MATEMÁTICAS II

2.1. La Derivada

1. Definición e interpretación geométrica de la Derivada

La derivada es un operador matemático que actúa sobre funciones y que permite

establecer la razón de cambio de una magnitud con respecto a otra. La derivada

es un operador muy común en muchos campos como la física, la ingeniería, la

economía, e incluso, en la vida cotidiana la utilizamos desprevenidamente cuando

por ejemplo, calculamos la edad de una persona, la velocidad de un móvil o

calculamos una tasa de interés sobre un capital.

En el caso de la edad de una persona, cuando se compara su volumen desde que

nace con respecto al tiempo que transcurre en sus diferentes etapas de

crecimiento, la variación de su volumen, entre otras variables (sicológicas,

intelectivas…) con respecto al tiempo, la reconocemos como el estado de vejez o

edad de una persona, esto es:

o mejor

( )V

Edad crecimientot

De igual forma, los otros ejemplos referidos:

1

La derivada surge como respuesta a un problema geométrico de cómo trazar una

recta tangente a una curva. En el primer intento, se obtiene una curva secante AB

sobre la curva , como se ilustra en la grafica a continuación, esta recta

toca en dos puntos a la curva, por lo tanto, se debe intentar cambiar su posición

para que la toque en un solo punto A, es decir que sea verdaderamente tangente

a la curva.

Tomado de http://dida.fauser.edu/aero/terza/calinf/cdfig1.gif. Junio 25 de 2010

La pendiente de una recta esta dada por la tangente del ángulo de inclinación,

para la recta secante AB, esto es: , que en el triángulo ABC, utilizando

las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo, se tiene:

Como se pretende trazar una recta tangente T por el punto A, esto se logra

dejando el punto fijo A de la recta e inclinando la recta secante AB hasta que

coincida con la recta AT, es decir la recta tangente a la curva en A. Note que este

2

comportamiento se precisa cuando la distancia h se hace cada vez más pequeña,

es decir se acerca a cero. En términos matemáticos, la pendiente de la recta

tangente a la curva en cualquier punto , se puede enunciar como:

Esta es la solución al problema que se formuló, de tal forma, que a partir de un

modelo funcional , que vincula dos magnitudes cualesquiera y , se

calcula a través de dicho limite, la variación de la magnitud con respecto a la

magnitud . Este cálculo se conoce como la razón de cambio o derivada de la

función.

La derivada de una función en un número es la función (que se

lee: “ prima de x ”), es

si el límite existe.

Otras notaciones para la derivada de , son:

(Que se lee “Derivada sub x de ”)

Notación en primas (Que se lee: “ prima de x o prima de

x ”)

Notación en diferenciales (Que se lee “de de x ”)

3

2. Cálculo de derivadas aplicando la definición.

El calculo de la derivada de se facilita mediante el siguiente proceso:

a. Se calcula

b. Se forma la diferencia

c. Se forma el cociente

d. Se calcula

Ejemplos.

1. Hallar la derivada de la función en el número

Solución.

La derivada por definición se calcula como

Sustituyendo las variables correspondientes en el límite:

Extendiendo el producto notable y la distributiva, se tiene:

2 2 20 0 0 0 0

0

2 8 8 9 8 9

h

x x h h x h x xLim

h

Simplificando los signos de agrupación:

4

Aplicando Ley de Homogéneos:

Al aplicar los teoremas de los límites, se obtiene una indeterminación 0/0.

Factorizando, para hacer evidente la indeterminación, se tiene:

Simplificando la indeterminación:

Calculando el límite, se obtiene la derivada de en el número

:

0 02 8f x x

2. Hallar la derivada de la función en el número e

interpretar los resultados. Hallar el punto sobre la grafica de donde la recta

tangente a la curva es horizontal.

Solución.

5

Por definición

Sustituyendo las variables correspondientes en el límite:

Extendiendo el producto notable y la distributiva, se tiene:

Simplificando los signos de agrupación:

Aplicando Ley de Homogéneos:

Al aplicar los teoremas de los límites, se obtiene una indeterminación 0/0.

Factorizando, para hacer evidente la indeterminación, se tiene:

Simplificando la indeterminación:

6

Calculando el límite, se obtiene la derivada de en el número :

La gráfica de la función se representa a continuación. La imagen de en la

función es .

Tomado de: http://4.bp.blogspot.com/_laHZF4szVRs/SNG86GJATiI/AAAAAAAAACo/l3h0VwIbkgI/s320/parabola.gif Junio 25 de 2010.

Interpretando el resultado de la derivada en , nos dice que la pendiente de la

recta tangente a la función, en el punto es . La función en

, está cambiando con la razón de 4 unidades por cambio unitario en .

La ecuación punto-pendiente de la recta tangente en un punto es:

7

Luego, en el punto , es la ecuación será: , o mejor:

Una recta horizontal tiene pendiente cero, por lo tanto el punto de donde la

recta tangente sea horizontal, será cunado . De acuerdo con esto:

cuya imagen es

Luego el punto de donde la recta tangente es horizontal es . La recta

tangente a la curva en ese punto coincide con el eje x.

3. Calcular la derivada de la función

Solución.

Por definición

Sustituyendo las variables correspondientes en el límite:

8

Simplificando la fracción, se tiene:

Aplicando la Ley de medios y extremos para la fracción:

Aplicando los teoremas de los límites:

Calculando el límite, se obtiene la derivada de :

4. Calcular la derivada de la función

Solución.

Por definición

Sustituyendo las variables correspondientes en el límite:

9

Al evaluar el límite es indeterminado 0/0, racionalizando, se tiene:

Simplificando la expresión:

Aplicando los teoremas de los límites:

Calculando el límite, se obtiene la derivada de :

ACTIVIDAD

Calcular la derivada de las siguientes derivadas por definición.

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1.

2.

3.

3. Derivada como razón de cambio

Suponga que es una cantidad que depende de otra cantidad , es decir,

. Si cambia de a , por lo tanto el cambio en (también conocido

como incremento de ) es:

Y el cambio correspondiente en es

El cociente de diferencias

Se llama razón de cambio promedio de y con respecto a en el intervalo y

se puede interpretar como la pendiente de la recta secante .

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Tomado de: http://matematica.50webs.com/graficos/derivada2.gif Junio 25 de 2010

En esta gráfica, si se considera la relación de cambio promedio en intervalos cada

vez más pequeños haciendo que tienda a “ ”, y por lo tanto, al hacer que

tienda a 0. El límite de estas relaciones de cambio promedio se llama razón

(instantánea) de cambio de con respecto a en , lo cual se interpreta

como la pendiente de la tangente a la curva en ,P a f a :

Razón de cambio instantánea

Se puede interpretar entonces que los valores de cambian con rapidez en y

con lentitud en .

4. Velocidad promedio e instantánea

Si se supone que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, de acuerdo

con una ecuación de movimiento , donde es el desplazamiento

(distancia directa) del objeto respecto al origen, en el instante . La función que

describe el movimiento se conoce como función de posición del objeto. El

intervalo de hasta , el cambio en la posición es . La

velocidad promedio en este intervalo de tiempo es:

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Velocidad promedio

Igualmente, si se calcula las velocidades promedio sobre lapsos más y

más cortos, es decir, si se hace que tienda a 0, se define la velocidad

instantánea como:

Velocidad instantánea

Esto significa que la velocidad en el instante es igual a la pendiente de la

línea tangente en .

Ejemplo:

Se deja caer una pelota desde una torre de observación a 450 metros sobre le

nivel del suelo.

a. ¿Cual es la velocidad de la pelota después de 5 segundos?

b. ¿Con qué velocidad viaja cunado choca contra el suelo?

Solución.

Se necesita hallar la velocidad cuando y cuando la pelota golpea el suelo, de

tal manera, que se puede calcular la velocidad en cualquier tiempo para un

objeto en caída libre dada por la ecuación , se tiene:

Extendiendo el producto notable y factorizando, se tiene:

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Eliminando la indeterminación:

La velocidad después de 5 segundos es .

Como la torre de observación esta a 450 m sobre el nivel del suelo, la pelota

chocará contra el suelo en el instante , cuando , es decir:

Despejando a , se tiene:

Por lo tanto, la velocidad de la pelota cuando choca contra el suelo es:

ACTIVIDAD.

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1. Si una pelota se lanza hacia arriba, con una velocidad de 40 pies/s, su altura

en pies una vez que transcurra t segundos, está dada por .

Encuentre la velocidad después de

Solución.

2. El desplazamiento en metros de una partícula que se mueve en línea recta

está dado por la ecuación de movimiento , donde t se mide en

segundos. Halle la velocidad de la partícula en los instantes , ,

y

Solución.

5. Diferenciabilidad

Una función es derivable en a si existe. Es derivable en un intervalo

abierto , si es derivable en todo número del

intervalo.

Si es derivable en , entonces es continua en . Sin embargo, hay

funciones que son continuas pero no son derivables.

Ejemplo.

¿Dónde es derivable la función ?

Solución

Por definición la función

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Para , se tiene:

El límite existe, luego la función es derivable para .

Para , se tiene:

El límite existe, luego la función es derivable para .

Sin embargo, los límites son diferentes, luego no

existe. Es decir, la función es derivable en todo su dominio, excepto

en . Obsérvese que la función es continua en todo su dominio,

pero no derivable en .

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En general, si la gráfica de una función tiene “esquinas” o “rizos” la gráfica de

no tiene tangente en esos puntos, y por lo tanto, no es derivable allí. Las

siguientes gráficas ilustran funciones que no son derivables.

Tomado de: http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node5.html Junio 25 de 2010.

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BIBLIOGRAFÍA

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1998.

PURCELL, Edwin y VERBERG; Dale. Cálculo. 8a edición. Pearson

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SWOKOWSKI, Earl. Cálculo con geometría analítica. 2ª. edición. Prentice

Hall Hispanoamérica, México, 2001.

NAVARRO, Guillermo y CARDONA, Oscar. Cálculo Diferencial. 2ª. edición.

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CIBERGRAFÍA

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