Proyecto de Cálculo DiferencialRazón de Cambio

UN FARO EN LA PLAYA

Paralelo: 14

Yesenia Bustos

Alfredo Andrade

Andrés Fernández

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1. Fundamento teórico

Razón de Cambio

Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya

variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una

cantidad que varía con respecto del tiempo t.

Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo)

como el límite de esta razón promedio cuando. Es decir, la razón de

cambio instantánea de Q es:

Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de

cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada

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La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos

que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la

función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a

lo largo de la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el

punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva

trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.

También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta

tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa

ésta es descendente, así

Q es creciente en el instante t si

Q es decreciente en el instante t si

Razones de cambio relacionadas

Si una variable ‘y’ depende del tiempo t, entonces su derivada dy/dt se

denomina razón de cambio con respecto al tiempo, o solo razón de

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cambio. Por su puesto, si ’y’ mide la distancia, entonces la razón de

cambio se llama velocidad.

Gráfico de POSICIÓN vs. TIEMPO

Puede ser que, en lugar de conocer a ‘y’ de manera explícita en

términos de ‘t’, conozcamos una relación entre ‘y’ y otra variable ‘x’, y

que también conozcamos acerca de dx/dt. Aun podemos ser capaces de

encontrar dy/dt, ya que dy/dt y dx/dt son razones de cambio

relacionadas. (PURCELL, VARBERG, & RIGDON, 2007)

De acuerdo con lo expuesto anteriormente, en todo problema de

razones relacionadas, se calcula la rapidez con que cambia una

cantidad en términos de la razón de cambio de otra(s) cantidad(es).

Estrategia para resolver problemas de razones relacionadas:

1. De ser posible, trazar un diagrama que ilustre la situación

planteada.

2. Designar con símbolos todas las cantidades dadas y las

cantidades por determinar que varían con el tiempo.

Velocidad

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3. Analizar el enunciado del problema y distinguir cuales razones de

cambio se conocen y cuál es la razón de cambio que se requiere.

4. Plantear una ecuación que relacione las variables cuyas razones

de cambio están dadas o han de determinarse.

5. Usando la regla de la cadena, derivar implícitamente ambos

miembros de la ecuación obtenida en (4), con respecto al tiempo

t, con el fin de obtener la ecuación de razones relacionadas.

6. Sustituir en la ecuación resultante del punto (5), todos los valores

conocidos de las variables y sus razones de cambio, a fin de

deducir (despejar) la razón de cambio requerida. (Nota: Es hasta

en este momento, que se hacen las sustituciones de acuerdo con

los datos del problema). (M.Sc. Sharay, 2005)

2. Aplicación Industrial

Según lo dicho anteriormente, el concepto de razón de cambio está

presente en la vida diaria, muchas veces manejado sin darle un nombre

específico o sin reflexionar sobre las acciones realizadas. Ya que

vivimos en un mundo físico, social, político, económico, biológico,

resulta importante poder describir y medir estos cambios a través de

modelos matemáticos.

 

Por ejemplo, una planta crece a medida que el tiempo transcurre,

puede detener su crecimiento en algún instante, para luego volver a

crecer, o permanecer estacionaria. También la población de un país

varía con el correr del tiempo y la variación depende básicamente de la

cantidad de nacimientos y de muertes.

 

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Es importante medir estas variaciones y expresarlas en números pues

estos nos permitirán extraer conclusiones. Esto nos permite saber, por

ejemplo, en el caso de consumo de energía eléctrica como función del

tiempo, cuándo se produce un aumento repentino, lo que indica la

necesidad de aumentar la capacidad eléctrica; si estamos analizando la

evolución de una enfermedad a través del tiempo podremos saber

cuándo se está propagando con mayor rapidez y así reforzar las

medidas sanitarias necesarias. (Micheloud, 2010)

3. Maqueta demostrativa:

Ejercicio:

La luz del faro, que se encuentra 1 kilómetro alejado de una playa recta, gira a 2 revoluciones por minuto. ¿Con qué rapidez se mueve el rayo de luz a lo largo de la playa cuando pasa por el punto que se encuentra a ½ kilómetros del punto que está enfrente del faro?

Las medidas de la maqueta son a escala por lo tanto estas son las verdaderas medidas:

DATOS:

Problema Maqueta

1 Km 30cm

½ Km 15cm

2 rev/min 1/25 rev/seg 12/5 rev/min

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Problema:

Tanθ=x

dθdt

=2∗2∗¿ 4rad/min

1

cos2θ*dθdt

=dxdt

En: x=1/2 Km

θ=tan−1 12

1

cos2θ=5/4

dxdt

=544

Aproximadamente es: 15.71 km/min

Maqueta:

Tanθ=x30

dθdt

=125

∗2∗¿ 245

rad/min

1

cos2θ*dθdt

=dxdt

En: x=15 cm

θ=tan−1(1/2)

1

cos2θ=5/4

dxdt

=

54∗24

5=6

Aproximadamente es: 18.85 cm/min

18.85*60 seg .1min.

=1.128 cm /se

Fotos:

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4. Conclusiones

Si una variable ‘y’ depende del tiempo ‘t’, entonces su derivada

dy/dt se denomina razón de cambio

La razón de cambio es la forma en que va cambiando la variable

con respecto a otra.

Se puede decir que el concepto más general de la razón de

cambio instantáneo se puede relacionar con el concepto de la

velocidad en el movimiento rectilíneo uniforme. Pues la razón de

cambio instantáneo es una razón de cambio de la distancia

respecto al tiempo.

La derivada es la razón de cambio de una curva, que puede estar

creciendo si es que la pendiente de la recta es positiva o

decreciendo si la pendiente de la recta es negativa.

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Cuando tenemos dos incógnitas relacionadas que puede ser ‘x’ y

‘y’ aun podemos ser capaces de encontrar dy/dt y dx/dt, ya que

son razones de cambio relacionadas.

Sin duda alguna la razón de cambio está presente en la vida

diaria, muchas veces manejado sin darle un nombre específico o

sin reflexionar sobre las acciones realizadas. Ya que vivimos en

un mundo físico, social, político, económico, biológico, resulta

importante poder describir y medir estos cambios a través de

modelos matemáticos.

Bibliografía

M.Sc. Sharay, M. R. (2005). Instituto Tecnológico de Costa Rica. Recuperado el 26 de Enero de 2013, de Revista digital de Matemática, educación e internet: http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/relaciones-relacionadas/relacionesrelacionadas.pdf

Mercedes. (s.f.). Rincon del Vago. Recuperado el 26 de Enero de 2013, de Razón de Cambio: http://html.rincondelvago.com/razon-de-cambio.html

Micheloud, P. (29 de Noviembre de 2010). Laboratorio Pedagógico. Recuperado el 26 de Enero de 2013, de Aplicaciones de la derivada: https://sites.google.com/site/455laderivada/razon-de-cambio-1

Profesorenlinea. (s.f.). Profesor en línea. Recuperado el 26 de Enero de 2013, de Gráficas de movimiento resctilíneo: http://www.profesorenlinea.cl/fisica/Movimiento_Graficas.html

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PURCELL, E. J., VARBERG, D., & RIGDON, S. E. (2007). Cálculo. México: PEARSON EDUCACIÓN.