r.4 rectas en el plano - dominio de la función | por ... · pendiente de una recta la pendiente de...
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SECCIÓN R.4 Rectas en el plano 31
R.4Rectas en el planoAprenderá acerca de...■ La pendiente de una recta
■ La ecuación de una recta enla forma punto pendiente
■ La ecuación de una recta en la forma pendiente intersección al origen
■ La graficación de ecuacioneslineales con dos variables
■ Las rectas paralelas y rectasperpendiculares
■ La aplicación de ecuacioneslineales con dos variables
. . . porqueLas ecuaciones lineales se aplican profusamente en áreascomo los negocios o las ciencias del comportamiento,por ejemplo.
Pendiente de una recta
La pendiente de una recta no vertical es la razón de la cantidad del cambio ver-tical a la cantidad del cambio horizontal entre dos puntos. Para los puntos (x1, y1)y (x2, y2), el cambio vertical es ᭝y ϭ y2 Ϫ y1 y el cambio horizontal es ᭝x ϭ x2
Ϫ x1 (᭝y se lee “delta” y). Consulte la figura R.21.
EJEMPLO 1 Determinación de la pendiente de unarecta
Determine la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos. Haga un bosque-jo de la recta.
a) (Ϫ1, 2) y (4, Ϫ2) b) (1, 1) y (3, 4)
SOLUCIÓN
a) Los dos puntos son (x1, y1) ϭ (Ϫ1, 2) y (x2, y2) ϭ (4, Ϫ2). Por tanto,
m ϭ ᎏxy2
2
Ϫ
Ϫ
yx
1
1ᎏ ϭ ᎏ
4Ϫ
Ϫ
2ϪϪ
12
ᎏ ϭ Ϫᎏ45
ᎏ. continúa
FIGURA R.21 La pendiente de una recta no vertical puede determinarse a partir de lascoordenadas de cualesquiera dos puntos de la recta.
0x
y
y1
y2
x1 x2
(x2, y2)
(x1, y1)
�y = y2 — y1
�x = x2 — x1
FÓRMULA DE LA PENDIENTE
La pendiente no depende del orden de los puntos. Podríamos utilizar (x1, y1) ϭ (4, Ϫ2) y (x2, y2) ϭ (Ϫ1, 2) enel ejemplo 1 a). Compruébelo.
DEFINICIÓN Pendiente de una recta
La pendiente de una recta no vertical que pasa por los puntos (x1, y1) y(x2, y2) es
m ϭ ᎏ᭝
᭝
yx
ᎏ ϭ ᎏxy2
2
Ϫ
Ϫ
yx
1
1ᎏ.
Si la recta es vertical, entonces x1 ϭ x2 y la pendiente no está definida.
b) Los dos puntos son (x1, y1) ϭ (1, 1) y (x2, y2) ϭ (3, 4). Así,
m ϭ ᎏxy2
2
Ϫ
Ϫ
yx
1
1ᎏ ϭ ᎏ
43
Ϫ
Ϫ
11
ᎏ ϭ ᎏ32
ᎏ.
Las gráficas de estas dos rectas se muestran en la figura R.22.
La figura R.23 muestra una recta vertical que pasa por los puntos (3, 2) y (3, 7). Sitratamos de calcular su pendiente mediante la fórmula (y2 Ϫ y1)/(x2 Ϫ x1), obtene-mos cero en el denominador. Por lo que tiene sentido decir que una recta verticalno tiene pendiente, o que su pendiente está indefinida.
Ecuación de una recta en la forma punto pendiente
Si conocemos la pendiente y las coordenadas de un punto en una recta, entoncespodemos determinar una ecuación para esa recta. Por ejemplo, la recta en la figuraR.24 pasa por el punto (x1, y1) y tiene pendiente m. Si (x, y) es cualquier otro pun-to en esta recta, la definición de pendiente proporciona la ecuación
m ϭ ᎏyx
Ϫ
Ϫ
yx
1
1ᎏ o y Ϫ y1 ϭ mx Ϫ x1.
Una ecuación escrita de esta forma está en la forma punto pendiente.
EJEMPLO 2 Uso de la forma punto pendienteUtilice la forma punto pendiente para determinar una ecuación de la recta que pa-sa por el punto (Ϫ3, Ϫ4) y tiene pendiente 2.
continúa
Ahora resuelva el ejercicio 3.
32 CAPÍTULO R Requisitos
FIGURA R.23 Al aplicar la fórmula de la pendiente a esta recta vertical se obtiene m ϭ 5/0, que no está definido.Así, la pendiente de una recta vertical no está definida.
x
y
(3, 7)
(3, 2)
FIGURA R.22 Las gráficas de las dos rectas del ejemplo 1.
y
x
(3, 4)
(1, 1)
y
x
(4, –2)
(–1, 2)
FIGURA R.24 La recta que pasa por (x1, y1) con pendiente m.
y
x
(x, y)
(x1, y1)
Pendiente = m DEFINICIÓN Forma punto pendiente de una ecuación de unarecta
La forma punto pendiente de una ecuación de una recta que pasa por elpunto (x1, y1) y tiene pendiente m es
y Ϫ y1 ϭ m(x Ϫ x1).
SOLUCIÓN Sustituya x1 ϭ Ϫ3, y1 ϭ Ϫ4 y m ϭ 2 en la forma punto pendiente,y simplifique la ecuación resultante.
y Ϫ y1 ϭ m(x Ϫ x1) Forma punto pendiente.
y Ϫ (Ϫ4) ϭ 2(x Ϫ (Ϫ3)) x1 ϭ Ϫ3, y1 ϭ Ϫ4, m ϭ 2.
y ϩ 4 ϭ 2x Ϫ 2(Ϫ3) Propiedad distributiva.
y ϩ 4 ϭ 2x ϩ 6
y ϭ 2x ϩ 2 Una forma simplificada común.
Ecuación de una recta en la forma pendiente intersección al origen
La intersección y de una recta no vertical es el punto donde la recta interseca al eje y.Si conocemos la intersección y y la pendiente de la recta, podemos aplicar la formapunto pendiente para determinar una ecuación de la recta.
La figura R.25 muestra una recta con pendiente m e intersección y (0, b). Una ecua-ción en la forma punto pendiente para esta recta es y Ϫ b ϭ m(x Ϫ 0). Rescribiendoesta ecuación obtenemos la forma conocida como la forma pendiente intersección alorigen.
EJEMPLO 3 Uso de la forma pendiente intersecciónal origen
Escriba una ecuación de la recta con pendiente 3 que pasa por el punto (Ϫ1, 6)utilizando la forma pendiente intersección al origen.
SOLUCIÓN
y ϭ mx ϩ b Forma pendiente intersección al origen.
y ϭ 3x ϩ b m ϭ 3.
6 ϭ 3(Ϫ1) ϩ b y ϭ 6 cuando x ϭ Ϫ1.
b ϭ 9
La forma pendiente intersección al origen de la ecuación es y ϭ 3x ϩ 9.
No podemos utilizar la frase “la ecuación de una recta” ya que cada recta tiene mu-chas ecuaciones diferentes. Cada recta tiene una ecuación que puede escribirse enla forma Ax ϩ By ϩ C ϭ 0, donde A y B no son cero al mismo tiempo. Esta formaes la forma general para una ecuación de una recta.
Ahora resuelva el ejercicio 21.
Ahora resuelva el ejercicio 11.
SECCIÓN R.4 Rectas en el plano 33
INTERSECCIÓN yLa b en y ϭ mx ϩ b con frecuencia seconoce como “la intersección y” en lugar de “la ordenada (coordenada y)de la intersección con el eje y”.
FIGURA R.25 La recta con pendiente my la intersección y (0, b).
y
x
(x, y)
(0, b)
Pendiente = m
DEFINICIÓN Forma pendiente intersección al origen de unaecuación de una recta
La forma pendiente intersección al origen de una ecuación de una rectacon pendiente m e intersección y (0, b) es
y ϭ mx ϩ b.
Si B � 0, la forma general puede cambiarse a la forma pendiente intersección alorigen como sigue:
Ax ϩ By ϩ C¬ϭ 0
By¬ϭ ϪAx Ϫ C
y¬ϭ ϪᎏAB
ᎏx ϩ (ϪᎏCB
ᎏ)pendiente intercepción y
Graficación de ecuaciones lineales con dos variables
Una ecuación lineal en x y y es aquella que puede escribirse en la forma
Ax ϩ By ϭ C,
donde A y B no son ambos cero. Al rescribir esta ecuación en la forma Ax ϩ By Ϫ Cϭ 0 vemos que está en la forma general de la ecuación de una recta. Si B ϭ 0, larecta es vertical y si A ϭ 0, la recta es horizontal.
La gráfica de una ecuación en x y y consiste en todas las parejas (x, y) que son so-luciones de la ecuación. Por ejemplo, (1, 2) es una solución de la ecuación 2x ϩ 3yϭ 8 ya que al sustituir x ϭ 1 y y ϭ 2 en la ecuación conduce al enunciado verda-dero 8 ϭ 8. Las parejas (Ϫ2, 4) y (2, 4/3) también son soluciones.
Ya que la gráfica de una ecuación lineal en x y y es una línea recta, sólo necesita-mos determinar dos soluciones y luego conectarlas con una línea recta para dibujarsu gráfica. Si una recta no es horizontal ni vertical, entonces dos puntos fáciles deobtener son su intersección con el eje x y su intersección con el eje y. La intersec-ción x es el punto (xЈ, 0) donde la gráfica interseca el eje x. Establezca y ϭ 0 y des-peje x para determinar la intersección x. Las coordenadas de la intersección y son(0, yЈ). Establezca x ϭ 0 y despeje y para determinar la intersección y.
34 CAPÍTULO R Requisitos
Formas de las ecuaciones de rectas
Forma general: Ax ϩ By ϩ C ϭ 0, A y B no son ambos cero.
Forma pendiente intersección al origen: y ϭ mx ϩ b
Forma punto pendiente: y Ϫ y1 ϭ m(x Ϫ x1)
Recta vertical: x ϭ a
Recta horizontal: y ϭ b
FIGURA R.26 Las dimensiones de la ventana para la ventana estándar. La notación “[Ϫ10, 10] por [Ϫ10, 10]”se utiliza para representar dimensiones de ventana como éstas.
WINDOW
Xmax=10
Ymin=–10
Yscl=1Xres=1
Xmin=–10
Xscl=1
Ymax=10Graficación con una utilería gráfica
Para dibujar una gráfica de una ecuación mediante un graficador;
1. Rescriba la ecuación en la forma y ϭ (una expresión en x).
2. Introduzca la ecuación en el graficador.
3. Seleccione una ventana de visualización adecuada (consulte la figuraR.26).
4. Presione la tecla “graph” (graficar).
Una utilería para graficar, con frecuencia conocida como graficador, calcula los va-lores de y para un conjunto seleccionado de valores de x entre Xmín y Xmáx y tra-za los puntos (x, y) correspondientes.
EJEMPLO 4 Uso de una utilería graficadoraDibuje la gráfica de 2x ϩ 3y ϭ 6.
SOLUCIÓN Primero despeje a y.
2x ϩ 3y¬ϭ 6
3y¬ϭ Ϫ2x ϩ 6 Despejar a y.
y¬ϭ Ϫᎏ23
ᎏx ϩ 2 Dividir entre 3.
La figura R.27 muestra la gráfica de y ϭ Ϫ(2/3)x ϩ 2, o de manera equivalente,la gráfica de la ecuación lineal 2x ϩ 3y ϭ 6, en la ventana de visualización [Ϫ4,6] por [Ϫ3, 5].
Rectas paralelas y rectas perpendiculares
En la Exploración 1 se incluyeron rectas paralelas y rectas perpendiculares. Es ries-goso utilizar un graficador para decidir cuándo las rectas son paralelas o perpendicu-lares. A continuación se describe una prueba algebraica para determinar cuándodos rectas son paralelas o perpendiculares.
Ahora resuelva el ejercicio 27.
SECCIÓN R.4 Rectas en el plano 35
EXPLORACIÓN 1 Investigación de gráficas de ecuaciones lineales
1. ¿Qué tienen en común las gráficas de y ϭ mx ϩ b y y ϭ mx ϩ c, b � c?¿En qué difieren?
2. Grafique y ϭ 2x y y ϭ Ϫ(1/2)x en una ventana cuadrada de visualiza-ción (consulte la nota la margen). En la calculadora utilizamos, la “ven-tana decimal” [Ϫ4.7, 4.7] por [Ϫ3.1, 3.1] es cuadrada. Estime elángulo entre las dos rectas.
3. Repita la parte 2 para y ϭ mx y y ϭ Ϫ(1/m)x con m ϭ 1, 3, 4 y 5.
Rectas paralelas y rectas perpendiculares
1. Dos rectas no verticales son paralelas si, y sólo si sus pendientes soniguales.
2. Dos rectas no verticales son perpendiculares si, y sólo si sus pendientesm1 y m2 son recíprocos opuestos. Esto es, si, y sólo si
m1 ϭ Ϫᎏm1
2ᎏ.
FIGURA R.27 La gráfica de 2x ϩ 3y ϭ 6. Los puntos (0, 2) (intersección y) y (3, 0) (intersección x) aparecen en la gráfica y, como pareja, sonsoluciones de la ecuación, proporcionandorespaldo visual que la gráfica es correcta(ejemplo 4).
[Ϫ4, 6] por [Ϫ3, 5]
VENTANA DE VISUALIZACIÓN
La ventana de visualización [Ϫ4, 6] por [Ϫ3, 5] de la figura R.27 significa Ϫ4 Յ x Յ Յ 6 y Ϫ3 Յ y Յ 5.
VENTANA CUADRADA DE
VISUALIZACIÓN
Una ventana cuadrada de visualización en un graficador esaquella en la que los ángulos parecenser correctos. Por ejemplo, la recta y ϭ x parecerá que forma un ángulo de45° con la parte positiva del eje x. Además, una distancia de 1 en el eje xparece la misma que en l eje y. Esto es,si Xscl ϭ Yscl, la distancia entre marcas consecutivas en el eje x y en eleje y parecerán ser iguales.
EJEMPLO 5 Determinación de una ecuación de unarecta paralela
Determine una ecuación de la recta que pasa por P(1, Ϫ2) que es paralela a la rec-ta L con ecuación 3x Ϫ 2y ϭ 1.
SOLUCIÓN Determinamos la pendiente de L escribiendo su ecuación en la for-ma pendiente intersección al origen.
3x Ϫ 2y¬ϭ 1 Ecuación para L.
Ϫ2y¬ϭ Ϫ3x ϩ 1 Restar 3x.
y¬ϭ ᎏ32
ᎏx Ϫ ᎏ12
ᎏ Dividir entre Ϫ2.
La pendiente de L es 3/2.
La recta cuya ecuación buscamos tiene pendiente 3/2 y contiene al punto (x1, y1)ϭ (1, Ϫ2). Por tanto, la ecuación que buscamos en la forma punto pendiente pa-ra la recta es
y ϩ 2¬ϭ ᎏ32
ᎏx Ϫ 1
y ϩ 2¬ϭ ᎏ32
ᎏx Ϫ ᎏ32
ᎏ Propiedad distributiva.
y¬ϭ ᎏ32
ᎏx Ϫ ᎏ72
ᎏ
EJEMPLO 6 Determinación de una ecuación de unarecta perpendicular
Determine una ecuación de la recta que pasa por P(2, Ϫ3) que es perpendicular ala recta L con ecuación 4x ϩ y ϭ 3. Compruebe su resultado con un graficador.
SOLUCIÓN Determinamos la pendiente de L escribiendo su ecuación en la for-ma pendiente intersección al origen.
4x ϩ y¬ϭ 3 Ecuación para L
y¬ϭ Ϫ4x ϩ 3 Restar 4x.
La pendiente de L es Ϫ4.
La recta cuya ecuación buscamos tiene pendiente Ϫ1/(Ϫ4) ϭ 1/4 y pasa por elpunto (x1, y1) ϭ (2, Ϫ3). Por tanto, la ecuación que buscamos en la forma puntopendiente para la recta es
y Ϫ Ϫ3¬ϭ ᎏ14
ᎏ x Ϫ 2
y ϩ 3¬ϭ ᎏ14
ᎏx Ϫ ᎏ24
ᎏ Propiedad distributiva.
y¬ϭ ᎏ14
ᎏx Ϫ ᎏ72
ᎏ
La figura R.28 muestra las gráficas de las dos ecuaciones en una ventana cuadra-da de visualización y sugiere que las gráficas son perpendiculares.
Ahora resuelva el ejercicio 43 a).
Ahora resuelva el ejercicio 41 a).
36 CAPÍTULO R Requisitos
FIGURA R.28 Las gráficas de y ϭ Ϫ4x ϩ 3 y y ϭ (1/4)x Ϫ 7/2 en estaventana cuadrada de visualización, parecen intersecarse en ángulo recto (ejemplo 6).
[Ϫ4.7, 4.7] por [Ϫ5.1, 1.1]
Aplicación de ecuaciones lineales con dos variablesLas ecuaciones lineales y sus gráficas aparecen con frecuencia en aplicaciones. A menudo, las soluciones algebraicas de estos problemas de aplicación requierendeterminar una ecuación de una recta y resolver una ecuación en una variable. Lastécnicas de graficación complementan las algebraicas.
EJEMPLO 7 Determinación de la depreciación de bienes inmuebles
Apartamentos Camelot compraron un edificio en $50,000 que se deprecia $2,000por año durante un periodo de 25 años.
a) Escriba una ecuación lineal que proporcione el valor y del edificio en términosde los años x posteriores a la compra.
b) ¿En cuántos años el valor del edificio será de $24,500?
SOLUCIÓN
a) Necesitamos determinar el valor de m y b de modo que y ϭ mx ϩ b, donde 0Յ x Յ 25. Sabemos que y ϭ 50,000 cuando x ϭ 0, por lo que la recta tiene in-tersección y (0, 50,000) y b ϭ 50,000. Un año después de la compra (x ϭ 1),el valor del edificio es 50,000 Ϫ 2,000 ϭ 48,000. Por lo que cuando x ϭ 1, yϭ 48,000. Mediante álgebra, determinamos
y¬ϭ mx ϩ b
48,000¬ϭ m • 1 ϩ 50,000 y ϭ 48,000 cuando x ϭ 1
Ϫ2,000¬ϭ m
El valor de y del edificio, al cabo de x años después de su compra es
y ϭ Ϫ2,000x ϩ 50,000.
b) Necesitamos determinar el valor de x cuando y ϭ 24,500.
y¬ϭ Ϫ2,000x ϩ 50,000
Nuevamente, mediante álgebra encontramos
24,500¬ϭ Ϫ2,000x ϩ 50,000 Hacer y ϭ 24,500.
Ϫ25,500¬ϭ Ϫ2,000x Restar 50,000.
12.75¬ϭ x
El valor depreciado del edificio será de $24,500 exactamente al cabo de 12.75años, o 12 años y 9 meses después de que Apartamentos Camelot lo comprara.Podemos respaldar nuestro trabajo algebraico tanto gráfica como numéricamen-te. Las coordenadas indicadas en la figura R.29a muestran de manera gráfica que(12.75, 24,500) es una solución de y ϭ Ϫ2,000x ϩ 50,000. Esto significa que y ϭ24,500 cuando x ϭ 12.75.
La figura R.29b es una tabla de valores para y ϭ Ϫ2,000x ϩ 50,000 para unoscuantos valores de x. La cuarta línea de la tabla muestra de forma numérica que y ϭ 24,500 cuando x ϭ 12.75.
La figura R.30 en la página 38 muestra el ingreso de los estadounidenses de 1998a 2003 en billones de dólares y su correspondiente diagrama de dispersión de losdatos. En el ejemplo 8, modelamos la información de la figura R.30 con una ecua-ción lineal.
Ahora resuelva el ejercicio 5.
SECCIÓN R.4 Rectas en el plano 37
a)
b)
FIGURA R.29 Una gráfica a) y una tabla b) de valores para y ϭ Ϫ2,000x ϩ
50,000 (ejemplo 7).
X
Y1 = –2000X+50000
1212.2512.512.751313.2513.5
26000255002500024500240002350023000
Y1
[0, 23.5] por [0, 60000]
X=12.75 Y=24500
1
EJEMPLO 8 Determinación de un modelo lineal parael ingreso personal de estadounidenses
El ingreso personal de los estadounidenses, en billones de dólares, se da en la fi-gura R.30.
a) Escriba una ecuación lineal para el ingreso de los estadounidenses y en térmi-nos del año x, utilizando los puntos (1998, 7.4) y (1999, 7.8).
b) Utilice la ecuación en a) para estimar el ingreso de los estadounidenses en2001.
c) Utilice la ecuación de a) para predecir el ingreso en 2006.
d) Superponga una gráfica de la ecuación lineal de a) a un diagrama de disper-sión de los datos.
SOLUCIÓN
a) Sea y ϭ mx ϩ b. La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos (1998,7.4) y (1999, 7.8) es
m ϭ ᎏ19
79.89
Ϫ
Ϫ
71.9498
ᎏ ϭ 0.4.
El valor de 7.4 billones de dólares en 1998 proporciona y ϭ 7.4 cuando x ϭ1998.
y¬ϭ mx ϩ b
y¬ϭ 0.4x ϩ b m ϭ 0.4
7.4¬ϭ 0.4(1998) ϩ b y ϭ 7.4 cuando x ϭ 1998
b¬ϭ 7.4 Ϫ 0.4(1998)
b¬ϭ Ϫ791.8
La ecuación lineal que buscamos es y ϭ 0.4x Ϫ 791.8.
b) Necesitamos determinar el valor de y cuando x ϭ 2001.
y¬ϭ 0.4x Ϫ 791.8
y¬ϭ 0.4(2001) Ϫ 791.8 Hacer x ϭ 2001.
y¬ϭ 8.6
38 CAPÍTULO R Requisitos
FIGURA R.30 Ingreso personal de estadounidenses.
Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos, Resumen Estadístico de Estados Unidos,2004Ϫ2005. (Ejemplo 8).
[1995, 2005] por [5, 10]
MontoAño (billones de dólares)
1998 7.41999 7.82000 8.42001 8.72002 8.92003 9.2
Al utilizar el modelo lineal que encontramos en a) estimamos el ingreso de losestadounidenses en 2001 como 8.6 billones de dólares, un poco menos que elmonto real de 8.7 billones.
c) Necesitamos determinar el valor de y cuando x ϭ 2006.
y¬ϭ 0.4x Ϫ 791.8
y¬ϭ 0.4(2006) Ϫ 791.8 Hacer x ϭ 2006.
y¬ϭ 10.6
Mediante el modelo lineal que encontramos en a) predecimos que el ingreso delos estadounidenses en 2006 será 10.6 billones de dólares
d) La gráfica y el diagrama de dispersión se muestran en la figura R.31.
Ahora resuelva el ejercicio 51.
SECCIÓN R.4 Rectas en el plano 39
PROBLEMA DE INICIO DE CAPÍTULO (de la página 1)
PROBLEMA: Suponga que la velocidad de la luz es aproximadamente186,000 millas por segundo. (Tomó mucho tiempo llegar a este número.Consulte la nota al margen acerca de la velocidad de la luz).
a) Si la distancia de la Luna a la Tierra es de aproximadamente 237,000 millas, determine el tiempo requerido para que la luz viaje de la Tierra a la Luna.
b) Si la luz viaja de la Tierra al Sol en 8.32 minutos, aproxime la distancia dela Tierra al Sol.
c) Si la luz tarda 5 horas y 29 segundos para viajar del Sol a Plutón, aproxi-me la distancia del Sol al Plutón.
SOLUCIÓN: Utilizamos la ecuación lineal d ϭ r ϫ t (distancia ϭ veloci-dad ϫ tiempo) para realizar los cálculos con r ϭ 186,000 millas/segundo.
a) Aquí d ϭ 237,000 millas, por lo que
t ϭ ᎏdr
ᎏ ϭ Ϸ 1.27 segundos.
El tiempo requerido para que la luz viaje de la Tierra a la Luna es alrede-dor de 1.27 segundos.
b) Aquí t ϭ 8.32 minutos ϭ 499.2 segundos, por lo que
d ϭ r ϫ t ϭ 186,000 ϫ 499.2 segundos ϭ 92,851,200 millas.
La distancia de la Tierra al Sol es alrededor de 93 millones de millas.
c) Aquí t ϭ 5 horas y 29 minutos ϭ 329 minutos ϭ 19,740 segundos, por lo que
d ϭ r ϫ t ϭ 186,000 ϫ 19,740 segundos
ϭ 3,671,640,000 millas.
La distancia del Sol a Plutón es de 3.7 ϫ 109 millas, aproximadamente.
millasᎏsegundos
millasᎏsegundos
237,000 millasᎏᎏᎏᎏ186,000 millas/segundos
FIGURA R.31 Modelo lineal para el ingreso personal de los estadounidenses(ejemplo 8).
[1995, 2005] por [5, 10]
VELOCIDAD DE LA LUZ
Muchos científicos han tratado de medirla velocidad de la luz. Por ejemplo, GalileoGalilei (1564Ϫ1642) intentó medir la velocidad de la luz sin mucho éxito. Visitela siguiente página Web para consultar información interesante relativa a este tema.http://www.what-is-the-speed-of-light.com/
40 CAPÍTULO R Requisitos
REPASO RÁPIDO R.4En los ejercicios del 1 al 4 despeje x.
1. Ϫ75x ϩ 25 ϭ 200
2. 400 Ϫ 50x ϭ 150
3. 31 Ϫ 2x ϩ 42x Ϫ 5 ϭ 7
4. 27x ϩ 1 ϭ 51 Ϫ 3x
En los ejercicios del 5 al 8 despeje y.
5. 2x Ϫ 5y ϭ 21 6. ᎏ13
ᎏx ϩ ᎏ14
ᎏy ϭ 2
7. 2x ϩ y ϭ 17 ϩ 2x Ϫ 2y 8. x2 ϩ y ϭ 3x Ϫ 2y
En los ejercicios 9 y 10 simplifique la fracción.
9. ᎏϪ2
9Ϫ
Ϫ
Ϫ5
8ᎏ 10. ᎏ
Ϫ1Ϫ
44Ϫ
Ϫ
Ϫ6
2ᎏ
En los ejercicios 1 y 2 estime la pendiente de la recta.
1. 2.
En los ejercicios del 3 al 6 determine la pendiente de la recta quepasa por el par de puntos.
3. (Ϫ3, 5) y (4, 9) 4. (Ϫ2, 1) y (5, Ϫ3)
5. (Ϫ2, Ϫ5) y (Ϫ1, 3) 6. (5, Ϫ3) y (Ϫ4, 12)
En los ejercicios del 7 al 10 determine el valor de x o y, para que larecta que pasa por el par de puntos tenga la pendiente dada.
Puntos Pendiente
7. (x, 3) y (5, 9) m ϭ 2
8. (Ϫ2, 3) y (4, y) m ϭ Ϫ3
9. (Ϫ3, Ϫ5) y (4, y) m ϭ 3
10. (Ϫ8, Ϫ2) y (x, 2) m ϭ 1/2
En los ejercicios del 11 al 14 determine una ecuación en la formapunto pendiente para la recta que pasa por el punto con la pendien-te dada.
Punto Pendiente
11. (1, 4) m ϭ 2
12. (Ϫ4, 3) m ϭ Ϫ2/3
13. (5, Ϫ4) m ϭ Ϫ2
14. (Ϫ3, 4) m ϭ 3
En los ejercicios del 15 al 20 determine una ecuación en la formageneral para la recta que pasa por el par de puntos.
15. (7, Ϫ2) y (1, 6) 16. (Ϫ3, Ϫ8) y (4, Ϫ1)
17. (1, Ϫ3) y (5, Ϫ3) 18. (Ϫ1, Ϫ5) y (Ϫ4, Ϫ2)
19. (Ϫ1, 2) y (2, 5) 20. (4, Ϫ1) y (4, 5)
En los ejercicios del 21 al 26 determine una ecuación en la formapendiente intersección al origen para la recta.
21. La recta que pasa por (0, 5) con pendiente m ϭ Ϫ3.
22. La recta que pasa por (1, 2) con pendiente m ϭ 1/2.
23. La recta que pasa por los puntos (Ϫ4, 5) y (4, 3).
24. La recta que pasa por los puntos (4, 2) y (Ϫ3, 1).
25. La recta 2x ϩ 5y ϭ 12.
26. La recta 7x Ϫ 12y ϭ 96.
En los ejercicios 27 a 30, con un graficador, grafique la ecuación li-neal. Seleccione una ventana de visualización que muestre la inter-sección de la recta con el eje x y con el eje y.
27. 8x ϩ y ϭ 49 28. 2x ϩ y ϭ 35
29. 123x ϩ 7y ϭ 429 30. 2100x ϩ 12y ϭ 3540
En los ejercicios 31 y 32, la recta contiene al origen y el punto enla esquina superior derecha de la pantalla del graficador.
31. Escriba para aprender ¿Cuál recta de las que se muestranaquí tiene mayor pendiente?
[Ϫ10, 10] por [Ϫ10, 10]
b)
[Ϫ10, 10] por [Ϫ15, 15]
a)
0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2 3 4 5 6x
y
0 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2 3 4 5 6x
y
EJERCICIOS DE LA SECCIÓN R.4
SECCIÓN R.4 Rectas en el plano 41
32. Escriba para aprender ¿Cuál recta de las que se muestrantiene la mayor pendiente?
En los ejercicios del 33 al 36 determine el valor de x y el valor de ypara los cuales (x, 14) y (18, y) son puntos en la gráfica.
33. y ϭ 0.5x ϩ 12 34. y ϭ Ϫ2x ϩ 18
35. 3x ϩ 4y ϭ 26 36. 3x Ϫ 2y ϭ 14
En los ejercicios del 37 al 40 determine los valores para Ymín,Ymáx y Yscl que harán que la gráfica de la recta aparezca en laventana de visualización, como se muestra a continuación:
37. y ϭ 3x 38. y ϭ 5x
39. y ϭ ᎏ23
ᎏx 40. y ϭ ᎏ54
ᎏx
En los ejercicios del 41 al 44, a) determine una ecuación para larecta que pasa por el punto y es paralela a la recta dada y b) deter-mine una ecuación para la recta que pasa por el punto y es perpen-dicular a la recta dada. Corrobore su trabajo en forma gráfica.
Punto Recta
41. (1, 2) y ϭ 3x Ϫ 2
42. (Ϫ2, 3) y ϭ Ϫ2x ϩ 4
43. (3, 1) 2x ϩ 3y ϭ 12
44. (6, 1) 3x Ϫ 5y ϭ 15
45. Apreciación de bienes inmuebles Bob Michaels compróuna casa hace 8 años en $42,000; este año el inmueble se valuóen $67,500.
a) Una ecuación lineal V ϭ mt ϩ b, 0 Յ t Յ 15 representa elvalor V de la casa durante 15 años a partir de que fue com-prada. Determine m y b.
b) Grafique la ecuación y márquela para estimar en cuántosaños, a partir de la compra, esta casa tendrá un valor de$72,500.
c) Plantee y resuelva una ecuación de forma algebraica paradeterminar cuántos años, a partir de la compra, esta casa ten-drá un valor de $74,000.
d) Determine cuántos años después de la compra esta casa ten-drá un valor de $80,250.
46. Planeación de la inversión Mary Ellen planea invertir$18,000, poniendo parte del dinero, x, en ahorros que pagan 5% al año y el resto en una cuenta que paga 8% anualmente.
a) En esta situación, ¿qué valores son posibles para x?
b) Si Mary Ellen invierte x dólares al 5%, escriba una ecuaciónque describa el interés total I recibido por ambas cuentas alfinal de un año.
c) Grafique y márquela para estimar cuánto invirtió Mary Ellenal 5%, si ella obtuvo $1,020 de interés total al final del pri-mer año.
d) Utilice su graficador para generar una tabla de valores para Ia fin de determinar cuánto debe invertir Mary Ellen al 5%para obtener $1,185 de interés total al cabo de un año.
47. Navegación Un aeroplano comercial asciende en el despeguecon una pendiente m ϭ 3/8. ¿Cuánto volará en la dirección ho-rizontal para alcanzar una altura de 12,000 pies por arriba delpunto de despegue?
48. Inclinación de una autopista La carretera 70 oeste deDenver, Colorado tiene una sección señalada como de 6% de inclinación. Esto significa que por un cambio horizontal de100 pies hay 6 pies de cambio vertical.
a) Determine la pendiente de esta sección de la autopista.
b) En una autopista con una inclinación de 6%, ¿cuál es la distancia horizontal requerida para ascender 250 pies?
c) Una señal en la autopista indica 6% de inclinación durantelas siguientes 7 millas. Estime cuántos pies en sentido verti-cal hay a lo largo de esas siguientes millas. (Hay 5,280 piesen una milla).
49. Escriba para aprender Especificaciones de edifica-ción Los tejados asfaltados no cumplen con el código de especificaciones de un tejado que tiene una inclinación menor a4Ϫ12. Una inclinación 4Ϫ12 implica que hay 4 pies de cambiovertical por cada 12 pies de cambio horizontal. Cierto tejadotiene pendiente m ϭ 3/8. ¿Podrían usarse tejados asfaltados enese tejado? Explique.
50. Revisión del ejemplo 8 Utilice la ecuación lineal encontra-da del ejemplo 8 para estimar el ingreso de los estadounidensesen 2000, 2002 y 2003 mostrados en la figura R.30.
6%INCLINACIÓN
6% inclinación
WINDOW
Xmax=10
Ymin=
Yscl=Xres=1
Xmin=–10
Xscl=1
Ymax=
[Ϫ5, 5] por [Ϫ20, 20]
b)
[Ϫ20, 20] por [Ϫ35, 35]
a)
42 CAPÍTULO R Requisitos
51. Gasto de los estadounidenses El gasto personal de losestadounidenses de 1998 a 2003, en billones de dólares, semuestra en la tabla.
a) Escriba una ecuación lineal para el gasto de los estadouni-denses y, en términos del año x, utilizando los puntos (1998,5.9) y (1999, 6.3).
b) Utilice la ecuación en a) para estimar los gastos de los esta-dounidenses en 2002.
c) Utilice la ecuación en a) para predecir el gasto de los esta-dounidenses en 2006.
d) Superponga una gráfica de la ecuación lineal en a) a un dia-grama de dispersión de los datos.
52. Importaciones de Estados Unidos provenientes deMéxico El total, en miles de millones de dólares, de las importaciones de Estados Unidos provenientes de México, paracada año x desde 1996 hasta 2003 se da en la tabla. (Fuente:Oficina de Censos de los Estados Unidos, Resumen Estadísticode Estados Unidos, 2001, 2004-2005).
a) Utilice las parejas (1997, 85.9) y (2001, 131.3) para escribiruna ecuación lineal para x y y,
b) Superponga la gráfica de la ecuación lineal en a) a un dia-grama de dispersión de los datos.
c) Utilice la ecuación en a) para predecir el total de importacio-nes de Estados Unidos provenientes de México en 2006.
53. Población mundial La población mundial a mitad de añodurante los años de 1997 a 2004 (en millones) se muestra en latabla R.7.
a) Suponga que x ϭ 0 representa a 1990, x ϭ 1, representa a1991, y así sucesivamente. Dibuje un diagrama de disper-sión de los datos.
b) Utilice la información de 1997 y 2004 para escribir unaecuación lineal para la población y en términos del año x.Superponga la gráfica de la ecuación lineal al diagrama dedispersión de los datos.
c) Utilice la ecuación en b) para predecir la población mundiala medio año en 2006. Compárela con la estimación 6525 dela oficina de censos.
54. Exportaciones de Estados Unidos a Japón El total deexportaciones (en miles de millones de dólares) de EstadosUnidos a Japón de 1996 a 2003 se proporciona en la tabla R.8.
a) Haga que x ϭ 0 represente a 1990, x ϭ 1 represente a 1991,y así sucesivamente. Dibuje un diagrama de dispersión delos datos.
b) Utilice la información de 1996 y 2003 para escribir unaecuación lineal para las exportaciones y, de Estados Unidosa Japón en términos del año x. Superponga la gráfica de laecuación lineal al diagrama de dispersión de a).
c) Utilice la ecuación en b) para predecir las exportaciones deEstados Unidos a Japón en 2006.
En los ejercicios 55 y 56 determine a de modo que los segmentosde recta AB y CD sean paralelos.
55. 56.
En los ejercicios 57 y 58 determine a y b de modo que la figuraABCD sea un paralelogramo.
57. 58.
59. Escriba para aprender Rectas perpendiculares
a) ¿Es posible que dos rectas con pendientes positivas seanperpendiculares? Explique.
b) ¿Es posible que dos rectas con pendientes negativas seanperpendiculares? Explique.
y
xD(5, 0)
B(a, b) C(8, 4)
A(0, 0)
y
xD(4, 0)
C(a, b)B(2, 5)
A(0, 0)
y
x
D(5, a)
C(3, 0)
B(1, 2)
A(0, 0)
y
x
D(a, 8)
C(3, 0)
B(3, 4)
A(0, 0)
Tabla R.8 Exportaciones de Estados Unidos a Japón
Año Exportaciones de Estados Unidos(miles de millones de dólares)
1996 67.61997 65.51998 57.81999 57.52000 64.92001 57.42002 51.42003 52.1
Fuente: Oficina de Censos de Estados Unidos, Resumen Estadístico de Estados Unidos, 2001, 2004-2005.
Tabla R.7 Población mundial
Año Población (millones)
1997 58521998 59301999 60062000 60822001 61562002 62302003 63032004 6377
Fuente: http://www.census.gov/ipc/ww/worldpop.html
x ⏐1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003y ⏐74.3 85.9 94.6 109.7 135.9 131.3 134.6 138.1
x ⏐1998 1999 2000 2001 2002 2003y ⏐ 5.9 6.3 6.7 7.0 7.4 7.8
SECCIÓN R.4 Rectas en el plano 43
60. Actividad en grupo Rectas paralelas y rectas perpendiculares
a) Suponga que c � d y a y b no son ambos cero. Muestre queax ϩ by ϭ c y ax ϩ by ϭ d son rectas paralelas. Expliquepor qué son necesarias las restricciones sobre a, b, c y d.
b) Suponga que a y b no son ambas cero. Demuestre que ax ϩby ϭ c y bx Ϫ ay ϭ d son rectas perpendiculares. Expliquepor qué son necesarias las restricciones sobre a y b.
Preguntas de examen estandarizado
61. Verdadero o falso La pendiente de una recta vertical es cero. Justifique su respuesta.
62. Verdadero o falso La gráfica de cualquier ecuación de laforma ax ϩ by ϭ c, donde a y b no son ambos cero, siempre esuna recta. Justifique su respuesta.
En los ejercicios del 63 al 66 puede utilizar una calculadora grafi-cadora para resolver los problemas.
63. Opción múltiple ¿Cuál de las siguientes es una ecuación dela recta que pasa por el punto (Ϫ2, 3) con pendiente 4?
A) y Ϫ 3 ϭ 4(x ϩ 2) B) y ϩ 3 ϭ 4(x Ϫ 2)
C) x Ϫ 3 ϭ 4(y ϩ 2) D) x ϩ 3 ϭ 4(y Ϫ 2)
E) y ϩ 2 ϭ 4(x Ϫ 3)
64. Opción múltiple ¿Cuál de las siguientes es una ecuación dela recta con pendiente 3 e intersección con el eje y de Ϫ2?
A) y ϭ 3x ϩ 2 B) y ϭ 3x Ϫ 2
C) y ϭ Ϫ2x ϩ 3 D) x ϭ 3y Ϫ 2
E) x ϭ 3y ϩ 2
65. Opción múltiple ¿Cuál de las siguientes rectas es perpen-dicular a la recta y ϭ Ϫ2x ϩ 5??
A) y ϭ 2x ϩ 1 B) y ϭ Ϫ2x Ϫ ᎏ15
ᎏ
C) y ϭ Ϫᎏ12
ᎏx ϩ ᎏ13
ᎏ D) y ϭ Ϫᎏ12
ᎏx ϩ 3
E) y ϭ ᎏ12
ᎏx Ϫ 3
66. Opción múltiple ¿Cuál de las siguientes es la pendiente dela recta que pasa por los dos puntos (Ϫ2, 1) y (1, Ϫ4)?
A) Ϫᎏ35
ᎏ B) ᎏ35
ᎏ
C) Ϫᎏ53
ᎏ D) ᎏ53
ᎏ
E) Ϫ3
Exploraciones
67. Exploración de la gráfica de ᎏax
ᎏ ϩ ᎏby
ᎏ ϭ c, a � 0, b � 0Sea c ϭ 1.
a) Dibuje la gráfica para a ϭ 3, b ϭ Ϫ2.
b) Dibuje la gráfica para a ϭ Ϫ2, b ϭ Ϫ3.
c) Dibuje la gráfica para a ϭ 5, b ϭ 3.
d) Utilice sus gráficas en a), b) y c) para hacer una conjeturaacerca de lo que representan a y b cuando c ϭ 1. Pruebe suconjetura.
e) Repita a)Ϫd) para c ϭ 2.
f) Si c ϭ Ϫ1, ¿qué representan a y b?
68. Investigación de las gráficas de ecuaciones lineales
a) Grafique y ϭ mx para m ϭ Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, 1, 2, 3 en la venta-na [Ϫ8, 8] por [Ϫ5, 5]. ¿Qué tienen en común estas gráfi-cas? ¿En qué difieren?
b) Si m > 0, ¿qué tienen en común las gráficas de y ϭ mx y yϭ Ϫmx? ¿En qué difieren?
c) Grafique y ϭ 0.3x ϩ b para b ϭ Ϫ3, Ϫ2, Ϫ1, 0, 1, 2, 3 en[Ϫ8, 8] por [Ϫ5, 5]. ¿Qué tienen en común estas gráficas?¿En qué difieren?
Ampliación de las ideas
69. Conexión entre álgebra y geometría Muestre que si se unen los puntos medios de lados consecutivos de cualquiercuadrilátero (consulte la figura), el resultado es un paralelogramo.
A. Representación para el A. Representación para elejercicio 69 ejercicio 70
70. Conexión entre álgebra y geometría Considere la semicircunferencia de radio 5 con centro en (0, 0) que semuestra en la figura. Determine una ecuación de la recta tangente a la semicircunferencia en el punto (3, 4). (Sugerencia: Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia).
71. Conexión entre álgebra y geometría Muestre que encualquier triángulo (consulte la figura) el segmento de rectaque une los puntos medios de dos lados es paralelo al tercer lado y mide la mitad de él.
Ox
y
(0, 0) (a, 0)
(b, c)
A B
y
x
(3, 4)
y
x(a, 0)
(b, c)
(d, e)