APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Son innumerables las aéreas donde la derivada puede aplicarse, como por ejemplo en el campo de la química, física, en la economía, en la mecánica, en la biología etc. Las derivadas nos permiten hacer un estudio exhaustivo de una función determinada, con el uso por ejemplo, del criterio de la primera derivada, para el crecimiento de la función, el estudio de la concavidad y criterio de la segunda derivada, encontrar máximos y mínimos.

Un ejemplo, si queremos comprar verduras Por kilo, ahí está presente la derivada pues ese valor de bolívares por unidad de peso, o sea por kilo, te dice que por cada kilo que varíe el peso del producto verduras el precio variará en tantos bolívares, numéricamente podría ser 20 Bsf /kg, por cada kilo de peso que varíe, el precio variará proporcionalmente. Las derivadas se usan para poder optimizar sistemas que puedan expresarse mediante funciones.

* CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA: - SI F’(X)>0 PARA TODA X EN (A,B),

ENTONCES F ES CRECIENTE EN [A,B]. - SI F’(X)<0 PARA TODA X EN (A,B),

ENTONCES F DECRECE EN [A,B].

* CONCAVIDAD Y CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA:

- si f’’(x) >0, la función es cóncava hacia arriba en [a,b].

- Si f’’(x) <0, la función es cóncava hacia abajo o convexa en [a,b].

- Al hallar las raíces de f’(x)=0 y sustituir dichas raíces en f’’(x):

- si f’’(x) >0, Hay un mínimo en valor de esa raíz.

- si f’’(x) <0, Hay un máximo en valor de esa raíz.

Ilustremos lo que venimos mencionando con un ejemplo sencillo:

Supongamos que la empresa A, desea saber el precio que debe colocarle a cierto artículo y la cantidad del mismo que debe producir, para obtener la máxima ganancia, sabiendo que se tiene un costo fijo por día de 5$ y 20 dólares por unidad que se produzca.

Tenemos: Sea x la cantidad de artículos a producir. Supongamos que la función precio es P(x)=

250-X ($), la empresa no desea que el producto supére los 250 $.

La función costo será: C(x)= 5 + 20X La función ingreso: I(x)= X.P(x) La función Ganancia G(x)= I(x)-C(x)=

X.P(x)-C(x)= X(250-X)-(5+20X)= 250X-X2 -5 -20X

G(x)= -X2 +230X-5

Si derivamos G(x) e igualamos a cero, G’(x)= -2X+230X=0, obtenemos los posibles

valores críticos, esto se logra despejando la x, quedando X= (230/2) = 115 artículos. Donde puede haber un máximo o un mínimo. Para resolver este asunto, buscamos la segunda derivada de de G(x), G’’(x)= -2, evaluamos la raíz de G’(x)=0, en G’’(x), quedando G’’(115)=-2<0, como es negativo podemos concluir que en X= 115, hay un máximo.

Estos datos serían por día de jornada:

Cantidad de artículos por día X= 115

Precio del artículo P=250-115= 135 $

Costo C(115)= 5 +20(115)= 2305 $

Ingreso I(x)= 115(135)= 15525 $ La Ganancia Máxima será: Gmáx=I-C= 15525-2305= 13220

$.