21UNIVERSIDAD DE LA COSTA CUC

CLCULO VECTORIALPROYECTOAPLICACIN DEL CLCULO VECTORIAL EN LA OPTIMIZACIN DE ENVASES O EMBALAJE

PROFESOR:

INTEGRANTES:

2015-1

CONTENIDOINTRODUCCION3PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA4JUSTIFICACIN:4OBJETIVOS:5OBJETIVO GENERAL5OBJETIVOS ESPECFICOS6FUNDAMENTOS TERICOS6DESCRIPCIN DEL SISTEMA, MATERIALES, MONTAJE Y PROCEDIMIENTO PARA SU CONSTRUCCIN.12CLCULOS REALIZADOS14PRESUPUESTO22CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES23CONCLUSIONES23BIBLIOGRAFA25

INTRODUCCION

Prcticamente todos los productos que usamos actualmente traen al menos un envoltorio. Muchos traen el envase primario que contiene directamente el producto requerido, acompaado de una bolsa generalmente de algn material plstico o envases de un material metlico. Otras veces un producto puede traer un envoltorio de papel, ms una caja y finalmente una bolsa que contiene todo lo anterior u otro tipo de envase dependiendo del producto. Si bien la incorporacin de los envases en la vida diaria ha constituido una enorme ayuda en el aumento de la vida til de los productos a lo largo de extensas cadenas de comercializacin, una vez cumplida su funcin principal, representan un volumen importante en los desechos slidos domiciliarios. Los envases no slo presentan impactos una vez que su uso principal se ha cumplido, tambin su fabricacin requiere el uso de recursos naturales no siempre renovables, los que en algunos lugares ya han llegado a niveles crticos de sobreexplotacin. La respuesta a este problema se focaliza en minimizar los residuos provenientes de envases y embalajes empezando por prevenir y reducir en el origen la generacin de estos envases. La reduccin en origen permanece justamente como el mtodo preferido para atacar los residuos slidos. Los esfuerzos para llevarla a cabo van desde la eleccin del diseo de los envases, lo que puede incluir la eliminacin total de un envase; mayor eficiencia de uso del material; producto ms concentrado; tamao ms grande; envasado ms simple; envase para recambios; envases retornables; reduccin de los posibles grados de toxicidad, en tintas, tintes, pigmentos, o estabilizantes. Todas las definiciones de reduccin en origen se traducen a reducir material, una idea difcil de rechazar sobre fundamentos tericos. Es axiomtico que produciendo menor cantidad de envases y disminuyendo su volumen, inevitablemente se llega a menos residuo slido. Sin embargo, siempre se debe respetar un mnimo que asegura la no perdida del producto. Las tcnicas de reduccin, por lo general, encierran soluciones que involucran un cambio en el diseo de envases, sin embargo, es raro que esto produzca un aumento de los costos; en la mayora de los casos, la reduccin en el origen da lugar a un balance compensado (iguales gastos que ingresos) o costos de envasado reducidos, ya que el empleo de menos material supone menos desembolso.PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Algunos aspectos relacionados con el medio ambiente demandan una rpida atencin, el problema del manejo y disposicin de los residuos slidos es uno de los ms importantes. Dentro de los residuos slidos destacan por ser uno de los ms visibles los envases, por lo que es una preocupacin prioritaria la bsqueda de la reduccin del impacto de los envases en los residuos slidos generales como una forma de contribuir a la solucin de los problemas medio ambientales. Por ella es necesario dar a la relacin envase medio ambiente soluciones racionales, inteligentes y sencillas. La industria de envases debe trabar en la optimizacin y racionalizacin de materiales y generacin de residuos de envases.La proteccin al medio ambiente est relacionada con la proteccin de la salud humana, de esta forma los alimentos bien envasados constituyen una garanta para el consumidor que puede adquirir bienes en condiciones adecuadas independientemente del origen de los mismos. Al mismo tiempo el exceso de envases es uno de los principales problemas medio ambientales actuales, lo que significa que el bienestar del hombre est en peligro, ante el aparente crculo vicioso, se trata de encontrar un sistema matemtico que permita solucionar el problema sin que quede afectado el bienestar del hombre.Desde el punto de vista de empresa, la solucin al problema de exceso de residuos de envases debe pasar por la optimizacin en el uso de materias primas y energa y la fabricacin del producto ms ligero y menos voluminosos que permitan una distribucin eficaz de los alimentos o bienes con un mximo de ahorro econmico.

JUSTIFICACIN:

El clculo vectorial es de gran importancia para el ingeniero, puesto que en l se estudian los mximos y mnimos de funciones de dos o ms variables, que tienen su aplicacin en los problemas de optimizacin. As, un ingeniero puede buscar la combinacin de recursos que le produzcan la mxima ganancia, o el mnimo desperdicio. Un problema de optimizacin consiste en minimizar o maximizar el valor de una variable. En otras palabras se trata de calcular o determinar el valor mnimo o el valor mximo de una funcin de una variable. Se debe tener presente que la variable que se desea minimizar o maximizar debe ser expresada como funcin de otra de las variables relacionadas en el problema. En ocasiones es preciso considerar las restricciones que se tengan en el problema, ya que estas generan igualdades entre las variables que permiten la obtencin de la funcin de una variable que se quiere minimizar o maximizar.Teniendo en cuenta lo mencionado anteriormente podemos relacionar esta base matemtica con la problemtica de los desechos generador a partir de algunos envases que se y utilizan para la preservacin de alimentos y que consumimos en la vida cotidiana aplicando el clculo vectorial a partir de la optimizacin y la racionalizacin de estos materiales y a su vez generacin de residuos de envases, la cual busca obtener un mnimo de costo utilizando un mnimo de material para la elaboracin de envases menos voluminosos y as apoyar el cuidado del medio ambiente. OBJETIVOS:

OBJETIVO GENERALAprovechar el clculo vectorial para su aplicacin en la reduccin de los desechos que generan suciedad y contaminacin como una solucin que relaciona el clculo y la problemtica planteada, debido a que no se optimiza totalmente los materiales utilizados para envasar o para embalajes de distintos productos que consumimos o utilizamos en la actualidad.OBJETIVOS ESPECFICOS

Estudiar los temas de mximos y mnimos de funciones en clculo vectorial y los otros temas que lo relacionan. Aprender a resolver problemas de optimizacin enfocados a los envases o embalajes teniendo como base fundamental el clculo vectorial Conocer la importancia de la preservacin del medio ambiente y de generar ahorros econmicos

FUNDAMENTOS TERICOS

OPTIMIZACIONEnmatemticas,estadsticas,ciencias empricas,ciencia de la computacin, ociencia de la administracin,optimizacin matemtica(o bien,optimizacinoprogramacin matemtica) es la seleccin del mejor elemento (con respecto a algn criterio) de un conjunto de elementos disponibles. En el caso ms simple, unproblema de optimizacinconsiste enmaximizar o minimizarunafuncin realeligiendo sistemticamente valores deentrada(tomados de un conjunto permitido) y computando elvalorde la funcin. La generalizacin de la teora de la optimizacin y tcnicas para otras formulaciones comprende un rea grande de lasmatemticas aplicadas. De forma general, la optimizacin incluye el descubrimiento de los "mejores valores" de alguna funcin objetivo dado undominiodefinido, incluyendo una variedad de diferentes tipos de funciones objetivo y diferentes tipos de dominios

DESCRIPCIN DEL SISTEMA, MATERIALES, MONTAJE Y PROCEDIMIENTO PARA SU CONSTRUCCIN.

Descripcin del sistema

La mayora de los problemas en el mundo real tienen varias soluciones y algunos tienen infinitas soluciones. El propsito de la optimizacin es encontrar o identificar la mejor solucin posible, entre todas las soluciones potenciales, para un problema dado, en trminos de algn o algunos criterios de efectividad o desempeo. Existen numerosas estrategias de optimizacin que van desde sofisticados procedimientos matemticos (tanto analticos como numricos) hasta la simple pero inteligente aplicacin de la aritmtica. Es as que para poder aplicar el clculo vectorial en nuestra realidad tomamos como base la problemtica de los desechos o residuos generados por la sociedad consumista, ms especficamente en los residuos que se generan a partir de los embases que son usados en la cotidianidad y que debido a su mxima produccin son parte del agrandamiento de las basuras en determinados lugares , este problema se focaliza en minimizar los residuos provenientes de envases y embalajes empezando por prevenir y reducir en el origen la generacin de estos envases. La reduccin en origen permanece justamente como el mtodo preferido para atacar los residuos slidos.

As para poder dar solucin a este problema nos enfocamos en los embalajes como las cajas y para dar una clara representacin de cmo podemos resolver estos problemas por medio de la optimizacin a travs del clculo vectorial.Para ser ms precisos en el presente proyecto se pretende construir una caja rectangular volumen determinado de tal forma que podamos hallar las dimensiones de la caja que nos permitan utilizar el mnimo de material lo que hace que el costo de los materiales sea el mnimo. Estos problemas de optimizacin se toman como una muestra para demostrar la aplicacin del clculo vectorial en los problemas de la vida cotidiana.

Montaje y procedimiento para su construccin

Materiales o elementos a utilizar

1 Regla milimetrada1 Tijera1/8 de Cartulina1/8 de Cartn paja1 Cinta pegante1 CalculadoraProcedimiento

1. Describir e interpretar claramente la problemtica presente en base a dos muestras diferentes de problemas.2. Identificar las funcin que es objeto de mximo o mnimo (que queremos que sea mximo o minimo:superficie ,volumen etc)3. Colocar la funcin en dos variables, utilizando los datos del problema4. Hallamos los puntos crticos de la funcin vectorial a optimizar 5. Utilizamos multiplicador de lagrange en caso de notar restricciones en el problema o criterio de la segunda derivada.6. Luego de calcular y obtener los datos para la solucin de cada uno de los problemas procedemos a construir su prototipo en fsico: Para esto primero procedemos a utilizar los materiales que se han mencionado anteriormente7. Utilizaremos valores reales de precios de algunos materiales por centmetros cuadrados para ser ms cercanos a la realidad. Y as determinar el costo de la caja cuando utilizamos el clculo vectorial para determinar las dimensiones de la caja de modo que el costo de los materiales sea el mnimo.

Figura1: Caja rectangular con dimensiones que producen un costo mnimo

.CLCULOS REALIZADOS

1/8 de cartulina o de cartn paja tiene las siguientes dimensiones:

.Para 1/8 de cartn paja, tenemos utilizando la regla de tres que:

1

1

Para 1/8 de cartulina, tenemos utilizando la regla de tres que:

1

1

Problema: Se construye una caja rectangular cerrada con un volumen de 1500 empleando dos tipos de materiales diferentes, cartn paja y cartulina .El costo del material para el fondo y la tapa (cartn paja) es de $ 0.46 por y el costo para el material de los dems lados (cartulina) es de $ 0.11 por .Solucin:Para conocer las dimensiones de la caja de modo que el costo de los materiales sean el mnimo, realizamos lo siguiente:

Conocemos que el volumen de la caja rectangular tiene que ser de ,aqu nosotros tenemos la restriccin,lo que queremos es minimizar el costo,para esto tenemos la funcin de costo a minimizar .

Restriccin:

Dejamos las funciones en dos variables de la siguiente forma:

Remplazamos en la funcin objeto a minimizar:

Hallamos las primeras derivadas parciales:

Resolvemos el siguiente sistema de ecuaciones:

De (1) hallamos:

De (2) hallamos:

Remplazamos (3) en (4) :

Remplazamos el valor encontrado de x en la ecuacin :

Los puntos crticos son:

Hallamos las segundas derivadas parciales:

Hallamos las derivadas parciales mixtas:

Utilizamos el criterio de la matriz Hessiana:

Como y entonces hay un mnimo relativo.

Las dimensiones que hacen que el costo de los materiales sea el mnimo son las siguientes:

El costo de la caja seria:

El costo es de 132.9 pesos por cada caja construida con las dimensiones halladas y con un volumen de

Resolvemos el problema utilizando multiplicador de lagrange:

Tenemos la funcin de costo a minimizar.

Restriccin:

Primeras Derivadas parciales:

Sistema de ecuaciones:

(2)

Para resolver el sistema de ecuaciones realizamos lo siguiente:

Despejamos lambda de (1) y (2):

Igualamos ambas expresiones:

=

Despejamos lambda de (3) y (1)

Igualamos ambas expresiones:

Remplazamos en (4) los valores hallados:

Las dimensiones de la caja rectangular que hace que el costo de los materiales sea el mnimo son:

El costo de la caja rectangular seria:

131.8

El costo es de 131.8 pesos por cada caja construida con las dimensiones halladas y con un volumen de

Para las dos formas de realizar los clculos pudimos obtener resultados bastante parecidos por lo que solo podemos observar que los errores cometidos para que estos fueran distintos tienen que ver ms que todo por los nmeros que llevaron muchos decimales y que fueron redondeados para facilitar el clculo, pero son apreciable ambos resultados porque se pudo obtener lo que se estaba buscando que era disminuir los costos para la construccin de un embalaje o caja rectangular.PRESUPUESTOGastos del proyecto

ElementocantidadPrecio($)

1/8 de cartulina2200

Tijeras12000

Cinta1500

Regla 13100

1/8 de cartn paja1400

Precio total6200

El proyecto cuenta con un gasto final de aproximadamente $ 6200CRONOGRAMA DE ACTIVIDADESNACTIVIDAD05/3/201512/4/201516/4/201516/4/201517/4/201517/3/201519/4/201521/4/201516/5/201519/5/2015

1Entrega de propuesta de proyecto.

2Bsqueda de informacin terica complementaria

3Observacin de proyectos similares.

4Indagacin de los materiales a usar en el proyecto

5Reunin de grupo para los gastos del proyecto.

6Desarrollo las partes que conforman un anteproyecto.

7Finalizacin del anteproyecto.

8Entrega del anteproyecto.

9Elaboracin y procedimiento

10

CONCLUSIONES

A travs de este proyecto pudimos concluir que la optimizacin sirve para encontrar la respuesta que proporciona el mejor resultado, la que logra mayores ganancias, mayor produccin o felicidad o la que logra el menor costo, desperdicio o malestar. Con frecuencia, estos problemas implican utilizar de la manera ms eficiente los recursos, tales como dinero, tiempo, maquinaria, personal, existencias, etc .Pudimos obtener claramente la cantidad de material necesario para no consumir mucho dinero lo cual es una ventaja que favorece tanto al medio ambiente como al que realiza la produccin de ciertos embalajes ,cuando se optimizan los materiales de un embase o ya sea un embalaje lo que hacemos es disminuir la cantidad de materia prima utilizada ,en caso tal si los materiales son contaminantes o dainos para el entorno y por consecuencia muchos ms costosos pero valiosos como los metales entre otros, podemos claramente atreves del clculo vectorial dar una muestra de cmo podemos contribuir en las mejoras industriales y planetarias o en situaciones cotidianas , la optimizacin la podemos ver mucho en el campo de la ingeniera industrial ,en lo que se halla presente est muy importante aplicacin .As siendo ms precisos cuando se utiliza menor cantidad de materia prima en la construccin de ciertos embalajes lo que estamos haciendo es disminuir los costos de este material, lo que favorece al medio ambiente debido a que una reduccin en cierta cantidad de materia o desecho genera una disminucin en la contaminacin o acumulacin de basuras.Tambin podemos deducir de todo lo investigado durante la elaboracin del proyecto que la ingeniera se apoya en las matemticas y las ciencias naturales, para resolver problemas y disear productos, para el beneficio de la humanidad. Para la ingeniera industrial es muy importante fundamentar en modelos matemticos, muchas funciones relativas, a la productividad, como minimizacin de costos, maximizacin de utilidades, optimizacin de la produccin, programacin de proyectos, diseo de procedimientos, organizacin del trabajo y optimizacin de flujos. Para la ingeniera industrial, los mtodos cuantitativos y los modelos matemticos, asociados son una herramienta que fundamenta objetivamente todas las propuestas de optimizacin o mejoramiento en una organizacin. Es por esto que el clculo nos permite recoger y disear muestras, presentar datos y resultados, hacer anlisis de la informacin y proyectar variables.

Bibliografa

1. http://recursos.salonesvirtuales.com/assets/bloques/Ba%C3%B1uelos_Saucedo.pdf2. http://www.javeriana.edu.co/Facultades/Ciencias/dep_mat/cursos/calculo_vectorial.pdf3. http://www.ingenieroambiental.com/4014/optimiza.pdf