Escuela: ContabilidadCurso: Matemática para los Negocios IDocente: Ana Gamarra Carrasco

La derivada - Aplicaciones

1. En los problemas siguientes encuentre la derivada de las funciones:

a) f(x) = 100

b) f(x) = x10

c) f(x) = x1000

d) f(x) = 53x

3

e) f(x) = t5

15

f ) f(p) = p4 + 3p3 − 1

g) f(t) = 3t2 + 10t+ 1

h) f(x) = 5x3 − x−23

i) f(x) = 4x53 − x

−23

j ) f(x) = −9x−19 − x

−56

k) f(x) = 6√x

l) f(x) = 14√x

m) f(x) = x2√x

n) f(x) = x2(3x)2

ñ) f(x) = x(3x2 − 13x+ 5)

o) f(x) = x3(3x5 − 4x2 + 3)

p) f(q) = 4q3+7q−4q

q) f(w) = w−8w5

r) f(q) = 5q3+6q−4q

s) f(q) = q2+q4

q4

2. Derivar:

a) f(x) = ex2+x

b) f(x) = 5x3+x2

c) f(x) = ln[a+ x+√x2 + 2ax]

d) f(x) = sin(x2 + ex)

e) f(x) = tan(sinx+ cosx)

f ) f(x) = cos(sinx+ x2)

g) f(x) = cot(ex + lnx)

h) f(x) = ln(1+√sinx

1−√sinx

) + 2 sinx

i) f(x) = sinx−cosxsinx+cosx

j ) f(x) = 1 + ln(sinx)

k) f(x) = (3− sin 2x)2

l) f(x) = ln√

1−sinx1+sinx

m) f(x) = a2

2 ln(x+√x2 + a2)

n) y = tan(1−ex

1+ex )

ñ) y = ln(x+√x2 − 1)

o) y = ln(3x2 +√9x4 + 1)

p) y = ln2 x− ln(lnx)

q) y = sin(sin(sinx))

r) y = sin(x2 + sin(x2 + sinx2))

3. En los problemas siguientes se dan funciones de costo, donde c es el costo de producirq unidades de un producto. Para cada caso encuentre la función de costo marginal.¿Cuál es el costo marginal para el valor o valores dados de q?.

1

a) c = 500 + 10q; q = 100

b) c = 0,3q2 + 2q + 850; q = 3

c) c = q2 + 50q + 1000; q = 15, q = 16, q = 17

d) c = 0,03q3 − 0,6q2 + 4,5q + 7700; q = 10, q = 20, q = 100

e) c = 5000 + 6q; q = 36

4. En los problemas siguientes, cp representa el costo promedio por unidad, que es unafunción del número q de unidades producidas. Encuentre la función de costo marginaly el costo marginal para los valores indicados de q.

a) cp = 0,01q + 5 + 500q ; q = 50, q = 100

b) cp = 2 + 1000q ; q = 25, q = 235

c) cp = 0,00002q2 − 0,01q + 20000q ; q = 100, q = 500

d) cp = 0,001q2 − 0,3q + 40 + 7000q ; q = 10, q = 20

e) cp = 0,0002q3 + 55000q2

; q = 20, q = 200

5. En los problemas siguientes, r representa el ingreso total y es una función del número qde unidades vendidas. Encuentre la función de ingreso marginal y el ingreso marginalpara los valores indicados de q.

a) r = 0,7q; q = 8, q = 100, q = 200

b) r = q(15− q30); q = 5, q = 15, q = 150

c) r = 250q + 45q2 − q3; q = 5, q = 10, q = 25

d) r = 2q(30− 0,1q); q = 10, q = 150, q = 20

e) r = q(1,25− q2

10); q = 10, q = 20, q = 30

6. Resuelva los siguientes problemas:

a) Una enfermedad infecciosa y debilitante se propaga lentamente en una pobla-ción. El número de individuos infectados después de t meses está dado mediantela fórmula:

N(t) = 1000(t0,5 + t2)

Encuentre N ′(t). Evalúe N(9) y N ′(9) e interprete estos valores.b) Los sociólogos han estudiado la relación entre el ingreso y el número de años de

educación en miembros de un grupo urbano particular. Ellos encontraron queuna persona con x años de educación, antes de buscar empleo regular puedeesperar recibir un ingreso anual medio de y dólares anuales, donde y = 5x

52 +

5900, 4 ≤ x ≤ 16. Encuentre la razón de cambio del ingreso con respecto alnúmero de años de educación. Evalúela cuando x = 9.

c) Encuentre la razón de cambio del área A de un círculo con respecto a su radior si A = πr2. Evalúela cuando r = 7 pulgadas.

d) Él volumen V de una célula esférica está dado por V = 43πr

3 donde r es elradio. Encuentre la razón de cambio del volumen con respecto al radio cuandor = 6,5x10−4 centímetros.

2

7. Resuelva los siguientes problemas:

a) La función de costo total de una fábrica de medias es estimada por Dean como:

c = −10489,69 + 6,750q − 0,000328q2

donde q es la producción en docenas de pares y c es el costo total.Encuentre lafunción de costo marginal y evalúela cuando q = 5000.

b) La función de costo total para una planta de energía eléctrica es estimada por:

c = 32,07− 0,79q + 0,021q2 − 0,0001q3

20 ≤ q ≤ 90

donde q es la producción total en 8 horas y c el costo total en dólares delcombustible. Encuentre la función de costo marginal y evalúela cuando q = 70.

c) Para la función costo:c = 0,2q2 + 1,2q + 4

¿Qué tan rápido cambia c con respecto a q cuando q = 5?.d) Para cierto fabricante, el ingreso r obtenido al vender q unidades de un producto

está dado por:30q − 0,3q2

¿Qué tan rápido cambia r con respecto a q?¿Determinar para q = 10?.

e) Un fabricante de bicicletas de montaña determinó que cuando se producen 20bicicletas por día, el costo promedio es de $150 y el costo marginal de $125. Conbase de está información, determine el costo total de producir 21 bicicletas pordía.

8. En los problemas siguientes cada ecuación representa una función de demanda paracierto producto, donde p denota el precio por unidad para q unidades. En cada caso,encuentre la función de ingreso marginal. Recuerde que ingreso = pq.

a) p = 25− 0,02q

b) p = 500q

c) p = 108q+2 − 3

d) p = q+750q+50

e) p = 10q−6 − 3q

9. Resolver los siguientes problemas.

a) El número de dólares del precio total de la manufactura de x relojes en ciertafábrica está dada por

C(x) = 1500 + 30x+20

xEncontrarLa función de costo marginal.El costo marginal cuando x = 40.El costo de la manufacturera del cuadragésimo primer reloj.

3

b) Si función de costo total es C(x),

C(x) = 0,2x2 + 5x+ 20000

Determinar el costo promedio y el costo marginal.

c) Esta semana en una fábrica se produjeron 50 unidades de cierta mercancía y lacantidad de producción aumenta a razón de dos unidades por semana. Si C(x)dólares es el costo de producción de x unidades, donde

C(x) = 0,08x3 − x2 + 10x+ 48

Calcule la rapidez actual a la que el costo de producción aumenta.

d) Si la función de costo total para un fabricante está dada por:

c =5q2√q2 + 3

+ 5000

donde c está en dólares, encuentre el costo marginal cuando se producen 10unidades.

e) La población P de una cierta ciudad dentro de t años está dada por:

P = 20000e0,03t

Encuentre la razón de cambio de la población con respecto al tiempo t dentrode cuatro años. Redondee su respuesta al entero más cercano.

10. ResolverEl número de dólares del costo total de la producción de x unidades de una mercanciaes

C(x) = x2 + 4x+ 8

Encontrar la ecuación que defina

a) El costo promedio.

b) El costo marginal y costo promedio marginal.

c) Trazar las curvas del costo total, del costo promedio y del costo marginal en elmismo sistema de coordenadas, verificar que los costos promedios y marginalesson iguales cuando el costo promedio tiene un valor mínimo.

4