UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

TTULO DEL PROYECTO:

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

CURSO:

CALCULO 3

CARRERA:

INGENIERA DE MINAS

CLASE

9787

DOCENTE:

SEVILLANO CASTRO, RODOLFO ANANIAS

INTEGRANTES: Cosavalente Plasencia Anthony. Paredes Rodrguez, Hamer Lezama Machuca Joicy Marly Villanueva kevin

CAJAMARCA - 2014

Dedicatoria

A Dios:Por la sabidura e inteligencia que nos dada a da. A nuestros padres por su apoyoincondicional que nos brinda siempreA DiosPor iluminarnos durante este trabajo ypor permitirme finalizarlo con xitoAl profesor: Sevillano Castro Rodolfo Ananias , por el apoyo que nos brinda da a da.

A nuestros padres:

Por su apoyo incondicional que nos brindan y el esfuerzo diario que realizan por brindarnos una buena educacinA nuestros profesores:Quienes son nuestros guas en el aprendizaje, dndonos los ltimos conocimientos paranuestro buen desenvolvimiento en la sociedad.

AGRADECIMIENTO

A todas aquellas personas con sed de conocimiento y deseos de superacin, que leenhoy estas pginas y premian el esfuerzo de este trabajo.Agradecemos en primerlugar, al serSupremo, nico dueo detodo saber yverdad,poriluminarnosduranteestetrabajoyporpermitirnosfinalizarloconxito; y en segundo lugar, pero no menos importante, a nuestros queridos padres, por su apoyoincondicional y el esfuerzo diario que realizan por brindarnos unabuena educacin.Los esfuerzos mayores, por ms individuales que parezcan, siempre estnacompaados de apoyos imprescindibles para lograr concretarlos.En sta oportunidad, nuestro reconocimiento y agradecimiento a nuestro profesor Sevillano Castro Rodolfo Ananias; por su oportuna, precisa e instruida orientacin para el logro del presentetrabajo.

INDCEPORTADA...........1DEDICATORIA.....2AGRADECIMIENTO3INDICE....................4INTRODUCCION..................5OBJETIVOS........6MARCO TEORICO:1. Definiciones.......72. Integral de lnea.93. Integral de lnea de campos vectoriales.....114. Teorema de Green..125. Ejercicios resueltos (6)...186. Problemas (4)...217. Propuestos sin solucin (5)..25BIBLIOGRAFIA26

INTRODUCCIN

La integral de lnea es aquella integral cuya funcin es evaluada sobre una curva. En el caso de una curva cerrada en dos dimensiones o delplano complejo, se llama tambinintegral de contorno, las integrales de lnea independiente de la trayectoria Paraf:R2Runcampo escalar, la integral sobre la curvaC(tambin llamada, integral de trayectoria), parametrizada comor(t)=x(t)i+y(t)j cont[a, b] y el teorema de Greenda la relacin entre unaintegral de lneaalrededor de una curva cerrada simpleCy unaintegral doblesobre la regin planaDlimitada porC, estas constituyen una parte fundamental de las matemticas, tanto desde el punto de vista puramente terico como desde un enfoque ms aplicativo; por ello, es fundamental su estudio en todas las carreras cientficas y tcnicas. En este trabajo recogeremos informacin de pginas web, as como de libros que nos sirvieron de mucho en este proyecto.Adems analizaremos y solucionaremos las integrales de lnea y trayectoria, as mismo el teorema de Green, determinando as los diferentes casos que se pueden presentar en cada una de ellas.

Objetivos de integrales de lnea

Objetivos especficos:

El clculo de la longitud de una curva en el espacio. El clculo del volumen de un objeto descrito por una curva, del cual se posee una funcin (campo escalar) que describe su volumen a lo largo de una curva. el clculo del trabajo que se realiza para mover algn objeto a lo largo de una trayectoria teniendo en cuenta los campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que acten sobre el mismo.

Integrales de lnea independientes de la trayectoria

objetivos especficos

El clculo de la longitud de una curva. El clculo del trabajo que se realiza para mover algn objeto a lo largo de una trayectoria, teniendo en cuenta campos de fuerzas (descritos por campos vectoriales) que actan sobre el mismo.

Objetivo sobre el teorema de Green Objetivos generales

Estudiar con profundidad, analizar e interpretar el teorema de Green

Objetivos especficos

Demostrar el teorema de Green Conocer ms sobre el autor de este tema Resolver ejercicios donde se apliquen estos teoremas Definir los conceptos de los diferentes casos Detallar cules son mtodos de aplicacin del teorema de Green.

1. Definiciones y propiedades que utilizaremos en los temas mencionados:

Curvas parametrizadas definicin:Sea l un intervalo de R. Una curva l. Es una aplicacin continua definida en la forma:C: l l t (x (t), y(t), z(t))Donde t recibe el nombre de parmetro.Curvas regulares:Una curva es regular si son continuas en l y no simultneamente nulas. Una curva es regular a trozos si puede expresarse como unin finita de curvas regulares.Curvas cerradas:Si , los puntos y reciben el nombre de extremos de la curva. Si A = B la curva es cerrada.Vector tangente:El vector tangente a la curva en el punto de parmetro .La recta tangente a la curva en ese punto ser:Comentario (observacin) :Todas las definiciones vistas para curvas en l sirven para curvas en l, solo basta considerar z = 0.Mtodos Bsicos de parametrizacin de curvas en el plano.Una curva en el plano viene expresada habitualmente en una de las formas siguientes: Explcita

Implcita

Paramtrica

(1) Parametrizar una curva expresada en forma explcita basta hacer :

(2) La parametrizacin de curvas expresadas en forma implcita requiere de mtodos particulares segn cada tipo. Veamos los casos ms frecuentes :

Segmento de extremos ) Circunferencia de centro y radio rImplcita:Paramtrica: Elipse de centro ( y semiejes a, bImplcita:Paramtrica:

Mtodos bsicos de parametrizacin de curvas en el espacioEn el caso frecuente en que la curva venga dada como interseccin de dos superficies en forma implcita:

C :

Los pasos a seguir para su parametrizacin pueden resumirse as:

Se asla, si es posible, una variable de una ecuacin y se sustituye en la otra (por ejemplo, ).

Se parametriza en el plano coordenado la curva plana que es la proyeccin de la curva C.

Se parametriza la variable aislada.

En el supuesto de que pueda aislarse z, la parametrizacin de C resultara :

Longitud de una curvaDada la curva

La longitud s del arco de curva C entre los puntos de parmetros a y b resulta ser:

,

Curvas parametrizadas por el arco

Por definicin, una curva esta parametrizada por el arco s y solo s:

PropiedadC esta parametrizadas por el arco INTEGRAL DE LINEA DE CAMPOS ESCALARESDefinicin:Sea un campo escalar continuo Sea c una curva acotada contenida en el dominio de F y parametrizada por el arco:Definimos la integral del campo escalar F a lo largo de la curva C como:

Interpretacin geomtricaSi sobre los puntos de c, la integral anterior puede interpretarse como el rea lateral de la porcin de superficie cilndrica recta que tiene como base en z = 0 la curva C y como altura z = F (x, y) para los (x,y) .

INTEGRALES DE LINEA

ObservacinPara el caso en que la curva sea regular pero no est parametrizada por el arco tenemos:

Anlogamente, si la curva es regular y est contenida en el dominio de un campo escalar continuo entonces:

Propiedades:(1) (2) (3) (4) La integral de lnea de un campo escalar es independiente de la parametrizacin escogida para la trayectoria de integracin.

INTEGRALES DE LINEA DE CAMPOS VECTORIALESDefinicin:Sea un campo vectorial continuo definido sobre los puntos de una curva C de acotada y regular. Definimos la integral de lnea del campo vectorial F a lo largo de la curva C como la integral de lnea sobre C del campo escalar F.T siendo T el vector tangente unitario en cafa punto C.

Si la curva C viene parametrizada en la forma:

Tendremos las notaciones habituales:

Siendo funciones componentes del campo F

Propiedades:(1) F, G campos vectoriales

(2)

(3)

(4) El valor de la integral de lnea de un campo vectorial es, salvo el signo, independiente de la parametrizacin escogida para la trayectoria.

Orientacin de curvas 1. Curvas abiertas: el sentido en el que se recorre la curva no ha de ser dado ordenando sus extremos.2. Curvas cerradas: entendemos como sentido positivo aquel que para valores crecientes del parmetro se recorre la curva dejando la regin acotada a la izquierda. El sentido negativo es el contrario del positivo.El trabajo como integral de lnea:Sea F (X,Y,Z) un campo de fuerzas continuo en , definido sobre los puntos de una curva acotada C.El trabajo W realizado por dicho campo a lo largo de la trayectoria C resulta ser:

TEOREMA DE GREENEste teorema establece una relacin entre la integral de lnea de un campo vectorial y la integral doble.Teorema de Green en el plano. Sea P,Q:, funciones continuas con continuas en una regin R del plano que sea el interior de una curva plana C, cerrada, simple y regular a trozos, entonces :

Donde C, se entiende recorrida en sentido positivo.

Teorema de Green generalizadoSean , curvas cerrada, simples y regulares a trozos tales que , estn contenidas en el interior de , y no se intersecan dos a dos.Sea P,Q: funciones continuas con continuas en la regin R que sea en el interior de la curva una vez eliminados los interiores de . Entonces:

Donde se entienden recorridas en sentido positivo. INDEPENDENCIA DEL CAMINO PARA INTEGRALES DE LINEAIntegrales independientes de la trayectoriaSea C curva que une los puntos A y B. Si el valor de la integral

Es el mismo para cualquier curva C que una A con B, se dice que la integral anterior es independiente de la trayectoria.Diferencial exacta Una expresin diferencial de la forma:1 Es una diferencial exacta si existe una funcin tal que:

Es decir, que la expresin diferencial (1) es la diferencial total de la funcin

Anlogamente para el caso de dos variables:Una expresin diferencial de la forma P(x,y)dx + Q(x,y)dy es una diferencial exacta si existe una funcin:

Es decir:

Campo conservativo, funcin potencialEl campo vectorial recibe el nombre de conservativo se; es una diferencial exacta.En tal caso, la funcin definida anteriormente recibe el nombre de funcin potencial del campo F.Teorema fundamental de las integrales de lnea(a) es una diferencial exacta si y slo si:

Depende solo de los puntos extremos de la trayectoria.(b) Si y A,B son los extremos de la trayectoria C, entonces:

Principio de la conservacin de la energa mecnicaSea un campo de fuerzas continuo definido en un abierto conexo y sea una funcin potencial de F.Por el teorema fundamental, el trabajo W realizado por el campo al mover una partcula desde un punto A a otro B siguiendo un camino C regular a trozos contenido en el dominio de F ser:

Si parame trisamos en C en la forma:

Aplicando la segunda ley de newton: ser:

Si r(t)=v(t) velocidad en el valor de parmetro t, tendremos:

Igualando ambas expresiones del trabajo obtenemos la formulacin del pricipio de conservacin:

El miembro de la izquierda representa le energa mecnica en el punto A y el de la derecha en el punto B; recibe el nombre de energa cintica y de energa potencial.Si la expresin anterior hacemos variar uno de los puntos concluimos que la energa mecnica se mantiene constante en todo punto, afirmacin que expresa el principio de conservacin de la energa mecnica.La nomenclatura de campo conservativo proviene de esta propiedad. Para los campos conservativos, el trabajo realizado para desplazar una partcula de un punto a otro es independiente de la trayectoria. Si la trayectoria es cerrada el trabajo es nulo.TeoremaEl siguiente enunciado resume las propiedades de las definiciones formuladas asta el momento. un campo vectorial continuo definido en un abierto conexo. Son equivalentes:(a) F es un campo conservativo(b) es una diferencial exacta.(c) (d) es independiente de la trayectoria C contenida en el dominio de F.(e) la integral de lnea para todo C contenida en el dominio de F.

Rotacin del campo vectorial Sea el campo vectorial: .Definimos el campo vectorial de F como:

Formalmente, puede calcularse mediante la siguiente regla:

Regin simplemente conexaUna regin conexa se dice que es simple conexa si toda curva cerrada puede reducirse continuamente hasta cualquier punto de la misma, sin salirse de la regin.Intuitivamente, se refiere a regiones conexas sin agujeros.

TeoremaSea F(x,y,z) un campo vectorial continuo con derivadas parciales de primer orden continuas en un cierto dominio de .(a) Si es independiente de la trayectoria, entonces:rotF=0 (b) Si rotF=0 y el dominio es independiente de la trayectoria, entonces, la integral anterior es independiente de la trayectoria.

Observacin:Para el caso de un campo vectorial en , F(x,y,z)=(P(x,y),Q(x,y)), la condicin rotF=0 del teorema anterior se reduce a:

EJERCICIOS PROUESTOS

1. Calcular la siguientes integrales de lnea:

a. c segmento que une (-1,-2,0) con (1,2,3)

Parametrizacin de c:

b. C interseccin de la esfera con el plano z=0

C= circunferencia de radio a en Z=0

Curva interseccin Parametrizacin: t

c. C interseccin de la esfera , Con el plano x+y+z=0Para parametrizar la curva C buscamos la proyeccin de esta sobre el plano Z=0 z=-x-yDe donde Para eliminar el termino cruzado 2xy lo agrupamos con uno cuadrtico y completamente cuadrados.

Obtenemos una elipse cuyos ejes de simetra no son paralelos a los ejes coordenados, sino que esta girada respecto a estos.

Despejando: t

Calcular las siguientes integrales de lnea sobre las trayectorias que se indican:

a) c frontera de

Plano R con frontera C:

b) C elipse Elipse

En coordenadas elpticasEl recinto R con frontera se describe como:

c) C frontera de la regin del primer cuadrante Limitada por

Rcinto R con frontera C:

PROBLEMAS1. Calcular la integral siendo C a curva de interseccin de la esfera con el plano y+z=a

Proyeccin de la curva c en plano z =0 :

Completando cuadrados:

Parametrizacin de C:

Entonces:

2. Calcular la integral siendo C la curva interseccin del primer octante de la esfera con el plano z=1/2

En z =

Parametrizacin de C:

3. REA COMO INTEGRAL DE LNEA. Muestre que si R es una regin en el plano, acotada por una curva C simple cerrada y regular por partes, entonces:

Solucin:Si

Si

4. Sea C una curva cerrada simple que encierra una regin:

Calcular el rea del interior de la elipse usando el teorema de green.Solucin:A partir del teorema de Green tenemos

Parametricemos la ecuacion de la elipse, mediante

Remplazando trminos en el integrando

PROPUESTOS

1. Dado el campo de fuerzas en el espacio F(x,y,z) = (yz,xz, x( y+1)), calcular el trabajo que realiza F al mover una partcula a lo largo de la frontera del tringulo de vrtices (0,0,0), (-1, 1,-1), en este orden.

2. Evale la integral utilizando el teorema de Green

3. Evale la integral utilizando el teorema de Green

4. Evale la integral de lnea con orientacin positiva.

5. Calcular el flujo hacia afuera del campo , con respecto al cuadrado acotado por las rectas: .

BIBLIOGRAFIA

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