RECTAS MATE 3171 – PRESENTACION 4

ECUACION DE LA RECTA

• La ecuación en dos variables que representa una recta tiene la forma :

• y = m x + b

• Por ejemplo, a la derecha se muestra la grafica de y = 2x – 1

Nota: La gráfica tiene tres características distintivas:

su inclinación

intercepto – y

intercepto - x

Noción de pendiente

Se describe la inclinación de una

recta con una medida llamada

pendiente.

A mayor pendiente, mayor

inclinación. (En la figura L1 está más

inclinada que L2.)

Para calcular la pendiente,

tomamos dos puntos por los

cuales pasa la recta,

𝒙𝟏, 𝒚𝟏 , 𝒙𝟐, 𝒚𝟐 y calculamos:

Ejemplo

Hallar la pendiente de la recta que

pasa por los puntos (1, 3) y (3, 7).

Utilizando la fórmula:

Type equation here.

Pendiente Positiva y Negativa

Ilustramos ambos casos:

Práctica: hallar la pendiente

Dibuje la recta que pasa por los dos

puntos dados y determine la pendiente.

a) A(-1, 4) y B(3, 2)

b) A(2, 5) y B(-2, -1)

c) A(4, 3) y B(-2, 3)

d) A(4, -1) y B(4, 4)

Ilustramos.

Graficar una recta dado su pendiente

Grafique la recta que pasa por P(2, 1) y que

tiene pendiente igual a

a) 5/3 b) -5/3

Rectas horizontales y verticales

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-3, 4) y que es paralela a (a) el eje de x (b) el eje de y

SOLUCION: (a) Una recta paralela al eje de x es una

recta horizontal. Su pendiente es 0. (b) Una recta paralela al eje de y es una

recta vertical.

Forma Punto-Pendiente

Dada la pendiente

de una recta, m, y un

punto sobre la recta,

P(x1, y1 ), usamos

y – y1 = m(x – x1) ,

para hallar la

ecuación de la recta.

y2-y1

x2-x1

𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

Ejemplo Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(1, 7) y B(-3, 2).

SOLUCION: • La figura muestra una gráfica de la recta. • Para hallar la ecuación necesitamos,

primeramente hallar la pendiente, luego el int-y.

Forma Pendiente-Intercepto

y = mx + b .

El número b es el intercepto en y de la

gráfica.

La gráfica es una recta con pendiente m

y que pasa por el punto (0, b) .

Ilustramos:

Pendiente-Intercepto (cont.)

Ejemplo

Exprese la ecuación 2x – 5y = 8 en la forma pendiente-intercepto. SOLUCION:

Ejemplo

SOLUCION:

Use la pendiente para dibujar la gráfica de la ecuación 3x – 5y = -10.

Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas, m1 y m2, son paralelas si y

solo si tiene la misma pendiente, m1 = m2

Dos rectas, m1 y m2, son perpendiculares

si y solo si m1m2 = -1 ,

(esto es, que una de las pendientes es el

recíproco negativo de la otra. ) 𝒎𝟐 = −𝟏

𝒎𝟏

Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso.

(a) La recta que pasa por (–1, –2) y (1, 2) y la recta que pasa por (–2, 0) y (0, 4).

Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso.

(b) La recta que pasa por (0, –4) y (-1, -7) y la recta que pasa por (3, 0) y (-3, 2).

Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso.

(b) La recta –x + 2y = -2 y la recta 2x = 4y + 3

Ejemplo Hallar la ecuación lineal que cumple las siguientes condiciones: • pasa por el punto (6, -7) • Su gráfica es perpendicular a la gráfica de

6x + 3y = 4.

SOLUCION:

Ejemplo • Determinar la recta que satisface las siguientes

condiciones: a) pasa por (3, -1) b) Es paralela a 5x – 2y = 4

Solución: • Tenemos un punto por el cual pasa la ecuación que

buscamos, necesitamos la pendiente. • Despejamos la ecuación para y.

Ejemplo El crecimiento de un feto después de 12 semanas de edad se puede aproximar por la fórmula, L= 1.53t – 6.7, donde L es la longitud (en centímetros) y t es la edad (en semanas). La longitud prenatal puede ser determinado por ultrasonido. Aproxime la edad de un feto cuya longitud es de 28 centímetros. Solución:

Ejemplo

La relación entre la temperatura, F, en la escala Fahrenheit y la temperatura, C, en Centígrados está dada por:

• 𝟎℃ = 𝟑𝟐℉ • 𝟏𝟎𝟎℃ = 𝟐𝟏𝟐℉

Hallar una ecuación lineal para esta relación Solución:

• Decidir cuál variable es independiente. • Hallar la pendiente: • Sustituir en el modelo y = mx + b • Utilizar un punto para hallar b.