Introduccin a la teora de conjuntos

Daniel Dario Fula Arguello

27 de abril de 2014

A continuacin se resuelven los ejercicios propuestos en clase.

1. Demuestre que (N,) es una cadena.Queremos demostrar que para cualesquiera m y n en N, m n o n m y como la armacin es sobrelos nmeros naturales, razonaremos por induccin sobre n. Antes de eso probaremos los siguientes lemasque nos sern de utilidad.

Lema 1 El nmero 0 es el mnimo del conjunto de los nmeros naturales (n N, 0 n).Demostracin. Razonemos por induccin sobre n. Denamos el conjunto S := {n N : 0 n}.Claramente 0 0, pues o = 0, por lo cual 0 S. Ahora supongamos que n S, veamos que n+1 S.Como n S, por denicin de S, 0 n. Tenemos por denicin de sobre N que 0 = n o0 n. Encualquiera de los dos casos fcilmente vemos que 0 n {n} = n + 1 por lo cual 0 n + 1. Por lotanto, como el conjunto S satisface las condiciones del principio de induccin matemtica, el conjuntoS es el conjunto de los nmeros naturales y concluimos que el nmero 0 es el mnimo de N.Lema 2

Demostracin. Sea S el conjunto de todos aquellos nmeros naturales n y m, tales que n m o m n.Primero, veamos que 0 S.

2. Ningn natural es elemento de si mismo.

3. Demuestre que todo espacio vectorial tiene una base.

Antes de hacer la demostracin de este hecho, recordemos algunos conceptos del lgebra lineal.

Deniciones. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Un conjunto nito {x1, x2, ..., xn} de vec-tores en V es linealmente dependiente si existe un conjunto correspondiente de escalares {1, 2, ..., n}en K, no nulos, tal que 1x1 + ... + nxn = 0. Si de otra forma, 1x1 + ... + nxn = 0 implica quelos escalares 1, 2, ..., n son todos nulos, el conjunto {x1, x2, ..., xn} es linealmente independiente.Decimos que x es una combinacin lineal de {x1, x2, ..., xn} si x = 1x1 + ... + nxn. Una base de Ves un subconjunto B V de vectores linealmente independientes tales que cada vector en V es unacombinacin lineal de elementos de B.Teniendo claros los anteriores conceptos empezaremos la demostracin.

Demostracin. Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpoK y sea C la familia de todos los subconjuntoslinealmente independientes de V . Se tiene que el conjunto C es diferente de vaco, pues para cada vectorno nulo v en V , el conjunto {v} es un conjunto linealmente independiente. Adems el conjunto C estordenado parcialmente por la relacin (pues la relacin es una relacin de orden sobre cualquierconjunto). Veamos que el conjunto C est inductivamente ordenado, es decir, que toda cadena C enC posee una cota superior. Denimos el conjunto X como la union de todos los vectores que estanen los elementos L de C, X =

LC L. Tenemos que X es una cota superior de C, porque paracualquier elemento Li en C, Li

LC L = X. Ahora veamos que X est en C, esto es, que losvectores en X son linealmente independientes; para ello consideremos un subconjunto nito {x1, ..., xn}de X. Como X es la unin de elementos Li de C existen L1, L2, ...Ln, no todos diferentes, tales quex1 L1, x2 L2, ..., xn Ln. Teniendo en cuenta que C es una cadena ordenada por la relacin ,podemos suponer sin perdida de generalidad que L1 L2 ... Ln. Por lo cual concluimos que

{x1, ..., xn} Ln y como Ln es un elemento de C, es decir Ln es un subconjunto de V linealmenteindependiente, concluimos que {x1, ..., xn} tambin es linealmente independiente, por lo cual X C. Yaque toda cadena arbitraria C de C est acotada superiormente, podemos concluir que C es un conjuntoinductivamente ordenado. Por el lema de Zorn, concluimos que el conjunto C tiene un elemento maximalB. Lo que nos resta es comprobar que B es una base de V . Por lo anterior, B es un subconjuntolinealmente independiente de V . Ahora para un vector v V tenemos los siguientes casos, v B v / B. Si v B, v es una combinacin lineal de B (v es igual a la suma de todos los vectores en B,excepto v, multiplicados por cero ms el vector v). Si v / B tenemos dos posibilidades, que v = 0, porlo tanto es combinacin lineal de B (si sumamos todos los vectores de B multiplicados por cero) y quev 6= 0, de donde tenemos que B {v} no puede ser linealmente independiente, pues B es un elementomaximal de C. Como B {v} es linealmente dependiente, deben existir v1, v2, ..., vn vectores en B yescalares , 1, 2, ..., n no todos nulos, tales que v + 1v1 + ... + nvn = 0, de donde tenemos que

v = 1v1 ... n

vn, por lo cual v es combinacin lineal de vectores de B. Por lo tanto B es una

base del espacio vectorial V .

4. Parte de la demostracin del axioma de eleccin. Ver cuaderno

5. Parte de la demostracin del axioma de eleccin. Ver cuaderno.

6. Probar que si P es un conjunto ordenado, entonces para cada cadena C P existe una subcadenaconal C.