teorÍa de conjuntos
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TEORÍA DE CONJUNTOS
1. CONCEPTO: El término CONJUNTO es aceptado en Matemáticas como un " CONCEPTO PRIMITIVO", es decir, se acepta sin definición. Intuitivamente, un CONJUNTO es una colección o agrupación de objetos llamados elementos.
Ejemplos:
i) El conjunto de los días de la semanaii) El conjunto de los profesores del grupo ACSIii) El conjunto de los números 3; 5; 12 y 18
2. NOTACIÓN: Generalmente los conjuntos se denotan por letras mayúsculas A, B, C, ..etc y los elementos por letras minúsculas, mayúsculas u otros simbolos, separados por comas y encerrado entre llaves.
Ejemplos:
A={Lunes, Martes, Miercoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo}B={Jorge, Alberto, Mario, Manuel, Nestor, Ricardo}C={3; 5; 12; 18}
3. RELACIÓN DE PERTENENCIA ( ).- Si un elemento está en un conjunto o es parte de él, diremos que "PERTENECE" a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbolo "" , en el caso de no pertenecer por "".Ejemplo:
Dado el conjunto, A={2; 5; 7; 8}
Entonces:2 ……… A4 ………. A7 ……... A
4. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS: Existen dos formas de determinar un conjunto:
4.1 POR EXTENSIÓN.- Cuando se nombran todos los elementos que conforman el conjunto.
Ejemplos A = {a; m; o; r} y B = {1; 3; 5; 7; 9}
4.2 POR COMPRENSIÓN.- Cuando se menciona una o más características comunes a todos los elementos del conjunto.
Ejemplos:
A = { x/x es una letra de la palabra aroma}
B = {x/x es un número impar menor que 10}
5. CONJUNTOS ESPECIALES
5.1 CONJUNTO VACIO O NULO.- Es aquel conjunto que carece de elementos. Se le denota por: ó { }Ejemplos:
A={x/x es un número par terminado en 5} entonces A={ }
B={x/x es un hombre vivo de 200 años} entonces B={ }
5.2 CONJUNTO UNITARIO.- Es aquel conjunto que tiene un sólo elemento
Ejemplos: A={x/xN6<x<8}A = {7} B = {2; 2; 2} = {2}
5.3 CONJUNTO UNIVERSAL.- Es aquel conjunto que se toma como referencia, para un determinado problema, y en el que se encuentran todos los elementos con que se está
trabajando. Se le denota por la letra U.
Ejemplo;
Si: A = {1, 2, 3} B = {-1, 0, 4}
Un conjunto universal para A y B podría ser:
U = {-1, 0, 1, 2, 3, 4}
Pues los elementos de A y B están en U.
6. CARDINAL DE UN CONJUNTO .- Sea A un conjunto finito, el cardinal de un conjunto es el número de elementos diferentes que posee dicho conjunto. Se denota por: n(A)
Ejemplos:
A = {3; 4; 7; 9; 13} n(A) = 5 se lee: "el cardinal de A es 5"
B = {a, b, c, b, a, a} = {a, b, c} n(B) = 3
7. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
7.1IGUALDAD.- Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Se denota por
A = B Ejemplo: sean los conjuntos A = {2; 3; 4} y B = {x/xN, 1<x<5}
Entonces podemos decir A = B, pues B = {2; 3; 4}
7.2INCLUSIÓN.- Diremos que A está incluido en B o es subconjunto de B; si y sólo si todos los elementos de A son también elementos de B. Se denota por:A B y se lee: "A está incluido en B" ó "A es un subconjunto de B"La negación de A B se escribe A BEjemplo 1:
A = {1, 2, 3}B = { 0;1;2; 3; 4; 5}
A B
Ejemplo 2: Dado el conjunto A = {3; {6}; 9; 10}
Entonces se cumple:
{3}……….A{3,9}……..A{{6}}……..A{3; 6}…….A
PROPIEDADES
i) A A, A (A, se lee: para todo conjunto A)
ii) A B y B C A C
8. CONJUNTO POTENCIA.- Dado el conjunto A, se denomina conjunto potencia de A y se denota por P(A), al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A.
Ejemplo: Si A={2;5}
Entonces: P(A)={ ; {2}; {5}; {2,5}}
Siempre es un subconjunto A.
NOTA: Si un conjunto finito A, tiene como cardinal n(A)
Se cumple: n[P(A)] = 2n(A)
Donde: n[P(A)] = es el número de elementos del conjunto potencia ó número de subconjuntos del conjunto A.
Ejemplo: Si n(A) = 5
n[P(A)] = 2n(A) = 25 = 32Es decir A, tiene 32 subconjuntos.
PRACTICA DIRIGIDA
1. Dado el conjunto A={2; 6; 7}Determinar verdadero (V) o Falso (F) según corresponda
2 A ( )7 A ( ){6} A ( ){2; 7} A ( )
2. Dado el conjunto B={m; t; a; r}Determinar la verdad (V) o Falsedad (F) de cada proposición
{m} B ( )r B ( ){t} B ( ){m; a; r} B ( )
3. Dado el conjunto A={4; {3}; {2}; 5}Indicar Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda
{3} A ( ){4} A ( ){4; {2}} A ( ){{2}} A ( )n(A) = 4 ( )
4. Indicar por extensión cada uno de los siguientes conjuntos.
A = {x/xN, 5 < x < 12}…………………………………………………
B={x/xZ,10<x < 18}………………………………………………….
C = {x/xN, x < 6}…………………………………………………
D = {x/xN, -3 < x < 3}…………………………………………………
E = {x/xN, x>10}…………………………………………………
5. Hallar la suma de los elementos de cada conjunto.
A = {x + 3 / xN, 5<x<10}………………………………………………….
B = {x² + 1 / xN, 3<x<7}…………………………………………………
C = {x² + 3x + 2 / xN, x<4}………………………………………………
D = {x4 + 2 / xZ, 2<x<5}………………………………………………….
E = {4x² - 3 / xZ, -5 < x < -1}…………………………………………….
PROBLEMAS
1. Dado el conjuntoA = {1; {1,2}; 3}
Indicar Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda.
i) {1,2} Aii) 1 Aiii) 2 Aiv) {2} A
a) VVFV b) FVFF c) VVFFd) VFFF e) VVVF
2. Dado el conjunto;
A = { 5; {5}; 7; {5,1} }
Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda
i) {5} Aii) {5;7} Aiii) {5;1} Aiv) {7} A
a) VFFV b) FVFV c) VVVVd) VVFV e) FVFF
3. ¿Cuál (es) de los siguientes conjuntos es vacío?
A = {x/xN, 5<x<6}
B = {x/xQ, 3<x<4}
C = {x/xZ, -6<x<-4}
D = {x/xN, -6<x<-4}
a) A y D b) A y C c) B y Dd) Sólo A e) Sólo D
4. ¿Cuál (es) de los siguientes conjuntos es unitario?
M = {x/xN, x<1}P = {x/xZ, x<1}Q = {x/xN, -2<x<0}R = {x/xQ, 5<x<7}
a) M y Q b) M y P c) M y Rd) Sólo M e) Sólo P
5. Dados los conjuntos
A = {x/x es una vocal de la palabra mátala}B = {x/x es una vocal de la palabra beber}C = {x/x es una vocal de la palabra elementos}D = {e, o}Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda
i) A es un conjunto unitarioii) B es un conjunto vacioiii) B es un subconjunto de Civ) C y D son conjuntos iguales
a) VVVV b) VFFV c) VFVVd) VVFV e) VFVF
6. Dados los conjuntos: U (universo)
U = {x/x N, }A = {x²/xN, x<5}B = {x+5/xN, 3 < x < 7}C = {x² + 1/xN, x < 4}
Hallar el cardinal de A, B y C
a) 5; 3; 4 b) 5; 2; 4 c) 3; 2; 3d) 3; 2; 4 e) 3; 3; 4
7. Dados los conjuntos
U = {1,2,3,4 .............., 15}
A = {x/xZ, x < 6}B = {x/xN, < x <}C = {x/xN, x > 10}
Hallar: n(A) . n(B) . n(C)
a) 72 b) 25 c) 75d) 81 e) 60
8. Si los conjuntos A y B son iguales.Hallar: m + p
A = {7; m+3}B = {12; p-4}
a) 20 b) 12 c) 18d) 15 e) 10
9. Dados los conjuntos iguales A, B, C. Hallar: m + t + s (m,t,s N)
A = {15; 12; 9}B = {2m; m+3; 15}C = {s + 2; 12; 10+t}
a) 12 b) 15 c) 18d) 20 e) 21
10.¿Cuántos subconjuntos tiene A?, si n(A)=5
a) 16 b) 32 c) 18d) 64 e) 25
11.Si n[P(A)] representa el número de elementos del conjunto potencia de A. Hallar n(A). n(B)Si: nP(A) = 128
nP(B) = 512
a) 56 b) 72 c) 63d) 70 e) 48
12.Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
i) Si n(A)=0, entonces nP(A) = 0ii) Si n(A)=1, entonces nP(A) = 2iii) Si n(B)=3, entonces nP(B) = 6iv) Si A= , entonces nP(A) = 1
a) FVVV b) FVFF c) VVFVd) VVFF e) FVFV
13.Dado el conjunto
A = {2; 5; 6; 10}
Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:
i) {2} P(A)ii) 6 P(A)iii) n P(A) = 16iv) {5; 6; 10} P(A)v) P(A)
a) VFVVV b) VFFVV c) VVVFVd) VFVVF e) FFVVV
14.Dado el conjunto
A = {a; b; c; d; e}
¿Cuántos subconjuntos tienen por lo menos 2 elementos?
a) 25 b) 26 c) 27d) 28 e) 30
15.Dado el conjunto:
A = {m, p, q, r, s, t}
¿Cuántos subconjuntos tienen a lo más 4 elementos?
a) 64 b) 62 c) 63d) 58 e) 57
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Dados: A = {x ; y ; {m ; n}}Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas:I. y AII. {m; n} AIII. {x ; y} AIV. {y; {m; n}} P (A)V. {{x}; {x; y}} P(A)a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e)
02. Dados los conjuntos unitarios: A = {x + y ; 8}B = {x - y ; 4}Hallar: x + y a) 20 b) 30 c) 40 d) 45 e) 25
03. ¿Qué operación de conjunto corresponde al siguiente gráfico?.a) (A – B) (B – C)b) (A B) – (B C)c) (A B) C – (A B)d) (A – B) Be) (A B) (B C)
04. A y B son conjuntos binarios, iguales con a y b IN. Entonces x es: A = {a + 4; 5 ; 2b ; b2} ; B = {5a ; x}
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
05. De acuerdo con el siguiente diagrama señale la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes operaciones: I. B y D no son disjuntos.II. A y C no son comparablesIII. C B y B UIV. B D , C A
a) FFVV b) FVFV c) VVFVd) VVVF e) VVFF