LA PENDIENTE DE LA RECTACualquier lnea recta no vertical tiene asociado in nmero que especifica su direccin, llamado su pendiente. Este nmero se define como sigue (la fig. 1.9 ilustra la definicin). Elegimos dos puntos distintos de la recta, P1(x1,y1) y P2(x2,y2). Entonces la pendiente se denomina por m y se define como el cociente m= . si invertimos el orden de la resta tanto en el numerador como en el denominador, entonces cambia el signo de ambos, de modo que m no vara: m= =m= . esto muestra que la pendiente puede calcularse como la diferencia de las coordenadas y dividida por la diferencia de las coordenadas x: en cualquier orden, siempre que ambas diferencias se formen en el mismo orden. En la fig. 1.9, donde P2 est situado ala derecha de p1 y la recta de eleva hacia la derecha, es claro que la pendiente que se ha definido en (1) es simplemente el cociente entre la altura y la base en el tringulo rectngulo inclinado. Es necesario saber que el valor de m depende solamente de la recta y es el mismo independientemente de donde resulten estar situados los puntos p1 y p2 de la recta. Esto es fcil de ver visualizando el efecto de mover p1 y p2 a posiciones diferentes sobre la recta; este cambio da lugar a un triangulo rectngulo semejante y por tanto deja el cociente de (1) inalterado. Si elegimos la posicin de p2 de modo que x2 x1 = 1, es decir, si situamos p2 ina unidad a la derecha de p1, entonces m = y2 y1. Esto nos dice que la pendiente es simplemente el cambio en y cuando un punto (x,y) se mueve a lo largo de la recta de tal manera que x aumente en 1 unidad. Este cambio en y puede ser positivo, negativo o nulo, dependiendo de la direccin de la recta. Tenemos,por tanto, las siguientes correlaciones importantes entre el signo de m y las direcciones indicadas: m > 0, la recta se eleva hacia la derecha m < 0, la lnea desciende hacia la derecha m = 0, recta horizontal Adems, el valor absoluto de m es una medida de lo empinado de la recta( fig. 1.10 ) . es a partir de (1) por que una recta vertical no tiene pendiente, ya que en este caso los dos puntos tienen la misma coordenada x y el denominador de (1) es 0 y sabemos que la divisin por cero no esta definida. Si la recta que se esta consiserando corta el eje x, entonces el angulo de la parte positiva del eje x a la recta, medido en el sentido contrario de las agujas del reloj, se llama la inclinacin o a veces el angulode inclinacin de la recta. Los estudiantes que han estudiado trigonometra vern a partir de la fig. 1.9 que la mdiente es la tangente de este angulo, m = tg .

ECUACIONES DE LA RECTAUna recta vertical esta caracterizada por el hecho de que todos sus puntos tienen la misma coordenada x. si la recta cirta al eje x en el punto (a,0), entonces un punto (x,y) esta en la recta si y solo si x = a Como se ilustra en la fig. 1.11. la afirmacin de que (2) es la ecuacin de la recta significa precisamente esto: in punto (x,y) esta en la recta si y solo si se verifica la condicin (2). Consideremos a continuacin ina recta no vertical, y consideremosla dada en el sentifo de que conocemos un punto (x0,y0) de ella y su pendiente m (fig. 1.12) si (x,y) es un punto en el plano que no esra en la recta vertical que pasa por (x0,y0), entonces es fcil ver que este punto esta en la recta dada si y solo si la recta determinada por (x0,y0) y (x,y) tienen la misma pendiente que la recta dada: m=

Esta seria la ecuacin de vuestra recta dalbo por el pequeo problema de que las coordenadas de l punto (x0,y0) que esta ciertamente en la recta no verifican la ecuacin ( reducen el primer miembro ala expresin sin sentido 0/0. Este problema se elimina fcilmente escrobienfo la ecuacin (3) en la forma y y0 = m(x x0) Sin embargo, preferimos generalmente la forma (3) , por que su relacin directa con la idea geomtrica olustrada en la fig. 1. 12 la hace fcil de recordar. Cualquiera de las dos ecuacones se llama la ecuacin punto-pemdiente de ina recta, fafo que la recta se ecpecifica inicialmente por ,edio de in punto conocido de ella t de si pendiente conocida. Para captar mas firmemente

el significado de la ecuacin (4), imaginemos un punto (x.y) moviendosea lo largo de la recta dada. Cuando este punto se mueve, sus coorfenadas x e y cambian; pero aunque cambien, estn relacionadas mediante la relacin fija expresada por la ecuacin (4).

Si el punto conocido de la recta resulta ser el punto en el que la recta cirta al eje y, y si denotamos este punto por (0,b), entonces la ecuacin (4) se convierte en y b = mx, o y = mx + b (5) El numero b se llama el corte con el eje y de la recta, y (5) se le llama ecuacin pendientecorje de una recta.esta forma es especialmente conveniente por que de un vistazo nos proporciona la posicin y la direccin de una recta. Por ejemplo. Si se reduelbe la ecuacin 6x 2y 4 = 0 (6) Para hallar y vemos que y= 3x 2. La comparacin de (7) con (5) muestra enseguida que m = 3 y b = -2, y asi (6) y (7) representa ambas la recta que pasas por (0,-2) y tiene pendiente 3. Esta informacin hace fcil dibujar la recta. Puede aparecer que (6) y (7) son ecuaciones difereneres, de modo que (6) debera debominarse una ecuacin de la recta u (7) otra ecuacin de la recta, pero preferimos considerarlas meramente como formas diferentes de una nica ecuacin. Son posibles muchas otras formas, por ejemplo Y + 2 = 3x, x = 1/3y + 2/3, 3x y = 2 Es razonable no dejarse llevar por las apariencias y denomibar a cualquiera de estas la ecuacin de la recta. Mas generalmente , toda ecuacin de la forma Ax + Bx +C = 0, Donde las constantes A Y B no son ambas cero, representa una lnea recta, poe que si b = 0. Entonces A 0, y la ecuacin puede escriberse como X = -C/A, Que es claramente la ecuacin de un rectaq vertical . por oyta parte, si B 0, entonces Y = -A/B C/B, Y esta ecuacin tiene la forma (5) con m = -A/B y b = -C/B. la ecuacin (8) es un tanto inviveniente para la maypr parte de vuestros propsitos por que sus constantes no estn relacionadas directamente com la geometra de la recta. Su merito principal es que es capaz de representar todas las rectas, sin necesidadde distongyir entre los casos verticales y los no verticales. Por esta razin se llama la ecuacin lineal general.

LA INCLINACION DE LA RECTAse mide por un numero llamado pendiente de la recta. Sea una, y p1(x1,y1) y p2(x2,y2) dos puntos de . La pendoemte de se define como el numero M= . La pendientes es la cociente de un cambio en la cordenada y y el correspondiente cambio en la coordenada x ( ver fig. 3-1) Para que la defjnicion de pendiente tenga sentido, es necesario comprobar que el numero m sea independiente de la eleccin de los puntos p1 y p2. Si se seleciona otro par p3(x3,y3) y p4(x4,y4), debe resultar el mismo valor de m. en la fig. 3-2 el triangulo p3p4T es semejante al triamgulo p1p2Q. POR Asi en el p1 y p2 determinan la misma pendiente que p3 y p4. Ejemplo 1:la pendiente de la recta que une los puntos (1,2) y (4,6) de la fig 3-3 es = Por lo tanto, cuando el punto cobre la recta se mueve tres unidades ala derecha, acanza cuatro unidades hacia arriba. Adems, la pendiente no se ve afectada por el orden en el cual se dan los puntos = -4/-3= 4/3. En general , = .

El signo de la pendiente tiene significado Por ejemplo, se consedera una recta que asciende a medida qie va hacia la derecha, como la fig 3-4(a). Debido a que y2>y1 y x2>x1, se tiene que m = > 0. La pendiente es positica Ahora se considera una recta que baja a medida que v hacia la dercha, c omo en la fig 3-4(b). Aqu , y2 x1, por lo cual m= < 0. La pendiente es negativa.

Sea la recta horizontal, como en la fig 3-4(c ) . aqu y1 = y2, de que manera que y2-y1 = 0. Ademas x2-x1 0. Por la tanto, m= = 0. La pendiente es 0. La recta es vertical en la fig. 3-4 (d), en donde se observa que y2-y1 >0 mientras que x2 x1=0. Por consiguiente, la expresin no esta definida . la pendiente no esta definida para una recta certical .( algunas veces de drescribe esta situacin diciendo que la pendiente es infinita)

PENDIENTE E INCLINACIONSe considera cualquier recta con pendiente positiva , que pase por un punto p1(x1,y1), como la recta que parece en la fig 3-5. Se escoge un punto p2(x2,y2) de manera que x2-x1 = 1. Enronces , la pendiente m es igual a la distancia AP2. Amedida que se imclina la recta AP2 aumenta sin limite, como se estra en la fih 3-6(a). asi la pendiente aumenta sin limite desde 0 ( cuando es horizontal) a + (cuando la recta es vertical. Mediante un argumento similar, en la fig. 3-6(b) se muestra que medida que la pendiente negariva de la recta se inclina, la pendiente decrece desde 0 ( cuando la recta es horizontal) a- (ciando la trcta es vertical).

LA ECUACION PUNTO PENDIENTEde una recta rd toda ecuaciom de la forma (3.1). si la pendiente m de es conocida, entonces vada punto (x1,y1) da la ecuacin punto pendiente. Por lo tanto hat imfimitas ecuacuiones punto pendiente . la ecuacin (3.1) es equivalente a y y1 = m(x-x1). Ejemplo 2: (a) la recta que pasa por el punto (2,5) con pendiente 3 tiene una ecuacin pinto pendiente = 3.(b) sea la recta que pasa por los puntos (3,-19 y (2,3). Su pendiente es m = = = -4 Dos ecuaciones punto pendiente son =n -4 y = -4

ECUACION PUNTO INTERSECCION.Si se multiplica (3.1) por x-x1, se obtiene la ecuacin y-y1 = m (x-x1), la cual puede reducirse primero a y y1 = mx-mx1, y kiego a y = mx + (y1-mx19. Sea b el numero y1 mx1. Entonces la ecuaciom para la recta + se vuelve y = mx +b (3.2) La ecuacin (3.2) da el valor y =b cuando x= 0, asi que el punto (0,b). entonces, b es la coordenada y de la interseccin y el eje y, como se muestra en la fig. 3-8el numero b se denomina el intercepto y, y (3.2) se designa como la ecuacin punto intersecciom.

Ejemplo3: la recta que pasa por los puntos (2,3) y (4,9) tiene pendiente m= = =3 su ecuacin punto intersecion tiene la forma y = 3x+b. debido a que el punro (2,3) esta sobre la recta (2,3) debe satisfacer esta ecuacin. La sustitucin da 3 = 3(2) + b , de la que resulta qwue b=-3. Asi , la ecuacin punto de interseccin es y = 3x-3 Rectas paralelas sean 1 y 2 rectas paralelas no verticales, t A1 y A2 los puntos en los cuales1 y 2, corta al eje y, como en la fig. 3-9(a). adems sea B1 ina unidad a la derecha de A1 y B2 una unidad ala derecha de A2. Sean C1 y C2 las interseciones de las verticales que pasasn por B1 Y B2 con 1 y 2. Ahora el triangulo 1B1C1 es congruente con el triangulo A2B2C2 ( por el teorema de congruencia angulo-lado-angulo. Entonces B1C1=B2C2 Y Pendiente de 1 = = = PENDIENTE DE 2. De esta manera , las rectas paraleals tienen pendientes iguales.

Recprocamente , se supone que dos rectas diferentes y 2 no son paralelas, y se encientra en el punto o. como en la fig. 3-9(b). si 1 y 2 tuvieran igual pendiente , entonces seria la misma recta. Por lo yanto, 1 y 2 tienen pendientes diferentes.

LINEAS RECTAS: ECUACION, GRAFICA, PENDIENTE, INTERSECCIONES CON LOS EJESLas relaciones lineales son las mas simples que se puede dar entre dis variables; se encuentran prcticamente en cualquier rama del saber humano. Su principal caracterstica es que su grafica es una lnea recta y, recprocamente, la ecuacin corresponde a una lnea recta es una relacin lineal. Una ecuacin lineal en dos variables es una ecuacin de la forma: Ax + By = C Con A, B y C constantes, y A y B no ambas 0. Consideremos, por ejemplo, la relacin que encontraremos en la segunda situacin de la introduccin: 2x + 3y = 60, que representa la relacin lineal entre el numero de chunches tipo A y B QUE PUEDEN PRODUCIR Si se tiene un pedido de 15 chunches de ripo A , entonces x = 15; al dudtituir en la ecuacin 2, obtenemos 2(15) +3y= 60 Es decir 30 + 3y =60 De aqu podemos despejar el valor para y , que en este caso es de y = 10. En otras palabras, cuando se producen 15 chunches de tipo A, se puede producir 10 chunches tipo B. brevemente decimos que la pareja irdenada (15,10) es una solucin de la ecuacin lineal 2x + 3y = 60, o que (15,10) satisface esta ecuacin. Podemos obtener otras soluciones si damos valores a una variable y despejamos de la ecuacin el valor correspondiente para la otra variable. De esta forma, si y = 12, entonces al sustituir en la ecuacin lineal tenemos: 2x +3(12) = 60 2x + 36 =60 2x=24 Asi, x=12, lo que significa que cuando se producen 12 chunches tipo B se puede producir 123 chunches tipo A, de este modo,(12,12) en otra solucin de la ecuaciom leneal (2). Si, por un momento, no tenemos en cuenta que en este problema las variables x y y solamente pueden tomar valores enteros positivos o 0, es posible tabular las soluciones para construir la grafica de la relacin lineal que, como mencionamos, siempre es una lnea recta:

x 5 10 20 36 .

Y 50/ 3 10 20/ 3 -4 .

Si graficas todas las soluciones de la ecuacin, incluyendo nmeros fraccionarios y negativos, obtienes la grfica de la relacin. Por ejemplo, para la ecuacin (2), su grafica es: LA SIGUENTE :

Existen disoluciones importantes: si producimos solamente chunches tipo A, entonces y = 0 y la solucin es (30,0), pero si producimos chunches tipo B, x =0, la solucin(0,20). Estas soluciones son importantes por que en la grafica representa las intersecciones de la recta con el eje x. En general, para determinar la interseccin de una lnea recta con el eje x, basta sustituir y = 0 en la ecuacin y resolver para x. Anlogamente, para determinar la interseccin de una lnea resta con el eje y, basta sustituir x = 0 en la ecuacin y resolver para y. En las ecuaciones lineales Ax + By = C, a veces es conveniente despejar la variable y, Y=- x+ ESTA ULTIMA expresin se conoce como la forma punto pendiente de la ecuacin lineal, que es costumbre escribirla como: Y = mx + b (3) Con m = - y . el coeficiente m se conoce la pendiente de la recta, en tanto que b es la ordenada al origen. A la forma Ax + Bx = C, se le conoce como la forma general de la recta. La pendiente es una medida de la inclinacin de la recta. Formalmente, la pendiente es la tangente del ngulo positivo que forma la recta con el eje x.

PENDIENTE Y FUNCION PENDIENTERecurdese que la pendiente m (la tangente de la inclinacin ) de la lnea L (fig.1.30). a travs de los puntos p1(x1,y1) y p2(x1,y2) est dada por (16) Uno de los principales problemas que condujeron al desarrollo del clculo, fue el de encontrar la pendiente de la lnea tangente a una curva C en cualquier punto de C. pasemos ahora a considerar este problema. Supngase que C es la grfica de una funcin F como se muestra en la fig. 1.31. a una recta determinada por dos puntos sobre una curva, se le llama lnea secante, o simplemente secante de dicha curva. Sea x DF y sea h 0 un numero tal que (x + h) DF ; entonces los puntos P( x,F(X) ) y Q( x + h, F(x+h) )

Son dos puntos sobre C, con la propiedad de que la secante PQ de C, que pasa por P y Q, no es perpendicular al eje sobre el cual esta graficado el dominio. Usando la formula (16) tenemos Pendiente de la secante PQ = =

Si dada x DF , podemos hacer que el valor de , se acerque a un numero M(x)tanto como deseemos, con solo hacer h suficientemente pequea, llamaremos a M= la funcin pendiente de la grfica de F. definimos la (lnea) tangente a la grafica de F em el punto P(x, F(x)) como la lnea PT ( fig.1.31) que pasa por P y tiene pendiente igual a M(x). recurdese que una lnea que pasa por el punto (a,b) con pendiente m, es la gradica de la relacin . R=

Por tanto, si M es la funcion pendiente de la grafica de F, y si (a,F(a) es un punto sobre la grafica de F para el cual existe M(a), entonces la tangente a la grafica de F en (a,F(a)) es la grafica de R= En otras palabras y F(a) = M(a) . (x a) es una ecuacin de la tangente a la grafica de F en el pinto ( a,F(a) ). Precaucin. Ntese que en la ecuacin (17) usamos M(a) y no M(x) para la pendiente de la lnea tangente a la grafica de F en el punto cuya abscisa es a. Para ilustrar estos conceptos considera la grafica de una funcion F= Dada en la fig. 1.32 en este caso F(x) = 4x - x2, F(x+h) = 4(x+h) (x+h)2 = 4x + 4h - x2 2xh h2 F(x+h) F(x) = 4h 2xh - h2 Y por tanto La pendiente de la secante PQ =

= (4 -2x h ) .

Si h 0; entonces = 1 y tendremos que la pendiente de la secante PQ = 4 -2x h Escogiendo h suficientemente pequea podemos hacer que 4 -2x h este tan cerca de 4 -2x como queramos. Luego M(x) = 4 2x Y la funcion pendiente para la garfica de F es M= . Si consideramos el punto sobre la grafica de F cuya abscisa es 1, encontramos: F(1) = 4(1) (1)2 = 3 y M(1) = 4 2(1) = 2 De esto resulta que una ecuacin de la lnea tangente en el punto (1,3) es Y 3 = 2(x-1) o 2x y + 1 = 0 La (lnea) normal PN a la grafica de F en el punto P(x,F(x) ) es la lnea que pasa por P y que es perpendicular a la tangente PT (fig. 1.31). recurdese que dos lneas que tienen la pendientes m1 y m2 respectivamente, son perpendiculares si y solo si m1 * m2 = -1. Por tanto podemos escribir una ecuacin de la normal a la parbola de la fig. 1.32 en el punto (1,3) en la forma: y 3 = - (x -1 ) o x + 2y 7 = 0

APLICACIN DE LA DERIVADADireccin de una curva. Se ha demostrado en el art. 28 que si Y = f(x) Es la ecuacin de la curva (fig. 8), entonces = pendiente de la curva en cualquier p(x,y)

La direccin de una curva en cualquier punti se define como la direccin de la tangente de la curva en este punto. Sea r = inclinacin de la tangente. Entonces la pendiente = tgr, y = pendiente de la curva en cualquier p(x,y) En los puntos como D,F,H, donde la direccin de la curva es paralela al eje de las x y la tangentes es horizontal, se tiene r= 0; luego = 0 puesto que y es, segn (1), una funcin de t, y t es una funcin(inversa) de x, tenemos = segn (A) del art. 38 = * ; segn del art. 39 Es decir = = = = pendiente en p(x,y).

Mediante esta formula podemos hallar la pendiente de una curva dadas sus ecuaciones paratnetricas.

I.T.S.P.ZINSTITUTO SUPERIOR TECNOLOGICO DE POZA RICA

CARRERA: INGENIERIA PETROLERA MATERIA: CLCULO DIFERENCIAL TEMA: LA PENDIENTE GRUPO: I D SEMESTRE: PRIMERO

NOMBRE: GALVEZ MARTINEZ STEFANY HORTENCIA PROFESOR: CARCAMO LEON PANUNCIO

FECHA: 13/10/2010

INDICE1. 2. 3. 4. 5. LA PENDIENTE DE LA RECTA ECUACIONES DE LA RECTA LA INCLINACION DE LA RECTA PENDIENTE E INCLINACION LA ECUACION PUNTO PENDIENTE 6. ECUACION PUNTO INTERSECCION. 7. LINEAS RECTAS: ECUACION, GRAFICA, PENDIENTE, INTERSECCIONES CON LOS EJES 8. PENDIENTE Y FUNCION PENDIENTE 9. APLICACIN DE LA DERIVADA

BIBLIOGRAFIAFRANK AYRES, CALCULO CUARTA EDICION, PREPARACION EDITORIAL, COLOMBIA (2000) P. 18-23, ISBN 958-41-0131-5 TAYLOS HOWARD E. CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, PRIMERA EDICION. EDITORIAL LIMUSA S.A. DE C.V. MEXICO D.F, (1965) P. 74-77 , ISBN: 968-18-0685-9. SIMMONS GEORGE F. CALCULO Y GEOMETYRIA ANALITICA, SEGUNDA EDICION, EDITORIAL , EDITORIAL MC GRAHILL, ESPAA , (2002) P. 11-13-, ISBN : 970-10-5468-7. LEITHOLD, LOUIS, CLCULO Y TRIGONOMETRA CON GEOMETRA ANALTICA, PRIMERA EDICIN MXICO (2000) ISBN: 9789706130556. CHARLES H. LEHMANN MEXICO,LIMUS, 2006 GRUPOS NORIEGA EDITORES, MEXICO, ESPAA VENEZUELA , COLOMBIA, GEOMETRIA ANALITA P.16

EJEMPLOS DE PENDIENTE HUMANISTICO Y TECNICOtcnico: la pendiente se utiliza en el area tecnica en especialidades como en la arquitectura y en las ingienerias ya que con esta es posible realizar clculos sobre construcciones , calculos en las zonas petroleras entre otras cosas.