proyecto de calculo ii.docx

8/15/2019 proyecto de calculo II.docx

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Universidad Tecnológica de Panamá

Facultad de Ingeniería Eléctrica

Licenciatura en Ingeniería Electromecánica

Proyecto Expo- álculo

álculo II

Pro!esora"

esia# $lemán

Tema"

%$plicaciones de la Integral &e'nida( en )eneral y en la Ingeniería Eléctrica*

Presentado por"

+eitía( Isaac ,-, .-,/0+osso( Ed1ard ,-,, -./.

2oreno( 3icardo ,-,,.-4 55

2u6o7( arlos ,-,,5-44.0

3íos( 8uan ,-,,,-49:/

;ictoria( 8oel ,-, 9-:/,/

)rupo"

IE-449

Turno"

&iurno

I


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$demás se #a podido( en muc#as ocasiones( encontrar una !unción a partir devalores conocidos y una !órmula para su ra7ón de cam>ioA En nuestros días(calcular la rapide7 @ue necesita un co#ete en cierto punto para poder salir delcampo gravitacional de la Tierra predecir el tiempo de vida Btil de un o>?eto apartir de su nivel de actividad y su ra7ón de decrecimiento( son procesosrutinarios( gracias al cálculo( mediante el uso de las derivadasA &e a@uí podemosconcluir @ue el pro>lema de esta es @ue si conocemos el recorrido de un puntomóvil( podemos calcular su velocidad y adicionalmente si tenemos una curvapodemos #allar la pendiente de la recta tangente en cada uno de sus puntosA Estoes lo @ue estudiamos en la parte del cálculo in'nitesimal @ue denominan como

álculo &i!erencialC a#ora nos centraremos en otra parte de este( @ue denominanálculo IntegralA

Encontrar una !unción f a partir de su derivada( involucra el #ec#o de encontrartoda una !amilia de !unciones cuya derivada puede ser f ( estas !unciones reci>en

el nom>re de antiderivadas( puesto @ue para encontrarlas es necesario llevar elproceso contrario al de la derivación y este proceso se llama integraciónA En!orma análoga podemos concluir @ue el pro>lema de esta es @ue si tenemos lavelocidad de un punto móvil( podemos #allar su trayectoria o si tenemos lapendiente de una curva( en cada uno de sus puntos( podemos calcular dic#acurvaA Esto es a groso modo una pe@ue6a de'nición de integración( pero esta esinde'nida( es decir( @ue mediante este proceso podemos encontrar toda la !amiliade !unciones cuya derivada es nuestra !unción dadaC a#ora veremos de @ue setrata la integración de'nida y sus aplicaciones( @ue es el o>?etivo real de estetra>a?oA

Cálculo Integral

La integración es un concepto !undamental de la matemática avan7ada(especí'camente en los campos del cálculo y del análisis matemáticoA


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+ásicamente( una integral es una suma de in'nitos sumandos( in'nitamentepe@ue6osA Fue usada por primera ve7 por cientí'cos como $r@uímedes( 3ené&escartes( Isaac De1ton( )ott!ried Lei>ni7 e Isaac +arro1C los tra>a?os de esteBltimo y los aportes de De1ton generaron el teorema !undamental del cálculointegral @ue propone @ue la derivación y la integración son procesos inversosA

El cálculo integral tiene muc#as aplicaciones( las cuales ayudan a encontrarmuc#as explicaciones de sucesos @ue ocurren en la vida diariaA

Conceptos fundamentales

El pro>lema del cálculo de área

Uno de los pro>lemas @ue más repercusión #a tenido en la #istoria de lasmatemáticas es el del estudio del área encerrada >a?o una curva( pues tiene unaaplicación inmediata en algunos pro>lemas de !ísicaA

E?emplo" onsideremos un cuerpo @ue se mueve con una velocidad constante de=m sA La grá'ca velocidad-tiempo del cuerpo es la representada en el di>u?oA

alcular el espacio recorrido por el cuerpo entre t / y t .( con las !órmulas de!ísica conocidasA Estudiar la relación @ue existe entre este resultado y el áreaencerrada por las rectas t /( t .( v / y v =A

a?o la !unción del di>u?o 4 entre x


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4 y x 9K( Jes siempre posi>le descomponer la 'gura encerrada >a?o una curvaen 'guras cuya área conocemosK

Para investigarlo( consideremos la grá'ca velocidad-tiempo del di>u?o :( ycalculemos el espacio recorrido entre t / y t 4A J ómo calcularíamos(aproximadamente( el área encerrada >a?o esta !unción entre t / y t 4K$cotaremos dic#a área superior e in!eriormente( utili7ando rectángulosA J ómopodríamos #acer @ue estas acotaciones !uesen cada ve7 más exactasK

Es intuitivo @ue el área encerrada por la !unción del di>u?o 4 se calcula sumandolas áreas de los rectángulos @ue de'ne la !unción entre dic#os puntosA Este tipode !unciones cuya grá'ca en un intervalo son tramos de rectas paralelas al e?e delas x( se llaman !unciones escalonadas( y las estudiaremos con más detalle másadelanteA

omo se ve en el di>u?o :( no siempre es posi>le descomponer el área encerrada>a?o una curva( en 'guras geométricas simplesA En el caso del e?ercicio( dic#aárea se encuentra comprendida entre un rectángulo de >ase 4 y altura 4( y unrectángulo de >ase 4 y altura 4A0( por lo tanto sa>emos @ue se encuentra entreuno y uno y medio( pero no podemos decir con exactitud cuál es su valorA Paraestos casos precisamente es para los @ue se ideó el método de ex#auciónA

El método de Ex#aución

El método de ex#aución !ue ideado por el matemático griego $r@uímedes paradeterminar el área de un recintoA Este método consiste en inscri>ir y circunscri>irel recinto considerado en regiones poligonales cada ve7 más próximas a él(


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tendiendo a llenarlo y cuyas áreas se pueden calcular !ácilmenteA $sí se o>tienenvalores mayores y menores @ue el área @ue deseamos calcular y @ue seaproximan( tanto más a dic#o valor( cuanto mayor sea el nBmero de lados deregiones poligonales inscritas y circunscritasA

an ycircunscri>an dic#o recintoA En este caso dic#as poligonales son rectángulos y esevidente @ue el área se conocerá con mayor exactitud cuanto menor sea la >asede los rectángulos tomadosA

onsideremos primero rectángulos inscritos en el recintoA En este caso la suma delas áreas de los rectángulos es menor @ue el área del recinto( pero se vanaproximando más a su valor segBn vayamos tomando rectángulos de menor >ase(como podemos ver en las aproximaciones de los di>u?osA

an al recinto( es evidente @uela suma de las áreas de dic#os rectángulos es mayor @ue el área @ue encierra la!unción( pero a medida @ue vamos tomando rectángulos cuyas >ases seanmenores( nuestra aproximación será más exactaA


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Todo ello pone de mani'esto @ue al dividir el intervalo M/(:N en un nBmeroin'nitamente grande de intervalos iguales( el área por de!ecto coincide con elárea por exceso y am>as con el área del recinto @ue se está calculandoA

Integral de una !unción escalonadaA PropiedadesADos parece interesante( antes de de'nir la integral de una !unción cual@uiera(estudiar la integral de !unciones escalonadas( por dos ra7ones" primera( ysiguiendo nuestro principio de dar los conceptos de !orma gradual segBn su nivelde di'cultad( @ue son más intuitivas y !áciles( y todas las propiedades de estasintegrales son las mismas @ue las de las integrales de !unciones generalesC ysegunda( por@ue la de'nición @ue daremos de integral de una !unción general(será a partir de estas !uncionesA Las !unciones escalonadas #acen de nexo entreel método de ex#aución y las integrales de'nidas de cual@uier !unciónA

E?emplo" &ada la !unción del di>u?o( calcular a mano el área @ue delimitan !Ox ( lasrectas x /( x 0 y el e?e H A

Este tipo de !unciones se llaman escalonadasA Dos interesa calcular el área @uedelimitan !Ox ( las rectas x /( x 0 y el e?e H A

El área @ue nos interesa se puede descomponer en tres rectángulos" el

%rectángulo* $ cuya >ase es el intervalo M/(4N( y altura 4C el rectángulo + de >aseM4(:N( y altura =C y el rectángulo de >ase M:(9N( y altura 0A Por lo tanto( paracalcular el área total #emos de sumar el área de estos tres rectángulosA ases de losrectángulos y por r4( r:( r= las alturas de dic#os rectángulos tenemos @ue"

$a O4-H G 4 4 Ox4-x/ G r4

$> O:-4 G = 9 Ox:-x4 G r:


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$c O9-: G 0 : Ox=-x: G r=

Luego" $ $a Q $> Q $c Ox4-x/ G r4 Q Ox:-x4 G r: Q Ox=-x: G r=

∑k = 1

3

( xk − xk − 1 )· r k

&e'nición"

Una !unción !( de'nida en un intervalo Ma( >N( es escalonada cuando existe unapartición del intervalo Ma( >N de modo @ue ! toma valores constantes en el interiorde cada uno de los intervalos de la particiónA Una Partición del intervalo Ma( >N esuna colección de intervalos contenidos en Ma( >N( dis?untos dos a dos Osin ningBn

punto en comBn y cuya unión es Ma( >NA coincide con el área encerrada por dic#a !unción( el e?e H y las rectas x a( x >A

Integral de 3iemann

;amos a de'nir la integral de una !unción cual@uiera( !Ox ( en un intervalo Ma( >N(con la Bnica condición de @ue esté acotadaA NA


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Integral De nida

lema consiste en encontrar un método @ue nos permitacalcular el área de cual@uier región( sin importar la !orma @ue esta tengaA Paralogra esto( es necesario introducir el sím>olo o la notación de sumatoria( pararepresentar esto( se usa la letra griega mayBscula sigma( para a>reviar lasumatoria y se usa de este modo"


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∑k = 1

n

a k = a 1 +a 2 +…+a k +…+a n

&onde a representa los términos de la sumatoria( a k representa el término W-

ésimo de la sumatoria( a n representa el término n-ésimo y Bltimo de lasumatoria( W es el índice de la sumatoria( 4 es el límite in!erior de la sumatoria y nes el límite superior de la sumatoriaA

)rá'ca 4

y la grá'ca de la de !Ox A O)rá'ca 4

)rá'ca :

$#ora( supongamos @ue tomamos la región y la dividimos en una serie derectángulos de >ase x O)rá'ca :A A


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esos rectángulos( y las sumáramos todas( o>tendríamos una aproximación delárea total de la región @ue deseamosA

Pero como ya vimos @ue esa sumatoria se puede reducir a una sola expresión(podríamos #acerlo de modo @ue( tomemos un valor xi( dentro del intervalo Ma(>N(tal @ue exista Xxi y un !Oxi ( de tal manera @ue se cumpla @ue"

&e esta manera se puede calcular el área de ese rectángulo así"

Puesto @ue el área de un rectángulo( como todos sa>emos( es >ase por alturaA&e>ido a @ue este rectángulo puede ser cual@uier rectángulo dentro de la región(puesto @ue xi puede ser cual@uier valor( ya podemos sumar sus áreas para lograrla aproximaciónA

&onde esta sumatoria nos representa el área aproximada de la región @uedeseamosA omo ya #a>íamos visto @ue xi( representa cada una de lasparticiones de nuestra región( a#ora de'namos a P como la partición más grandede todas( es decir la >ase de rectángulo más grande de dotas las de la región y nel nBmero de particionesA $sí( si #acemos @ue P se #aga tan pe@ue6o como puedao @ue el nBmero de particiones n( se #aga lo más grande @ue pueda( #allamosuna me?or aproximación del área @ue >uscamos O)rá'ca = A

)rá'ca =

&e a@uí podemos deducir @ue si #allamos el límite cuando el nBmero derectángulos sea muy grande o cuando las longitudes de las >ases de esos


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rectángulos sean muy pe@ue6as( lograremos la me?or y más exacta aproximacióndel área @ue tanto #emos >uscadoA

Por lo tanto podemos deducir @ue la integral de'nida es una suma y así la #emosde'nidoA Y de esta manera( tam>ién #emos mostrado la primera aplicación de laintegración de'nida( #allar el área >a?o una curvaA

Ya @ue de'nimos la integral de'nida( identi'@uemos cuál es su notación y laspartes @ue la componenA Toda la expresión se lee( integral de !Ox ( desde a #asta>C a y >( son los límites de integración( donde a es el límite in!erior y > es el límitesuperiorA El sím>oloZ( es una s mayBscula alargada( @ue signi'ca suma y se llamasím>olo de integraciónA La !unción !Ox ( es el integrando y el dx( se llamadi!erencial y es el @ue lleva la varia>le de integración @ue en este caso es xA

La integral de'nida se representa por"

∫ab

f ( x)dx

&onde [ es el signo de integración( a es el límite in!erior de la integración( > es ellímite superior de la integración( !Ox es el integrando o !unción a integrar( dx esdi!erencial de x( e indica cuál es la varia>le de la !unción @ue se integraA

\rea entre curvas

omo ya #emos de'nido la integral de'nida como una suma y además #emos

visto como se #alla el área de una región comprendida entre una curva y en e?e(a#ora veremos cómo se #ace este mismo cálculo para #allar el área de una región@ue este comprendida entre dos curvas( es decir( entre las grá'cas de dos!uncionesA

El concepto para calcular el área entre dos curvas( es el mismo @ue ya #a>íamosestudiadoA La región a tra>a?ar( se divide en rectángulos( y se determinan losmismos parámetros para calcular el área de este( es decir su >ase y su alturaA Ladi!erencia en esta aplicación es @ue la altura del rectángulo se de'ne de unamanera algo distinta( de>ido a @ue #ay dos !unciones involucradasA


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)rá'ca 9

omo podemos ver en la )rá'ca 9( el intervalo de la región está de'nido por lospuntos de corte de las dos !unciones( esto es en el caso de las los tengan dic#ospuntos( por otro lado( si las !unciones no se cortan( para #allar el área entre ellas(

es necesario de'nir un intervalo mediante tapas( @ue son rectas constantes en!unción de y( de igual manera @ue de'nimos el intervalo en la aplicación anteriorA

$#ora @ue ya sa>emos todo el proceso para #allar el área( sólo resta( mostrarcómo es @ue cam>ia el asunto de la altura del rectánguloA Y eso lo podemosrepresentar así( donde !Ox −gOx ( representa la altura del rectángulo di!erencialA

on esto ya #emos mostrado y de'nido otra aplicación de la integral de'nidaA


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- 2étodo de los discos

)rá'ca 0

omo ya vimos( el volumen de un cilindro( a#ora nos @ueda más !ácil comprenderel concepto de volumen por el método de los discosA omo sa>emos lasdimensiones del disco di!erencial O)rá'ca 0A ( son muy parecidas a las de uncilindro( de #ec#o el disco es prácticamente un cilindro cuya altura es muc#omenor al radio de su >aseA &e esto podemos deducir @ue si @ueremos #allar elvolumen del sólido de la grá'ca( es necesario sumar los volBmenes de los discos@ue @uepan dentro del sólido y si llevamos esa cantidad( #acia el in'nito( igual@ue con el área( o>tendremos la me?or aproximación del volumen y para esto yavimos cómo !unciona la integral de'nida( es por eso @ue para este caso el cálculodel volumen del sólido( es una expansión del cálculo del área de una super'cieplanaA alculemos el volumen del disco si( el radio es !Ox y su espesor es xA

- 2étodo de las arandelas

Este método( es sin duda una expansión del anterior( de>ido a @ue tam>ién se>asa en discos( pero esta ve7 con un agu?ero( es por eso @ue se les llamaarandelasA El #ec#o @ue se presente el agu?ero( se de>e a @ue el volumen de


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revolución lo !orma la rotación de dos !unciones( a un mismo sentido y a unmismo ritmo( de donde generalmente se !orma un sólido #uecoA

)rá'ca .

$#ora( si miramos la )rá'ca .C nos damos cuenta @ue el proceso para #allar elvolumen es muy similar al del método anterior( pero a@uí es necesario #acer unaresta de volBmenes para la arandela( si el radio mayor es !Ox y el radio menor esgOx ( y ;a es el volumen de la arandela( de a@uí ya podemos #allar !ácilmente elvolumen del sólido( desarrollando la integral de'nida en el intervalo Ma( >NA

- 2étodo de las capas cilíndricas

uando necesitamos #allar el volumen de un sólido de revolución( a veces loscas@uillos cilíndricos nos pueden dar una solución más !ácil( @ue el método de lasarandelasA En parte( la ra7ón es @ue la !ormula a la @ue nos llevan no re@uiere @uese eleve al cuadradoA Los métodos de discos y arandelas usa>an como elementorepresentativo de volumen un disco circular( generado al girar un rectánguloorientado perpendicularmente al e?e de rotación o revoluciónA El método de loscas@uillos usa como elemento representativo de volumen un cilindro @ue esgenerado al girar un rectángulo( orientado de !orma paralela al e?e de revoluciónAEn primer lugar es necesario @ue desarrollemos la !órmula para el volumen delcilindro di!erencialA


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)rá'ca 5

$nteriormente ya #a>íamos calculado el volumen de un cilindro( así @ue a@uí(miraremos una !ormula geométrica @ue nos dice @ue el volumen de un cas@uillo>arrido por un rectángulo es"

; :] Oradio promedio del cas@uillo Oaltura del cas@uillo Ogrosor

)rá'ca ,reada de la )rá'ca ,( alrededordel e?e y para generar un sólidoA Para #allar una aproximación del volumen delsólidoA

)rá'ca

omo podemos ver en la )rá'ca ( de la rotación resultan cas@uillos cilíndricosdi!erencialesA tendremos el volumen del sólido de revoluciónA Esto es elresultado de #acer la sumatoria de los volBmenes de los cas@uillos di!erenciales yes el método de los cas@uillos para calcular volBmenes de revoluciónA


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Aplicaciones de la Integral De nida en General

4 En muc#as situaciones !ísicas se emplea la aproximación del impulsoA En estaaproximación( se supone @ue una de las !uer7as @ue actBan so>re la partícula esmuy grande pero de muy corta duraciónA Esta aproximación es de gran utilidadcuando se estudian los c#o@ues( por e?emplo( de una pelota con una ra@ueta ouna palaA El tiempo de colisión es muy pe@ue6o( del orden de centésimas omilésimas de segundo( y la !uer7a promedio @ue e?erce la pala o la ra@ueta es devarios cientos o miles de De1tonsA Esta !uer7a es muc#o mayor @ue la gravedad(por lo @ue se puede utili7ar la aproximación del impulsoA uando se utili7a estaaproximación es importante recordar @ue los momentos lineales inicial y 'nal sere'eren al instante antes y después de la colisión( respectivamenteA omosa>emos la integral es el área >a?o la curva y para este caso(la integral es el área @ue representa la curva !uer7a-tiempoA

: En el campo de las construcciones( los ar@uitectos( ingenieros y pro!esionalesde estas áreas usualmente emplean la integral para o>tener el área de super'ciesirregularesA

= Tam>ién el cálculo integral lo utili7an los administradores cuando tra>a?an conlos costos de una empresaA $l tener el costo marginal de producción de unproducto( pueden o>tener la !órmula de costo total a través de integralesA


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9 En el campo de la Ingeniería electrónica( las integrales cumplen una !unciónmuy importante( para calcular corrientes( capacitancias( tiempos de carga ydescarga de corriente( entre otrasA Pero !undamentalmente( el cálculo integral esutili7ado en circuitos 3L Oresistencia( condensador y >o>ina para anali7ar sucomportamiento dentro del circuitoA

0 El cálculo integral lo utili7a la medicina para encontrar el ángulo derami'cación óptimo en los vasos sanguíneos para maximi7ar el ^u?oA


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. En _uímica se usa el cálculo integral para determinar los ritmos de lasreacciones y el decaimiento radioactivoA

5 In!ormática y computación( en la !a>ricación de c#ips( miniaturi7ación decomponentes internos( administración de las compuertas de los circuitosintegrados( compresión y digitali7ación de imágenes( sonidos y videos(investigación so>re inteligencias arti'cialesA

Aplicaciones de la Integral De nida en Ingeniería Eléctrica

ampos eléctricos


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Un campo eléctrico en un punto se de'ne como la !uer7a eléctrica @ue actBaso>re una carga de prue>a positiva( situada en ese punto dividida por la

magnitud de la carga de prue>a q 0 A Este campo eléctrico( es producido poralgBn agente externo( directamente so>re la partícula y no de la partículaso>re el agente externoA &e>emos considerar tam>ién( @ue el campo eléctricosiempre estará allí( sin importar si #ay o no partícula( so>re la cual actBe la!uer7aA &e>emos suponer @ue la carga de prue>a es tan pe@ue6a @ueprácticamente no a!ecta al agente externo( de manera @ue la distri>ución delcampo eléctrico es uni!orme( es decir( @ue si #ay una partícula @ue cam>ia suposición dentro del campo eléctrico( pero @ue estas posiciones seane@uidistantes del agente @ue produce el campo eléctrico( este tendrá la mismamagnitud so>re estas partículasA$#ora( si @ueremos calcular el campo eléctrico( en un punto P( de>ido a ungrupo de cargas puntuales( primero calculamos el campo para cada una de las

cargas puntuales y luego #acemos la suma vectorial( es decir( @ue el campoeléctrico total de>ido a un grupo de cargas es igual al vector suma de los

campos eléctricos de todas las cargasC donde r i ( es la distancia desde la

carga i −ésima( qi ( #asta el punto P( y es un vector unitario dirigido de qi aPA

ampo Eléctrico de una distri>ución de carga continua"on !recuencia un grupo de cargas se locali7an muy cercanas unas de otras en

comparación con sus distancias a puntos a en los cuales se pretende calcularel campo eléctricoA En estos casos( el sistema de cargas puede considerarsecomo continuo( es decir( @ue el sistema de cargas( con un espaciamiento muype@ue6o entre ellas( es como si !uera una sola carga distri>uida continuamenteso>re una super'cie o un volumenAE?emplo"

ampo eléctrico de>ido a una >arra cargadaUna >arra de longitud l tiene una carga positiva uni!orme por longitud unitariay una carga total _A alcule el campo eléctrico en un punto P a lo largo del e?ede la >arra( a una distancia d de un extremoA


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Para solucionar este pro>lema( asumimos @ue la >arra se encuentra so>re ele?e xA x representa un pe@ue6o segmento de la >arra de tal !orma @ue @representa la carga en ese segmentoA &e>ido @ue la proporción entre @ y x esigual a la proporción entre la carga total y la longitud de la >arra( es decir"

Luego podemos deducir @ue"

El campo total en P producido por todos los segmentos de la >arra( @ue seencuentran a distintas distancias desde P( se puede calcular #aciendo la integralde'nida"

;eamos @ue a@uí los límites de la integral se extienden desde un extremo de la>arra Ox d #asta el otro ladoOx lQd A

Fuer7a magnética so>re un conductor @ue conduce corriente

uando una partícula cargada aislada se mueve a través de un campo magnético(esta experimenta so>re sí misma una !uer7a magnéticaA &e igual !orma sucedecon un alam>re @ue conduce corriente cuando es sometido a dic#o campoC estose de>e a @ue la corriente representa una colección de partículas cargadas enmovimientoC por lo tanto la !uer7a @ue experimenta el alam>re es el resultado de

la suma de las !uer7as individuales e?ercidas so>re las partículas cargadas delalam>reA

onsideremos un segmento de alam>re recto( de longitud L y área de seccióntransversal $( @ue conduce una corriente I en un campo magnético uni!orme +A


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La !uer7a magnética so>re una carga @ @ue se mueve con velocidad de arrastrevd es qvd × B A Para calcular la !uer7a total so>re el alam>re( multiplicamos la!uer7a so>re una carga( por el nBmero de cargas del segmentoA Ya @ue el volumendel segmento es $L( el nBmero de cargas en el segmento es n$L( donde n es elnBmero de cargas por unidad de volumenA Y para #allar esta !uer7a tam>iénpodemos #acer uso de la integración de'nidaA

Para calcular el ^u?o de electrones por un conductor a través del tiempo( se

emplea la siguiente ecuación"q (t )= ∫

t 1

t 2

i (t )dt

asta conintegrar la potencia del circuito de un tiempo Ot4 a un tiempo Ot: de lasiguiente manera"

w (t )=∫t 1

t 2

p(t )dt


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o>ina L valor de la >o>ina en Om C ;L volta?een el inductor( con respecto al tiempo Ot ( desde un tiempo t4 a t:A

uando se @uiere #allar potencia a partir de un valor de resistencia y unacorriente determinada( >asta con #allar la integral del producto entre laresistencia por la corriente al cuadrado( así"

W (t )=∫t 1

t 2

Ri2 (t )dt

lecimiento de una corriente en un circuito

uando se aplica una !emv

o a un circuito cerrando un interruptor( lacorriente no alcan7a instantáneamente el valor vo 3 dado por la ley de H#m(sino @ue tarda un cierto tiempo( teóricamente in'nito( en la práctica( unintervalo de tiempo @ue depende de la resistenciaALa ra7ón de este comportamiento #ay @ue >uscarla en el papel ?ugado por laautoinducción L @ue genera una !em @ue se opone al incremento de corrienteA

En la 'gura( se muestra un circuito !ormado por una >atería( una resistencia yuna autoinducciónA atería y la intensidad i aumenta con eltiempoAPara !ormular la ecuación del circuito sustituimos la autoinducción por una !eme@uivalenteA 2edimos la di!erencia de potencial entre los extremos de cada

uno de los tres elementos @ue !orman el circuitoA


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ólicaEl uso de antenas es muy !recuente para recepciones y emisiones de se6alesA

Las antenas en la vida real tienen !orma de un para>oloide de revolución =&ADuestras limitaciones del cálculo integral nos llevan a calcular solo el volumendel plato #ondo de la antena( con su de>ido !oco ya @ue la antena a la @ue le#allaremos el volumen será una antena para>ólica de !oco primarioA Las!unciones @ue responden o cumplen a dic#a condición son"

$l #acer rotar esta región alrededor del e?e x se !orma una especie de radio #ondo@ue se aseme?a muc#o a una antena

para>ólica"


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Esta es una pe@ue6a muestra de la gran importancia @ue tienen las integrales enla ingeniería eléctricaA Esto sin contar el cálculo de volBmenes @ue son!undamentales para calcular el nBcleo de un trans!ormador( o las series ysucesiones @ue son importantes para estimar las dimensiones de una se6al opulso eléctrico( medido con el osciloscopioA


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Conclusión

El cálculo es una #erramienta de muc#a importancia en todas las ramas delconocimiento( ya @ue ésta nos permite o>tener in!ormación muy Btil a partir dedatos experimentales( de tasas de variación( de estadística( etcA El estudio de lasintegrales #a permitido @ue los ingenieros puedan simpli'car y reducir el tiempo@ue les tomaría #acer cálculos importantes si no se tuviera esta poderosa#erramientaA omo se #a visto( una integral representa la antiderivada de una!unción !A

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