introducción a la derivada

Introducción a la Derivada

Dónde estoy, y a dónde voy?Dónde estoy, y a dónde voy?

Posición actualDónde estoy?Posición actualDónde estoy?

Ej. Apatía, irresponsabilidaddistracciones, etc.

Fuerzas externas que atacan

Antes de iniciar, es importante reflexionar…Antes de iniciar, es importante reflexionar…

Recordemos el camino trazado…Recordemos el camino trazado…

Unidad 1. Límite

Unidad 2. Continuidad

Unidad 3. La derivada

Unidad 4. Integrales

Pero, antes de iniciar veamos una simple pregunta…

Pero, antes de iniciar veamos una simple pregunta…


Ya analizamosfunciones…También limites de funciones…

Y el tema que iniciamos hoy es….

“La pregunta del millón…”“La pregunta del millón…”

( un minuto de silencio…)


“La pregunta del millón…”“La pregunta del millón…”

Si tenemos una función definida por 2xy

La mayoría contestaría: “su derivada es: ”

MUY BIEN!! ….. Pero……..

“memorizar términos matemáticos y no tener la mínimaidea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..”

“las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”


xy 2

Algunos conceptos básicos.Algunos conceptos básicos.


La recta secante y la recta tangente

en términos geométricos

Recta secanteRecta tangente

“es una recta queintersecta un círculoen dos puntos”

“es una recta quetiene un punto en común con un circulo”




en una funciónFunción original





Recta secante





Recta tangente



Sabemos que una de las característicasprincipales de una recta es su pendiente (m)

En términos muy simples la pendiente de una recta esun valor numérico que representa la inclinación de dicha recta

1 1( , )x y

2 2( , )x y

2 1x x

2 1y y

2 1

2 1

y ym

x x

Muy sencillo de obtener si tienes dos puntos sobre una recta!



Función original

Recta secante

De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una rectasecante en la curva de una función es:

2 1

2 1

y ym

x x

1 1( , )x y

2 2( , )x y



Recta tangente

Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una rectatangente si solo conoce un punto?

1 1( , )x y

2 1

2 1

?y y

mx x

Algo de historia.Algo de historia.


Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años, y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres, entre los que se encuentran :

Pierre de Fermat Rene Descartes Gottfried Wilhelm Leibniz

Leibniz, llamado por muchos el padre del CálculoModerno, en 1684 propuso un método general para encontrar las tangentes a unacurva a través de lo que el llamo símbolos.

La derivada.La derivada.


Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE

Supongamos que deseamosconocer la pendiente de larecta tangente en X=1

Observe que si hacemosdiversas aproximaciones de rectassecantes, podemos hacer unamuy buena estimación de la Pendiente de la recta tangente

tanm



Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm




1 1( , )x y2 2( , )x y

tanm




1 1( , )x y

Observa que el punto

Cada vez se acercamás al punto

1 1( , )x y

2 2( , )x y

2 2( , )x y

Atajo

Volver amostrar

Continuar

tanm




Ahora, como expresar elcomportamiento anterioren términos matemáticos?



1 1( , )x y

2 2( , )x y

Aprox.tanm secm Procedemosa sustituir:

12

12sec xx

yym

2 1

2 1

y y

x x

tanm

12

12sec xx

yym



1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm 2 1

2 1

y y

x x

Considerando: ( )y f xtanm 2 1

2 1

( ) ( )f x f x

x x

)( 1xf

)( 2xf

tanm

Procedemosa sustituir:



1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm 2 1

2 1

( ) ( )f x f x

x x

2 1x x x Ahora

Consideremos:

2 1( ) ( )f x f x

x

2 1x x x

tanm



1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm 2 1( ) ( )f x f x

x

Ahora recordemos el comportamientode las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuirx

Presiona para observar nuevamente el comportamiento(utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)

2 1x x x

tanm



1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm

2 1x x x

2 1( ) ( )f x f x

x

Podemos expresar lo anterior así:lim 2 1( ) ( )f x f x

x

0x 0x

Analizando dicho comportamiento,procedemos a aplicar un límite así:

Se puede observarque el punto cada vez se aproximamás al puntopero no llegará a tocarlo

2 2( , )x y

1 1( , )x y

tanm



1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm Finalmente considerando lo siguiente:lim 2 1( ) ( )f x f x

x

0x 2 1x x x

La expresión nos queda así:

1 1( ) ( )f x x f x

x

2 1x x x

tanm

1 1( ) ( )f x x f x

x



1 1( , )x y

2 2( , )x y

tanm Finalmente considerando lo siguiente:lim

0x 2 1x x x

La expresión nos queda así:

2 1x x x

tanm



tanm lim

0x

1 1( ) ( )f x x f x

x

Este límite (el cual genera otra función), representa la pendiente de las diversas rectas tangentes a lagráfica de una función…..Y se le conoce comúnmente como:

Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:

dx

dy Por su origen basado enincrementos

=



lim

0x

1 1( ) ( )f x x f x

x

dx

dy=

Y precisamente por esta fórmula es que lo siguiente, ahora si, tiene sentido:


Entonces su derivada es: xdx

dy2

Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original

Aplicación del límite obtenido….Aplicación del límite obtenido….


Procederemos a la aplicacióndel límite deducido paraobtener la derivada de la función:

2)( xxfy

xxfxxf

dxdy

x

)()(lim

0

Recordemos que laderivada esta definidapor el límite:

Al evaluar el término

)( xxf se puede observar que:

2)()( xxxxfy

Al sustituirlo obtenemos:



xxxx

dxdy

x

22

0

)(lim

)( xxf )(xf

Al desarrollar el binomioal cuadrado obtenemos:

xxxxxx

dxdy

x

222

0

))()(2(lim Reduciendo

términos:

xxxx

dxdy

x

2

0

)()(2lim

Aplicando los teoremassobre límites tenemos losiguiente:



x

xxxdxdy

x

2

0

)()(2lim xx

xx

00lim2lim

Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que:


Entonces su derivada es: xdx

dy2

0

Tomada de “El Cálculo”por Louis Leithold

Representación gráfica de:

2xy La función querepresenta suderivada es:

xdxdy

2



xdxdy

2

1xAl sustituiren la derivadael valor de X:

2)1(2tan dxdy

mObserve que:

2tan m ?tan m



xdxdy

22tan m



xdxdy

2

introducción a la derivada

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