la derivada y reglas básicas -...

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La Derivada y las Reglas Básicas de Diferenciación MATE 3031 Cálculo 1 28/01/2016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 26

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La Derivada y las Reglas Básicas

de Diferenciación

MATE 3031 – Cálculo 1

28/01/2016 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 26

Cálc

ulo

1 -

MA

TE

3031

Actividades 1.5

• Referencia: Sección 2.1 Derivación, Ver ejemplos 1 al 5;

Ejercicios de Práctica: Impares 1 – 17. Sección 2.2 Las Reglas básicas de derivación y razón de cambio; Ver ejemplos 1, 3 y 7.; Ejercicios de Práctica: Impares 1 – 63.

Asignación: Sección 1.5: #18; Sección 2.2 #32 (incluya copia de la imagen de la gráfica), 58, 60

• Referencia en el Web: Khan Academy – Introducción a las Derivadas Calculus Phobe Tutorials - The Difference

Quotient Khan Academy – The Power Rule Calculus Phobe – The Power Rule

Prof. José G. Rodríguez Ahumada28/01/2016 2 de 26

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MA

TE

3031

Definición

• La derivada de una función en un número

denotada por f’(a), es

• si este límite existe. En ese caso, se dice que

la función es diferenciable en a

28/01/2016

h

afhafaf

h

)()(lim)('

0

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Cálc

ulo

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MA

TE

3031

Ejemplo 1

• Encuentre la derivada de la función f en el valor 2,

donde:

• Solución:

28/01/2016

1)( 2 xxf

h

fhff

h

)2()2(lim)2('

0

h

h

h

]1)2[(]1)2[(lim

22

0

h

hh

h

3]142[lim

22

0

h

hh

h

4lim

2

0

h

hh

h

)4(lim

0

4

La derivada de la

función f en x=2 es 4

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Cálc

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Interpretación Geométrica de la Derivada

• La derivada en x es la pendiente de la recta

tangente a una curva en x:

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h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

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Ejemplo 2

Encuentre una ecuación de la recta tangente a la

gráfica de la función en x = 2 dado que:

Solución:

• La derivada de f en 𝑥 = 2 es la pendiente de la

recta tangente en el punto (𝟐,−𝟏) .

• Como 𝑓 ’(2) = 3, la pendiente de la tangente es 𝟑.

𝑦 – (−1) = 3(𝑥 – 2)

𝑦 + 1 = 3𝑥 − 6

𝑦 = 3𝑥 − 7

28/01/2016

f

1)2( f 3)2(' f

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Interpretación de la Derivada como razón

de cambio

ab

afbfab

)()(lim

28/01/2016

• La razón de cambio instantánea de un función f

cuando x = a, está dado por:

siempre que este límite exista.

• La razón de cambio instantánea de un función cuando

x = a es la derivada de la función en a. Esto es, f’(a).

h

xfhxfh

)()(lim 0

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Ejemplo 3

xxxf 5)( 2

28/01/2016

• Encuentre la razón de

cambio promedio entre

los valores -2 a 3.

)2(3

)2()3(

ff

5

)6(24

ab

afbf

x

y

)()(

• Encuentre la razón de

cambio instantáneo en 3.

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

h

fhff

h

)3()3(lim)3('

0

h

hh

h

)]3(53[)]3(5)3[(lim

22

0

h

hhh

h

]24[]51569[lim

2

0

)11(lim0

hh

11

6

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La Derivada como función

28/01/2016

1sin)( 2 xxxf

222 cos2sin)( xxxxf

31 x

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3031

Ejemplo 4

28/01/2016

Encuentre la función f’(x), si f(x) = x3.

h

xfhxfxf

h

)()(lim)('

0

h

xhx

h

33

0

)()(lim

h

xhxhhxx

h

33223

0

)()33(lim

h

hxhhx

h

322

0

33lim

22

033lim hxhx

h

23x

23)(' xxf

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3031

¿Cuándo deja una función ser

diferenciable?• Gráfica tiene:

discontinuidad.

una tangente vertical.

28/01/2016

Observe: Función es

continua en P. Pero no

es diferenciable en P

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¿Cuándo deja una función ser

diferenciable?

• Gráfica termine en una esquina o pico.

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Reglas de diferenciación (1)

• Si 𝑓 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜, entonces 𝑓′ 𝑥 = 0

• Ejemplos:

Si 𝑓(𝑥) = 5, entonces 𝑓’(𝑥) = 0

Si 𝑓(𝑥) = 𝜋, entonces 𝑓’(𝑥) = 0

• Si f(x) = xn, entonces 𝑓′ 𝑥 = 𝑛𝑥𝑛−1 para cualquier

número real 𝑛 diferente de 0.

• Ejemplos

Si 𝑓(𝑥) = 𝑥8, entonces 𝑓’(𝑥) = 8𝑥7

Si 𝑓(𝑥) = 𝑥−3, entonces 𝑓’(𝑥) = −3𝑥−4

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Reglas de diferenciación (2)

• Si 𝑓 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 ∙ 𝑔 𝑥 entonces 𝑓′ 𝑥 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 ∙ 𝑔′ 𝑥

• Ejemplo:

Si 𝑓 𝑥 = 3𝑥6, entonces

𝑓′ 𝑥 = 3 ∙ 6𝑥5

= 18𝑥5

Si 𝑓 𝑥 = 6𝑥−2, entonces

𝑓′ 𝑥 = 6 ∙ −2𝑥−2−1

= −12𝑥−3

=−12

𝑥3

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Determine f’(x) si

Ejemplo 5

2

5)(

xxf

Prof. José G. Rodríguez Ahumada28/01/2016

25)( xxf

1)2()2(5)(' xxf

310 x

3

10

x

xxf 3)(

1)(

21 2

1

)(3)('

xxf

21

3)( xxf

21

2

3 x

21

2

3

x

21

21

x

x

x

x

2

3 21

x

x

2

3

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Ejercicios #1

1. F(x) = x4

2. F(x) =

3. F(x) = 9x

4. F(x) = -4x3

5. F(x) = -4x -2

6.

Prof. José G. Rodríguez Ahumada28/01/2016

Determine la función derivada:

5

34)( xxF

0)( xF

9)( xF

212)( xxF

3

8)(

xxF

131

3

1)('

xxF

32

3

1 x

32

3

1

x

x

x

3

3

31

31

x

x

3)( xxF 3

1

x

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3031

Ejemplo 6

• Problema: Si 𝑓 𝑥 = 5𝑥3 calcule la derivada de la

función en 𝑥 = 2.

• Solución:

Paso 1 – calcule la función derivada 𝑓′(𝑥)

Paso 2 – Evalúe la función derivada en 𝑥 = 2

• Otras maneras de presentar el mismo problema:

Calcule la pendiente de la recta tangente cuando 𝑥 = 2

Calcula la razón de cambio instantáneo cuando 𝑥 = 2

Prof. José G. Rodríguez Ahumada28/01/2016

𝑓′ 𝑥 = 5 ∙ 3𝑥3−1 = 15𝑥2

𝑓′ 2 = 15 2 2 = 60

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Reglas de diferenciación:

Adición y Sustracción

• Si f(x) = u(x) + v(x) entonces:

f’(x) = u’(x) + v’(x)

• Si f(x) = u(x) - v(x) entonces:

f’(x) = u’(x) - v’(x)

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• Encuentre la función derivada de:

• Solución:

• Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la

función f en 𝑥 = 1

Ejemplo 7

xxxxf

358)( 33

Prof. José G. Rodríguez Ahumada28/01/2016

13 358)( 31

xxxxf

11113 )1(33

15)3(8)(' 3

1

xxxxf

22 33

524 3

2

xxx

224x x

x

3

53

2

3

x

2

124)1(f

13

153

21

3=

58

3

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Nomenclatura

• Primera derivada (“funcíon derivada”):

• La primera derivada en 𝑥 = 5

• Segunda derivada

Prof. José G. Rodríguez Ahumada28/01/2016

)(' xf 'ydx

dy

dx

df fDx

)('' xf ''y2

2

dx

yd2

2

dx

fd fDx2

)5('f5xdx

dy

5xdx

df fDx 55

'x

y

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Ejercicio #2

a)

b)

Prof. José G. Rodríguez Ahumada28/01/2016

151

5

1 x

Determine:

121

2

1 x 2

3

2

1 x

23

2

1

x

22x

x

54

5

1

x54

5

1

x

21

21

23

2

1

x

x

x

51

51

54

5

1

x

x

x

x

x

5

5

xdx

da

1 ) 5 ) x

dx

db

21

xdx

d

51

xdx

d

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Derivadas de funciones

trigonométricas

Prof. José G. Rodríguez Ahumada28/01/2016

xxdx

d cos) (sin

xxdx

d sin) (cos

xxdx

d sec) (tan 2

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Ejemplo 8

1. Calcule:

2. Calcule:

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)tancos(sin x xxdx

d x

dx

d x

dx

d x

dx

dtancossin

xcos xsin x2sec

xxx 2secsincos

𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥

𝑥=𝜋

= cos 𝜋 + sin 𝜋 + 𝑠𝑒𝑐2(𝜋)

= −1 + 0 +1

𝑐𝑜𝑠2𝜋

= −1 + 0 + 1

= 0

¿Cómo se podrá describer la recta tangente por el punto (𝜋, 𝑓(𝜋)) ?

Recuerde: Si la derivada de una función en un valor 𝑥 es igual 0,

entonces la recta tangente por el punto (𝑥, 𝑓(𝑥)) será una recta

horizontal.

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Ejercicio #3

Aproxime a cuatro lugares decimales:

Prof. José G. Rodríguez Ahumada28/01/2016

𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑥2 − tan 𝑥

𝑥=2

= 2𝑥 - 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑥=2

= 2 2 − 𝑠𝑒𝑐2(2)

= 4 −1

𝑐𝑜𝑠2(2)

≈ 4 − 5.774399204

≈ −1.774399204

≈ −1.7744

= 4 −1

[cos 2 2

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Ejercicios del Libro

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Ejercicios del Libro 2

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