FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

“Año de la promoción de la Industria Responsable y del compromiso climático”

Construcción y determinación de un adecuado envase para la nueva cera lavavajillas.

CURSO: CALCULO 1

DOCENTE:

ZUBIAGA VERA, WILLY

INTEGRANTES:

MEDINA CHAVEZ, MELISSA

GONZALES CESPEDES, SERGIO.

REYNA MARQUINA, KENYI

TORRES AVILA, KARINE

VILLACORTA CORTIJO, GEANCARLO

2014

Calculo I Página 3

TABLA DE CONTENIDO

1. INTRODUCCIÓN:.............................................................................4

CAPITULO 1:........................................................................................5

2. SITUACIÓN PROBLEMÁTICA:..........................................................6

3. OBJETIVOS.....................................................................................6

A. OBJETIVO GENERAL.........................................................................6

B. OBJETIVOS ESPECÍFICOS..................................................................6

4. DEFINICIÓN DE TÉRMINOS.............................................................7

a) Lavavajillas:.....................................................................................7

CAPITULO N° 2:....................................................................................9

5. PLANTEAMIENTO………………………………………………………………………… 10 6. DESARROLLO DEL RECIPIENTE CUADRADO....................................12

7. DESARROLLO DEL RECIPIENTE CIRCULAR………………………………………18 8. CONCLUSIONES…………………………………………………………………………….21 9. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................22

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1. INTRODUCCIÓN:

La empresa industrial AMC creada en el año 2004, es una empresa

dirigida a elaborar diferentes productos de limpieza en la cocina y se encuentra

ubicado en la Av. América Sur (Santa María - en Trujillo).

Esta empresa tiene un sistema de trabajo muy estricto pues no sólo ve la

variedad de productos sino que también tiene en cuenta los recipientes y

empaques en los cuales son presentados sus productos al mercado, en donde

la demanda, el prestigio y la competencia son puntos claves.

Pues dicha empresa desea lanzar una nueva cera lavavajillas al mercado

y necesita saber qué tipo de envase es el adecuado para producir y lanzar su

producto al mercado. Para esto hay dos opciones: envase con base cuadrada o

con base circular.

Asimismo el trabajo que presentamos busca resolver el problema e

inquietud que atraviesa esta empresa, por medio de la utilización de la

definición de funciones, criterios de máximos y mínimos y la aplicación de los

criterios de la primera y segunda derivada del cálculo diferencial, los cuales nos

permitan saber qué tipo de recipiente es el adecuado para la nueva cera

lavavajillas.

Calculo I Página 5

CAPITULO N° 1:“Construcción y determinación de

un adecuado envase para la nueva

cera lavavajillas”

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2. SITUACIÓN PROBLEMÁTICA:

La empresa AMC desea lanzar una nueva cera lavavajillas al mercado,

motivo por el cual necesita saber en qué tipo de envase lo va a presentar. Para

esto hay dos opciones: envase con base cuadrada o envase con base circular,

y se sabe que el precio del plástico necesario para los envases es de 0.01 soles

el cm2, el costo del lavavajillas es de 0.0008 soles el gramo, el precio al

mercado del producto será de 0.0029 soles el gramo, la densidad de la cera es

de 1.74 gr/cm3 y, según norma, todos los envases que tengan un volumen

menor a 300 cm3 se pueden llenar hasta el 98.5%, los mayores o igual solo se

pueden llenar hasta el 97%.

3. OBJETIVOS

A. OBJETIVO GENERAL

Mostrar la aplicación de la derivada de funciones reales de

variable real para la construcción y determinación del tipo de

recipiente para lanzar al mercado el nuevo producto de la empresa

AMC (cera lavavajilla).

B. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Realizar un prototipo del recipiente de la nueva lavavajilla para

der lanzada al mercado.

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Utilización de la definición de funciones en la formulación del

modelo del recipiente.

Aplicación de criterios de derivación del diferencial.

4. DEFINICIÓN DE TÉRMINOS

a) Lavavajillas:

Para qué sirve y como actúa:

La lavavajilla en pasta es un detergente usado para la grasa y

suciedad de vasos, vajilla, utensilios, etc. De una forma que no corroa el

material y quite el mal olor. Los lavavajillas no solo los encontramos en

pasta, sino que también podemos encontrar en forma líquida. Es

antibacterial, desinfecta y limpia platos y utensilios de cocina. Su pH es

controlado y sus propiedades humectantes evitan resequedad en las

manos.

Este producto limpiador trabaja penetrando en la base de la

mancha hasta reducir el contacto con la superficie del material,

facilitando así la eliminación física. En otras ocasiones, la limpieza se

produce por reacción química con la mancha, transformándola en otra

sustancia fácilmente eliminable.

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Componentes de un lavavajillas:

• Alcohol Etílico:

El Alcohol Etílico no solo es un producto químico

orgánico sintético más antiguo empleado por el hombre sino

también uno de las importantes.

• Trietanolamina:

Este producto químico se utiliza como ingrediente para

balancear el pH en preparaciones cosméticas, de higiene y

en productos de limpieza. Entre los productos cosméticos y

de higiene en el cual es usado con este fin se incluyen

lociones para la piel, etc.

• Bicarbonato de sodio:

Sirve también para la limpieza por su poder abrasivo y

desodorante (por ejemplo, para quitar el olor “a nuevo” de las

neveras). Se usa además como blanqueador dental ya que

se pule la superficie del esmalte.

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CAPITULO N° 2:

“Desarrollo del proyecto”

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PLANTEAMIENTO

Minimizar Costo de Producción

Ahorro de materia prima para envasar 500000 cm3 de cera lavavajilla

Como envasar

Recipiente tipo A = V a (485 cm3 )MPa=(300 ) cm2

Recipiente tipo B = V b (553cm3 )b= (300 ) cm2

Costo materia prima por cm2

Va: 500000/485 =1030

Vb: 500000/553=904

Ganancia = (N° de productos vendidos). (Costo de producción unitario + Ganancia)

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RECIPIENTE DE BASE CIRCULAR

V = 485 cm3

MP = 300 cm2

RECIPIENTE DE BASE CUADRADA

V = 553 cm3

MP = 300 cm2

DESARROLLO DEL RECIPIENTE CUADRADO

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Definición de funciones:

Encontraremos las ecuaciones que representen tanto el Área como el volumen:

Área:

Área de la base: (medida del largo de la base)*(medida del

ancho de la base):=X*X

Área lateral: 4*(medida del largo de la base )*(medida de la

altura)=4*x*y

Área total: (Área de la base) + (Área lateral)

La ecuación que representa el área es:

A = AB +AL

A= x2+4 xy ………………………………………………………….(1)

Volumen:

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Y

X

X

Volumen: (medida del largo de la base)*(medida del ancho de la

base)*(medida de la altura)=x*x*y

La ecuación que representa el volumen es:

V=x*x*y ……………………….(2)

Tenemos 2 relaciones, área y volumen, despejaremos una variable en la

ecuación de área y reemplazaremos ese valor en el volumen; luego

calcularemos puntos críticos y aplicando los criterios de primera y segunda

derivada demostraremos que es un volumen máximo.

De la ecuación (1) dejaremos la variable “y”:

A= x2+4 xy

EL valor del Área es dato del problema. A=300

300= x2+4 xy

Y=(300-x2)/(4x)…………………………….(3)

Reemplazamos el valor de “y” de la ecuación (3) en la ecuación (2)

V (x )=x2*y

Calculo I Página 14

V (x )=x2(300−x2)

4 x

V (x )=x(300−x2)

4……………………………………….. (4)

Aplicación Derivada

V ( x )= x(300−x2 )4

=300 x4

− x3

4=300−3 x2=0

V ' ( x )=[x (300−x2 )

4] '=( 300 x

4− x

3

4) '=300−3 x2

Igualamos V’(x) a cero para analizar puntos críticos

V ' ( x )=300−3x2 = 0

x=±√ 3003 =10

V ' (x )=3004

−3 x2

4↔V ' ( x )=0

Máximos y mínimos (criterios 1° y 2° desarrollo)

Calculo I Página 15

+’’ < Máxima

+’’ > Mínima

V ' ' ( x )=−6 x4

V ' ' (10 )=−6∗104

=−15

V ( x )=x2 y=102∗5=500cm3

llenar :0.97∗V (x )=0.97∗500=485

El primer Envase de base cuadrada llena un aproximado de 485 gr.

Análisis de la gráfica

Volumen:

Área= x2+4xy

300=x2+4 xy

y=300−x2

4 x

V ( x )=x2 . y=x2( 300−x2

4 x)

V ( x )=300x4

− x3

4D=300

4−3 x

2

4

V (10 )=30004

−10004V ' (x )=0

V (10 )=500 3004

−3x2

4=0

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Y

X

X

V (−10 )=−30004

+10004300=3 x2

¿500 x=±10

V ( x )=0V ( x )=3004

−3 x2

4

300 x− y3=0V (−15 )=¿ 243.75

x (300−x2 )=0V (−5 )=¿93.75

x=0V (5 )=¿56.25

Y=10 √3V (15 )=¿-93.75

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Desarrollo del recipiente de base circular:

Definición de funciones:

Area=π x2

2

+2π x2y

300=π4x2+πxy

y=300−π

4x2

πx

y=1200−π x2

4 πx↔1200−121π

44 π=5.931≅ 6

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Aplicación de volumen

V ( x )=π x2

4 ( 1200−π x24 πxx )

V ( x )= 116

(1200 x−π x3 )

V ' (x )= 116

(1200−3 π x2)=0↔x √ 12003 π =¿ 20√π

=11,283≅ 11¿

Puntos críticos

V ' (x )=0

V ' ' (11 )= 116

(1200−3π x2 )=0

x=√ 2003πV ' ' ( x )= 1

16(−6πx )

V ' ' (11 )=−38π (7 )<0

V ( x )=π x2 y4

=π (121 )64

En el segundo de base circular llena un aproximado de 553 gr.

Análisis de la gráfica:

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V(X) = ( π x24 )( 1200−π x24 πx )

V(X) = 116

(1200 x−π x3 )

X = 11

V(X) = 116

[1200 (11 )−π (11 )3 ]

V(X) = 56300

Calculo I Página 20

Y

CONCLUSIONES

Al terminar el presente proyecto de aplicación, se llegó a la conclusión

que gracias a la aplicación de la derivada de funciones con variable

real, se pudo determinar el tipo de recipiente que la empresa AMC,

necesitaba para lanzar su nuevo producto de lavavajillas al mercado.

Del cual se obtuvo como resultado que de los dos tipos de recipientes,

el más óptimo es el de base cuadrada, ya que sólo se llenará un

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aproximado de 485gr de cera lavavajilla, a diferencia del otro

recipiente que ocupa 553gr del producto, lo que representa una

mayor ganancia para dicha empresa.

Referencias Bibliográficas

• Rodríguez Sosa, Miguel Ángel. Investigación científica.

Teoría y métodos. Pacífico editores, Lima, 1994. Archivo

en computadora.

• Guía de envases y embalajes. © primera edición: junio

2009. Reproducción autorizada citando la fuente.

Depósito legal: 2009-08329-Ministerio de Comercio

Exterior y Turismo-vice ministerio de comercio exterior.

• Análisis Matemático 1. Eduardo Espinoza Ramos.

• Análisis Matemático 1. La Salle y Sullivan. 5°edicion-

mayo 1972.

• Análisis Matemático 1. Armando Beneros. 2° edición.

Lima-2012.

Calculo I Página 22

• Pita Ruiz –Cálculo diferencial.

Calculo I Página 23