FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLN

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTNOMA DE MXICOFACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLN

MATEMTICAS APLICADAS Y COMPUTACIN

CLCULO IV

PROYECTO FINAL

Prof. Miguel ngel Monroy Rodrguez25 Mayo 2015

Aguilar Morales LizbethRodrguez Carmona Carla Daniela

NDICE

Doble Integral 1 Definicin del lmite de una suma de Riemann de una funcin de dos variables_______ 2 Definicin de la integral doble___________________________________________ 3 Teorema Ejemplo 1 4 Teorema Ejemplo 2 5 Teorema 6 Teorema 7 Teorema 8 Teorema 9 Teorema Ejemplo 3 Ejemplo 4 Ejemplo 5 Ejemplo 6 Ejemplo 7

Aplicacin de la Integral Doble Ejercicio 1 1 Definicin de momento de inercia respecto a un eje Ejercicio 2 2 Definicin de momento polar de inercia Ejercicio 3 3 Definicin de radio de giro Ejercicio 4 4 Teorema Ejercicio 5 5 Teorema Ejercicio 6

Bibliografa

Introduccin

Como parte de la formacin del curso de Clculo IV, el conocimiento sobre integracin mltiple y la aplicacin de los ejercicios matemticos es de vital importancia para desarrollar habilidades y destrezas en la aplicacin de las integrales dobles, tales como determinar centros de masa, momentos de inercia y rea de una superficie.La finalidad de nuestra investigacin es que quien la lea comprenda los conceptos bsicos, a base de definiciones y teoremas de las integrales dobles; con ejemplos, desarrolle ms a fondo sus conocimientos acerca del tema y para finalizar, aplicaciones en el rea de la Fsica.En la primera seccin abordaremos el marco conceptual sobre la integral doble basndonos en definiciones y teoremas; tambin mostraremos ejemplos sencillos para una mayor comprensin del tema.En la segunda seccin aplicaremos la doble integral en problemas de Fsica, donde realizaremos ejercicios prcticos adaptados a determinar el centro de masa, momentos de inercia y rea de una superficie.

ProblemaCmo resolver problemas de Fsica mediante la aplicacin de integrales mltiples con nfasis en la doble integral?

Objetivos

1. Comprender los conceptos bsicos de la integracin mltiple, especialmente lo relacionado a la doble integral.2. Aplicar la doble integral en problemas de Fsica.

Integrales Dobles

En el estudio de la integral doble de una funcin de dos variables, se pedir que la funcin ste definida en una regin cerrada de .El tipo ms simple de regin cerrada en es la regin rectangular cerrada, la cuales definir a continuacin. Dos puntos diferentes y , tales que y , determinan un rectngulo cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados. Refirase a la figura 1. Los dos puntos, junto con los puntos y , se denominan vrtices del rectngulo. Los segmentos de recta que unen vrtices consecutivos se llaman lados del rectngulo. El conjunto de todos los puntos interiores del rectngulo recibe el nombre de regin rectangular abierta, y el conjunto de todos los puntos de un rectngulo abierto junto con los puntos de sus lados se denomina regin rectangular cerrada.Considere la regin rectangular cerrada de la figura 1, la cual se denotar por R, y sea f una funcin definida sobre R. La regin R se considerara como una regin de integracin. El primer paso en el estudio de la integral doble es definir una particin de R. Al dibujar rectas paralelas a los ejes coordenados se obtiene una red de subregiones rectangulares que cubren a R. La norma de esta particin, denotada por ||||, est determinada por la longitud de la diagonal ms grande de las subregiones rectangulares de la particin. Se elige la longitud de la diagonal debido a que representa la distancia ms grande entre dos puntos cualesquiera de una subregin rectangular. Numere las subregiones de manera arbitraria y considere que se tiene en total n. Denote el ancho de la i-sima subregin por unidades y su longitud por unidades. Ahora bien, si unidades cuadrticas es el rea de la i-sima subregin rectangular, entonces

Sea un punto arbitrario de la i-sima subregin y sea el valor de la funcin en ese punto. Considere el producto . Asociado con cada una de las n subregiones se tiene uno de estos productos, y su suma es llamada suma de Riemann de una funcin de dos variables. Existen muchas sumas de Riemann asociadas con una funcin particular debido a que la norma de la particin puede ser cualquier nmero positivo y cada punto puede ser cualquier punto de la i-sima subregin. Si todas esas sumas de Riemann se pueden acercar arbitrariamente a un nmero L tomando particiones con normas suficientemente pequeas, entonces se define L como el lmite de estas sumas conforme a la norma de la particin de R se aproxima a cero. Esta discusin conduce a la siguiente definicin.

1 Definicin del lmite de una suma de Riemann de una funcin de dos variablesSea f una funcin definida en una regin rectangular cerrada R. El nmero L es el lmite de las sumas de la forma si L satisface la propiedad de que para cualquier existe una tal que para cualquier particin para la cual y para toda eleccin posible del punto en el i-simo rectngulo, i=1,2,...,n, entonces

Si tal nmero L existe, se escribe

Puede demostrarse que el nmero L que satisfaga esta definicin ser nico.

2 Definicin de la integral dobleSea f una funcin de dos variables definida en una regin rectangular cerrada R. La integral doble de f en R, denotada por , est definida por

si este lmite existe.

Si la integral doble de f en R existe, entonces se dice que f es integrable en R. El teorema siguiente, enunciado sin demostracin, proporciona una condicin suficiente para que una funcin de dos variables sea integrable.

3 TeoremaSi una funcin de dos variables es contina en una regin rectangular cerrada R, entonces f es integrable en R.

Ejemplo 1Obtenga un valor aproximado de la integral doble

donde R es la regin rectangular que tiene vrtices en (-1,1) y (2,3). Considere una particin de R generada por las rectas x=0, x=1, y y=2, y tome el centro de la i-sima subregin como .SolucinRefirase a la figura 2, la cual muestra la regin R dividida en seis subregiones que son cuadrados cuyos lados miden 1 unidad. As, para cada . En cada subregin el punto es el centro del cuadrado.Con , una aproximacin de la integral doble est dada por

El valor exacto de la integral doble del ejemplo 1 es 24, como se ver en el ejemplo 3.Ahora se considerar la integral doble de una funcin sobre una regin ms general. Recuerde que una curva lisa es la grfica de una funcin lisa, es decir, aqulla cuya derivada es contina. Sea R una regin cerrada cuya frontera consiste de un nmero finito de arcos de curvas lisas que se unen para formar una curva cerrada simple. Como se hizo con una regin rectangular, se dibujan rectas paralelas a los ejes coordenados, lo cual proporciona una particin rectangular de R. Si se descartan las subregiones que contienen puntos que no pertenecen a R, se tendrn slo aqullas contenidas completamente en R. Sea n el nmero de estas subregiones, sombreadas en la figura 3. Al proceder de manera anloga a la descrita para una regin rectangular, se pueden aplicar las definiciones 1 y 2 para esta regin R ms general. Conforme la norma de la particin se aproxima a cero, n crece sin lmite, y el rea de las regiones omitidas (es decir, los rectngulos descartados) tiende a cero. Si una funcin es integrable en una regin R, se puede demostrar que el lmite de las sumas de Riemann es el mismo sin importar como se subdivida R, siempre y cuando se tenga una forma mediante la cual se pueda asignar un rea a cada subregin.As como se interpreta geomtricamente la integral de una funcin de una variable en trminos del rea de una regin plana, la integral doble puede interpretarse geomtricamente en trminos del volumen de un slido tridimensional. Suponga que la funcin f es continua en una regin cerrada R de . Adems, para simplificar la discusin, suponga que f(x,y) es no negativa en R. La grfica de la ecuacin z=f(x,y) es una superficie que se encuentra por arriba del plano xy, como se muestra en la figura 4. Esta figura presenta una subregin partcula de R, cuyas dimensiones son y . La figura tambin muestra un slido rectangular que tiene esta subregin como base, y como medida de su altura, donde es un punto de la i-sima subregin. El volumen del slido rectangular est determinado por

El nmero es la medida del volumen del slido rectangular delgado que demuestra en la figura 4; de modo que la suma dada en (1) es la suma de las medidas de los volmenes de los n slidos como ste. Esta suma aproxima la medida del volumen del slido tridimensional que aparece en la figura 4.El slido est limitado en la parte superior por la grfica de f y en la parte inferior por la regin R del plano xy. La suma de (1) tambin aproxima el nmero proporcionado por la integral doble

y el volumen del slido tridimensional de la figura 4 es el valor de esta integral.Este hecho se establece en el siguiente teorema, omitindose su demostracin formal.

4 TeoremaSea f una funcin de dos variables y continua en una regin cerrada R del plano xy y tal que para todo (x,y) de R. Si V unidades cbicas es el volumen del slido S que tiene la regin R como su base y cuya altura es f(x,y) unidades en el punto (x,y) de R, entonces

Ejemplo 2Exprese el volumen de slido limitado por la superficie

los planos x=3, y=2 y los tres planos coordenados como una integral doble. A fin de obtener un valor aproximado de la integral doble, considere la particin de la regin del plano xy generada al dibujar las rectas x=1, x=2 y y=1, y tome el centro de la i-sima subregin como .SolucinEn la figura 5 se muestra el slido. La regin rectangular R es el rectngulo del plano xy limitado por los ejes coordenados y las rectas x=3 y y=2. Del teorema 4, si V unidades cbicas es el volumen del slido, entonces

La figura 5 tambin muestra la regin R dividida en seis subregiones que son cuadrados cuyos lados miden 1 unidad. Por tanto, para cada i,. El punto de cada subregin es el centro del cuadrado. Entonces una aproximacin de V sta dada por una aproximacin de la integral doble. Por tanto

Si se emplea una calculadora para determinar los valores de la funcin, se obtiene

Conclusin: El volumen es aproximadamente 21.59 unidades cbicas.El volumen exacto del problema anterior es 21.5 unidades cbicas, como se mostrar en el ejemplo 4.Varias propiedades de la integral doble son anlogas a las propiedades de la integral definida de una funcin de una variable. Las ms importantes se dan en los cinco teoremas siguientes.

5 TeoremaSi c es una constante y la funcin f es integrable en una regin cerrada R, entonces cf es integrable en R y

La demostracin de este teorema y del siguiente, se deducen inmediatamente de la definicin de integral doble.

6 TeoremaSi las funciones f y g son integrables en una regin cerrada R, entonces la funcin es integrable en R y

El resultado de este teorema puede extenderse a cualquier nmero finito de funciones integrables.

7 TeoremaSi las funciones f y g son integrables en una regin cerrada R y adems para todo (x,y) de R, entonces

8 TeoremaSea f una funcin integrable en una regin cerrada R, y suponga que m y M son dos nmeros tales que para todo (x,y) de R.Si A es la medida del rea de la regin R, entonces

9 TeoremaSuponga que la funcin f es continua en la regin cerrada R y que la regin R se compone de dos subregiones y que no tienen puntos en comn excepto algunos puntos en la parte de sus fronteras. Entonces

La demostracin de este teorema depende de la definicin de la integral doble y de los teoremas de lmites.Para funcin de una variable, el segundo teorema fundamental del Clculo proporciona un mtodo para evaluar la integral definida mediante una antiderivada, o integral indefinida, del integrando. Un mtodo correspondiente para evaluar una integral doble implica realizar integraciones indefinidas simples en forma sucesiva. Un desarrollo riguroso de este procedimiento corresponde a un curso de Clculo avanzado. Primero se desarrollar el mtodo para la integral doble en una regin rectangular.Sea f una funcin integrable en una regin rectangular cerrada R del plano xy limitada por las rectas , , y . Suponga que para todo (x,y) de R. Refirase a la figura 6, la cual muestra la grfica de la ecuacin z=f(x,y), donde (x,y) pertenecen a R. El nmero que representa el valor de la integral doble

en la medida del volumen del slido entre la superficie y la regin R. Este nmero puede determinarse mediante el mtodo de rebanado como se muestra a continuacin.Sea y un nmero del intervalo . Considere el plano paralelo al plano xz que pasa por el punto (0,y,0). Sean A(y) unidades cuadradas el rea de la regin plana de interseccin de este plano con el slido. La medida del volumen del solido se expresa por

Como el volumen del slido tambin est determinado por la integral doble, entonces

As, puede calcularse el valor de la integral doble de la funcin f en R al evaluar una integral simple de A(y). Ahora debe obtenerse A(y) cuando y est dada.Como A(y) unidades cuadradas es el rea de la regin plana, este nmero puede obtenerse mediante integracin. Observe en la figura 6 que la frontera superior de la regin plana es la grfica de la ecuacin z=f(x,y) cuando x pertenece a . Por tanto, . Al sustituir de esta ecuacin en (1), se obtiene

La expresin del miembro derecho de (3) se denomina integral iterada.Debido a que los corchetes se omiten regularmente cuando se escribe una integral iterada, entonces (3) puede expresarse como

Al evaluar la "integral interior" de (4), recuerde que x es la variable de integracin y se considera a y como una constante. Esto es anlogo a tomar a y como una constante cuando se obtiene la derivada parcial de f(x,y) con respecto a x.Si se consideran secciones planas paralelas al plano yz se obtiene una integral iterada en la que se intercambia el orden de integracin, esto es

Una condicin suficiente para que (4) y (5) sean vlidas es que la funcin sea contina en la regin rectangular R.

Ejemplo 3Evale la integral doble

si R es la regin del plano xy que consiste de todos los puntos (x,y) para los cuales y .SolucinCon , de (4) se tiene

En el ejemplo 1 se obtuvo un valor al aproximado de 25 para la integral doble del ejemplo anterior.

Ejemplo 4Calcule el volumen del slido limitado por la superficie

as como por los planos x=3 y y=2, y los tres planos coordenados.SolucinLa figura 7 muestra la grfica de la ecuacin z=f(x,y) y el slido dado en el primer octante. Si V unidades cbicas es el volumen del slido, entonces por el teorema 4

Conclusin: El volumen es 21.5 unidades cbicas.En el ejemplo 2 se obtuvo un valor aproximado de 21.59 para el volumen del slido del ejemplo anterior.Suponga ahora que R es la regin del plano xy limitada por las rectas x=a y x=b, donde a