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Unidad 2: La derivada

Pendiente y razones

La derivada

2

¿Cómo determina la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función y=x2 en x=1 ó x=2 ó en cualquier otro punto?

¡Reflexión!

Empecemos por la pendiente de la recta secante a la gráfica de una función y = f(x) en x=xo.

x

y

3

x

y

0x

)( 0xf

)( 0 hxf

hx 0

h0

h

hx

)( 0 hxf

4

x

y

0x

)( 0xf)( 0xf

x0

Tangente!!!

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En el límite, cuando h 0, la recta secante se confunde con la recta tangente en x0, y podemos decir que:

Pendiente de la recta secante

Note que: 0 0

SL

f x h f xm

h

0 0

0 0lim lim

T SL Lh h

f x h f xm m

h

Pendiente de la recta tangente

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Razón de cambio

Recuerde que el cociente

se llama razón de cambio promedio de y respecto a x.

Del gráfico ¿cuál es la razón de cambio promedio de y al empleari) De x = 1 a x = 4 operarios?ii) De 1 a 3?iii) De 1 a 2?

01

01 )()(

xx

xfxf

x

y

Número de docenas de pantalones producidos diariamente.

Número de operarios.

5.5

1.5

*

x0 h x1

f(x1)

f(x0) *

7

Razón de cambio instantánea

se llama razón de cambio instantánea de y con respecto a x en x = x0.

h

xfhxf

x

y )()( 00

Note que si x1 = x0 + h

hxfhxf

xy

hx

)()(limlim 00

00

entonces

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La derivada de la función f respecto de la variable x, en x0 se denota por f ´(x0) y se define por:

La Derivada en un valor xo

Se dice que f (x) es derivable en x0 si existe f ´(x0). Al proceso de calcular la derivada se le denomina derivación.

0 00

0limh

f x h f xf x

h

)()(́ oo xfdx

dxf Notación:

9

La derivada de una función f en x0 es:

Pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en x0

La razón de cambio instantánea de la función f en x0

0 0

0limh

f x h f x

h

10

La derivada de la función f respecto de x se denota por f ´ se define por:

f ´(x) =

La f en cualquier x

Se dice que f (x) es derivable en x si existe f ´(x)

h

xfhxflímh

)()(0

ydxd

yxfdxd

xf ´)()(́Notación

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1. Usando la definición, determine las expresiones de la derivada de las siguientes funciones:

a) f (x) = x b) f (x) = x2

c) f (x) = x -1

Ejemplo

2. Obtenga la ecuación de la recta tangente a las gráficas de las funciones en x = 2:

a) f (x) = x2 b) f (x) = x -1

12

Si una función f es derivable en el punto P(x0; f(x0)),

entonces la gráfica de y = f (x) tiene una tangente no

vertical en P y en todos los puntos “cercanos” a P.

Derivabilidad y continuidad

Esto indica que una función f es continua en cualquier punto donde sea derivable, ya que una gráfica no puede tener un “hueco” o “vacío” en ningún punto donde pueda dibujarse una recta tangente.

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Es importante saber que: una función continua no

necesariamente es derivable en todos los puntos.

1/3La gráfica de la curva

presenta una línea tangente vertical

en 0

y x

x

2/3La gráfica de la curva

presenta una cúspide en 0

y x

x

La gráfica de la curva

presenta un punto ánguloso

cuando 0

y x

x

Se muestra la gráfica de tres funciones continuas en x=0, pero a pesar de ello, no son derivables en x = 0

x

y

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Para la función f(x) = x2, ¿alrededor de qué punto (1; 1) o (2; 4), la gráfica cambia con mayor rapidez?

x

y

x

y

Ejemplo

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EjemploDado el gráfico de la función f.

Ordene de menor a mayor los siguientes valores: f ´(1), f ´(2), f ´(4) y f ´(5,8)

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Fórmulas de derivación

1. Si f(x) = c, entonces f ´(x) = 0

2. Si f(x) = mx + b, entonces f ´(x) = m

3. Si f (x) = xr, entonces f ´(x) = rxr-1

4. Si f(x) = ex, entonces f ´(x) = ex

5. Si f(x) = lnx, entonces f ´(x) = 1/x

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Reglas de DerivaciónSi f y g son funciones diferenciables y c es una constate, entonces:

1.

2.

( ) ( )d

c f x c f xdx

)´()´()()( xgxfxgxfdxd

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3.

4.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d

f x g x f x g x g x f xdx

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

d f x f x g x g x f x

dx g x g x