama de las matemticas a las que el matemtico Ferdinand Ludwing Philipp

Cantor es el padre de la Teora de Conjuntos, dio su primer tratamiento formal

en1870. El concepto de conjunto es uno de los ms fundamentales en

matemticas, incluso ms que la operacin de contar, pues se puede encontrar

implcita o explcitamente, en todas las ramas de las matemticas puras y

aplicadas. En su forma explcita, los principios y terminologa de los conjuntos se

utilizan para construir proposiciones matemticas ms claras y precisas y para

explicar conceptos abstractos como el infinito. En el ao 1874, apareci el primer

trabajo revolucionario de Cantor sobre la Teora de conjuntos.

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OBJETIVOS

Con esta actividad se busca que el estudiante comprenda y aplique

adecuadamente los elementos de la Teora General de Conjuntos en el estudio y

anlisis de situaciones problemas especficos donde es pertinente la aplicabilidad

de propiedades y operaciones, de acuerdo a las fuentes documentales

referenciadas para dinamizar el proceso de aprendizaje. Identificar as mismo los

diferentes tipos de falacias y determinar ejemplos aplicados la vida cotidiana.

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RESUELVE

1. Fase individual

A continuacin se plantean cinco problemas de la temtica de Teora de

Conjuntos, de manera que cada uno de los estudiantes del grupo colaborativo

escoger uno de ellos para plantear su proceso y resolverlo para llegar a la

solucin buscada; el estudiante deber publicar en el Foro de Interaccin y

Produccin el problema seleccionado con el fin de evitar que otro compaero

seleccione el mismo problema, es decir en esta Fase Individual cada estudiante

resolver un problema diferente. Es necesario que utilicen los conceptos, las

operaciones, propiedades analticas y grficas de los conjuntos lo que permite dar

una adecuada interpretacin al enunciado. As se puede argumentar la estructura,

planteamiento del problema y la resolucin de cada situacin.

1.1. Primer Aporte Individual:

Socializar la conceptualizacin y algunos ejemplos de alguna de las operaciones

entre conjuntos, las operaciones son:

Unin entre conjuntos.

Interseccin de conjuntos.

Complemento de un conjunto.

Diferencia de conjuntos.

Diferencia Simtrica de conjuntos.

UNIN ENTRE CONJUNTOS

La Unin de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos

que pertenecen al conjunto A, al conjunto B o a ambos conjuntos.

El smbolo de la Unin es "U" y se lee unin o reunin.

Simblicamente se escribe as: AUB

La unin de conjuntos se puede escribir tambin como A+B y se llama suma de

conjuntos.

Para la solucin de problemas es recomendable el diagrama de Ven

Ejemplo:

Hallar AUB, si:

A:{1, 2, 3} y B:{3, 4, 5, 6}

Solucin AUB:{ 1, 2, 3, 4, 5, 6}

En la Unin de conjuntos no se repiten los elementos que pertenecen a ambos

conjuntos, en este caso el 4.

PROPIEDADES DE LA UNION DE CONJUNTOS

1. La Unin de conjuntos es conmutativa: Es decir el orden de los conjuntos no

altera la Unin.

AUB = BUA

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2. La Unin de conjuntos es asociativa: Si son ms de dos conjuntos los que se

unen, pueden asociarse de manera libre, ejemplo:

(AUB) U C = A U (BUC)

Al resolver una asociacin de conjuntos es recomendable operar primero, con el conjunto que est entre parntesis

INTERSECCIN DE CONJUNTOS

La interseccin de A y B es otro conjunto A B que contiene slo los elementos que pertenecen tanto a A como a B.

En teora de conjuntos, la interseccin de dos (o ms) conjuntos es

una operacin que resulta en otro conjunto que contiene los elementos comunes a

los conjuntos de partida. Por ejemplo, dado el conjunto de los nmeros pares P y

el conjunto de los cuadrados C de nmeros naturales, su interseccin es el

conjunto de los cuadrados pares D:

En otras palabras: As, por ejemplo, si A = { a, b, c, d, e} y B = { a, e, i, o},

entonces la interseccin de dichos conjuntos estar formada por todos los

elementos que estn a la vez en los dos conjuntos, esto es: A B = { a, e}

La interseccin de conjuntos se denota por el smbolo por lo que D = P C.

Dados dos conjuntos A y B, su interseccin es otro conjunto que contiene los

elementos que pertenecen a ambos conjuntos:

La interseccin de dos conjuntos A y B es otro conjunto A B cuyos elementos son los elementos comunes aA y B :

Ejemplo.

Sean A = {5, , , c} y B = {, c, 0, , 5, R}. Entonces la interseccin es A B =

{5, c}.

Sean los conjuntos de nmeros naturales C = {n: n es una potencia de 2} y D =

{n: n es un cubo}. Su interseccin es C D = {n: n es una potencia de 2 y un

cubo} = {n: n es una potencia de 2 cuyo exponente es mltiplo de 3} = {8, 64, 512,

...}.

Sean los conjuntos de nmeros pares e impares. Su interseccin es el conjunto

vaco , ya que no existe ningn nmero natural que sea par e impar a la vez.

Cuando la interseccin de dos conjuntos es vaca, se dice que son disjuntos:

Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si su interseccin es el conjunto vaco:

GENERALIZACIONES

La interseccin de un nmero finito de conjuntos, superior a dos, se define

teniendo en cuenta que, debido a la propiedad asociativa (ms abajo), el orden en

el que se intersequen los conjuntos es irrelevante:

La definicin ms general en teora de conjuntos se refiere a una familia de

conjuntos, un conjunto cuyos elementos son conjuntos a su vez:

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Sea M una familia de conjuntos. Su interseccin M se define como:

De este modo, la interseccin de un nmero finito de conjuntos es slo un caso

particular de esta definicin general:

A B = M, donde M = {A, B}

A1 ... An = M, donde M = {A1, ..., An}

La interseccin general de conjuntos se denota de diversas maneras:

Donde esta ltima se aplica en el caso de que utilicemos un conjunto ndice, definiendo M como {Ai: i I}.

COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

El complemento o el conjunto complementario de un conjunto dado es otro conju

nto que contiene todos los elementos que no estn en el conjunto original. Para

poder definirlo es necesario especificar qu tipo de elementos se estn utilizando,

o de otro modo, cul es el conjunto universal. Por ejemplo, si se habla de nmeros

naturales, el complementario del conjunto de los nmeros primos P es el conjunto

de los nmeros no primos C, que est formado por los nmeros compuestos y

el 1:

P={2,3,5,7,}

C={1,4,6,8,9,}

A su vez, el conjunto C es el complementario de P. El conjunto complementario se

denota por una barra horizontal o por el superndice, por lo que se

tiene: P = C, y tambin C(ralla arriba) = P.

El conjunto complementario de A es la diferencia (o complementario relativo) entre

el conjunto universal y A, por lo que ambas operaciones (complementario y

diferencia) tienen propiedades similares.

El conjunto complementario de A es la diferencia (o complementario relativo) entre

el conjunto universal y A, por lo que ambas operaciones (complementario y

diferencia) tienen propiedades similares. Dado un conjunto A, su complementario

es el conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A:

Esta definicin presupone que se ha especificado un conjunto universal U, pues

de otro modo, en la afirmacin todos los x que no estn en A, la palabra

todos es ambigua. Si se menciona explcitamente el conjunto universal U,

entonces el complementario de A es el conjunto de todos los elementos de U que

no estn en A, por lo que la relacin con la diferencia es clara

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Por otro lado, considerando un conjunto universal, la diferencia entre dos

conjuntos puede expresarse utilizando la nocin de complementariedad:

Ejemplo.

El complementario del conjunto de todos los hombres es el conjunto de todas las mujeres (hablando de personas). Hablando de nmeros naturales, el complementario del conjunto {1, 5, 6, 7, 8, 10} es el conjunto {2, 3, 4, 9, 11, 12, ...}. El complementario del conjunto A en la imagen es la zona sombreada de azul (el conjunto universal U es toda el rea del rectngulo) PROPIEDADES

Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideracin, y

el conjunto vaco no contiene a ninguno, se tiene lo siguiente:

Puesto que la nocin de complementariedad est relacionada con

la negacin en lgica, la primera posee propiedades similares a la segunda:

Existen tambin unas relaciones entre las operaciones de unin e interseccin a

travs del complemento:

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

Se denomina diferencia de A y B (en ese orden), y se representa A-B, al conjunto

formado por todos los elementos de A que no son elementos de B.

Complemento de un conjunto:

Dado un conjunto de referencia, toda vez que una cierta propiedad determina un

subconjunto, formado por los elementos que la verifican, determina al mismo

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tiempo otro subconjunto, que es el de los elementos que no la verifican. A este

subconjunto se le llama complemento del primero, respecto del conjunto de

referencia. Por ejemplo, si tomamos como referencia el conjunto de todos los

animales, y dentro de l llamamos M al conjunto de los mamferos, veremos que

automticamente queda configurado otro conjunto, al que llamaremos N, de los

animales no mamferos. Diremos que N es complemento de M, y la notacin ser:

N = M o tambin N = M

Al conjunto de referencia lo llamaremos referencial, designndolo con la letra

griega omega (), o tambin universal, como ya vimos.

Llamaremos complemento de un conjunto A respecto de un referencial , al

conjunto de todos los elementos de que no pertenece a A.

Es decir: A = - A

Ya vimos en la definicin de diferencia, esto mismo se podra escribir:

xA}

O directamente, si el referencial est sobreentendido:

A}

Propiedades del complemento:

Las siguientes propiedades estn, todas ellas, basadas en la definicin de

complemento. Queda su demostracin, entonces, a cargo del estudiante.

Propiedad 1 A A =

Propiedad 2 (A) = A

Propiedad 3 () =

Propiedad 4 =

Propiedad 5 AA =

Los teoremas de importancia:

Si un conjunto A est contenido en B, el complemento de B est contenido en el

complemento de A.

Quedo atenta a sus comentarios.

DIFERENCIA SIMTRICA DE CONJUNTOS

En teora de conjuntos, la diferencia simtrica de dos conjuntos es

una operacin que resulta en otro conjunto cuyos elementos son aquellos que

pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin pertenecer a ambos a la vez.

Por ejemplo, la diferencia simtrica del conjunto de los nmeros pares P y el

conjunto de los cuadrados perfectos C es un conjunto D que contiene los

cuadrados impares y los pares no cuadrados:

La diferencia simtrica de conjuntos se denota por , por lo que P C = D.

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Diferencia simtrica de dos conjuntos A y B.

Dados dos conjuntos A y B, su diferencia simtrica, A B, es un conjunto que

contiene los elementos de A y los de B, excepto los que son comunes a ambos:

La diferencia simtrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto A B cuyos

elementos son todos los elementos deA o B, a excepcin de los elementos

comunes a ambos:

si y slo si, o bien o bien

Ejemplo.

Sean A = {a, , 5, Z} y B = {8, #, a, , }. La diferencia simtrica es A B = {5, , #,

Z, 8}.

Sean los conjuntos de polgonos T = {pentgonos} y R = {polgonos regulares}. La

diferencia simtrica contiene los polgonos regulares y pentgonos que no sean

ambas cosas a la vez, o sea: R T = {Pentgonos irregulares y polgonos

regulares que no posean 5 lados}.

La definicin de la diferencia simtrica puede reducirse fcilmente a las

operaciones de unin, interseccin y diferencia:

Generalizaciones

La diferencia simtrica es conmutativa y asociativa por lo que al tomar la diferencia

simtrica de ms de dos conjuntos, el orden en el que se realizan las operaciones

es irrelevante (ver ms abajo). As es que se puede definir la diferencia simtria de

una familia de conjuntos finita:

Puede comprobarse que una definicin alternativa para esta diferencia de varios

conjuntos es incluir slo los elementos que aparecen un nmero impar de veces:

Propiedades[editar]

Artculo principal: lgebra de conjuntos

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De la definicin de diferencia simtrica puede deducirse directamente:

Nilpotencia. La diferencia simtrica de un conjunto consigo mismo es el conjunto

vaco:

La diferencia simtrica de un conjunto y uno de sus subconjuntos es

la diferencia entre ellos:

La diferencia simtrica tiene propiedades semejantes a las operaciones con

nmeros:

Propiedad asociativa. La diferencia simtrica de los conjuntos A y B C es igual

que la diferencia simtrica de los conjuntos A B y C :

Propiedad conmutativa. La diferencia simtrica de los conjuntos A y B es igual a la

diferencia simtrica de los conjuntos B y A :

Elemento neutro. La diferencia simtrica de un conjunto A con el conjunto vaco es

el mismo conjunto A:

Adems, con respecto a la interseccin existe una ley distributiva:

Propiedad distributiva

Las propiedades de la interseccin y la diferencia simtrica son similares a las del

producto y la suma en Z2. Esto implica que el conjunto potencia de un conjunto

dado X tiene estructura de anillo considerando estas dos operaciones. Este anillo

se corresponde (es isomorfo) al anillo de las funciones de X con valores en Z2,

con la suma y producto punto a punto. La correspondencia asigna a cada

subconjunto de X su funcin caracterstica.

Segundo Aporte Individual:

Planteamiento y resolucin (utilizando las operaciones necesarias y la

representacin a travs del Diagrama de Venn) de uno de los siguientes

problemas de Teora de Conjuntos (slo selecciona uno e informa en el foro el

seleccionado para que no sea escogido por otro integrante):

1. Al analizar la preferencia educativa en 500 estudiantes de la UNAD respecto a

matricularse en el periodo acadmico de 16 semanas o en el perodo acadmico

de 8 semanas se generaron los siguientes datos: 138 personas preferan el

periodo de 16 semanas pero no el de 8 semanas. 206 personas evidenciaron la

facilidad de matricular en ambos periodos acadmicos. 44 personas no mostraron

empata con estos periodos acadmicos, manifestaron que sera bueno aprender

por cursos y no por periodos. De acuerdo a la informacin dada:

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a. Cuntos estudiantes en total se inclinan por el periodo de 16 semanas?

b. Cuntos estudiantes prefieren matricularse en el periodo acadmico de 8

semanas?

c. Cuntos estudiantes prefieren el periodo de 8 semanas pero no el de 16

semanas?

d. Cuntos estudiantes evidenciaron matricularse por lo menos en uno de los dos

periodos acadmicos?

a. Cuntos estudiantes en total se inclinan por el periodo de 16 semanas?

Para el periodo de 16 semanas se inclinaron 344 estudiantes

138+206=344

b. Cuntos estudiantes prefieren matricularse en el periodo acadmico de 8

semanas?

Para el periodo acadmico de 8 semanas prefieren matricularse 318

206+112=318

c. Cuntos estudiantes prefieren el periodo de 8 semanas pero no el de 16

semanas?

Prefieren el periodo de 8 semanas 112 estudiantes.

206+138+44=388 500-388=112

d. Cuntos estudiantes evidenciaron matricularse por lo menos en uno de los

dos periodos acadmicos?

456 estudiantes evidenciaron matricularse en cualquiera de los dos periodos

acadmicos.

138+206+112=456.

2. En el CCAV Eje Cafetero hay un cierto nmero de estudiantes que se matricularon en el primer periodo intersemestral de este ao 2015, para lo cual debemos de determinar dicho nmero. Se sabe que cada uno de los estudiantes matriculados en dicho centro estudia, al menos, uno de los tres siguientes cursos: Pensamiento Lgico y Matemtico (PLM), Catedra Unadista (CU), Herramientas Teleinformtica (HT). Pues bien, al verificar en Registro y control la base de datos se obtuvo la siguiente informacin:

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Pensamiento Lgico y Matemtico 48 matricularon; 45 se matricularon en Catedra Unadista; en Herramientas Teleinformticas 49 estudiantes figuran matriculados; 28 matricularon simultneamente PLM y CU; 26 matricularon de manera conjunta PLM y HT; los cursos de Catedra Unadista y Herramientas Teleinformticas poseen 28 estudiantes matriculados simultneamente; los tres cursos fueron matriculados a la vez por 18 estudiantes. Se pregunta:

Cuntos estudiantes ingresaron al CCAV Eje Cafetero para el primer intersemestral de este ao 2015?

Cuntos estudian Pensamiento Lgico y Matemtico junto con Catedra Unadista, pero no Herramientas Teleinformticas?

Cuntos estudian nicamente Herramientas Teleinformticas? Pensamiento Lgico y Matemtico = (PLM) = A Catedra Unadista = (CU) = B Herramientas Teleinformtica = (HT) = C A = 48 B = 45 C = 49 A + B = M =28 A + C = N =26 B + C = O =28 A + B + C = X =18

3. Un conjunto formado por 250 personas present una prueba formada por tres preguntas. Luego de la correccin, se obtuvieron los siguientes resultados: 27 respondieron correctamente las tres preguntas, 31 respondieron correctamente slo la primera y la segunda pregunta, 32 respondieron correctamente slo la primera y la tercera pregunta, 15 respondieron correctamente slo la segunda y la tercera pregunta, 134 respondieron correctamente la pregunta 1, 87 respondieron correctamente la segunda pregunta y 129 respondieron correctamente la pregunta tres. Con la ayuda del diagrama de Venn calcule el nmero de personas que no respondi correctamente ninguna pregunta.

Este problema presenta un problema ya que el nmero de muestras supera el

tamao de la muestra.

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4. A continuacin se presenta un grfico obtenido al analizar los estudiantes del

ao pasado que presentaron la prueba nacional en Tema A, B y C que reprobaron

dicha prueba y fue necesario que habilitaran el curso. El Diagrama de Venn es el

siguiente:

Con relacin a dichos datos se desea conocer:

a. Nmero de estudiantes que habilitaron: 64 estudiantes habilitaron

b. Nmero de estudiantes que presentaron tema B y C: Fueron 5 estudiantes

c. Nmero de estudiantes que presentaron o el Tema B, o Tema A o

Tema C: Tema A 13 estudiantes, tema B 27 estudiantes, tema C 7 estudiantes.

d. Nmero de estudiantes que presentaron Tema A y B: Fueron 4 estudiantes

e. Nmero de estudiantes que slo presentaron Tema A: Fueron 13 estudiantes

f. Nmero de estudiantes que presentaron los tres Temas de Evaluacin: Fueron 3

estudiantes.

g. Nmero de estudiantes que presentaron Tema c pero no el Tema B: Fueron 12

estudiantes.

5. En el Instituto INVIL de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD,

hay 14 estudiantes que siguen al mismo tiempo los cursos de francs e ingls, hay

16 que estudian francs, 27 que estudian ingls y 7 no estudian idiomas. Halle el

nmero de estudiantes que estudian en el instituto. Sugerencia: Represente los

conjuntos en un diagrama de Venn.

I F = 14

F = 16

I = 27

NE = 7

Total Instituto = 64

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FASE GRUPAL

La segunda fase corresponde a la produccin intelectual que como grupo lleguen

a consolidar. La Fase Grupal est comprendida en dos momentos:

El primer momento consiste en la participacin significativa de cada integrante en

el E-Portafolio del Curso. Para este aporte, cada estudiante escoger una de las

siguientes propiedades de las operaciones entre conjuntos (publicar en el Foro

de Interaccin y Produccin la propiedad seleccionada para evitar que otro

integrante la seleccione) y evidenciar en el E-Portafolio la demostracin o un

ejemplo. Las propiedades son:

Leyes de Idempotencia.

Leyes Asociativas.

Leyes Conmutativas.

Leyes distributivas.

Leyes de DMorgan.

EL SEGUNDO MOMENTO DE LA FASE GRUPAL consiste en entregar un

documento en PDF, en el cual, como grupo realicen el planteamiento y la solucin

del siguiente problema de Teora de Conjuntos:

En un estudio realizado en 24 municipios de Colombia por los aprendientes de la

UNAD de la escuela de agrarias encontraron los siguientes datos, 20 especies de

serpientes arbreas, 24 especies de serpientes son terrestres, 24 especies de

serpientes son de agua, 19 especies de serpientes son venenosas, adems

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algunas especies de serpientes presentan algunas de las siguientes

caractersticas: 6 especies arbreas tambin terrestres, 10 especies que son

acuticas tambin son arbreas, 4 especies arbreas son terrestres y tambin son

acuticas, 9 especies de las serpientes terrestres tambin son acuticas, 3

especies que son terrestres tambin son acuticas y son venenosas, 6 especies

terrestres son tambin son venenosas, 8 especies de serpientes que son

acuticas tambin son venenosas Cuntas especies estudiaron los

Herpetlogos?

20 especies de serpientes arbreas, A

24 especies de serpientes son terrestres, B

24 especies de serpientes son de agua, C

19 especies de serpientes son venenosas, D

6 especies arbreas tambin terrestres,

10 especies que son acuticas tambin son arbreas,

4 especies arbreas son terrestres y tambin son acuticas,

9 especies de las serpientes terrestres tambin son acuticas,

3 especies que son terrestres tambin son acuticas y son venenosas, 6 especies

terrestres son tambin son venenosas,

8 especies de serpientes que son acuticas tambin son venenosas

(U)=? (A)=20 (B)=24 (C)=24 (D)=19

(AB)=6 (CA)=10 (ABC)=4 (BC)=9 (BCD)=3 (BD)=6 (CD)=8

Obtencin de conjuntos particular: les restamos la intercesin donde intervienen para saber la cantidad que hay en realidad. (A+B+C+D)=(A)+(B)+(C)+(D)-(AB)

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(A+B+C+D)=20+24+24+19-6-10-9-6-8+4+3 (A+B+C+D)= 55

Cuntas especies estudiaron los Herpetlogos?

RTA/= Los herpetlogos estudiaron un total de 55 especies

Al momento de relacionar ms de tres conjuntos en el diagrama de ven se

evidencia que en el ejercicio o problema no se pudo expresar grficamente ya que

por la forma geomtrica se dificulto por lo tanto se qued una expresin por fuera

pero en el resultado teniendo en cuenta las operaciones realizadas se obtiene el

resultado a la pregunta del problema

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CONCLUSIN

Con este trabajo hemos aprendido muchas cosas en las que algunos de nosotros

no tenamos conocimientos sobre estos temas y ha sido de gran importancia para

nuestra vida, en esta etapa del desarrollo del conocimiento sobre estas teoras de

conjuntos, gracias al estudio y al anlisis de las temticas dadas por la universidad

y fuentes documentales referenciadas e investigadas y son estos conocimientos lo

que nos ayuda a ir creciendo poco a poco, paso a paso lo que nos va llevando da

a da a ser cada vez mejores personas, mejores profesionales para `prestar un

servicio oportuno y adecuado a una sociedad que cada da exige ms.

unidad uno: teorÍa de conjuntos

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