ECUACIONES DE RECTAS

MECU 3031

Sec. 4.2 Arya 5ta ed.

Diferentes formas de una ecuación Una ecuación en dos variables se puede expresar en más

de una forma equivalente utilizando correctamente

operaciones inversas para despejar la ecuación para

cualquiera de sus variables.

Formas de la ecuación lineal:

• Forma general𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

• Forma estándar𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐

• Forma pendiente-intercepto𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Diferentes formas de una ecuación

Escribir la ecuación𝟑

𝟒𝒙 −

𝟐

𝟑𝒚 = 𝟔,

despejada para y.

Primero eliminaremos los denominadores de la ecuación: 3

4𝑥 −

2

3𝑦 = 6

123

4𝑥 −

2

3𝑦 = 6

9𝑥 − 8𝑦 = 72 Luego despejar para y.

Noción de pendiente

Se describe la inclinación de

una recta con una medida

llamada pendiente.

A mayor pendiente, mayor

inclinación. (En la figura L1 está

más inclinada que L2.)

Para calcular la pendiente,

tomamos dos puntos por los

cuales pasa la recta,

𝒙𝟏, 𝒚𝟏 , 𝒙𝟐, 𝒚𝟐 y calculamos:

EjemploHallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos

(1, 3) y (3, 7).

Pendiente Positiva y Negativa

Ilustramos ambos casos:

Graficar una recta dado su pendiente

Grafique la recta que pasa por P(2, 1) y que

tiene pendiente igual a

a) 5

3b) −

5

3

SOLUCION (a) : • Podemos obtener otro punto

moviendo 3 unidades hacia la derecha y 5 unidades hacia arriba.

• Esto nos da un segundo punto Q(5, 6).• Dibujamos la recta uniendo los dos

puntos con una línea recta.

Rectas horizontales y verticales

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-3, 4) y que es paralela a(a) el eje de x (b) el eje de y

SOLUCION:(a) Una recta paralela al eje de x es una

recta horizontal. Su pendiente es 0. Su ecuación es y = 4.

b)

Forma Pendiente-Intercepto

y = mx + b

El número b es el intercepto en y de la

gráfica.

La gráfica es una recta con pendiente m

y que pasa por el punto (0, b) .

Ilustramos:

Pendiente-Intercepto (cont.)

y2-y1

x2-x1

𝒎 =𝒚𝟐 − 𝒚𝟏𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

Ejemplo

Exprese la ecuación 2x – 5y = 8 en la forma pendiente-intercepto.

SOLUCION:

Ejemplo

SOLUCION:

a) Determinar pendiente b) Hallar el intercepto en y

Use la pendiente para dibujar la gráfica de la ecuación 3x – 5y = -10.

Ejemplo

Hallar la pendiente y el intercepto en y de la recta con ecuación: 3x – 6y 7 = 0.

Solución:

EjemploUna recta tiene pendiente de e int-y en (0, 16). Hallar una ecuación para la recta.Solución:

7

9

Ejemplo

Una recta tiene pendiente de y pasapor el punto (–3, 6). Determinar unaecuación para la recta.

2

3

Solución:

EjemploHallar la ecuación de la línea que contienelos puntos (2, 3) y (1, 4).

Solución:

Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas, m1 y m2, son paralelas si y

solo si tiene la misma pendiente, m1 = m2

Dos rectas, m1 y m2, son perpendiculares

si y solo si m1m2 = -1 ,

(esto es, que una de las pendientes es el

recíproco negativo de la otra. )𝒎𝟐 = −𝟏

𝒎𝟏

Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso.

(a) La recta que pasa por (–1, –2) y (1, 2) y la recta que pasa por (–2, 0) y (0, 4).

Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso.

(b) La recta que pasa por (0, –4) y (-1, -7) y la recta que pasa por (3, 0) y (-3, 2).

Decidir si las rectas son paralelas o perpendiculares en cada caso.

(b) La recta –x + 2y = -2 y la recta 2x = 4y + 3

EjemploHallar la ecuación lineal que cumple las siguientes condiciones:• pasa por el punto (6, -7)• Su gráfica es perpendicular a la gráfica de

6x + 3y = 4.

Ejemplo• Determinar la recta que satisface las siguientes

condiciones:a) pasa por (3, -1)b) Es paralela a 5x – 2y = 4

Solución:

EjemploEl crecimiento de un feto después de 12 semanas de edad se puede aproximar por la fórmula, L= 1.53t – 6.7, donde L es la longitud (en centímetros) y t es la edad (en semanas).La longitud prenatal puede ser determinado por ultrasonido. Aproxime la edad de un feto cuya longitud es de 28 centímetros.Solución:

EjemploLa relación entre la temperatura, F, en la escala Fahrenheit y la temperatura, C, en Centígrados está dada por:

• 𝟎℃ = 𝟑𝟐℉• 𝟏𝟎𝟎℃ = 𝟐𝟏𝟐℉

Hallar una ecuación lineal para esta relaciónSolución: