unidad 3 la derivada
TRANSCRIPT
UNIDAD III
LA DERIVADA
3.1 DEFINICIÓN Y SIMBOLOGÍA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN.
Uno de los problemas que dio origen a la derivada fue el cálculo de la velocidad instantánea. Recordemos que la velocidad media se obtiene al dividir la distancia recorrida entre el intervalo de tiempo transcurrido.
vm= ΔdΔt
Esta cantidad nos proporciona una velocidad representativa de todo el recorrido. Por ejemplo, si realizamos un viaje entre dos ciudades que se encuentran a una distancia de 300 Km en un tiempo de 3 horas, entonces la velocidad media es de 100 Km/h. Esto no significa que se haya viajado con esta velocidad todo el recorrido. Si queremos la velocidad exactamente en un tiempo de una hora, estamos hablando de la velocidad instantánea.
Si a cada valor del tiempo le asociamos una posición, es posible calcular la velocidad media entre dos posiciones cualesquiera:
t1
Δt=t1−t2 t2
d1
Δd=d2−d1 d2
Si deseamos la velocidad instantánea exactamente en t1 , es razonable pensar que
el instante de tiempo debe ser pequeño, es decir debe aproximarse a cero, más no puede ser cero, esto nos lleva al concepto de límite estudiado anteriormente, por lo tanto la velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero:
v=limΔdΔt
Δt→0
--------------- (1)
Algo importante es que para poder utilizar esta fórmula debemos tener una
función que nos dé la posición en función del tiempo d=f ( t ) .La función anterior nos permite calcular la posición para cualquier instante, para
que Δt tienda a cero, es necesario que t2 se aproxime a
t1 , es posible escribir t2 de la
siguiente forma t2=t1+ Δt
, entonces d1=f ( t1 ) y d2=f ( t1+ Δt ) , sustituyendo en la fórmula (1):
v=limΔdΔt
=limd2−d1
Δt=lim
f ( t1+ Δt )−f ( t1 )Δt
Δt→0 Δt→0 Δt→0
Ejemplo:
43
Un cuerpo se mueve en lineal recta y su posición con respecto al tiempo se
obtiene mediante la función f ( t )=t , es decir la posición es igual al tiempo transcurrido, determine su velocidad instantánea exactamente en 1 segundo.
En este ejemplo tenemos que t1=1
, si sustituimos en la fórmula de la velocidad instantánea:
v=limΔdΔt
=limf ( t1+ Δt )−f ( t1 )Δt
=limf (1+Δt )−f (1 )Δt
Δt→0 Δt→0 Δt→0
Utilizando la función f ( t )=t
v=lim(1+Δt )−1Δt
=limΔtΔt
=lim 1=1
Δt→0 Δt→0 Δt→0Tenemos que la velocidad instantánea es de 1 m/s, en este caso es constante.
Es posible generalizar el resultado anterior para cualquier tiempo t , esto nos daría como resultado la fórmula:
v=limf ( t+Δt )−f ( t )Δt
Δt→0Ejemplo:
La posición de una partícula que se mueve en línea recta se obtiene mediante la
expresión f ( t )=2 t2+t−1 , determine la velocidad instantánea para cualquier tiempo t y calcule la velocidad en 5 segundos.
La velocidad instantánea para cualquier tiempo se obtiene con la fórmula:
v=limf ( t+Δt )−f ( t )Δt
Δt→0Sustituyendo los valores en la función:
v=lim2( t+ Δt )2+ t+Δt−1−(2t2+t−1 )Δt
Δt→0Realizando operaciones y simplificando:
v=lim4 tΔt+2 Δt2+ ΔtΔt
=limΔt (4 t +2 Δt+1)Δt
=lim 4 t +2 Δt+1=4 t+1
Δt→0 Δt→0 Δt→0
La expresión de la velocidad instantánea es v=4 t+1 , para t=5 , la velocidad es v=4 (5)+1=21 m /s
44
Si la fórmula anterior la aplicamos a cualquier función f ( x ) nos proporciona la razón de cambio instantánea, a esta se le da el nombre de Derivada, la cual se simboliza:
f '( x )=limf (x+ Δx)−f ( x )Δx
Δx→0Ejemplo:Usando la fórmula, derivar las siguientes funciones:
a) f ( x )=−3 x3+x2
b) h( x )=1
x
c) p( x )=√x
Solución:a)
f '( x )=limf (x+ Δx)−f ( x )Δx
=lim−3( x+Δx )3+(x+ Δx)2−(−3 x3+x2 )Δx
Δx→0 Δx→0
Desarrollando y simplificando se obtiene:
f '( x )=limΔx(−9 x2−9 xΔx−3 Δx 2+2 x+ Δx)Δx
=lim (−9 x2−9 xΔx−3 Δx 2+2x+ Δx)
Δx→0 Δx →0f '( x )=−9 x2+2 x
b)
h' ( x )=limh( x+ Δx )−h( x )Δx
=lim
1x+ Δx
−1x
Δx=lim
x−x−Δx(x+ Δx)( x )Δx
=lim−ΔxΔx( x+Δx )( x )
Δx→0 Δx →0 Δx→0 Δx→0
h' ( x )=lim−1( x+ Δx )(x )
=−1
x2
Δx→0
c) En este ejemplo es necesario racionalizar.
p' ( x )=limp( x+Δx )−p( x )Δx
=lim √ x+ Δx−√xΔx
⋅√ x+Δx+√ x√ x+Δx+√ x
=limx+Δx−xΔx(√x+ Δx+√x )
Δx→0 Δx →0 Δx→0
p' ( x )=lim1
√ x+Δx+√ x=
12√ x
Δx→0
Ejercicio 1:
45
1.- Usando la fórmula de la definición de derivada, obtener la derivada de las siguientes funciones:
a) y=3 x3+2 x2−x+5 b) z=1
t3 c) w=√ t 2+1
3.2 INTERPRETACIÓN GEOMETRICA DE LA DERIVADA.
Otro problema que origino el concepto de derivada fue el de obtener la ecuación de la recta tangente a un punto a una curva. Recordemos que una recta tangente es aquella que toca en un solo punto a una curva.
Recta tangente
Al estudiar la función lineal se obtuvo una fórmula para determinar la ecuación de
una recta conociendo dos puntos es y= y1+m( x−x1) , partiremos de la figura:
P2 Recta secante
Δy= y2− y1
P1 Recta tangente
Δx
La pendiente de esta recta secante se obtiene usando las coordenadas de los puntos:
ms=ΔyΔx
=y2− y1
ΔxSi hacemos que Δx tienda a cero, el punto P2 se acerca al punto P1, de tal manera
que en el límite estos dos puntos coinciden y es posible calcular la pendiente de la recta tangente al punto P1:
mT=LímΔyΔx
Δx→0
Si conocemos la función y=f ( x ) , es posible escribir Δy de la siguiente forma Δy= y2− y1=f ( x2 )−f ( x1)=f ( x1+ Δx)−f ( x1 ), sustituyendo el la fórmula:
mT=limΔyΔx
=limf ( x1+ Δx)−f ( x1 )Δx
Δx→0 Δx →0
Usando la fórmula podemos obtener la pendiente de la recta tangente, la ecuación
de esta recta es y= y1+mT ( x−x1 ). Obsérvese que solo es necesario dar las coordenadas de un punto y conocer la función.
La fórmula se puede generaliza para cualquier punto sobre la curva:
46
mT=limf ( x+Δx )−f ( x )Δx
=f ' ( x )
Δx→0 Es importante hacer notar que el cálculo de la velocidad instantánea y el de la
obtención de la recta tangente conducen al mismo concepto “La Derivada”.
Ejemplo.
Obtener la ecuación de la recta tangente a la función f ( x )=3 x2+2 en el punto donde x=3.
La ecuación de la recta tangente es y= y1+mT ( x−x1 ), primero debemos obtener
el valor de la función que corresponde a x1=3
, para esto sustituimos este valor en al función:
y1=f (x1 )=f (3 )=3(3 )2+2=29
Ahora necesitamos el valor de la pendiente, para calcularla usamos la fórmula:
mT=limf ( x+Δx )−f ( x )Δx
=lim3 ( x+ Δx)2+2−(3 x2+2 )Δx
Δx→0 Δx →0
Al efectuar las operaciones y evaluando el limite se obtiene mT=6 x
usado el
valor x1=3
, se obtiene mT=18
. La ecuación de la recta tangente es:
y=29+18( x−3 )=29+18 x−54=−25+18 xEjercicio 2:Obtener la ecuación de la recta tangente a las funciones, en el punto donde el
valor de x se mencione.
a) f ( x )=2 x3+2 x−1 en x= -1
b) g( x )= 2
x+1 en x= 5
c) h( x )=√ x+1 en x= 3
La derivada nos proporciona la pendiente de la recta tangente, está pendiente es la tangente del ángulo que la recta forma con el eje horizontal:
Δy= y2− y1
dy Recta tangente
dx =ΔxEsta pendiente se puede representar por media del cociente de dos números muy
pequeños llamados diferenciales:
f '( x )=dydx
47
3.3 REGLAS O FÓRMULAS PARA DERIVAR FUNCIONES.
Como te habrás dado cuenta, el obtener la derivada de una función usando la
fórmula
f '( x )=limf (x+ Δx)−f ( x )Δx
Δx→0 , es un proceso tardado y en muchos casos difícil. Es posible obtener la derivada utilizando fórmulas, las cuales se obtienen a partir de la definición de derivada.
3.3.1 FÓRMULAS PARA DERIVAR FUNCIONES ALGEBRAICAS.
Caso 1.- Iniciaremos con las funciones polinomiales, el caso más sencillo es el de
la función constante f ( x )=c . Usando la fórmula:
f '( x )=limf (x+ Δx)−f ( x )Δx
=limc−cΔx
=lim 0=0
Δx→0 Δx→0 Δx→0
Concluimos que f'( x )=0 para una constante.
Caso 2.-Si ahora se considera la función identidad f ( x )=x
f '( x )=limf (x+ Δx)−f ( x )Δx
=limx+ Δx−xΔx
=limΔxΔx
=Lím1 =1
Δx→0 Δx →0 Δx→0 Δx→0
La derivada de la función identidad es f'( x )=1
Caso 3.- Si derivamos la función f ( x )=xn para n entero positivo:
f '( x )=limf (x+ Δx)−f ( x )Δx
=lim( x+Δx )n−xn
Δx Δx→0 Δx →0
Para esta función debemos utilizar el teorema del binomio de Newton, el cual sirve para elevar un binomio a una potencia.
(a+b)n=an+nan−1 b+n(n−1)an−2 b2+n(n−1)(n−2 )an−3 b3+. .. .+bn
Haciendo a=x y b=Δx
f '( x )=limxn+nxn−1 Δx+n(n−1 )xn−2 Δx2+n(n−1)(n−2) xn−3 Δx3+. ..+ Δxn−xn
Δx Δx→0Factorizando Δx de cada término y eliminando con el del denominador, se
obtiene:
f '( x )=lim nxn−1+n (n−1 )xΔx+n(n−1)(n−2) xn−3 Δx2+. ..+Δx n−1=nxn−1
Δx→0
48
Tenemos entonces, que si f ( x )=xn entonces f
'( x )=nxn−1
Por ejemplo si queremos derivar f ( x )=x3 aplicando la fórmula obtenemos
f '( x )=3 x2
Para obtener la derivada de una función se puede utilizar un operador, este es un símbolo que nos indica que se realiza una operación definida de alguna forma, para la
derivada se usan
ddx o
D x . El ejemplo anterior lo podemos realizar:
f '( x )= ddx
( x3 )=3 x2 o { f'
( x )=Dx ( x3 )=3 x2¿
Caso 4.- En los polinomios la potencia de la variable se encuentre multiplicada por
una constante, por ejemplo 2 x3, podemos obtener una fórmula para derivar para derivar
cualquier función multiplicada por una constante, consideremos cf (x ):
ddx
cf ( x )=limcf ( x+ Δx )−cf ( x )
Δx=c lim
f ( x+Δx )− f ( x )Δx
=cddx
f ( x )
Esta propiedad nos dice que podemos sacar una constante del operador. Derivando la función anterior:
ddx
(2 x3 )=2ddx
( x3 )=2(3 x2)=6 x2
Caso 5.- Ahora obtendremos una fórmula para derivar funciones donde tenemos
suma de términos, por ejemplo h( x )=2+x2. Esta función la podemos escribir como una
suma de dos funciones h( x )=f (x )+g ( x )
ddx
[ f (x )+g ( x )]= ddx
f ( x )+ ddx
g ( x )
Derivemos la función h( x )=2+x2:
h' ( x )= ddx
(2+x2)= ddx
(2)+ ddx
( x2 )=0+2 x=2 x
La deducción de las siguientes fórmulas se omite (puede consultarse en cualquier libro de Cálculo).
Caso 6.- Derivada de un producto de funciones h( x )=f (x )g( x ) su derivada es:
h' ( x )= ddx
f ( x ) g( x )=f ( x ) ddx
g ( x )+g( x ) ddx
f ( x )
Ejemplo:
Derivar el siguiente producto de funciones f ( x )=(5 x4+2 x2)( x2+3) usando la fórmula del producto:
49
f'( x )=(5 x4+2 x2 )
ddx
( x2+3 )+( x2+3 )ddx
(5 x4+2 x2 )
=(5 x4+2 x2)(2 x )+(x2+3)(20 x3+4 x )=10 x5+2 x3+20 x5+60 x3+8 x3+12 x =30 x5+70 x3+12 x=x (30 x4+70 x2+12 )
Caso 7.- Derivada de un cociente h( x )=
f ( x )g (x )
g( x )≠0
h' ( x )=g( x ) D x f ( x )−f ( x )D x g ( x )
[ g( x )]2Ejemplo:
Derivar la función f ( x )=3 x3+2 x
x2−4
f '( x )=( x2−4 ) D x(3 x3+2 x )−(3 x3+2 x ) D x( x2−4 )
( x2−4 )2=
( x2−4 )(9 x2+2)−(3 x3+2 x )(2x )( x2−4 )2
=9 x4+2 x2−36 x2−8−6 x4−4 x2
(x2−4 )2=3 x4−38 x2−8
( x2−4 )2
Caso 7 Derivada de una función compuesta h( x )=f [ g( x ) ]
h' ( x )=f ' [g (x )] D x g( x )
A esta fórmula se le conoce como la regla de la cadena.
Ejemplo:
Derivar f ( x )=(2 x2+5 )4 en este caso g( x )=2 x2+5 , entonces f ( x )=[ g( x ) ]4 derivando tenemos:
f '( x )=4 [g (x )]4−1D x g( x )=4 ( 2 x2+5 )3 D x(2 x2+5)=4 ( 2 x2+5 )3( 4 x )
En el caso de que se trate de potencias de funciones la regla de la cadena se puede escribir:
D x [g ( x )]n=n [g ( x )]n−1D x g( x )
Las funciones que contiene radicales se pueden derivar utilizando las fórmulas del caso 3 y caso 7. Para esto es necesario transformar los radicales a potencias con
exponentes fraccionarios utilizando la propiedad n√am=a
mn
.
Ejemplos:
Derivar las funciones:
a) f ( x )=√ x .Primero transformamos a un exponente fraccionario y utilizamos la fórmula del caso 3.
50
f '( x )=D x( x12 )=1
2x
12−1
=12
x−1
2= 12√x
b) h( x )=3√ x2+2 utilizando el caso 7
h' ( x )=D x( x2+2 )
13=1
3( x2 +2 )
13−1
Dx ( x2+2 )=13
( x2+2 )−2
3(2 x )= 2 x
3 3√ ( x2+2 )2
FÓRMULAS DE DERIVACIÓN ALGEBRAICAS:
1.- D x(c )=0
2.- D x( x )=1
3.- D x( xn )=nxn−1
4.- Dx [ f ( x )+g( x )]=Dx f ( x )+Dx g( x )
5.- D x f ( x ) g( x )=f ( x ) D x g ( x )+g( x ) Dx f ( x )
6.-
D x
f ( x )g( x )
=g( x ) D x f ( x )−f ( x ) D x g ( x )
[ g( x ) ]2
7.- D x [ f ( x ) ]n=n [ f ( x )]n−1D x f (x )
La combinación adecuada de estas fórmulas permite derivar cualquier función algebraica.
Ejemplos:
Derivar la función f ( x )=x3 (x2+2)2 . En este caso debemos usar también la fórmula
para derivar una potencia:
f ' ( x )=ddx
[ x3 (x2+2)2 ]=x3 ddx
( x2+2 )2+( x2+2)2 ddx
x3
=x3 [2( x2+2)2−1 ddx
(x2+2)]+( x2+2)2 (3 x2 )
=x3 [2( x2+2 )2−1(2 x )]+( x2+2)2 (3 x2 ) =4 x4 ( x2+2)+3 x3( x2+2)2
La expresión obtenida, puede ser simplificada si usamos la factorización:
=x3 (x2+2) [4 x+3( x2+2)]=x3 ( x2+2) (4 x+3 x2+6 )
51
Derivar el siguiente cociente
y= x2
( x2+5)3
y '=ddx [ x2
( x2+5 )3 ]=( x2+5 )3d
dxx2−x2 d
dx( x2+5)3
[(x2+5)3 ]2
=(x2+5)3 (2 x )−( x2 )[3 ( x2+5)2 (2 x )](x2+5)6
=2 x ( x2+5)3−6 x3 (x2+5)2
(x2+5)6=
2 x ( x2+5)2 [ x2+5−3 x2](x2+5)6
=2 x (5−2 x2)(x2+5)4
Derivar g( x )=x2 √x−4 =x2( x−4 )1
2
g' ( x )=x2 D x( x−4 )1
2+( x−4 )1
2 D x x2 =x2[12 ( x−4 )−1
2(1 )]+( x−4 )1
2(2 x )
=x2
2( x−4 )1
2
+(x−4 )1
2(2 x )=x2+( x−4 )(2 x )
2( x−4 )1
2
=3 x2−8x
2 (x−4 )1
2
=3 x2−8x2√ x−4
Ejercicio 3:1.- Utilizando las fórmulas de derivación algebraicas, derivar las siguientes
funciones:
a) f ( x )=4 x3+2 x2−4
b) p( x )=6 x3 (4−3 x4 )2
c) h( t )=
3 ( t2+2)( t−4 )3
d) r ( x )=( x2+3 x )3 (6−4 x2 )2
52
e) l( x )=√ x+1
x
f)
g( x )= x2+3 x
√ x2−3
g) w (r )=4 r 2 3√r 2+2
h) t (s )=s2+ 1
s+2
i) f ( x )= 2
√3x+1
j)
p( t )= 1
1+1
t2
k) q ( x )=ax2√1−2 ax 2
l) y=√a+bx+cx2
Ejercicio 4:2.- Resuelve los siguientes problemas
a) Una partícula se mueve sobre una línea recta y su posición con respecto al tiempo
es x=3 t3+2 t−5 determine: La velocidad media entre 5 y 10 segundos La velocidad instantánea en 5 segundos
b) Obtenga la ecuación de la recta tangente a las funciones en el valor indicado:
f ( x )=2 x2+3 x−6 en x=2
g( x )= x2
x+2 en x= -43.3.2 FUNCIONES EXPONENCIALES.
Ahora se consideran las funciones trascendentes, iniciaremos con las exponenciales, estas tienen la característica de estar formadas por una base numérica elevada a un exponente variable, su forma general es:
f ( x )=bx
Este tipo de funciones surge del estudio de cierto tipo de fenómenos naturales como la radiactividad, crecimiento de poblaciones, cálculo de intereses, etc. Consideremos el siguiente ejemplo:
Una persona deposita $1000 en una cuenta que paga una tasa de interés compuesto del 3% capitalizable mensualmente, determine la cantidad de dinero que tiene al final de 5 meses.
Al final del primer mes, la cuenta gana interese de I=1000(0.03)=30, si estos se capitalizan, para el segundo mes se tendrá un capital de C=1000+30=1030. Para el segundo mes los interés son I=1030(0.03)=30.9, este proceso lo podemos resumir en la siguiente tabla:
53
Mes
CapitalInicial
Intereses Capital Final
1 1000 30 10302 1030 30.9 1060.93 1060.9 31.875 1101.7274 1101.727 33.0518
11167.8306
25 1167.8306
235.0349
21202.86553
Si quisiéramos la cantidad acumulada al final de 2 años, tendríamos que hacer la Tabla hasta el mes 24, lo cual resulta impractico. En la tabla podemos observar que el procedimiento de cálculo se repite de la misma manera, es posible obtener una fórmula que permita resumir los cálculos:
Mes
CapitalInicial
Intereses CapitalFinal
1 C Ci C+Ci=C(1+i)2 C(1+i) C(1+i)i C(1+i)+ C(1+i)i=
C(1+I)2
3 C(1+i)2 C(1+i)2i C(1+i)2+ C(1+i)2i= C(1+I)3
4 C(1+I)3 C(1+i)3i C(1+i)3+ C(1+i)3i= C(1+i)4
.
...
.
...
x C(1+.i)x-1
C(1+i)x-1i C(1+i)x-1+ C(1+i)x-1i= C(1+i)x
Esta función depende de x que es el número de meses:
f ( x )=1000(1+i)x
La cantidad de dinero acumulada para 24 meses es:
f (24 )=1000(1+0 . 03 )24=1000(2,0327941 )=2032 .7941
El factor exponencial es 1 .03x, donde 1.03 es la base.
Hagamos la gráfica de f ( x )=1 . 03x
54
Para valores negativos la función tiende a cero, mientras que para valores positivos crece hacia el infinito. El dominio de la función son todos los Reales, su
contradominio es (0 ,∞ ) .Consideremos el caso en la capitalización de los intereses se hiciera de forma
diaria, cada hora, cada segundo, en un periodo de un mes. Como la tasa de interés es
mensual, debemos calcularla para cada periodo z= i
x , donde x es el número de periodos de capitalización.
Capitalización
Número de
periodos
Tasa de interés Factor exponencial
Diaria 30 díasz=0 . 03
30=0 .001 f (150)=1.00130
=1 . 03043908Hora 720
horas z=0 . 03720
=0 .00004166 f (720)=1.00004166720
=1 . 03044894Segundo 43200
z= 0 . 0343200
=0. 00000069444 f (43200 )=1 .000000694443200
=1 . 0304545
En la tabla se observa que el valor de la función se acerca a un valor fijo cuando el número de periodos se hace infinito, es posible calcular este valor a partir del número de Euler:
f ( x )=(1+z )x=(1+z )iz
=[ (1+z )1z ]i
Si hacemos x muy grande, el valor de z tiende a cero, el límite de esta función de esta función es:
55
lim [(1+z )1z ]i=¿[ lim (1+z )
1z ¿ ]¿
¿¿¿
¿
¿
El valor del límite no se puede obtener de manera directa, para calcularlo se puede hacer la tabla:
z(1+z )
1z
0.1 2,59374246010.01 2,7048138294210.001 2,716923932235
0.0001 2,716923932235
Este número se representa:
e=2,716923932235 . .. .
Para nuestro ejemplo el factor exponencial es ei=e0 . 03=1 .0304545
Cuando se usa el número de Euler como base de la función exponencial se tiene:
f ( x )=e x
La gráfica de esta función es:
Podemos observar que el dominio de esta función son los números reales y su
contradominio (0 ,∞) .En general las funciones exponenciales se pueden escribir
f ( x )=bx
Se utilizan valores de la base positiva y mayores de 1.
Si en el problema del cálculo de intereses queremos saber el número de meses que debemos invertir 1000 para obtener 5000, a una tasa de interés de 3% capitalizable mensualmente. Debemos usar la fórmula:
56
f ( x )=1000(1+i)x
5000=1000(1.03 )x
5=(1. 03 )x
Es decir tenemos que encontrar el exponente x al que hay que elevar la base 1.03 para el resultado sea 5. A este exponente se le conoce como Logaritmo, este tipo de problemas dio origen a esta herramienta de la Matemática. Es posible establecer logaritmos para cualquier base, por ejemplo, si buscamos a que exponente debemos elevar la base 2 para obtener 8, debemos escribir:
2x=8Entonces:
x=log2 8=3Esto significa que el exponente (logaritmo) al que se debe elevar la base 2 para
obtener 8 es el número 2. En la práctica se utilizan dos logaritmos, los que tiene base 10
y los que usan como base el número de Euler, los primeros se simbolizan log10 o
simplemente log , mientras que los segundos se representan log e= ln
. Los valores de estos logaritmos se pueden obtener mediante tablas o con el uso de una calculadora científica.
Ejemplo:Los logaritmos de los siguientes números se obtuvieron usando una calculadora
científica:
log 100=2 log 25=1 .39794 log2525=3 . 402261ln 34=3 . 526361 ln 356=5 .874931 ln 0 . 46=−0 .776529
No existen valores de los logaritmos para números negativos.Como es posible obtener el logaritmo para cualquier número positivo mayor que
cero, entonces se pueden manejar estos valores como una función:f ( x )=log x o g( x )=ln x
Sus gráficas respectivas son:
Existen propiedades muy útiles de los logaritmos para simplificar algunas operaciones:
log a AB=log a A+log aB
log aAB
=loga A− loga B
log a An=n loga Alog aa=1
57
Ejemplo:
Usando las propiedades de los logaritmos, simplifique la función y=
(2 x+1)3
√ x−2 . Aplicando el logaritmo a ambos miembros de la igualdad. Se puede usar
logaritmos de cualquier base.
ln y=ln(2x+1)3
( x−2)1
2
ln y=ln (2x+1)3−ln (x−2)1
2 ln y=3 ln (2 x+1 )−12
ln ( x−2 )
3.3.2.1 DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.
Para derivar las funciones exponenciales y logarítmicas se usan las fórmulas siguientes:
9.- D x ev=ev Dx v 11.-D x ln v=
D x v
v
10.- D x bv=bv ln bD x v 12.-D x logb v=
D x v
v ln b Donde
v=f (x )
A continuación se muestran las derivadas de algunas funciones:
a) La derivada def ( x )=2 e3 x es f
'( x )=D x 2e3 x=2D x e3 x=2 e3 x D x 3 x=6e3 x
b) Si g( x )=ln (3 x2+5 ) su derivada es g' ( x )=
D x(3 x2+5)
3 x2+5= 6 x
3 x2+5
c) Si f ( x )=x2 e2 x2
, debemos derivar como un producto, entonces:
f '( x )=x2 Dx e2 x2
+e2 x2
D x x2 =x2(e2 x2
)(2 x )+e2 x2
(2 x )
=2 x3 e2 x2
+2 xe2 x2
=2 xe2 x2
( x2+1 )
d) h( x )=3 ex+5
x3 derivando como un cociente:
h' ( x )=x3 D x(3ex+5)−(3ex+5 )D x( x3 )
( x3 )2=3x3 ex−9x2 ex−15 x2
x6=3 xex−9ex−15
x 4
Nótese que es posible combinar las fórmulas algebraicas con las exponenciales y logarítmicas.
Ejercicio 5: Derivar las siguientes funciones.
a) y=2 x3+√x+4 e3 xb) f ( x )=(2 x2+3 e−2 x )2
58
c) t ( x )=ln
x2
x3+2 d) r ( t )= 2te3 t
t2+5 t
e) p( x )= x3 ln x f) q (r )=24 x
g) f ( x )=√2+ex
x3h) y=
3√( x−ex )2
Algunas funciones complicadas es posible derivarlas utilizando las propiedades de los logaritmos, por ejemplo la función:
y=√3+2 x3
e2 x
Si aplicamos ln a ambos miembros de la igualdad y aplicamos las propiedades en el segundo miembro:
ln y=ln(3+2 x3 )
12
e2 x =ln (3+2 x3)1
2− ln e2 x =12
ln(3+2 x3)−2 x
Derivando ambos miembros de la igualdad:
D x ln y=D x1
2ln (3+2x3 )−D x 2 x
y '
y=1
26 x2
3+2 x2−2=3 x2
3+2 x2−2=3 x2−6−4 x2
3+2 x2=−x2−6
3+2 x2
Multiplicando ambos miembros por y :
y '=−x2−63+2x2
(3+2 x2)1
2
e2 x = −x2−6
e2 x (3+2x2 )1
2
Ejercicio 6:
Usando las propiedades de los logaritmos, derivar las funciones:
a) y=(3 x2+2)3 (2−x3 )2b) f ( x )=x2√ x+2
c) y=3 e2 x (x−ex )2d)
r=√3−2e2 x
x+5
3.4 DERIVACIÓN IMPLÍCITA.
Existen muchas aplicaciones que dan origen a ecuaciones donde no es posible despejar la variable dependiente en términos de la variable independiente o que se requiere derivar como una ecuación. Por ejemplo consideremos la posición de una partícula que se mueve siguiendo una trayectoria circular que cumple la ecuación
x2+ y2=4 , su gráfica es:
59
Se observa que no se trata de una función, pero es aun así se puede obtener su
derivada, para esto se considera que y=f ( x ) y se deriva usando la regla de la cadena
D x y2=2 yDx y=2 y y '
, derivado la ecuación:
D x( x2+ y2 )=D x 4
D x x2+D x y2=0
2 x+2 y y '=0
y '=−xy
La derivada dio como resultado una función de dos variables, es decir necesitamos sustituir el valor ambos valores. Si queremos la velocidad en el punto donde x=1, debemos determinar el valor de y de la ecuación:
12+ y2=41+ y2=4y2−3=0( y+√3)( y−√3 )=0
Para este valor de x tenemos dos valore y=2 , y=−2 , entonces se presentan dos valores de velocidad:
y '=− 2√3
y { y'
=− 1−2
= 1√3
¿
Esto se interpreta que para x=1 puede estar acercando o alejando del origen la partícula. En forma gráfica, significa que para x=1 existen dos rectas tangentes.
Ejemplo:
Derivar en forma implícita la función 2 xy2+√ y=0 . La gráfica usando DERIVE 5
60
Para esta ecuación es imposible despejar y en términos de x, derivando en forma implícita:
D x[2 xy2+ y
12 ]=D x 0
2 xDx y2+ y2 D x 2x+Dx y1
2=0
2 x (2 y y ' )+ y2(2 )+12
y−1
2 y '=0
4 xy { y '+2 y2+ y'
2 y1
2
=0
¿
Pasamos los términos que no contengan y'al segundo miembro y factorizamos la
derivada
4 xy { y '+ y'
2 y1
2
=−2 y2 ¿ y ' [4 xy+1
2 y1
2 ]=−2 y2 ¿ y '= −2 y2
4 xy+ 1
2 y1
2
= −2 y5
2
4 xy3
2 +1¿¿
En la gráfica se observa que el dominio son los números reales negativos. Supongamos que se quiere obtener la ecuación de la recta tangente para x=-1. Primero debemos conocer el valor de y, si sustituimos x=-1 en la ecuación:
2(−1) y2+√ y=0−2 y2+√ y=0
De esta ecuación es imposible despejar el valor de y, para estos casos se han ideado métodos que calculan estos valores en forma aproximada o podemos utilizar el programe Derive 5 para calcular este valor. De la gráfica se puede observar que el valor de y que corresponde a x=-1 se encuentra entre 0.5 y 1.
Las instrucciones son las siguientes:
1.- Escribir la ecuación −2 y2+√ y
Recta tangente
61
2.- Activamos en la barra de herramientas la instrucción Solve y seleccionar Expresión
3.- En el cuadro de dialogo seleccionar Numericalli, Bounds, en el intervalo para esta ecuación se toma Upper=1 y Lower= 0.5, dar OK.
4.- Enseguida aparece NSOLVE(- 2·y2 + √ y , y, 0.5, 1)5.- De la barra de herramientas se selecciona =6.- Se obtiene el resultado y = 0.6299605249
Para obtener la ecuación de la recta tangente utilizamos la ecuación y= y1+mT ( x−x1 ), la pendiente de la tangente se obtiene con la derivada:
mT=−2√ y3
4 x√ y3+1Sustituyendo los valores de x=-1 , y = 0.6299605249:
mT=−2√(0 .6299605249)3
4(−1)√(0 .6299605249)3+1≈1
La ecuación es y=0. 6299605249+1( x+1)=1. 6299605249+x
Ejemplo:
Derivar en forma implícita 3 xe2 y+ y2+x=0D x(3 xe2 y+ y2+x )=D x(0 )3 xDx e2 y+e2 y D x 3 x+D x y2+D x x=0
3 xe2 y D x 2 y+3 e2 y+2 y y '+1=0
6 xe2 y y '+3e2 y+2 y y '+1=0y ' (6 xe2 y+2 y )=−1−3 e2 y
y '=−1−3e2 y
6 xe2 y+2 yEjercicios 7:1.-Derivar en forma implícita las ecuaciones.
a) 4 x2 y−5 xy+ y=0 b) 2 xe− y−3 x √ y=0 c)
xy+2 xy=0
2.- Obtenga la ecuación de la recta tangente a la ecuación 3 xy+xe y+2 x=0 en
x=1, dibuje su gráfica y calcule el valor de y utilizando DERIVE 6.
3.5 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.
Hasta aquí solo se ha calculado la primera derivada de una función, existen aplicaciones del calculo donde es necesario obtener la segundad, tercera derivada, a estas se les conoce como derivadas de orden superior.
Consideremos la función y=3 x3+2 x2+4 , si queremos la tercera derivada, derivamos sucesivamente tres veces:
62
y '=9 x2+4 xy ' '=18 x+4y ' ' '=18
En general una derivada de orden n se puede representar f (n)( x )
dn ydxn
D xn
Ejemplo:
Obtener la cuarta derivada de y=x2 ex.
y '=x2ex+2 xe x
y ' '=x2ex+2 xex+2 xex+2 ex=x2e x+4 xex+2 ex
y ' ' '=x2e x+2 xex+4 xex+4 ex+2 ex=x2e x+6 xex+6 ex
y(4)=x2ex+2 xe x+6 xex+6 ex+6 e x=x2e x+8 xex+12ex
Ejercicio 8:
Obtener la tercera derivada de las siguientes funciones:
a) f ( x )=√ x2+1 b)
y= 1
( x+2 )2c) y=ln( x+1)
Una aplicación importante del cálculo fue desarrollada por Taylor, esta consiste en aproximar una función por medio de un polinomio de la forma:
f ( x )=a0+a1( x−x0 )+a2( x−x0 )2+a3( x−x0 )
3+ .. .+an ( x−x0 )n
Para realizar la aproximación es necesario conocer un punto de la función
( x0 , f ( x0 )), a partir de este se desarrolla la serie. Los valores de los coeficientes a0 , a1 , a2 ,. . ., an , se obtienen al sustituir el punto en la función y sus derivadas. Las fórmulas que se obtiene son:
a0=f ( x0 )a1=f ' ( x0)
a2=f ' '( x0 )2 !
an=f (n)( x0 )n!
Esta serie es infinita para las funciones que se pueden derivar un infinito de veces, esto significa que por más términos que agreguemos a la serie siempre tendremos un valor aproximado.
Ejemplo:
Obtener la serie de Taylor para la función f ( x )=e x, utilizando el valor inicial
x0=0.Para obtener los valores de los coeficientes se usa la tabla.
63
Función y derivadasValor en
x0=0 Valor de los coeficientes
f ( x )=e x f (0)=e0=1 a0=1
f '( x )=ex f '( 0)=e0=1 a1=1
f ' ' ( x )=ex f ' ' (0 )=e0=1 a2=12
f ' ' ' ( x )=e x f ' ' ' (0)=e0=1 a3=16
. . .
f (n)( x )=ex f (n)(0 )=e0=1 an=1
n !
Sustituyendo en la serie tenemos:
f ( x )=e x=1+x+ 12
x2+ 16
x3+ 124
x4+.. .+ 1n!
xn+. . .
Ejercicios 9:Desarrollar como una serie de Taylor las siguientes funciones usando el valor de x0
indicado:
a) f ( x )=√ x+1 x0=0
b) f ( x )=sen x x0=0
c) f ( x )= ln x x0=1
3.6 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Las funciones trigonométricas se obtienen a partir de las razones de los lados de un triángulo rectángulo. Se pueden obtener seis razones:
Hipotenusa (c) Cateto opuesto a ángulo x
(a ) θ Cateto adyacente al ángulo x
(b )Funciones trigonométricas directas:
Sen θ=Cateto opuestoHipotenusa
=ac
Cos θ=Cateto adyacenteHipotenusa
=bc
Tan θ=Cateto opuestoCateto adyacente
=ab
Funciones trigonométricas reciprocas:
Csc θ=HipotenusaCateto opuesto
= ca
Sec θ=HipotenusaCateto adyacente
= cb
Ctg θ=Cateto adyacenteCateto opuesto
=ba
El ángulo θ se puede medir en grados o radianes. Un grado es igual a la magnitud de un ángulo central al cual le corresponde una longitud de arco de 1/360 del perímetro de un circulo. Mientras que un radian equivale al ángulo central que corresponde una longitud de arco de un radio.
Los valores de las funciones se pueden generar utilizando un círculo unitario, de
tal manera que al girar el radio en el círculo, el ángulo θ puede tomar valores entre 0 y 360° o entre 0 y 2π Radianes.
r=√x2+ y2
y
64
Usando el programa DERIVE 6 se pueden hacer las gráficas de las funciones trigonométricas, por ejemplo para la función seno:
2π
Esta función es periódica, puesto que la gráfica se repite a intervalos iguales, en
este caso se repite cada 2π , a este valor se le llama periodo. Las gráficas de otras funciones trigonométricas se muestran a continuación.
Coseno TangenteLa derivada de las funciones trigonométricas de obtiene con las fórmulas:
12.- D x Sen v=Cos v D x v
13.- D x Cos v=−Senv⋅D x v
14.- D x tg v=sec2 v⋅D x v 15.- D x ctg v=−csc2 v⋅D x v
16.- D x sec v=sec v⋅tgv⋅Dx v
17.- D x csc v=−csc v⋅ctg v⋅Dx v
Ejemplos:Derivar las siguientes funciones:
x
65
a) f ( x )=4 sen (2 x2 ) su derivada es: f'( x )=4Cos (2x2 )D x (2x2 )=16 xCos(2 x2 )
b) y=x2 tg( x+3) derivando como un producto:
y '=x2 D x tg( x+3 )+ tg (x+3 )D x x2=x2 sec2 ( x+3 )+2 xtg(x+3 )
c) y=
cos( x2+2 )e2 x
Usando la fórmula del cociente
y '=e2 x D x cos( x2+2 )−cos ( x2+2 )D x e2 x
(e2 x )2=
e2 x [−2 xsen( x2+2)]−2 e2 x cos ( x2+2)
e4 x
=e2 x [−2 xsen( x2+2)−2 cos ( x2+2)]e4 x
=−2 xsen( x2+1 )−2 cos( x2+2)e2 x
Ejercicios 10:Derivar las siguientes funciones:
a) f ( x )=sec(3 x3 ) b) y=ln (sec2 x )
c) y=cos2 (2−4 x2) d) g( x )=3 x3 ctg(e−2 x)
e) y=( x+cos x )3f) p=√2+sec x
g) t= 1+cos x
1−cos x h)
y=(cos x1+ tg2 x )
2
Para manejar de forma adecuada las funciones trigonométricas, es necesario conocer algunas identidades importantes:
1.- tg x= sen x
cos x 2.- ctg x=cos x
sen x 3.- sec x= 1
cos x
4.- csc x= 1
sen x 5.- sen2 x+cos2x=1 6.- tg2 x=sec2 x−1
7.- ctg2 x=csc2 x−1
Las identidades nos permiten simplificar expresiones donde que contengan funciones trigonométricas, resolver ecuaciones y son la base de algunas técnicas de integración.
3.7 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS.
66
Estas funciones se usan cuando se tiene el valor de la función y se quiere conocer
el valor del ángulo que le corresponde, por ejemplo si senθ=0.245 el valor del ángulo
se representa θ=sen−10 .245 , usando una calculadora se obtiene θ =0.247 Rad =
14.18º. Cada función trigonometrica tiene su inversa. Por ejemplo y=Sen−1 x es la
inversa de la función seno, esta solo se encuentra definida en el intervalo −12
π≤x≤12
π , su gráfica es:
La derivada de estas funciones se obtiene con las fórmulas:
14.-
D x Sen−1 v=D x v
√1−v215.-
D x Cos−1 v=−D x v
√1−v2
16.- D x tg−1 v=
D x v
1+v217.-
D x ctg−1 v=−D x v
1+v2
18.-
D x Sec−1 v=Dx v
v √v2−1 19.-
D x csc−1v=−D x v
v√v2−1
Ejemplos 12.
Derivar la función y=x2 sen−1( x2+1) . Usando primero la regla del producto.
y '=x2 D x sen−1( x2+1 )+sen−1( x2+1 )D x x2
=x2 [2 x
√1−( x2+1)2 ]+2 xsen−1 ( x2+1)=2x3
√1−( x2+1 )2+2 xsen−1( x2+1)
Ejercicios 11:a) Derivar las siguientes funciones:
1.- f ( x )=4 cos−1√x 2.- g( x )=tg−1 2 x
1−x2
67
3.- y=ln( tg−1 3 x ) 4.- F ( x )=ctg−1 2
x+tg−1 x
2
5.- r=sen x⋅cos−1 2 x 6.- p( x )=e2 xsec−1 x2
b) Derivar en forma implícita las funciones:
1.- 2 x sec−1 y+ ln x2=0 2.- sen−1 xy=cos−1 ( x+ y )
c) Obtenga la ecuación de la recta tangente a la función en el punto donde
x=π4
1.- y=x+cos−1 x 2.- y=sen−1 x+2
x
3.8 APLICACIONES DE LA DERIVADA.
La derivada se puede utilizar en diferentes aplicaciones, entre la más importantes está la obtención de la ecuación de la recta tangente, lo cual permite determinar los intervalos donde la función es creciente, decreciente o estacionaria.
Primero daremos una definición más precisa de función creciente:
Sea f ( x ) una función definida en un intervalo, se dice que es creciente el intervalo si y solo si:
f ( x1 )< f ( x2) siempre que x1<x2
En forma gráfica:f ( x2)
68
Se puede definir una función decreciente de la misma manera. Existe una relación entre la derivada (pendiente de la tangente) y las funciones crecientes y decrecientes, esto se establece con el siguiente teorema:
Sea f ( x ) una función continua en un intervalo [ a , b ] :
a) si f'( x )>0 para toda x en el intervalo, entonces f ( x ) es creciente
b) si f'( x )<0 para toda x en el intervalo, entonces f ( x ) es decreciente
c) si f'( x )=0 en algún valor de x en el intervalo, entonces f ( x ) es estacionaria
Es posible que exista un cuarto caso, que es cuando la derivada no existe, esto se presenta cuando hay un cambio brusco de dirección o si la derivada no esta definida para algún valor.
A los valores que hacen cero la derivada o donde no exista se les conoce como valores críticos, estos valores dividen el dominio de la función en intervalos crecientes o decrecientes.
Ejemplo:
Sea la función f ( x )=x3−6 x2+9 x+1 determine sus valores críticos y los intervalos donde es creciente o decreciente.
Primero derivamos e igualamos a cero:
f '( x )=3 x2−12 x+9=0Calculamos las raíces de la ecuación:
x1 x2
f ( x1 )
69
3 x2−12 x+9=03( x2−4 x+3 )=03( x−3 )( x−1)=0x=3 y x=1
Debemos determinar ¿cómo es la derivada en los intervalos en que dividen estos
valores el dominio de f ( x )? la forma más sencilla es utilizando valores de prueba.
Valore crítico x=1 x=3
Valor x=0 x=2 x=4 de prueba
Valor
De la derivadaf '( 0)=9>0 f'(2 )=−3<0 f '( 4 )=9>0
Concluimos lo siguiente:
a) f ( x ) es creciente en los intervalos (−∞ , 1 ) y (3 ,∞ )
b) f ( x ) es decreciente en el intervalo (1,3 )c) f ( x ) es estacionaria en x=1 y x=3La gráfica es:
Se observa en la gráfica que en los valores donde es estacionaria, la función toma un valor mayor que los que están en las cercanías de x=1 y un valor menor que los que se encuentran cercanos a x=3. A estos valores se les conoce como extremos relativos, puesto que no son los valores mayores o menores que toma la función en su dominio.
Otra cosa importante es ¿cómo cambia la función antes y después de estos valores?, para x=1, tenemos un máximo relativo y la función pasa de creciente a decreciente, es decir, su derivada cambia de positivo a negativo. En el caso de x=3 se tiene un mínimo relativo y la derivada cambia de negativo a positivo. A lo anterior se le conoce como el criterio de la primera derivada para obtener valores extremos relativos, el proceso se puede resumir en los siguientes pasos:
1.- Obtener la primera derivada de la función f'( x )
70
2.- Calcular los valores críticos, estos se encuentran donde f'( x )=0 o donde se
tiene un valor singular (f ( x ) existe pero no su derivada)
3.- Probar valores antes y después a cada valor crítico en la derivada para determinar si se trata de un valor máximo o mínimo.
Si f'( x ) cambia de positivo a negativa, se tiene un valor máximo
Si f'( x ) cambia de negativa a positiva, se tiene un valor mínimo.
4.- Calcular los valores extremos, sustituyendo los valores críticos en la función.
Ejemplo:
Usando el procedimiento anterior, determine los valores máximos y mínimos ( si los hay) de las siguientes funciones:
a) f ( x )=2 x3−x2−3 x−1
Primero derivamos la función y la igualamos a cero:
f '( x )=6 x2−2 x−3=0Utilizando la fórmula general para calcular los valores críticos:
x=−b±√b2−4 ac2 a
=−(−2 )±√(−2)2−4(6 )(−3)
2(6 )=2±√76
12Tomando valores aproximados:
x1=2+√7612
≈0. 89
x2=2−√7612
≈−0 . 56
Aplicando la prueba de la primara derivada: -0.56 0.89
f'(−0 . 6 )=0 .36>0 f
'( 0)=−3<0 f'(1 )=1>0
En x= -0.56 se tiene un máximo relativo y en x = 0.89 hay un mínimo relativo, sus valores correspondientes son:
f (−0. 56 )≈0 . 0152 y f (0 .89 )≈−3. 0522
Grafica de la función:
71
b) y=2 x √3−x
Derivando e igualando a cero:
y '=2 xDx(3−x )1
2+(3−x )1
2 Dx 2 x= −x
(3−x )1
2
+2(3−x )1
2 = 6−3 x
(3−x )1
2
=0
Aquí se presentan dos valores críticos, uno donde se hace el numerador cero x = 2 y el otro es un valor singular, puesto que para x = 3 la derivada no existe pero si la función. Usaremos la gráfica para observar el comportamiento de la función en estos valores:
En x = 2 podemos usar la prueba de la primera derivada y esta da como resultado que hay un máximo, para esta función es absoluto, puesto que es el valor máximo que toma en todo su dominio, mientras que en x = 3 la prueba falla, puesto que la derivada no existe para valores posteriores, pero concluimos que toma un mínimo relativo.
Los valores de la función son:f (2)=4 y f (3 )=0
72
c) f ( x )=¿ {x2−4 si x<3 ¿ ¿¿¿
Esta es una función definida por secciones, para analizarla primero debemos saber si es continua en todo su dominio, en x = 3 la función se divide, para este valor la función
existe f (3)=8−3=5 , el límite por la izquierda y derecha son:
Lim f ( x )=Lim x2−4=5x→3− x→3Lím f ( x )=Lím 8−x=5x→3+ x→3
Como el límite y el valor de la función son iguales, es continua en este valor. ¿Pero que sucede con la derivada?.
Para x<3 la derivada es f'( x )=2x y para x>3 la derivada es f
'( x )=−1 , entonces el valor de la derivada para x = 3 se debe considerar por la izquierda y derecha, entonces:
f−' (3)=2(3)=6 y { f +
' (3 )=−1¿Concluimos que la derivada no existe, tenemos un valor singular en x=3.
Ahora debemos determinar si las funciones por separado tienen otros valores críticos:
Para f ( x )=x2−4 con x<3 , derivamos e igualamos a cero f'( x )=2x=0 ,
tenemos un valor critico en x = 0 el cual pertenece a su dominio de definición.
Para f ( x )=8−x con x>3 , al derivar se obtiene f'( x )=−1 lo cual nos indica
que su pendiente es constante.
Concluimos que hay dos valores críticos x = 0 y x = 3, usando el criterio de la primera derivada. En la siguiente tabla podemos resumir los resultados:
f ( x ) f '( x ) Conclusión
x<0 Negativa Decreciente
x=0 0 0 Mínimo relativo
0<x<3 Positiva Creciente
x=3 5 No existe Máximo relativo
x>3 Negativa Decreciente
3.9 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.
En la sección anterior se estableció un procedimiento para obtener los valores máximos y mínimos de diferentes funciones. En el caso de que la función este asociada a un modelo matemático, es posible determinar el valor optimo, ya sea un máximo o un mínimo. Tomaremos algunos problemas estudiados en la Modelación Matemática.
1.- Un agricultor desea colocar una cerca que delimite un terreno rectangular de 5000 m2 de superficie, determine una expresión que permita calcular el perímetro del
73
terreno en función de uno de sus lados y para que valor de sus lados se tiene el perímetro máximo.
Es muy común utilizar figuras que nos permitan entender mejor el problema, en este caso el perímetro del terreno rectangular depende de las medidas de sus lados. x
y
El perímetro del terreno los podemos obtener mediante la expresión:
P=2 x+2 yEsta es una función que depende de dos variables, para poderla escribir en
términos de una sola, debemos encontrar una relación entre las variables x y y . En este problema contamos con la información del área:
A=xy=5000Si despejamos una de las variables y las sustituimos en el perímetro:
y=5000x
Sustituyendo:
P=2 x+2[5000x ]=2 x+10000
x
Esta expresión es una función de una variable, la cual depende de los valores
asignados a uno de sus lados. Su dominio es (0 ,∞ ) , esto nos indica que podemos tener un infinito de rectángulos cuya área es 5000 m2. Para obtener el valor máximo, derivamos la función y obtenemos los valores críticos.
P'=2−
10000
x2=0
x2=5000x≈70 . 11m
Existe un solo valor crítico, usando el criterio de la primera derivada:
70.11 m
P' (70 )≈−0 . 0344<0 P' (71)≈0 .016>0
Se tiene un valor máximo y su valor es P=2 (70 .11)+2(70.11)=280 . 44 m2.- Un estudiante cuenta con un cartón de 80 cm por lado y quiere construir una
caja para guardar sus útiles. Ha decidido cortar cuadrados idénticos en las esquinas y luego doblar las cara para formar la caja. Antes de hacer los cortes quiere estimar cuanto debe cortar para tener el volumen más grande de la caja.
Como en el problema anterior, primero debemos obtener un modelo matemático que nos permita calcular el volumen de la caja en función de lo que se va cortar. Dibujemos el cartón, indicando los cuadrados idénticos que se cortarán en las esquinas: x x x x
x
74
80 - 2x
80 - 2x
x x
x x
Las medidas de la caja en función de lo que se va a cortar se muestran en la figura. Entonces el volumen de la caja se obtiene multiplicando el área de la base por la altura:
V= (80−2 x )2 xEl dominio de esta función esta restringido por las dimensiones del cartón, 0x
40 cm. Si dibujamos la gráfica podemos hacer una estimación del valor de x que hace máximo el volumen.
De la gráfica podemos estimar que valor máximo se encuentra entre 12 y 14 cm. Para calcular este valor utilizaremos la derivada.
Derivando la función objetivo V= (80−2 x )2 x como un producto:
V '=(80−2 x )2 D x x+xDx (80−2 x )2=(80−2 x )2−4 x (80−2x )=0
Factorizando para obtener los valores críticos.
(80−2 x )(80−6 x )=0
Los valores críticos son x=40 y x=13 .333 cm . El segundo valor es la solución
y el volumen máximo es V=(80−26 .666 )2(13 . 333)=37926 .78 cm3
3.- Una compañía ha encontrado que la ecuación de demanda en función del
precio de venta se obtiene mediante la expresión x=20000−5000 p , además se tienen costos fijos de $600 y costos variables de $3 por unidad, determine:
a) La ecuación de costob) La ecuación de ingreso en función del precioc) La ecuación de utilidad en función del preciod) El precio al que se tiene la utilidad máxima.
75
Solución:a) La ecuación de costo es lineal, puesto que hay un incremento constante de $3
por cada unidad y costos fijos de $600.C=600+3 x
b) El ingreso se obtiene multiplicando el número de unidades vendidas por el precio de venta:
I=xp=(20000−5000 p ) p=20000 p−5000 p2
Esta función debe estar definida para los valores del precio que hagan que el
ingreso sea positivo, entonces 0≤p≤4 .
c) La utilidad es la diferencia entre el ingreso y los costos:
U =I −C=20000 p−5000 p2−600−3 x
Al sustituir la ecuación de demanda, se obtiene la utilidad en términos del precio.
U=20000 p−5000 p2−600−60000+15000 pU=−5000 p2+35000 p−60600
d) Para obtener la utilidad máxima, debemos calcular los valores críticos, derivando e igualando a cero.
U '=−10000 p+35000=0p=3 . 5
El número de unidades para este valor es:x=20000−5000 p=20000−5000(3 .5 )=2500
Ejercicio:
1.- Una persona tiene 800 m de cerca, determine las dimensiones del terreno rectangular de mayor área posible que puede cercar.
2.- Un artesano tiene una lamina de estaño de 40 cm por 60 cm y quiere hacer una caja sin tapa, para esto cortará cuadrados idénticos en las esquinas, determine cuanto debe cortar para formar la caja de mayor volumen posible.
3.- La compañía enlatadora Herdez, va a lanzar un nuevo producto y utilizará una lata en forma de cilindro regular, el costo del material de las tapas es de $40 el m2 y el material del cuerpo tiene un costo de $30 el m2, si debe contener un volumen de 120 cm3, ¿Cuáles deben ser las dimensiones para tener el menor costo posible?.
4.- Un fabricante puede tener una utilidad de $20 en cada artículo si se producen semanalmente 800 o menos. Si la utilidad decrece en 2 centavos por cada artículo que sobrepase los 800, determine ¿Cuántos artículos debe fabricar para obtener la utilidad máxima?
5.- Un trozo de alambre de 10 cm de longitud se corta en dos partes. Una parte será doblada para formar un círculo y la otra será doblada para formar un cuadrado. Como se debe cortar el alambre para que el área combinada de las dos figuras sea lo más grande posible.
76
6.- La empresa Plásticos S.A. estima que sus costos fijos son de $300 diarios, mientras que sus costos variables son de $5 por cada unidad que produce, actualmente se sabe que la demanda se mantiene constante en 150 unidades diarias cuando se venden a $5.5. Se ha estimado que por cada centavo que se incremente el precio la demanda disminuye en 2 unidades, determine el precio de venta al que se tiene la utilidad máxima.
3.10 LA DIFERENCIAL.
En el cálculo de la derivada se involucra el cociente de dos cantidades muy pequeñas, a estas se les conoce como diferenciales. Recordemos que la derivada se obtiene como el límite del cociente de dos incrementos, cuando el incremento del denominador tiende a cero:
f'( x )=Lím
ΔyΔx
=dydx
Δx→0
Los diferenciales dy y dx son dos números muy pequeños, mas no pueden ser cero. Es posible separar este cociente para formar lo que se conoce como una ecuación diferencial:
dy=f ' ( x )dxPodemos hacer una interpretación gráfica de esta operación. Recordemos que la
derivada nos proporciona la pendiente de la recta tangente, obtenida a partir de la pendiente de una recta secante.
Recta secante
Δy= y2− y1
dy Recta tangente
dx =Δx
En figura se observa que el valor del incremento Δx es igual al diferencial dx , los
valores de Δy y dy , se aproximan conforme Δx →0 .Para obtener el diferencial basta derivar la función y multiplicar ambos miembros
por el diferencial de la variable independiente.
Ejemplo:Obtener el diferencial de las siguientes funciones.
a) f ( x )=3 x2+5 x
Primero derivamos la función y la escribimos usando la notación
dydx
f '( x )=dydx
=6 x+5, entonces el diferencial es dy=(6 x+5)dx
77
b) y=2e x cos x
Derivando como un producto
dydx
=2ex cos x−2e x senx el diferencial es
dy=(2ex cos x−2e x senx )dx
c) 2 xy+ y2−3 x=0
Derivando en forma implícita 2 x
dydx
+2 y+2 ydydx
−3=0 despejando la derivada
dydx
(2 x+2 y )=3−2 y entonces
dy= 3−2 y2 x+2 y
dx, obsérvese que en este caso la
función que acompaña al diferencial es de dos variables, esto se representa dy=f ( x , y )dy .
Si multiplicamos la ecuación 2 x
dydx
+2 y+2 ydydx
−3=0por el diferencial dx la
podemos escribir de la forma:
2 xdy+2 ydx+2 ydy−3dx=0(2 x+2 y )dy+(2 y−3)dx=0
Tenemos aquí una ecuación en términos de diferenciales, la búsqueda de la ecuación o solución a esta Ecuación Diferencial , da origen a una importante rama de las matemáticas, llamada Ecuaciones Diferenciales.
Ejercicios:
1.- Obtenga el diferencial de las siguientes funciones.
a) y=3 x ( x+2)3b)
v=3 t +1
e2tc)
y=ln2 x
3 x−1
2.- Determina la ecuación diferencial la que da origen cada una de las siguientes ecuaciones:
a) x2 y−xy 3=0 b) 3 x ln x2−xy=0 c) x cos y=0
78