Cálculo diferencial Fecha de entrega: 6/Febrero/2015Grupo: 21 Equipo: 6Nombres de integrantes: Acosta Soriano ArmandoBreña Anduaga Juan CarlosSoto Marín José German

Título del proyecto: La Aplicación del Cálculo en la base teórica del funcionamiento de un generador eólico de una fase.

Objetivo: Mostrar la aplicación que tiene la Ley de inducción electromagnética de Faraday-Lenz en la función de un generador eólico de una fase.

El proyecto consiste en la construcción de un generador eólico de una fase. Un generador convierte la energía mecánica en eléctrica, variando el flujo magnético que pasa por un circuito. Cuando un imán pasa por el área que encierra un embobinado se le hace pasar por un campo magnético estático, se induce una corriente eléctrica que cambia de dirección, y se le hace llamar corriente eléctrica alterna.

El enunciado de la Ley de inducción electromagnética de Faraday-Lenz nos dice:

“El voltaje inducido en un circuito cerrado es directamente proporcional a la rapidez con la que cambia en el tiempo el flujo magnético que atraviesa una superficie cualquiera con el circuito como borde.”

El modelo matemático de la Ley de inducción electromagnética de Faraday-Lenz es:

Donde: El campo eléctrico es

El componente infinitesimal del contorno C es

La densidad del campo magnético es

S es cualquier superficie, cuyo borde es C

Cuando un circuito es un embobinado, el voltaje inducido también es proporcional al número de vueltas del embobinado y está expresado por el modelo matemático:

Donde:

El voltaje inducido es Vε

El flujo de campo magnético es Φ

La tasa de variación del flujo magnético es dΦ/dt

Podemos apreciar en ambos modelos que el signo negativo se debe a la dirección del voltaje inducido, el cual se explica en la Ley de Lenz, que nos dice que el campo magnético producido por la corriente inducida en el circuito tendrá una dirección tal que se oponga al campo magnético que crea la corriente inducida.

Para realizar la construcción del generador eólico de una fase, se necesita: Cable de cobre con longitud y resistencia eléctrica definida Tres pliegos de cartón para hacer las aspas Un tuvo de PVC para hacer el soporte de las aspas, Un imán Una varilla para sostener el imán a las aspas una tabla para hacer el soporte del generador.

Como podemos ver la siguiente imagen nos representa un generador similar al que hemos propuesto.

Este proyecto aplicará lo visto en el curso de Cálculo diferencial Tambien nos ayudara la Ley de inducción electromagnética de Faraday-Lenz que incluye una derivada para calcular la taza de variación del flujo magnético.

Páginas de consulta y bibliografía: http://www2.ib.edu.ar/becaib/cd-ib/trabajos/LopezL.pdf http://www.uv.es/~navasqui/aero/Manualeolo.pdfhttp://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/farlaw.htmlLarousse, diccionario esencial de Física

Cálculo diferencial Fecha de entrega: 13/Febrero/2015Grupo: 21 Equipo: 6Nombres de integrantes:Acosta Soriano ArmandoBreña Anduaga Juan CarlosSoto Marín José German

Establecimiento del problema a resolver

El proyecto ha presentar es un generador eólico, para poderlo fabricar se tomarán en cuenta aspectos que tienen que ver con el fundamento teórico. Para poder explicar el funcionamiento del generador se tomaran en cuenta las siguientes variables:

El número de vueltas del cable de cobre para hacer el embobinado y el cambio del flujo magnético con respecto al tiempo según dicta la ley de inducción electromagnética de Faraday-Lenz, la expresaremos en la siguiente fórmula que considera al circuito en el que se inducirá la corriente eléctrica como un embobinado.

Donde:El voltaje inducido es: Vε

El flujo de campo magnético es: Φ La taza de variación del flujo magnético es : dΦ/dt

Para poder explicar el funcionamiento del generador usando la fórmula se debe aplicarse considerando que la cantidad de vueltas que da el cable de cobre es una cantidad escalar que puede obtenerse directamente, mientras que el cambio de flujo magnético con respecto al tiempo es una derivada de la función del flujo magnético con el tiempo como variable independiente.Debemos que recalcar que el flujo magnético es una cantidad vectorial que expresa la cantidad de magnetismo y que se calcula a partir de la intensidad de un campo magnético, la superficie en la que incide y el ángulo de incidencia que forman ambos vectores . El flujo magnético se expresa en la siguiente fórmula:

Donde: ϕ es el flujo magnético B⃗ es el campo magnéticoS⃗ es el vector normal a la superficiecos (ϑ ) es el ángulo de incidencia entre ambos vectores

Bibliografía y páginas de consulta:

Física para ingenierías y ciencias de Wolfgang Bauer y Gary D. Westfall, volumen 2http://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_magnéticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Faradayhttp://fede-tesla.blogspot.mx/p/teoria_15.html

Cálculo diferencial Fecha de entrega: 27/Febrero/2015Grupo: 21 Equipo: 6Nombres de integrantes:Acosta Soriano ArmandoBreña Anduaga Juan CarlosSoto Marin Jose German

Metodología a seguir

El proyecto sigue la metodología de una investigación práctica, ya que este consiste en la elaboración de un artefacto, la cual se fundamenta teóricamente en un modelo matemático con la ayuda del cálculo diferencial.

La parte práctica y experimental del proyecto trata la elaboración de un alternador eólico que mediante el fenómeno de inducción produzca una fuerza electromotriz.

La parte teórica del proyecto consiste en el empleo de modelos matemáticos para demostrar cómo se obtiene la velocidad angular, la frecuencia angular y el periodo de rotación de la hélice del generador eólico.

Una vez construido el generador-alternador, pasaremos a realizar una simulación del experimento en el exterior la cual nos llevara a la formulación de una función que describa el desplazamiento angular de la hélice, como podemos observar a continuación se aplicarán los modelos matemáticos que permitirán obtener la velocidad angular, la frecuencia y el periodo de rotación de la hélice al girar.

Como podemos observar en la siguiente se puede apreciar como es el planteamiento que tenemos vara el diseño de la hélice para el prototipoCabe mencionar que todos los resultados obtenidos los guardaremos para que nos puedan ayudar en la formulación de las conclusiones

Cálculo diferencial Fecha de entrega: 20/Marzo/2015Grupo: 21 Equipo: 6Nombres de integrantes:Acosta Soriano ArmandoBreña Anduaga Juan CarlosSoto Marin Jose German

Modelo matemático

Un modelo matemático describe teóricamente un objeto (en este caso nuestro prototipo) que existe fuera del campo de las matemáticas cabe mencionar que el éxito que tenga el objeto depende mucho de la precisión con la que se realice el modelo matematico Los modelos matemáticos son las fórmulas de la velocidad angular, la frecuencia angular y el periodo de rotación.

La velocidad angular es un vector que es igual a la rapidez con la que un ángulo cambia en el tiempo, su dirección está dada por la regla de la mano derecha. La magnitud media de la velocidad angular esta definida como:

ω=θ2−θ1t 2−t 1

= ΔθΔ t

Donde:

ω Es la velocidad angular.

La velocidad angular es medida en radianes sobre segundo ( rads ) θ1Es un ángulo medido en un tiempo t 1 en segundos (s). El ángulo es medido en

radianes. θ2 Es un ángulo medido en un tiempo t 2 posterior a t 1, mayor que θ1. Δθ Es una diferencia de ángulo. Δt Es una diferencia de tiempo.

Cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, se obtiene el valor de la velocidad angular instantánea.

ω= limΔt →0

ΔθΔt

=dθdt

La frecuencia angular, f , mide las revoluciones de un cuerpo que describe una rotación

por unidad de tiempo; su unidad del sistema internacional es el Hertz (Hz=1s ). La

frecuencia angular se puede obtener dividiendo la velocidad angular entre 2π radianes, ya que una revolución necesita un cambio de ángulo de 2π radianes.

f= ω2π

⟺ω=2 πf

El periodo de rotación (T) mide el tiempo en el que un cuerpo describe una revolución, su unidad en el sistema internacional son los segundos (s). Se relaciona con la velocidad angular y la frecuencia angular por

T=1f

, así ω=2πf=2πT

Bibliografia Definición de modelo matemático - Qué es, Significado y Concepto http://definicion.de/modelo-matematico/#ixzz3aSdPEUi8

Cálculo diferencial Fecha de entrega: 17/Abril/2015Grupo: 1136 Equipo: 6Nombres de integrantes:Acosta Soriano ArmandoBreña Anduaga Juan CarlosSoto Marin Jose German

Solución del problema

Para conseguir el objetivo del proyecto se determinaran tres características físicas de la hélice del generador-alternador eólico:

La velocidad angular La frecuencia angular El periodo de rotación.

Para poder comprobar que los modelos matemáticos establecidos permiten determinar las magnitudes mencionadas, registraremos en tres diferentes tablas las cuales serán una por cada magnitud a la que se haya relizado, La hélice que se tiene planeado construir será como la siguiente, con cuatro aspas y las siguienes caracteristicas:

• Tendra un ventilador que proporcione una corriente de viento a velocidad constante se hará girar la hélice.

En la hélice se marcarán medidas de diferentes ángulos y con ayuda de un cronómetro se tomarán los datos necesarios para determinar la velocidad angular, la frecuencia angular y el periodo de rotación.

• Los datos se registrarán en tablas, para determinar con el método de regresión lineal, el modelo matemático y con el método de mínimos cuadrados la pendiente de la gráfica que formen los datos.

• Se obtendrá una función que describa el ángulo de rotación de la hélice con respecto al tiempo midiendo la velocidad de la hélice.

• Al derivar la función se obtiene la velocidad angular de la cual se obtendrán la frecuencia angular y el periodo de rotación, dada la relación explicada en el apartado del modelo matemático del proyecto. Una vez obtenidas la tres magnitudes, se compararán con el modelo matemático obtenido del método de regresión lineal y así se verificará si la fórmula teórica, que involucra el cálculo diferencial, logra determinar las magnitudes físicas: velocidad angular, frecuencia angular y periodo de rotación.

Bibliografia

Cálculo diferencial Fecha de entrega: 8/Mayo/2015Grupo: 21 Equipo: 6Nombres de integrantes:Acosta Soriano ArmandoBreña Anduaga Juan CarlosSoto Marin Jose German

Validación: Simulación, experimento, prototipo

Para poder realizar el experimento se ocupó un transportador de 360º para marcar diferentes ángulos en la hélice, se ocupó un cronómetro para medir el tiempo en el que la hélice giraba los diferentes ángulos y se ocupó un ventilador y/o secadora para proporcionar una corriente de aire a una velocidad constante. Se realizaron mediciones para determinar la velocidad angular, la frecuencia angular y el periodo de rotación.

Velocidad angular:Al realizar la medición inicial, se determinó que la función f que permite determinar los ángulos en radianes según el tiempo es:

f ( t )= π0.32

t

Donde:t es el tiempo en segundos f (t) es el ángulo en radianes

Para obtener la velocidad angular ω se deriva la función f

f ' (t )= π0.32

Se definieron ángulos que fueron marcados en la hélice y en el transportador; se tomó el tiempo que la hélice tardaba en girar los ángulos. Los resultados se anotaron en la tabla siguiente:

Ángulos en radianes (variable dependiente y)

Tiempo en segundos (variable independiente x)

0 0

π4

0.09

π2

0.18

3π4

0.29

π 0.38

5π4

0.42

3π2

0.57

7π4

0.62

2π 0.71

Aplicando la técnica de regresión lineal con el método de mínimos cuadrados a los datos, se obtuvo el resultado siguiente:

xiyi xi yi xi2

0 0 0 00.070685835 0.09 0.785398163 0.00810.282743339 0.18 1.570796327 0.03240.683296402 0.29 2.35619449 0.08411.193805208 0.38 3.141592654 0.14441.649336143 0.42 3.926990817 0.17642.686061719 0.57 4.71238898 0.32493.408628029 0.62 5.497787144 0.38444.461061568 0.71 6.283185307 0.5041∑ xiyi=14.4356 ∑ xi=3.26 ∑ yi=28.2743 ∑ xi

2=1.6588

n=9

Formula de Minimos Cuadrados:

a=n (Σ x i y i)−(Σ x i)(Σ y i)

n (Σ x i2 )−(Σ xi)2

Sustituyendo:

a=9 (14.4356 )−(3.26)(28.2743)

9 (1.6588 )−(3.26)2=¿8.774916775

Para calcular el error experimental se multiplicó por cien el cociente del resultado experimental entre el resultado teórico y se obtuvo el valor absoluto de la diferencia del valor anterior y cien.

%EE=8.774916775π0.32

×100=280.7973368π

×100=89.38056831752%

%E=|100%−89.38056831752%|=10.61943168248% ≈10.62%

Frecuencia angular

La frecuencia angular se obtiene dividiendo la velocidad angular entre 2π:

f=ω2π

=

π0.322π

=10.64

Donde:

f es la frecuencia medida en revoluciones por segundo 1s

Se definieron segundos y se midieron los grados que recorría la hélice, a continuación se dividen esos grados entre 2π para obtener la fracción de revolución que la hélice giró.

Tiempo en segundos (variable independiente x)

Número de revoluciones (ángulos de las

revoluciones en radianes entre 2π, variable

dependiente y)

Ángulos de las revoluciones en

radianes

Ángulos de las revoluciones en grados

0 0 0 0

1 1.6277293π90

586

1.5 2.3777214 π45

856

2 3.4833209π30

1254

2.5 4.26941537π180

1537

3 4.975199π20

1791

3.5 5.5138133π12

1985

4 6.475777π60

2331

4.5 7.83881361π90

2722

Aplicando la técnica de regresión lineal con el método de mínimos cuadrados a los datos, se obtuvo el resultado siguiente:

xiyi xi yi xi2

0 0 0 01.627777778 1 1.627777778 13.566666667 1.5 2.377777778 2.256.966666667 2 3.483333333 410.67361111 2.5 4.269444444 6.2514.925 3 4.975 919.29861111 3.5 5.513888889 12.25

25.9 4 6.475 1635.275 4.5 7.838888889 20.25∑ xiyi=118.2333 ∑ xi=22 ∑ yi=36.5611 ∑ xi

2=71

n=9

Formula de Minimos Cruadrados:

a=n (Σ x i y i)−(Σ xi ) (Σ y i )n (Σ x i2)−(Σ x i )

2

Sustituyendo:

a=9 (118.2333)−(22)(36.5611)

9 (71 )−(22)2=¿1.675841935

Para calcular el error experimental se multiplicó por cien el cociente del resultado experimental entre el resultado teórico y se obtuvo el valor absoluto de la diferencia del valor anterior y cien.

%EE=1.67584193510.64

×100=(1.675841935×0.64 )×100=107.25388384%

%E=|100%−107.25388384%|=7.25388384% ≈7.25%

Periodo de rotación:

El periodo de rotación se obtiene dividiendo a la unidad por la frecuencia angular, es decir el periodo de rotación es el recíproco de la frecuencia angular.

T=1f= 1

10.64

=0.64

Donde:T es el periodo de rotación medido en segundos

Número de revoluciones

(variable independiente x)

Tiempo en segundos (variable

dependiente y)

0 01 0.7

1.5 1.12 1.37

2.5 1.793 2.13

3.5 2.654 2.68

4.5 2.95

Aplicando la técnica de regresión lineal con el método de mínimos cuadrados a los datos, se obtuvo el resultado siguiente:

xiyi xi yi xi2

0 0 0 00.7 1 0.7 11.65 1.5 1.1 2.252.74 2 1.37 44.475 2.5 1.79 6.256.39 3 2.13 99.275 3.5 2.65 12.2510.72 4 2.68 1613.275 4.5 2.95 20.25∑ xiyi=49.225 ∑ xi=22 ∑ yi=15.37 ∑ xi

2=71

n=9

Formula de Minimos Cuadrados:

a=n (Σ x i y i)−(Σ xi ) (Σ y i )n (Σ x i2)−(Σ x i )

2

Sustituyendo:

a=9 (49.225 )−(22)(15.37)

9 (71 )−(22)2=¿0.676677419

Para calcular el error experimental se multiplicó por cien el cociente del resultado experimental entre el resultado teórico y se obtuvo el valor absoluto de la diferencia del valor anterior y cien.

%EE=0.6766774190.64

×100=(1.0573084671875 )×100=105.73084671875%

%E=|100%−105.730846718754%|=5.73084671875%≈5.73%

Cálculo diferencial Fecha de entrega: 11/Mayo/2015Grupo: 21 Equipo: 6Nombres de integrantes:Acosta Soriano ArmandoBreña Anduaga Juan CarlosSoto Marin Jose German

Conclusiones

Gracias a nuestro experimento pudimos comprobar que se pueden explicar fenómenos físicos aplicando el cálculo diferencial ya que gracias a los modelos matematicos pydimos realizar nuestro experimento. Determinamos la velocidad angular de la hélice del generador-alternador eólico aplicando el cálculo diferencial, de la velocidad angular se determinó la frecuencia angular y el periodo de rotación. Con los datos recopilados y anotados en las tablas se obtuvieron como ya lo habíamos mencionado modelos matemáticos muy parecidos a los modelos que la teoría nos decia. La diferencia la velocidad angular obtenida teóricamente y experimentalmente fue aproximadamente de 10.62%, de la frecuencia angular fue aproximadamente de 7.25% y del periodo de rotación fue aproximadamente de 5.73%; la frecuencia angular y el periodo de rotación sirvieron como punto de comparación. En base en los resultados obtenidos concluimos que el cálculo diferencial permite determinar la velocidad angular.

Medir la velocidad angular de una hélice de un generador eólico es de gran importancia en la práctica, puesto que se encuentra directamente relacionada con la cantidad e intensidad de la fuerza electromotriz que produce.

Bibliografías- http://www2.ib.edu.ar/becaib/cd-ib/trabajos/LopezL.pdf - http://www.uv.es/~navasqui/aero/Manualeolo.pdf - http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/farlaw.html - http://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_magnético- http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Faraday - Larousse, diccionario esencial de Física

- Física para ingenierías y ciencias de Wolfgang Bauer y Gary D. Westfall, volumen 2