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LA RECTA
INTRODUCCIÓN.
En la vida diaria es común escuchar o exclamar alguna de las siguiente frases “ esta calle está
muy inclinada “ ó bien la siguiente “ esta calle tiene mucha pendiente “ en las que siempre
tomamos como referencia la horizontal. En forma intuitiva nos estamos refiriendo al ángulo que forma
la calle con la horizontal y se usa la palabra pendiente para referirnos a la inclinación, lo cual lleva
implícito el hecho del ángulo que forma la “calle “ con la horizontal.
Así mismo los conceptos de paralelismo y perpendicularidad los tenemos presentes al hacer
referencia a calles paralelas o calles que se cruzan o que son perpendiculares, diagonales, etc.
En Geometría Analítica se tienen 2 definiciones que nos permiten determinar numéricamente los
conceptos de inclinación y pendiente.
Primeramente, consideremos el siguiente hecho: Dos rectas dirigidas, al cortarse forman dos
pares de ángulos opuestos por el vértice los cuales forman parejas de ángulos suplementarios, 2 ángulos
agudos y 2 ángulos obtusos opuestos por el punto de intersección de las rectas.
Consideremos a una recta L del plano cartesiano, definimos su Angulo de inclinación.
“ Al ángulo formado por una recta L y con el Eje X en su dirección positiva”.
X
Y
L
.m
Pendiente de la recta L .
La pendiente ( m ) de una recta se define como la tangente trigonométrica de su ángulo de
inclinación.
Si el ángulo está comprendido entre o0 y
o90 la pendiente es positiva y si el ángulo está
entre o90 y
o180 la pendiente es negativa. El ángulo de inclinación de una recta está comprendido
entre 0180&0o
, El tomar ángulos mayores de 180o
como ángulos de inclinación trae como
consecuencia el tomar como ángulo de inclinación al obtenido de la operación o180 . Por lo
tanto siempre consideraremos al ángulo de inclinación con valores dentro del intervalo antes
mencionado.
Toda recta paralela al eje Y es perpendicular al eje X, por lo tanto su ángulo de inclinación es
igual a 90 grados, como la tangente trigonométrica del ángulo de 90 grados es indeterminada (ó infinita)
entonces diremos que una recta vertical no tiene pendiente (en vez de decir que tiene pendiente
infinita), adicionalmente toda recta horizontal tiene pendiente cero y su ángulo de inclinación es o bien
cero grados ó 180 grados dependiendo de cómo se considere la dirección de la recta L.
Consideremos a una recta L del plano que pasa por los puntos P(x1,y1) & Q(x2,y2) la
pendiente de L es:
Tracemos la recta en el plano así como a los puntos P & Q de acuerdo a la grafica 5.
El ángulo de inclinación de la recta L es y el ángulo del vértice P del triángulo formado por BQP es
igual al ángulo de inclinación , los catetos del triángulo BQP son:
Cateto opuesto = y2 - y1 & cateto adyacente = x2 - x1 por lo tanto
. tan( )m
12
12
xx
yym
21 xx
12
12
xx
yyTg
por lo tanto la pendiente de la recta es
12
12
xx
yym
x
y
P(x1, y1)
Q(x2, y2)
B(x2, y1)
x2 - x1
y2 - y1y2 - y1
x2 - x1
y2
y1
x2x1
a
a
Tan( a ) = (cateto opuesto) / (cateto adyacente)
cateto opuesto
cateto adyacente
Tan (a ) = (y2 - y1 ) / ( x2 - x1 )
Ejemplo 1.- Halla la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos dados.
a.- L1: P(2, 1) Q( 6, 5) b.- L2: A(-3, -2) D(4, 2) c.- L3: S(-4 5)
T( 4, -3).
Respuestas:
a.- Para L1; aplicamos la formula de la pendiente: 14
4
26
15
12
12
xx
yym
La pendiente es m = 1 para obtener el ángulo de inclinación aplicamos la tangente inversa
oamamtg 45)1tan()tan()(1 por lo tanto el ángulo de inclinación es de 45
grados.
b.- Para L2; 7
4
)3(4
)2(2
12
12
xx
yym y el ángulo de inclinación es
oaa )74.29()5714.0tan(
7
4tan
12
12
xx
yym
c.- Para L3; 18
8
)4(4
53
m y el ángulo de inclinación es:
oa 1351tan
el trazado de los puntos y las rectas se presentan en la siguiente gráfica.
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
m = - 1
m = 1
m = 4 / 7
A ( -3, -2)
B(4, 2)P(2, 1 )
Q(6, 5)S(-4, 5)
T(4 -3 )
L3
L1
L2
O(0,0)
ANGULO ENTRE 2 RECTAS.
Consideremos a 2 rectas L1 & L2 con ángulos de inclinación 2&1 respectivamente,
consideremos al ángulo que forma la recta L1 con L2 ( recordemos que los ángulos de inclinación
no son mayores de 180 grados) es igual a:
12
Llamemos a L1 recta inicial y a ( 1 ) ángulo de inclinación inicial; L2 recta final y a 2
ángulo de inclinación final entonces podemos expresar que:
“ El ángulo que entre 2 rectas es igual al ángulo de inclinación de la recta final menos el ángulo de
inclinación de la recta inicial”.
En términos de las pendientes m1 & m2 tenemos:
211
12
)2)(tan1(tan1
1tan2tan)12tan()tan(
mm
mm
121 mm
y el ángulo formado por las dos rectas es:
Ejemplo
Ejemplo 2 .- Determina el ángulo que forman las rectas:
a.- L1: con pendiente m1 = 8 / 7 y L2: con pendiente m2 = - 3 /4
b.- L1 con ángulo de inclinación de 35o
y L2: con ángulo de inclinación de 150o
Respuestas:
Para resolver estos problemas, aplicamos la fórmula para determinar el ángulo entre las 2 rectas:
211
12tan
mm
mm
o bien
211
12tan 1
mm
mm
211
12tan 1
mm
mm
L2:m2
L1:m1
x
y
m2 m1
Angulo
O(0,0)
a).- El ángulo que forman las rectas L1 & L2 es:
)75.13(tan4
55tan
28
428
55
tan
28
242828
2431
tan
4
3
7
81
7
8
4
3
tan 11111
ooo 1596.948403.85180)75.13(tan180 01
o1596.94
b).- En este problema conocemos a o351 &
o1502 por lo tanto:
ooo 11535150
Ejemplo 3.- Determina el ángulo que forman las rectas que pasan por los puntos: P( -3, 5) ; Q(2, -4)
&
A(-3, -6); B( 4,5)
Asignamos L1 la recta que pasa por P&Q y L2 la recta que pasa por A&B
Antes de aplicar la formula para determinar el ángulo entre L1 & L2 debemos determinar sus pendientes
m1 & m2, para esto aplicamos la formula de la pendiente:
12
12
xx
yym
Para la recta L1; 5
9
5
9
)3(2
541
m L1:
5
91
m
Para la recta L2; 7
11
)3(4
)6(52
m L2:
7
112 m
Ahora si aplicamos la fórmula del ángulo:
32
59tan
64
118tan
35
6435
118
tan
35
991
35
6355
tan
7
11
5
91
5
9
7
11
tan 11111
o4742.118)8437.1(tan180 1
por lo tanto el ángulo entre L1 & L2 es:
o4742.118
Cuando en ángulo inicial 1 es MAYOR que el ángulo final 2 , el ángulo que forman las rectas
L1 con L2 corresponde al ángulo suplementario de la recta L1 sumado al ángulo de L2 (Ver
gráfica.) por lo que se tiene:
oo 18012)1180(2 por lo tanto:
o180)12( por lo tanto:
)12tan(
)180tan()12tan(1
)180tan()12tan(180)12(tantan
o
oo
---------- ( VI ).
211
12tan
mm
mm
X
Y
Gráfica
Del análisis de la fórmula 211
12
mm
mm
obtenemos la siguiente información:
a).- Dos rectas son paralelas si el ángulo que forman es de “cero grados” en este caso el
numerador de la fórmula VI es igual a cero es decir: m2 - m1 = 0 por lo tanto la forma de
identificar si dos rectas son paralelas la hacemos si sus pendientes son iguales m1 = m2.
b.- Dos rectas son perpendiculares si forman un ángulo de 90 grados, en este caso la tangente
de 90 grados es indeterminado ó infinita lo cual ocurre si el denominador de la fórmula es cero, es
decir, 1 + m1m2 = 0 por lo tanto, dos rectas son perpendiculares si:
)1180(2 o
2
1
1180 o
Rectas Paralelas: 21 mm
PROBLEMAS
1.- Determina las coordenadas (x,y) de los punto que dividen al segmento AB )7,9(&)1,3( BA en 3 partes
iguales.
2.- El segmento AB )3,3(&)1,2( BA se prolonga hasta un punto C(x, y), sabiendo que ABBC 3
determina las coordenadas del punto C.
3.- Determina las coordenadas del punto medio de los segmentos cuyos extremos son los puntos dados.
a.- A( 5, 3) & B( 8, -2) b.- P( -2, 6) & Q( 3, 4) c.- T( 8, 2) W( -3, - 5)
4.- Un extremo de un diámetro de una circunferencia es el punto A(2, 6) y el centro es el punto C(- 4, 1), halla
las coordenadas del otro extremo.
5.- Determina el ángulo los ángulos que forman las rectas de acuerdo a la información dada.
a.- L1: Pasa por el punto A( 2, 3) y tiene un ángulo de inclinación 030 L2: pasa por el punto
Q(-3, -2) & 0135
b.- L1: Pasa por el punto P( 2, -5) y 045 L2: Pasa por los puntos Q ( 4, 3) & R ( -5, - 4).
c.- L1: Pasa por los puntos: S( -7, 3) & T( 4, - 6 ) L2: pasa por A( 1,2) & (3, -4 ) .
6.- Determina el ángulo que forman las rectas :1L pasa por S( 2,3) y m 3/2 & :2L pasa por el punto
T(-1, -1 ) & m =- 4/3
7.- Determina los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son: A( 3, 2) B( 5, -4) & C( -3, 3)
LA RECTA COMO LUGAR GEOMÉTRICO.
¿Que representa un lugar geométrico (LG)? , lo podemos definir como el conjunto de puntos (x, y )
del plano que cumplen con una condición geométrica C(x ,y).
Todo punto del plano ce coordenadas (x, y) que cumple con la condición geométrica pertenece al
lugar geométrico ( LG) y recíprocamente, todo punto del lugar geométrico (LG) cumple con la
condición C(x,y)
12*1 mm
o bien :
2
11
mm
ó
1
12
mm
En términos de conjuntos podemos expresar este hecho en la siguiente forma:
LG = ),(....)..,(),( yxCconcumpleyxyxP
La expresión algebraica obtenida mediante la transformación de la condición C(x ,y) representa la
Ecuación del Lugar Geométrico.
La gráfica del lugar geométrico es la traza en el plano XY del conjunto de puntos P(x, y ), el trazado de
los puntos la hacemos mediante la asignación de valores para x y a partir de la ecuación obtenemos
los correspondientes valores de y, para la cual formamos un tabla como se indica en la figura siguiente.
x x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 ..... xn
y= Ecuación y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 .... yn
Lo cual define a los puntos ),(.).........,(),,( 222111 nnn yxPyxPyxP .
Como ejemplo consideremos el siguiente enunciado de lugar geométrico:
“ El conjunto de puntos (x, y) del plano que equidistan de los puntos A(3,2) & B(-4,5)” .
El lugar geométrico corresponde de los puntos P del plano tal que sus distancias a los puntos A & B
son iguales, entonces, la condición geométrica de LG es d(P, A) = d(P, B), la representación de este
enunciado en términos de conjuntos es:
Dados los puntos A(3,2) & B(-4,5);
LG = ),(),(),( BPdAPdyxP
Aplicando las fórmulas de la distancia transformamos la condición geométrica en una expresión
algebraica.
2222 )5())4(()2()3( yxyx
simplificando los radicales:
2222 )5()4()2()3( yxyx Agrupando términos:
0)5()2()4()3( 2222 yyxx
desarrollamos los binomios y obtenemos:
0)251649()104()()86()(
25101684496
2222
2222
yyyyxxxx
yyxxyyxx
simplificando obtenemos la expresión:
028614 yx por lo que la ecuación queda: 028614 yx
Gráficamente tenemos:
x
y
Observamos que en particular, el punto medio PM( - ½, 7/2 ) del segmento AB pertenece al Lugar
Geométrico ya que d(PM(AB), A ) = d(PM(AB), B ) y sus coordenadas satisfacen (cumplen con ) la
ecuación de la recta, para comprobar esto sustituimos x = - ½ & y = 7/2
en 14 x – 6y +28 = 0: 14 (- ½ ) -6 ( 7/2 ) + 28 = - 7 - 42/2 + 28 = - 7 – 21 + 28 = -28 + 28 =
0
Podemos definir la recta como Lugar Geométrico de acuerdo al siguiente enunciado:
Dado un punto Q(x1, y1 ) y la pendiente m de la recta, “ la recta es el lugar geométrico de los
puntos P(x, y) del plano tales que la pendiente m1 del punto P(x, y) con Q(x1, y1) es siempre igual a la
pendiente dada m “.
En términos de notación de conjuntos tenemos:
Recta = mPQmyxP )(1),(
La pendiente m1(P, Q) = 1
1
xx
yy
por lo tanto la condición Geométrica se transforma en:
mxx
yy
1
1 de donde obtenemos la expresión algebraica )1(1 xxmyy que representa a
la ecuación del lugar geométrico “ recta ”.
A la ecuación:
Ecuación --------------- ( I )
Se le llama Ecuación Punto – Pendiente de la recta.
Ejemplo 4.- Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto Q( 3, - 4 ) y tiene una pendiente m =
4.
Las coordenadas del punto Q son x1 = 3 & y1 = - 4, para obtener la ecuación sustituimos estos datos
en la formula de la recta Punto – Pendiente:
0164
1244
)3(4)4(
yx
xy
xy
la ecuación de la recta que pasa por Q(3, -4) y tiene pendiente m = 4 es:
x
y
)1(1 xxmyy
0164 yx
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR 2 PUNTOS
La ecuación de una recta que pasa por 2 puntos Q1( x1, y1 ) & Q2( x2, y2 ) la obtenemos a partir de
la ecuación ( I ) en donde primeramente calculamos la pendiente a partir de Q1 & Q2;
12
12)(
xx
yyPQm
Entonces la ecuación I se transforma en:
-------- Ecuación ( II )
A esta ecuación se le llama ecuación de la recta que pasa por 2 puntos dados.
Si en vez de tomar al punto Q1(x1, y1) como base para determinar la ecuación II tomamos al punto Q2
(x2, y2), obtenemos la ecuación II’ :
------ Ecuación ( II’ )
La ecuación resultante es la misma.
Ejemplo 5.- Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos A( 5, -2 ) & B( 4, 4 ).
Primeramente tomemos al punto A( 5, - 2) como base para aplicar la fórmula II
Entonces: A(5, -2 ) corresponde a x1 = 5 & y1 = - 2, aplicamos la fórmula:
3062
)5(62
)5)(1/6(2
)5(54
)2(4)2(
xy
xy
xy
xy
pasamos todo al lado izquierdo:
Ecuación de la recta.
Si tomamos al punto B( 4, 4) como base para obtener la ecuación de la recta tenemos x2 = 4 & y2 = 4,
entonces:
)1(12
121 xx
xx
yyyy
)2(12
122 xx
xx
yyyy
0286 yx
2464
)4(64
)4(54
)2(44
xy
xy
xy
por lo tanto la ecuación resultante es: 0286 yx es la misma que la ecuación anterior.
x
y
Gráfica del ejemplo 5
Toda recta no paralela a los ejes coordenados X & Y corta a dichos ejes en puntos de
coordenadas Q1 (0, b ) & Q2 (a , 0 ); a “b” se le llama Ordenada al Origen & a “a” se le
llama Abscisa al Origen, las ecuaciones de las rectas que pasan por estos puntos tienen una
característica especial la cual se detalla a continuación.
Consideremos primeramente a la recta que pasa por el punto Q1 ( 0, b) y tiene una pendiente
conocida m y determinaremos su ecuación aplicando la fórmula ( I ) de Punto-Pendiente
)1(1 xxmyy sustituyendo y1 = b y m obtenemos:
mxby
xmby
)0(
despejando a y tenemos:
bmxy
----- Ecuación ( III )
A esta ecuación se le llama ecuación Pendiente –Ordenada la Origen.
Determinamos ahora la ecuación de la recta que pasa por los puntos Q1 ( a, 0 ) & Q2 ( 0, b ) aplicando
la fórmula
)1(12
121 xx
xx
yyyy
sustituyendo las coordenadas de Q1 & Q2
)(0
00 ax
a
by
de donde tenemos: )( ax
a
by
abbxay por lo tanto: abaybx ; dividiendo por ( ab ) tenemos:
Ecuación ( IV )
A esta ecuación se le llama forma simétrica de la recta.
En particular, las rectas paralelas a los ejes coordenados cumplen con las siguientes definiciones de
lugares geométricos:
* Recta paralela al eje X = RxkyXYyxP ..&..),( es el conjunto de puntos del plano tales
que su Ordenada es siempre constante ( k ), esta situación indica que x puede tomar todos los valores del
conjunto de números reales, por lo tanto, un punto P(x, y) pertenece a la recta paralela al eje X si su
ordenada es igual a k.
Ecuación: y = k
* Recta paralela al eje Y = RyhxXYyxP ..&..),( , es el conjunto de puntos del plano tales
que su Abscisa es siempre constante ( h ), esta situación indica que y puede tomar todos los valores del
conjunto de números reales, por lo tanto un punto Q(x, y) pertenece a la recta paralela al eje Y si su
abscisa es igual a h
Ecuación: x = h
En particular, las ecuaciones de los ejes coordenados X & Y son Eje Y: x = 0 & Eje X: y = 0.
1b
y
a
x
x
y
Ejemplo 6.- Determina la ecuación de la recta cuya Ordenada al Origen es 4 y su pendiente es m = -3.
Primeramente trazamos la recta en el plano cartesiano:
X
Y
Para determinar la ecuación de la recta aplicamos la fórmula y = mx + b y obtenemos:
y = -3x + 4
Expresada en la forma general tenemos: 3x + y - 4 = 0.
.x = h
.y = k
.y = 0
.x = 0
(h, k)
Ejemplo 7.- Determina la ecuación de la recta cuya Abscisa al Origen es – 5 y Ordenada al Origen es -
6.
Aplicamos directamente la formula de la ecuación simétrica de la recta .
1b
y
a
x
y obtenemos: 165
yx de la cal obtenemos la forma general:
sacando común denominador
03056
3056
130
56
yx
yx
yx
de donde tenemos la ecuación general:
03056 yx
X
Y
Gráfica del ejemplo 7.
Ejemplos 8.- Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto A( -2, 3) y es paralela a la recta
L1: cuya pendiente es m1 = -3
Como las 2 rectas son paralelas las pendientes son iguales entonces, m2 = m1 implica que m2 = - 3
Por lo tanto la ecuación es: y - y1 = m2 ( x – x1)
y - 3 = - 3 ( x – ( - 2 ) )
y – 3 = - 3x - 6
3x + y + 3 = 0
Ejemplo 9.- Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto B ( 3, - 5) y es perpendicular a la
recta cuya pendiente es m1 = 2 / 3.
Como las rectas son perpendiculares entonces:
2
3
3
2
1
1
12
mm
entonces la ecuación de la recta es:
0123
93102
)3(2
3)5(
)1(1
yx
xy
xy
xxmyy
PROBLEMAS
1.- Determina la Ecuación de la recta de acuerdo a la información que se te presenta:
a.- A( 5, 3) & m = 4/3 b.- P( -2, 6) & 030 c.- W( -3, - 5) m = - 3/2
d.- Q( -3, -8 ) m = 14 /15.
2.- Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados:
a.- A( -2, -2 ) & B( 4, 1) b.- Q(3, -2) T( -2, 1) c.- R( -1 –3) y es paralela a 4x –
8y –5 = 0
d.- W( 0, 3 ) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C( 3,-2) & D( -1, 2).
e.- Z( -3, -5) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos: A( 2,2) & B( 4, 3).
3.- Determina la ecuación simétrica de las restas del problema 2.
4.- Determina la pendiente y el ángulo de inclinación de las rectas cuyas ecuaciones se te presentan:
a.- x - 2y - 5 =0 b.- 13x – 8 y – 1 = 0 c.- 4x + 3 y + 7 = 0 5x + y + 9 = 0
5.- Determina la pendiente y Ordenada al Origen de cada una de las siguientes rectas cuya ecuación
general se te presenta.
a.- L1: 6x - 3y - 1 = 0 b.- L2: 9x + 12y + 4 = 0 c.- 4x – 8y –5 = 0 d.- 13x – 8 y – 1
= 0
6.- Determina la distancia del punto ya la recta de acuerdo a la información que se te presenta.
a.- Punto P( 2, -4) L1: 6x - 3y - 5 = 0 b.- Q( -2, 4) L2: 9x + 12y - 4 = 0
c.- Punto R( 3, 7) L2: 13x - 8 y + 4 = 0
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
Toda ecuación de la recta la podemos expresar en la forma:
A x + B y + C = 0 ------------------------ (V ).
En donde A, B & C son números reales.
A esta ecuación se le llama Ecuación General de la Recta por lo tanto,” toda recta tiene una ecuación de la
forma V y recíprocamente, toda ecuación de la forma V representa a una recta en el plano cartesiano.
Para verificar o demostrar si un punto Z( x1, y1) del plano pertenece a una recta dada cuya ecuación está
dada en la forma (V) debemos sustituir los valores de las coordenadas x1 & y1 en la ecuación y si esta
se cumple (o satisface ) entonces el punto pertenece a la recta, en caso contrario el punto no pertenece a la
recta.
A partir de la ecuación de la recta podemos determinar sus características tales como:
Pendiente
Ordenada al Origen
Abscisa al Origen
Angulo de inclinación
2 o mas puntos por donde pasa la recta.
Angulo que forman 2 rectas L1 & L2.
Además de la traza de su gráfica en el plano cartesiano.
Esta información la obtenemos mediante la transformación de la ecuación (V) a las formas :
1
b
y
a
x
bmxy
para transformar a la ecuación ( V ) 0 CByAx a la forma bmxy despejamos a la variable
y
B
Cx
B
Ay
de donde : la pendiente es
B
Am
y su ordenada al origen es:
B
Cb
por lo tanto, a partir de la ecuación general de la recta obtenemos su pendiente y su ordenada al origen
mediante su transformación a la forma pendiente - ordenada al origen.
De la misma forma, mediante la transformación de la ecuación general de la recta a la forma simétrica:
1b
y
a
x podemos determinar la Abscisa y Ordenada al Origen y por lo tanto los puntos de
intersección de la recta con los ejes coordenados X & Y A( a , 0 ) & B( 0 , b ), para esto ,
primeramente pasamos al término constante al segundo lado de la igualdad y después dividimos por el
término constante:
1
0
yC
Bx
C
A
CByAx
CByAx
tomamos los inversos de los coeficientes de x & y a fin de poder expresar la ultima expresión en la
forma:
1
C
B
y
C
A
x
de donde obtenemos que la Abscisa al Origen es C
Aa
y la Ordenada al Origen es
C
Bb
por
lo tanto, los puntos en donde la recta corta a los ejes coordenados son:
C
BB
C
AA ,0&0, .
Ejemplos.- Determina la ecuación de la recta de acuerdo a la información que se presenta.
10.- Pasa por el punto A ( 2, - 5 ) y es paralela a la recta cuya ecuación es 3x - 7 y + 18
= 0.
Para determinar a la recta que pasa por el punto A ( 2, - 5) debemos conocer a su pendiente m2 y esta
recta es paralela a la recta 3x – 7y + 18 = 0 de la cual, obtenemos el valor de la pendiente m1
despejando a la variable y entonces, y = - 3/(- 7) x - 18/(- 7) o bien, y = 3/7 x + 18/7 de
donde obtenemos que m1 = 3/7, además, la condición de rectas paralelas indican que m2 = m1 =
3/7.
De lo anterior, contamos con la información necesaria para obtener la ecuación de la recta solicitada:
Datos: Punto A ( 2, - 5) m2 = 3/7 aplicamos la fórmula y - y1 = m ( x – x1 ):
)2(7
3)5( xy de donde
)2(7
35 xy
multiplicamos en ambos lados de la igualdad por ( 7 ) obtenemos:
63357 xy
pasando los términos del primer miembro al segundo miembro tenemos:
357630 yx
simplificando obtenemos la ecuación de la recta.:
04173 yx .
X
Y3x-7y+18=0
(x,y) = (2,-5)
3x-7y-41=0
Gráfica rectas paralelas.
11.- Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto B ( -3, -2) y es perpendicular a la recta
de ecuación 5x + 3y - 15 = 0.
Determinamos la pendiente de la recta cuya ecuación nos dan, para esta despejamos a la variable y &
obtenemos:
3y = - 5x + 15
y = - (5 / 3) x + 5
de donde tenemos m2 = - ( 5 / 3 ).
La condición de rectas perpendiculares es 2
11
mm
por lo tanto la pendiente de la recta que pasa por B
es:
5
3
3
5
11
m ;
5
31 m
Ahora ya conocemos el punto B( - 3, -2 ) y la pendiente m1 = 3 / 5, su ecuación la obtenemos
aplicando la fórmula punto-pendiente: y – y1 = m ( x – x1 ).
))3((5
3)2(
xy
93105 xy
0153 yx
X
Y5x+3y-15=0
(x,y) = (-3,-2)
3x-5y-1=0
Gráfica: Rectas Perpendiculares.
12- Determina la pendiente, ángulo de inclinación y Ordenada al Origen de la recta cuya ecuación es:
4x + 9 y - 25 = 0.
Despejamos a la variable y en la Ecuación General:
9
25
9
4
2549
xy
xy
de donde obtenemos:
pendiente m = - 4 / 9 por lo tanto, el ángulo de inclinación es:
oooo 0375.1569624.231809
4tan180
9
4tan 11
y la Ordenada al Origen es b = 25 / 9.
Para dos rectas paralelas L1: A1 x + B1 y + C1 = 0 & L2: A2 x + B2 y + C2 = 0 se cumplen
las siguientes relaciones entre los valores de A1, A2, B1, B2 , C1 & C2:
C1 & C2 con Signos iguales C1 & C2 con signos
contrarios.
...........tan..............2&1.4
...........tan..............2&1.3
0...21...&....21.2
01221.1
origendelopuestasladosenesrectaslassicontrariossignostienenCC
origendelladomismodelesrectaslassiigualessignostienenCC
kkBBkAA
BABA
x
y4x+3y-12=0
4x+3y+21=0
x
y4x+3y-12=0
4x+3y-21=0
C1 & C2 con mismo signo C1 & C2 con signos
contrarios.
ANGULO ENTRE 2 RECTAS A PARTIR DE LA ECUACIÓN GENERAL
Consideremos a las rectas L1: A1x + B1y + C1 = 0 y L2: A2x + B2y + C2 = 0, determinaremos la
expresión para determinar el ángulo que forma L1 con L2 expresados en términos de los
coeficientes de sus Ecuaciones, para esto, las pendientes de las rectas las obtenemos mediante la
transformación de cada ecuación en la forma y = mx + b entonces:
Para L1: A1x + B1y + C1 = 0; y = (- A1 / B1 )x + (-C1/ B1) de donde: m1 = (- A1 / B1 )
Para L2: A2x + B2y + C2 = 0; y = (-A2 / B2 )x + (C2 / B2) de donde: m2 = ( -A2 / B2 )
Conocidas las pendientes, aplicamos la formula:
211
12tan
mm
mm
sustituimos las pendientes en término de sus coeficientes y obtenemos:
x
y4x-3y-12=0
4x-3y-21=0
x
y4x-3y+12=0
4x-3y-21=0
2121
1221
21
212121
2112
2
2
1
11
1
1
2
2
tanBBAA
BABA
BB
AABBBB
BABA
B
A
B
A
B
A
B
A
de donde tenemos la fórmula del ángulo entre las 2 rectas expresada en término de los coeficientes de sus
ecuaciones.
De donde obtenemos las condiciones que deben cumplir estos coeficientes para rectas paralelas y rectas
perpendiculares:
a).- Dos Rectas son paralelas si sus coeficientes cumplen con: A1B2 – A2 B1 = 0
de donde se obtiene : kB
B
A
A
2
1
2
1 esto indica que A1 es múltiplo de A2 y
B1 es Múltiplo de B2 con k como constante de multiplicidad.
b).- Dos rectas son perpendiculares si sus coeficientes cumplen con la condición A1A2 + B1B2 = 0.
Ejemplo 13.- Determina el ángulo que forman las rectas L1: 3x -7 y + 25 = 0 & L2: 5x + 8 y - 21
= 0.
Para determinar el ángulo usaremos los 2 métodos, el correspondiente a las pendientes y el de la Tabla
I.
a).- Uso de las pendientes: determinamos las pendientes m1 & m2 de las rectas despejando a la variable
y en cada una de las ecuaciones:
Para L1: 2537 xy ; 7
25
7
3
xy de donde
7
25
7
3 xy entonces
7
31 m
Para L2: 2158 xy ; 8
21
8
5
xy de donde
8
52
m
Aplicamos la formula de las pendientes y obtenemos:
2121
1221tan
BBAA
BABA
41
59
56
155656
2435
8
5
7
31
7
3
8
5
211
12tan
mm
mmt
ooooo 7960.1243039.55180)4390.1(tan18041
59tan180
41
59tan 111
entonces o7960.124
x
y3x-7y+25=05x+8y-21=0
Gráfica
El estudiante podrá aplicar cualquiera de los 2 procedimientos para determinar el ángulo entre las dos
rectas.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.
Consideremos A la recta L con ecuación general 0 CByAx y un punto P( x1,y1 ) del plano, se
define la distancia del punto P a la recta L como la Mínima de todas las distancias existentes entre el
punto P( x1, y1 ) y cada Punto de la recta, esta distancia corresponde a la longitud del segmento
perpendicular a la recta L y que tiene extremos a P (x1, y1 ) y el punto correspondiente a la recta Q (x0,
y0 ).
A continuación se señalan los pasos que se tienen que seguir para obtener la fórmula
correspondiente y en el
APÉNDICE ,1 se presenta la demostración correspondiente.
Paso1.- Se determina la pendiente de la recta L: m1 = - A / B
Paso 2.-El segmento perpendicular a L tiene pendiente m2 = B / A (m2 = -1/ m1).
Paso 3.- Se determina la ecuación de la recta correspondiente al segmento que pasa por Q(x1, y1).
. y - y1 = m2 ( x - x1)
Paso 4.-Se obtiene el punto de intersección de las 2 rectas perpendiculares el cual corresponde a Q
( x0, y0).
Paso 5.- Se determina la distancia entre los puntos P(x1, y1 ) y Q ( x0, y0).
La fórmula resultante es:
--------( VII
)
Ejemplo 14.- Determina la distancia del punto P( -3, -5 ) a la recta L: 5x + 4 y - 20 = 0.
Aplicamos la fórmula VII donde X1 = -3 y1 = -5 A = 5 & B = 4;
.41
4155
41
55
41
55
1625
202015
45
20)5)(4()3)(5():(
22UnidadesLPd
22
11):(
BA
CByAxLPd
.41
4155):( ULPd
x
y
(x,y) = (-3,-5)
5x+4y-20=0
DISTANCIA DE UNA RECTA AL ORIGEN
Tomemos como caso especial el cálculo de la distancia de un punto a una recta cuando el punto es el
Origen O( 0,0) y la recta L : Ax1 + By1 + C = 0, en esta caso la distancia queda determinada por :
Ejemplo 15: Determina la distancia de la reta L: 4x – 10 y -25 = 0 al Origen O( 0, 0)
Aplicamos la formula y obtenemos:
77.10116
25
)10(4
25),(
22
OLd unidades.
22
),(BA
COLd
DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS
Los coeficientes de las ecuaciones de 2 rectas paralelas L1: A1x + B1y + C1 = 0 & L2: A2x + B2y +
C2 = 0
Cumplen con la relación:
)3(..........&.......
)2(..................
)1(................0
21.21
2
1
12
1
1221
kBBkAA
entonceskB
B
A
A
bienóBABA
Aplicando la relación 3 en las ecuaciones de las rectas L1 ó L2, las podemos representar de tal
forma que sus coeficientes siempre sean iguales, por lo tanto las ecuaciones quedan:
2
1
2
1
2
1...
0:2
01:1
Ck
Cdonde
CByAxL
CByAxL
para determinar la distancia entre las 2 rectas, consideremos la distancia dirigida del Origen a cada una
de las rectas L1 & L2, (la distancia dirigida puede ser positiva o negativa dependiendo del signo del
termino C1 & C2 de las ecuaciones.) entonces la distancia la obtenemos a partir de la fórmula:
Ejemplo 16: determina la distancia entre las rectas paralelas dadas:
1.- L1: 3x + 5y + 25 = 0 & L2 : 3x + 5y - 15 = 0
Estas rectas son paralelas ya que A1B2 - A2B1 = 0 (3)(5) - (3)(5) = 0.
Entonces: unidadesLLd ...34
3440
34
40
34
40
53
2515)2,1(
22
Ejemplo 17.- L1: 5x – 4y - 18 = 0 & L2: 10x - 8 y + 42 = 0.
Las rectas son paralelas ya que cumplen con: A1B2 - A2B1 = 0.
En este caso antes de aplicar la fórmula, debemos transformar a las ecuaciones de tal forma que los
coeficientes A & B sean iguales, esto lo obtenemos ya sea multiplicando a la ecuación de L1 por ( 2
) ó dividiendo la ecuación de L2 por ( 2 ) . hagamos el primer caso y obtenemos:
12
1
'
2)2,1(
BA
CCLLd
L1: 10 x - 8 y - 36 = 0 & L2: 10 x – 8 y + 42 = 0, aplicamos la fórmula:
164164
78
164
78
64100
)36(42)2,1(
LLd
entonces, la distancia entre las rectas L1 & L2 es: UnidadesLLd ..0908.6164164
78)2,1(
x
y5x-4y-18=0
10x-8y+42=0