APLICACIONES DE LA DERIVADA 1.Interpretación Geométrica De La DerivadaUno de los problemas históricos que dieron origen al cálculo infinitesimal es muy antiguo, data del gran científico griego Arquímedes (287 – 212 a.C.) es el llamado: problema de las tangentes y que se describe a continuación.  Dada una curva cuya ecuación referida al plano cartesiano viene dada por y = f (x) (fig. 9.5.). 

fig. 9.5.Sea P un punto fijo de la curva y sea Q un punto móvil de la curva y próximo a P.  La recta que pasa por P y Q se denomina: recta secante.  Cuando el punto Q se mueve hacia P sobre la curva, adoptando las posiciones sucesivas: Q1, Q2, Q3, ..., Qn, ..., entonces, la posición límite (si existe) de la secante, se denomina: la recta tangente a la curva en P.  Ahora, si las coordenadas de los puntos P y Q son respectivamente: ,  (Ver fig. 9.6.), entonces, la pendiente de la recta secante  ,

denotada por  viene dada por: 

fig. 9.6.En consecuencia, la recta tangente a la curva en P (si no es vertical), es la recta cuya pendiente  viene dada por: 

De esta forma, la ecuación de la recta tangente a la curva en  es:  (Punto – Pendiente) 

En los ejercicios 8, 9 y 10 de la sección 9.10. se ilustra la interpretación geométrica de la derivada. 

2.Interpretación Física De La DerivadaVelocidad promedia y velocidad instantánea Si se conduce un vehículo de una ciudad A a otra B, separadas entre si 100 Km., en un tiempo de 2 horas, la velocidad promedio es de 50 Km./h. Esto es, la velocidad promedio es la distancia entre las ciudades, dividida entre el tiempo empleado.  Pero, durante el viaje, el velocímetro con frecuencia marcó lecturas diferentes de 50 Km./h. Inicialmente marco 0; a veces subió hasta 60 y al final volvió a marcar 0.  Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Qué es lo que en realidad marca el velocímetro? No marca la velocidad promedia, sino la llamada velocidad instantánea.  Considere un ejemplo mas preciso. Sea P un objeto que cae al vacío. Los experimentos demuestran que si un objeto, parte del reposo en caida libre, la posición S del objeto, como función del tiempo viene dada por: 

: S en pies t en segundos  Asi, en el primer segundo, cae 16 pies.  en el segundo segundo, cae 16(2)2 = 64 pies.  En el intervalo de t =1 seg a t =2 seg, P cae (64 – 16) pies.  Asi que su velocidad promedio será: 

En el intervalo de t =1 seg a t =1.5 seg, P cae (16(1.5)2 – 16) pies.  Su velocidad promedio será de: 

En forma similar, en los intervalos de tiempo: de t =1 seg a t =1.1 seg, y de t =1 seg a t =1.01 seg, P caerá respectivamente: (16(1.1)2 – 16) pies y (16(1.01)2 – 16) pies.  Sus velocidades promedio serán respectivamente: 

Lo que se ha hecho hasta ahora, es calcular la velocidad promedia sobre los intervalos de tiempo cada vez mas cortos pero próximos a 1 seg. Cuanto mas nos aproximamos a t = 1 seg, mejor será la aproximación a la velocidad (instantánea) en el instante t = 1 seg. Los números: 48, 40, 33.6, 32.16 de las velocidades promedias, hacen "sospechar" que la velocidad instantánea es de 32 pies/seg.  El ejemplo anterior nos permite definir de una manera mas precisa los conceptos de velocidad promedia y de velocidad instantánea.  Supóngase que un objeto P se mueve a lo largo del eje coordenado, de tal forma que su posición S en cada instante t es una función S = f (t).  En el instante t = c, el objeto está en f (c).  En el instante próximo t = c + h, el objeto está en f (c + h) (Ver fig. 9.7.)  Por lo tanto, la velocidad promedia durante este intervalo es: 

Se define la velocidad instantánea V en el instante t = c asi: 

fig. 9.7.En el ejercicio 11 de la sección 9.10. se ilustra la interpretación física de la derivada. 

3. Trazado De Curvas

Valores máximos y mínimos de una función de variable real. Se ha visto en la sección 9.9.2. que la existencia de la derivada de una función en un punto c, significa geométricamente que la curva y = f(x) tiene una recta tangente en el punto  y además  . Este hecho, permite determinar entre otros, aquellos puntos de la curva en los cuales la tangente es horizontal, resolviendo la ecuación:  .  Una mirada atenta a la fig. 9.8., permite visualizar de manera intuitiva los elementos que son objeto de estudio en esta primera parte como son los siguientes.  es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c1. Se dice entonces que  es un máximo relativo de f (x).  Nótese además, que en el punto  , la pendiente de la recta tangente a la curva es cero, esto es,  .  Igualmente,  es el mayor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c3. Asi que  es otro máximo relativo de f (x).

fig. 9.8.Sin embargo, en el punto  , la derivada de f (x) no existe (se presenta un pico), lo cual indica que en un punto máximo relativo no necesariamente debe anularse la derivada. 

es el menor valor que toma la función en un intervalo abierto que contiene a c2. Se dice, entonces que  es un mínimo relativo de f (x). De la misma manera que en el caso anterior en el punto  ,  .  Si se comparan ahora, todos los valores que toma la función f (x) en el intervalo[a, b], se puede notar de la figura que f (a) es el menor valor y que  es el mayor valor. f (a) y  se llaman respectivamente el mínimo absoluto y el máximo absoluto de f (x) en [a, b]. Los conceptos antes mencionados, serán presentados aquí en forma rigurosa, asi como las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos relativos. Al final, se enunciará un teorema y se dará un procedimiento para determinar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado.Definiciones: Sea f una función de variable real y sea c Df (Dominio de f).Entonces: f(c) es un VALOR MÁXIMO RELATIVO DE f, si existe un intervalo abierto I que contiene a c tal que:

para todo x I f(c) es un VALOR MÍNIMO RELATIVO DE f, si existe un intervalo abierto I que contiene a c tal que:

para todo x I f(c) es un VALOR MÁXIMO ABSOLUTO DE f, en un intervalo I, si:

para todo x I f(c) es un VALOR MÍNIMO ABSOLUTO DE f, en un intervalo I, si:

para todo x I

A los valores máximos y mínimos relativos de una función se les llama: EXTREMOS RELATIVOS.  A los valores máximos y mínimos absolutos de una función se les llama: EXTREMOS ABSOLUTOS.  Observaciones:

Puede ocurrir que un extremo absoluto sea simultáneamente extremo relativo como sucede por ejemplo con  en la fig. 9.8.  El llamado teorema de los valores extremos enunciado al final de la sección, garantiza la existencia de extremos absolutos para una función continua en un intervalo cerrado [a, b]. A pesar de que estos valores son únicos, la función puede tomarlos en diferentes puntos del intervalo. (Ver el ejercicio de 12 la sección 9.10).  Extremos relativos El siguiente teorema establece una condición necesaria para que una función tenga un extremo relativo en un punto en el cual f es derivable. 

TEOREMA 1. (CONDICIÓN NECESARIA PARA EXTREMOS RELATIVOS)  (f tiene extremo relativo en c ) 

Sea f una función que tiene un extremo relativo en c para el cual  existe.

Entonces,  . 

Demostración: Caso 1. Si f es la función constante, el teorema es evidente.  Caso 2. Supóngase que f no es constante y que además f tiene un máximo relativo en c. 

Como  existe, entonces de acuerdo a la observación hecha a la definición 9.2, 

existe y además, 

(1)  Siendo  un máximo relativo, existe un intervalo  que contiene al punto c y tal que: 

si  , entonces,  . 

Asi que:  (Ejercicio 5, sección 8.5.1.)  (2) 

Igualmente,  si  , entonces,  . 

Asi que:  (Ejercicio 5, sección 8.5.1.)  (3) 

De (2) y (3) se concluye que  .  Caso 3 . Supóngase que f no es constante y que además f tiene un mínimo relativo en c. (Ejercicio para el lector).  Observaciones: El teorema anterior, significa geométricamente que si una función f tiene un

extremo relativo en c, y  existe, entonces, la recta tangente a la curva en el punto  es horizontal (fig. 9.9. (a)) 

a

                                        b                                          c  fig. 9.9.El recíproco del teorema 1 no siempre se cumple, es decir, en una función se puede cumplir que  para algún punto c de su dominio, y sin embargo, f no presentar extremos relativos en c; como sucede por ejemplo, con la función  (fig. 9.9. (b)). Note que  ,  pero, la función no presenta ni máximos ni mínimos relativos en el origen; puesto que a la izquierda del origen f es negativa y a la derecha es positiva.  Mas aún, una función puede tener un extremo relativo en un punto y ni siquiera

ser derivable alli, como sucede por ejemplo con la función  , (fig. 9.9.(c)) que tiene un mínimo relativo en x = 0, pero  no existe (observación i. de la sección 9.3.).  Definición: Sea f una función definida en un intervalo abierto I. Un punto c I se llama punto

crítico de f si  ó  no existe.  Asi por ejemplo, para la función: 

, se tiene: 

Los puntos críticos de f son entonces x = 0 y x = 1/6 (Porqué?).

Extremos AbsolutosEl siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, es de gran importancia en la teoría de extremos de una función, aunque tiene una fácil interpretación geométrica, exige para su demostración elementos de cálculo avanzado que están mas allá del alcance de estas notas.  TEOREMA 2 (TEOREMA DE LOS VALORES EXTREMOS) Toda función continua en un intervalo cerrado tiene extremos absolutos (mínimo absoluto y máximo absoluto).  El alumno puede verificar gráficamente el teorema 2 intentando dibujar la gráfica de una función que sea continua en [a, b] y que no posea extremos absolutos en [a, b]. Cada intento lo llevará a la convicción de que la propiedad enunciada en el teorema, siempre se cumple.  Observación: El teorema 2 garantiza la existencia de extremos absolutos para una función continua en un intervalo cerrado, pero, no dice como determinarlos. Sin embargo, es evidente que un extremo absoluto que no sea simultáneamente extremo relativo, se tiene que presentar en los extremos a o b del intervalo.  Una regla práctica que se usa para determinar los extremos absolutos de una función continua f en un intervalo cerrado [a, b] es la siguiente:  1. Se determinan los puntos críticos c1, c2, c3, ...,cn (resolviendo  , o donde  no existe). 

2. Se calcula  y  . 

3. Máximo absoluto de f = máx 

   Mínimo absoluto de f = mín  En los ejercicios 12, 13 y 14 de la sección 9.10. se ilustra como determinar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado.Criterio De La Primera DerivadaLa primera derivada no sólo es útil en el trazado de curvas para determinar los extremos relativos, sino, también, para determinar los intervalos donde crece y decrece la curva. 

fig. 9.10.Al analizar en forma intuitiva el comportamiento de la función cuya gráfica aparece en la fig. 9.10. se puede notar que:  1. Entre las abscisas a y b, a medida que nos desplazamos hacia la derecha, ó, en sentido positivo del eje x, la curva es ascendente, en cuyo caso se dice que la función es creciente en el intervalo [a, b], y entre b y c la curva es descendente, en cuyo caso se dice que la función es decreciente en el intervalo [b, c]. 

2. La pendiente de la recta tangente a la curva en los puntos A, B y C (separan los tramos de crecimiento y de decrecimiento) es cero, o lo que es equivalente, la recta tangente es horizontal.  3. En el punto P que pertenece a un tramo de crecimiento, la pendiente de la recta tangente a la curva es positiva y por lo tanto, su derivada es positiva. En cambio, en el punto Q que pertenece a un tramo decreciente de la curva, la pendiente y por lo tanto, la primera derivada es negativa.  Estas ideas que se acaban de comentar, están justificadas por medio de las definiciones y teoremas dados a continuación. En primer lugar, se presentan dos teoremas: El Teorema de Rolle y su generalización conocido como el Teorema del Valor Medio (T.V.M.) que tienen gran importancia teórica y práctica. 

Teorema De Rolle Y Teorema Del Valor MedioEn la fig. 9.11. se puede apreciar la gráfica de una función que es continua en el intervalo cerrado [a, b],  y además  existe (no tiene picos) en todos los puntos del intervalo(a, b). 

fig. 9.11.Intuitivamente, puede verse que existe por lo menos un punto P de la curva de abscisa c entre a y b, en el cual la recta tangente a la curva es horizontal (paralela el eje x).  Este resultado se establece con toda generalidad en el llamado Teorema de Rolle que se enuncia sin demostración.  TEOREMA 3 (TEOREMA DE ROLLE) Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades:  i. f es continua en el intervalo cerrado [a, b].  ii. f es derivable en el intervalo abierto (a, b).  iii. .Entonces, existe por lo menos un punto  c (a,b). tal que:  .  El siguiente teorema que se enuncia y se demuestra a continuación, es una generalización del teorema de Rolle y se conoce con el nombre del teorema del valor medio para derivadas.  TEOREMA 4 (T.V.M.) Sea f una función de variable real que satisface las siguientes propiedades:  i.  f es continua en el intervalo cerrado [a, b].  ii.f es derivable en el intervalo abierto (a, b).

Entonces, existe por lo menos un punto c (a,b). tal que: Antes de ver la demostración del teorema, analice su significado geométrico. 

En la fig. 9.12. se muestra la gráfica de una función que satisface las hipótesis del T.V.M. 

fig. 9.12.

El término  es la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por los puntos A y B. De esta forma, se puede interpretar geométricamente el teorema así: Existe un punto P sobre la curva de abscisa c,c (a,b). tal que la recta tangente a la curva en P cuya pendiente es , es paralela a la recta secante  .  Demostración: Usando la forma: dos – puntos de la ecuación de la recta (sección 4.4.4.), se deduce para la recta secante, la ecuación: 

De donde,  Defínase ahora la función F (x) como la función distancia vertical entre cada punto (x, f(x)) sobre la curva y el correspondiente (x, y) sobre la secante  . (segmento d. de la fig. 9.12.) .  Asi que: 

Esto es,  (1)  La función F (x) asi definida satisface las hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo[a, b]. En efecto:  i.   F (x) es continua en el intervalo cerrado [a, b]. (porqué?)  ii. F (x) es derivable en el intervalo abierto (a, b). (porqué?) 

Además, (2)

iii. Finalmente, 

En consecuencia, de acuerdo al teorema de Rolle, existe por lo menos un punto c (a, b) tal que

Pero, de acuerdo a (2) 

Luego,  eso implica, que era lo que se quería demostrar.  Como aplicación inmediata del T.V.M., se prueba otro teorema que permite determinar los intervalos donde crece y decrece una curva conociendo el signo de su primera derivada.  TEOREMA 5 (CRITERIO PARA CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO)Sea f una función de variable real continua en [a, b] y derivable en (a, b).

i. Si para todo entonces f es creciente en [a, b]. ii. Si para todo entonces f es decreciente en [a, b].

Demostración:i. Sean dos puntos de [a, b] tales que .

Evidentemente, f es continua en , f es derivable en , luego por el T.V.M., existe por lo menos un punto tal que:

(1)De , se deduce que y como por hipótesis , se deduce de (1) que:

Luego, y f es creciente en [a, b].ii. Se demuestra de manera similar.

Observación:El crecimiento y el decrecimiento de una curva coincide con el signo de la primera derivada. Asi:Donde (derivada positiva), f(x) es creciente.

(derivada negativa), f(x) es decreciente.El siguiente teorema, permite clasificar los extremos relativos (máximos y mínimos) de una función, de acuerdo a las variaciones de signo de la primera derivada.TEOREMA 6 (CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS)Sea f una función continua en un intervalo I; sean a, b, c puntos de I, tales que a < c < b y c un punto crítico de f (f ’(c) = 0 o f ‘ ( c) no existe).Entonces:

i. Si para todo x en (a, c) y para todo x en (c, b), entonces, f(c) es un máximo relativo. (fig. 9.13. (a), fig. 9.13. (b)).

ii. Si para todo x en (a, c) y para todo x en (c, b), entonces, f(c) es un mínimo relativo. (fig. 9.13. (d), fig. 9.13. (e)).

iii. Si para todo x en (a, c) y para todo x en (c, b), entonces, f(c) no es un extremo relativo. (fig. 9.13. (c)).

iv. Si para todo x en (a, c) y para todo x en (c, b), entonces, f(c) no es un extremo relativo. (fig. 9.13. (f)).

d                                                       c

                   e                                                         f  fig. 9.13.

Demostración:i. Si f ’(x) > 0 en (a, c), se tiene por el Teorema 5 que f es creciente, luego para

todo x tal que a < x < c, se tiene: f(x) < f(c) (1) Ahora, como f ’(x) < 0 en (c, b), entonces f es decreciente (Teorema 5) y de esta forma, para todo x tal que c < x < b, se cumple:f (c) > f (x) (2) De (1) y (2) se concluye que f (c) es un máximo relativo.

ii. Similar a la parte i. iii. Si f ’(x) > 0 en (a, c) y f ’(x) > 0 en (c, b), entonces por el Teorema 5 se tiene

quef (x) < f (c) para todo x en (a, c) y f (c) < f (x) para todo x en (c, b); de lo cual se concluye que f (c) no puede ser ni máximo ni mínimo relativo.

iv. Similar a la parte iii. Observación:En el lenguaje corriente, las partes i. y ii. del teorema 6, se expresan respectivamente, en la siguiente forma:Si la derivada pasa de positiva a negativa, entonces, el punto crítico corresponde a un máximo relativo; y si la derivada pasa de negativa a positiva, el punto crítico corresponde a un mínimo relativo.En los ejercicios resueltos 21, 22 y 23 de la sección 9.10. se ilustra como determinar para la gráfica de una función dada los intervalos donde crece y donde decrece la curva, así como también los extremos relativos.

Para ello se explica el método gráfico que es mucho mas expedito que el método analítico.

Concavidad Y Puntos De Inflexión De Una Curva.Asi como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los cuales la curva cambia de creciente a decreciente o viceversa, los llamados puntos de inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio en la concavidad de la curva.  Antes de presentar la definición precisa de concavidad, se harán algunas observaciones de tipo intuitivo.  Considere la función f cuya gráfica aparece en la fig. 9.14. Note en primer lugar que la curva que f representa, tiene tangente en todos sus puntos. 

fig. 9.14.Se observa que en los puntos "cercanos" a x1, pero diferentes de x1, la curva se encuentra por "debajo" de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia abajo en el punto x1.  Igualmente se observa que en los puntos "cercanos" a x2, pero diferentes de x2, la curva se encuentra por "encima" de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava hacia arriba en el punto x2.  El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad "cambia" se conoce con el nombre de punto de inflexión de la curva.  Las ideas anteriores se precisan en las siguientes definiciones:  Definiciones: Sea f una función derivable en un punto c.

i. f es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b),

se cumple que:

(fig. 9.15. (a))yc : y de la curva ; yt: y de la tangente

fig. 9.15.ii. f es cóncava hacia abajo en c o cóncava negativa en c, si existe un intervalo

abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), se cumple

que: (fig. 9.15. (b))iii. f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de I.  iv. Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión, si existe un intervalo abierto que contiene al punto c, tal que f presenta diferente concavidad en los subintervalos: (a, c) y (c, b).  Se usará el símbolo: , para denotar que una curva es cóncava hacia arriba o cóncava positiva.  Igualmente, se emplea el símbolo , para denotar que una curva es cóncava hacia abajo o cóncava negativa.  El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración establece una condición suficiente para determinar la concavidad de una curva en un intervalo.  TEOREMA 7 (CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA CONCAVIDAD) Sea f una función dos veces derivable en todos los puntos de un intervalo abierto I. Entonces: 

i. Si para todo x I, entonces, f es cóncava hacia arriba en I. ii. Si para todo x I, entonces, f es cóncava hacia abajo en I.

Observación: En muchas ocasiones puede suceder que exista cambio de concavidad de la curva sin existir punto de inflexión, en este caso, simplemente se dice que "hay inflexión" sin existir punto de inflexión. La gráfica de la fig. 9.16., indica esta posibilidad. Alli se muestra inicialmente los intervalos de concavidad para una curva dada.  Note que los puntos A (c1, f (c1)), B (c2, f (c2)), C (c3, f (c3)) son puntos de inflexión. En c4, la curva cambia de concavidad, pero no existe punto de inflexión.  Como es de suponer, los puntos para los cuales f ’’(x) = 0 o f ’’(x) no existe, son "candidatos" viables para ser puntos de inflexión. Puede suceder que para un valor de c del dominio de una función, se cumpla que f ’’(c) = 0 y sin embargo, el punto P (c, f (c)) no es punto de inflexión.  Considere por ejemplo, la función definida por: f (x) = x4 y cuya gráfica aparece en la fig. 9.17. 

fig. 9.17.Como f (x) = x4, f ’(x) = 4x3, f ’’ (x) =12 x2 

Para c = 0, se tiene:  sin embargo el punto P (0, f (0)) = P(0, 0) no corresponde a un punto de inflexión, puesto que para valores de x anteriores y posteriores a x = 0,  y no cambia la concavidad de la curva. 

Asíntotas De Una CurvaAl analizar la forma de una curva , muchas veces se precisa conocer el comportamiento de la función, cuando la abscisa y la ordenada de un punto variable de la curva, juntas, o por separado tienden en valor absoluto a infinito. Es decir, para un punto (x, y) ó (x, f (x)) variable de la curva, interesa estudiar los siguientes casos: 1. Cuando , entonces Límites al infinito2. Cuando , entonces Límites al infinito3. Cuando , entonces } Límites infinitosAquí tiene especial importancia el caso para el cual la curva analizada se aproxima indefinidamente a una recta llamada ASÍNTOTA de la curva y cuya definición y determinación se precisará mas delante.

 Límites Al InfinitoEn la unidad 8 se ha considerado el límite de una función f (x) cuando ,

ó , siendo a un número real.Ahora, se quiere conocer el comportamiento de f (x) cuando la variable x toma valores positivos o negativos tan grandes en valor absoluto como se quiera. Esto último se expresa frecuentemente en el cálculo usando los símbolos: ó

.

Considere por ejemplo la función: y cuya gráfica aparece en la fig. 9.18.

fig. 9.18.En la tabla 1 aparecen tabulados los valores de f (x) cuando la variable x toma sucesivamente los valores: 0, 1, 10, 100, 1.000, 10.000 y 100.000.   

X0 1.331 1.410 1.47826100 1.49753691000 1.499750410000 1.499975100000 1.4999975

Tabla 1

X-1 1-10 1.52941-100 1.502538-1000 1.50025-10000 1.500025-100000 1.5000025

 Tabla 2 Nótese que a medida que la variable x toma valores más y más grandes, f (x) se aproxima cada vez mas al valor 1.5.

Observe, además, que cuando x = 100, entonces y cuando x =

1000, entonces .Esto muestra que cuando la variable x toma valores más y más grandes, entonces

la cantidad se hace cada vez más pequeña.

Supóngase ahora que se quiere que . ¿Qué valores de la variable x satisfacen esta desigualdad?

Se puede verificar que si , entonces . En particular, si

.Lo anterior se puede generalizar de la manera siguiente:

Dado un número , tan pequeño como se quiera, se puede encontrar un número tal que:

Si , entonces y esto se expresa escribiendo: .Considérese ahora los valores tabulados en la tabla 2. Nótese que a medida que la variable x toma valores negativos y grandes en valor absoluto, nuevamente f (x) se aproxima cada vez mas al valor 1.5.

Asi, cuando x = – 100, entonces,

cuando x = – 10.000, entonces, Aquí también tiene cabida la siguiente pregunta: ¿Para que valores de x negativos,

se verifica que ?Se puede probar fácilmente (hágalo como ejercicio) que si , entonces se cumple la desigualdad deseada. En particular, si , entonces,

.Lo anterior se puede generalizar diciendo que al fijar un número , se puede

encontrar un número , tal que si , entonces y esto

equivale a decir que: .De una manera mas general se tiene la siguiente definición: Definición:

i. Sea f una función definida en un intervalo . Entonces:

(L R) si y solo si, para cada , existe un B > 0 tal que,

para todo , si , entonces, . ii. Sea f una función definida en un intervalo . Entonces:

(L R) , si y solo si, para cada , existe un tal que,

para todo , si , entonces, .Observaciones:

i. La definición anterior (parte i.) puede interpretarse geométricamente asi: fijado un número positivo , siempre es posible encontrar un número positivo B, a partir del cual todos los valores funcionales están en el intervalo

. (fig. 9.19.). Similarmente, la parte ii. puede interpretarse asi: fijado un número positivo , siempre es posible encontrar un número negativo B, para el cual si se evalúa la función en puntos anteriores a B, dichos valores funcionales están en el intervalo . (fig. 9.19.).

fig. 9.19.ii. Para una función dada puede suceder que:   

1. , y, , L K.

Asi por ejemplo, para la función  y cuya gráfica aparece en la fig. 9.20. se cumple que: 

(Ver ejercicio 18 de la sección 9.10.). 

fig. 9.20.

2. . 

En este caso se puede escribir simplemente:  . 

Asi por ejemplo, para la función  y cuya gráfica aparece en la fig. 9.21. se cumple que: 

(Ver ejercicio 19 de la sección 9.10.). 

fig. 9.21.Los siguientes teoremas, proporcionan herramientas importantes para la manipulación

con límites al infinito TEOREMA (Algebra De Límites Al Infinito)

1. Sean f, g dos funciones tales que  y  , sea K R. Entonces: 

i. 

ii.

iii. 2. Si existe un real B tal que f (x) = g (x) para todo x > B y si

además  , entonces,  . 

3. Si n es un entero positivo y  ,

entonces,  .  Si n es par, L debe ser positivo.  Observación: El teorema es igualmente válido cuando se reemplaza  por  . 

TEOREMA:

  Generalización, si n N , entonces,  .    Observación: En la sección 8.4. al evaluar ciertos límites se presentó la forma

indeterminada  . Otras formas indeterminadas son las siguientes:   , - , 0. , 0 0 , 0,1 . En los ejercicios 18 y 19 de la sección 9.10., se ilustra el tratamiento de

las formas: ; y – .  El siguiente teorema que se enuncia sin demostración, facilita la evaluación de límites al infinito para funciones racionales y en los cuales solo se necesita comparar los grados del numerador y del denominador para su determinación. TEOREMA (Límite Al Infinito Para Funciones Racionales).

Sea  una función racional, con  m y n enteros positivos. Entonces:

i. Si m < n (grado N < grado D), entonces, 

ii. Si m = n (grado N = grado D), entonces, 

iii. Si m > n (grado N > grado D), entonces, Asi por ejemplo,

(Puesto que el grado del Numerador es menor que el grado del Denominador)

(Puesto que el grado del Numerador es igual al grado del 

Denominador) (Puesto que el grado del Numerador es mayor que el grado del Denominador)Límites InfinitosSe entiende por límites infinitos de una función, cuando el valor de la función crece o decrece sin "limite" a medida que la variable x se aproxima a un valor dado. Son límites al infinito uno cualquiera de las formas:

1.  ;

2.

Para el caso particular de estudio de las asíntotas se hace referencia a los límites de la primera forma.

Considere por ejemplo, la función  cuya gráfica aparece en la fig9.22. (a).  

                                (a)                                             (b) fig. 9.22.

Nótese que cuando  (valores de x mayores que 3), el numerador de f (x) tiende a 2, y, el denominador, toma valores cercanos a 0, pero positivos, asi que el cociente, tiende a  . De una manera mas simple, se escribe:

(1)

Igualmente,  (2) En el caso (1) se dice que f (x)crece sin límite, o se hace infinita, cuando x tiende a  , y se escribe:

En el caso (2) se dice que f (x)decrece sin cota, o se hace infinitamente negativa, cuando x tiende a  , y se escribe:

Otro ejemplo importante en el cual se analiza el comportamiento de una función cerca de los puntos donde no existe el límite es el siguiente.

Considere la función, definida por:  , f (x) se hace infinita cuando  y cuando  (valores de x que anulan el denominador). Asi que:

Igualmente,

Los límites al infinito y los límites infinitos tratados anteriormente, están íntimamente ligados con el concepto de asíntota de una curva que se describe y detalla a continuación. En primer lugar, se dice que un punto desplazable  M  se mueve a lo largo de una curva hacia infinito si la distancia entre este punto M y el origen de coordenadas crece indefinidamente. Definición: Si la distancia  entre una recta A y el punto desplazable M de una curva tiende a cero, mientras que el punto M tiende a infinito, se dice entonces, que la recta A es una asíntota de la curva (fig. 9.23.)

                                      (a)                                  (b)

                                (c)                                           (d)  fig. 9.23.

Clasificación De Las Asintotas En el trazado de una curva, es preciso distinguir: las asíntotas verticales, x = a en la fig. 9.23. (a) (rectas paralelas al eje y), las asíntotas horizontalesy = k en la fig. 9.23. (b) (rectas paralelas al eje x) y las asíntotas oblicuas, que son rectas de la forma: y = mx + b (fig. 9.23 (c) y (d)).Asíntotas Verticales

La recta x = a es una asíntota vertical de la curva y = f (x) si 

ó  , o bien  . Por consiguiente, para determinar las asíntotas verticales de una curva, es preciso encontrar todos los valores de x = a que, al aproximarse a los mismos, la función tiende a infinito. En particular, cuando la función es racional, y está reducida a su mínima expresión, son asíntotas verticales, todos aquellos valores de x que anulan el denominador.

Asi por ejemplo, la función  (fig. 9.22.(a)) tiene una asíntota vertical x = 3.

La función  (fig. 9.22.(b)) tiene dos asíntotas verticales: x = -2 y x = 2.

La curva, y = f (x) = tan x , tiene infinidad de asíntotas

verticales:  Esto se deduce del hecho de que tan , cuando x tiende a estos valores. (fig. 9.24.).

Nótese que  son los valores de x para los cuales cos x = 0.

fig. 9.24. Asíntotas Horizontales

La recta y = k es una asíntota horizontal de la curva y = f (x) si 

ó  .

Asi por ejemplo, la función  (fig. 9.21.) tiene a la recta y = 4 como asíntota horizontal.

La función  (fig. 9.22.(a)) tiene a la recta y = 0 (eje x) como asíntota horizontal.

La función  (fig. 9.20) tiene dos asíntotas horizontales: y = 1 y y = – 1. Las asíntotas horizontales son un caso particular de las asíntotas oblicuas y = mx + b (si m = 0, la asíntota es horizontal) que se describen y determinan a continuación.

Asíntotas OblicuasSea M (x, y) un punto desplazable que se mueve a lo largo de una curva hacia infinito y supóngase que la curva tiene una asíntota oblicua que forma un ángulo con el eje x (fig. 9.25.) y cuya ecuación es y = mx + b.  

fig. 9.25.

Al trazar las perpendiculares  al eje x y  a la asíntota, se forma el triángulo rectángulo MPN y en el cual se tiene: 

(1)

De acuerdo a la definición de asíntota,  .

Luego  (2)

Recíprocamente si  , entonces,  .

Pero  .

Asi que la igualdad (2) toma la forma:  . El razonamiento anterior, permite establecer la siguiente definición: Definición: La recta no vertical y = mx + b es una asíntota oblicua para la curva y = f (x)

si,  , ó,  , ó ambos. Estas condiciones significan que cuando  , (o ambos), la distancia vertical entre el punto (x, f (x)) sobre la curva y el punto (x, mx + b) sobre la recta, tiende a cero. Para una curva dada y = f (x), que tiene una asíntota oblicua y = mx + b, ¿cómo determinar las constantes m y b?. En primer lugar, de acuerdo a la definición de asíntota

oblicua,  (1)

O equivalentemente, 

Puesto que  , la igualdad anterior se cumple si  .

Pero,  , por tanto,  y de aquí se deduce que 

(2) Conociendo el valor de m, se puede hallar b de la igualdad (1):

(3) De esta forma, si la recta y = mx + b es una asíntota, entonces m y b se encuentran según las fórmulas (2) y (3). Recíprocamente, si existen los límites (2) y (3), se cumple la igualdad (1) y la recta y = mx + b es una asíntota. Si alguno de los límites (2) y (3) no existe, la curva no tiene asíntota oblicua. Nótese, que se ha estudiado el problema referente al caso cuando  , sin embargo, todos los razonamientos son válidos también para el caso cuando  . Observaciones: i. Aunque las asíntotas de una curva no son parte de su gráfica, proporcionan información acerca de la manera como debe verse la gráfica realmente.

ii. Si se piensa desde el punto de vista intuitivo que las asíntotas oblicuas de una curva son "rectas tangentes a la curva en el infinito", entonces, otra fórmula válida para determinar la pendiente m de la asíntota oblicua a una curva es:

iii. Si la recta y = mx + b es una asíntota a una curva cuando  y cuando  , se dice entonces que se trata de una asíntota doble. iv. En el caso particular en el cual la curva de estudio corresponde a una función racional, las siguientes reglas son útiles en la determinación de las asíntotas de la curva.REGLA Supóngase que la función y = f (x) es una función racional de la forma: 

en la cual el grado del numerador es m y el del denominador es n. 1. Son asíntotas verticales, todos aquellos valores reales de x para los

cuales  (siempre que la fracción este reducida a su mínima expresión) 2. Si f es una función racional propia (m < n: grado N < grado D), la gráfica tendrá a y = 0 (eje x) como asíntota horizontal. 3. Si f es una función racional impropia (m >= n), se tiene que:

a. Si m = n (grado N = grado D), entonces, la gráfica tendrá a  como asíntota horizontal. b. Si m = n + 1 (El grado del N supera al grado del D en 1); entonces al efectuar la división de h (x) entre g (x), el cociente es de la forma ax + b, y la recta y = ax + b es una asíntota oblicua de la curva.c. Si m > n + 1 (El grado del N supera en mas de 1 unidad al grado del D); entonces al efectuar la división de h (x) entre g (x), el cociente es un polinomio de grado mayor o igual a 2 y de esta forma la curva y = f (x) se comporta como la gráfica del cociente.

Análisis y Trazado De Curvas El objetivo básico de la sección 9.9.3., era proporcionar los elementos teóricos necesarios para el análisis y el trazado de la curva asociada a una función. Esto se reduce generalmente a la determinación de los siguientes elementos:  Dominio natural de definición de la función y = f (x).  Posibles puntos de discontinuidad.  Interceptos de la curva con los ejes coordenados:  a. Interceptos con el eje x: Se hace en la ecuación y = 0 y se resuelve para x.  b. Interceptos con el eje y: Se hace en la ecuación x = 0 y se resuelve para y.  Asíntotas de la curva: verticales, horizontales y oblicuas.  Intervalos donde crece y decrece la curva, extremos relativos de f, mediante el signo de f ’(x).  Intervalos de concavidad y posibles puntos de inflexión mediante el signo de f ’’(x).Este análisis permite construir la gráfica de la función. (A veces resulta conveniente trazar los elementos de la gráfica simultáneamente con el análisis).  Observaciones:  Si la curva que se desea analizar y trazar, corresponde a una función par, es decir, f (x) = f (-x), y la curva es simétrica con respecto al eje y. En consecuencia, solo es suficiente analizar la función y construir su gráfica solo para valores positivos de la variable x, pertenecientes al dominio de la función. 

Si la curva corresponde a una función impar, es decir, f (-x) = -f (x), será suficiente analizar la función para los valores positivos de la variable x. La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen de coordenadas.En los ejercicios 21, 22 y 23 de la sección 9.10, se analiza y se traza la gráfica de algunas funciones con todos los elementos mencionados anteriormente.4. Problemas de aplicaciones de máximos y mínimosEn esta sección se muestra como usar la primera y segunda derivada de una función en la búsqueda de valores extremos en los llamados: "problemas de aplicaciones" o "problemas de optimización". Aunque los ejemplos son esencialmente geométricos, ellos ilustran un procedimiento general. En la sección 7.6. se ilustró con ejemplos, la construcción de funciones con sus respectivos dominios en algunos modelos específicos. Se retoman aquí dichos ejemplos, con el objeto de analizar los valores extremos que alcanza la función en su correspondiente dominio. Antes de enumerar los pasos que se deben seguir al abordar problemas que incluyen extremos absolutos, se enuncia sin demostración, un teorema, conocido como el criterio de la segunda derivada, el cual permite, en algunos casos, determinar, de una manera mas fácil, si un punto crítico dado corresponde a un máximo o a un mínimo relativo. TEOREMA 1 (Criterio de la segunda derivada para extremos relativos) Sea f una función dos veces derivable en un intervalo abierto I, sea c un punto de I, tal que  f '(c)=0. Entonces: i. Si  f ''(c)< 0, entonces, f presenta un máximo relativo en c. ii. Si  , entonces, f presenta un mínimo relativo en c.Observación: Si  f ''(c)=0, entonces, la naturaleza del punto crítico c no queda determinada, como lo ilustran los siguientes casos: La función, f (x) = x4, satisface: f ’ (0) = 0 y f ’’ (0) = 0. Sin embargo , f (x) presenta un mínimo relativo en x = 0 (fig. 9.26. (a)).  

fig. 9.26.Igualmente, la función: g (x) = - x4, satisface: g ’ (0) = 0 y g ’’ (0) = 0. Sin embargo , g (x) presenta un máximo relativo en x = 0 (fig. 9.26. (b)). También, la función, h (x) = x3, satisface: h ’ (0) = 0 y h ’’ (0) = 0, pero h (x) es creciente en todo el eje real y no presenta extremo relativo en x = 0 (fig. 9.26. (c)).

En lo que sigue se considerarán algunos problemas cuya solución es un extremo absoluto de una función definida en un intervalo cerrado. Se hace uso del teorema 2 de la sección 9.9.3. (Teorema de los valores extremos), el cual garantiza la existencia de un valor máximo absoluto y de un valor mínimo absoluto de una función continua en un intervalo cerrado. Se enumeran a continuación algunos pasos que son útiles al abordar un problema de esta naturaleza. 1. Hacer hasta donde sea posible un dibujo indicando las variables que intervienen en el problema. 2. Determinar la función a maximizar o minimizar asi como el intervalo en el cual está definida. 3. Utilizar la información del problema para expresar la función obtenida en el paso 2., en términos de una sola variable. 4. Utilizar la regla práctica dada en la observación al teorema 2 de la sección 9.9.3. para encontrar extremos absolutos.Se ilustra el procedimiento anterior con algunos ejemplos.Ejemplo 1 (Ejercicio 5, sección 7.6.)Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un rio recto de 300 mts. de ancho. El punto D está a 600 mts. de B y en su misma orilla. (fig. 9.27). Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro de cable es el 25% mas caro bajo el agua que por tierra. ¿Cómo se debe tender el cable, para que el costo total sea mínimo?.

fig. 9.27.Solución.Sea Q el punto sobre la misma orilla y a una distancia x de B donde termina el tramo de cable bajo el agua. Se puede definir ahora las constantes y variables del problema: x: distancia de B a Q;  y: distancia de A a Q; (longitud de cable bajo el agua). 600 – x: distancia de Q a D; (longitud de cable por tierra). k (const): costo por metro de cable por tierra.

k (const): costo por metro de cable por agua. P : costo total (función a minimizar).

De acuerdo al teorema de Pitágoras,  (1). Ahora, la función costo total viene dada por:

(2). Sustituyendo (1) en (2), la función costo total puede escribirse en términos solamente de la variable x así:

; con  (dominio de C (x)).

(3)Como C (x) es una función continua en un intervalo cerrado, C (x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo en [0, 600]. Al derivar en (3) e igualar a cero, se obtienen los puntos críticos:

. De donde x = 400.Asi que x = 400 es el único punto crítico y de acuerdo al criterio de la segunda derivada, corresponde a un mínimo relativo (verifíquelo). En consecuencia, el mínimo absoluto es el menor entre los siguientes valores: C (0), C (400) y C (600).

Esto significa geométricamente, que el cable se tira desde A hasta B bajo el agua y desde B hasta D por tierra, implicando un gasto de 975 k pesos. (fig.

                                        (a)                                (b)                                     (c) fig. 9.28.

. Esto indica geométricamente, que el punto Q coincide con D, y en este caso el cable se tiende directamente desde A hasta D

por agua, demandando un gasto total de  pesos.. (fig. 9.28. (b)).

. Esto significa que si el punto Q está a 400 mts. de B y se tiende el cable bajo el agua desde A hasta Q y por tierra desde Q hasta D, demandaría un gasto de 825 k pesos, menor, para la compañía que los dos anteriores. (fig. 9.28. (c)).

  Ejemplo 2 (Ejercicio 2, sección 7.6.)Un alambre de 100 cm. de longitud, se corta en dos partes formando con una de ellas un círculo y con la otra un cuadrado. Cómo debe ser cortado el alambre para que: a. La suma de las áreas de las dos figuras sea máxima. b. La suma de las áreas de las dos figuras sea mínima.Solución. Supóngase que el alambre se parte a una distancia x de uno de sus extremos. Si x es la longitud de la circunferencia, entonces 100 – x es el perímetro del cuadrado. (fig. 9.29)

fig. 9.29.

Por lo tanto, el radio de la circunferencia es  y el lado del cuadrado es  . Si A (x) es la función que representa la suma de ambas áreas, se tiene entonces:

;  (1) Puesto que A (x) es una función continua en el intervalo [0, 100], entonces, existe un valor máximo y un valor mínimo de A (x) en [0, 100]. Al derivar (1) e igualar a cero, se obtienen los puntos críticos. En efecto:

es el único punto crítico y pertenece al intervalo [0, 100] (Porqué?). Además, por el criterio de la segunda derivada, dicho valor corresponde a un mínimo relativo. Ahora, los valores máximo y mínimo de A (x) está entre los valores: A (0), A (100)

y  . Pero, 

Como  , entonces,  y de esta última desigualdad, se deduce que:

. De esta forma, la última desigualdad indica que el área máxima se obtiene para x = 100, o sea, no partiendo el alambre y formando con el una circunferencia, mientras que

el área mínima se obtiene partiendo el alambre a una distancia  de uno de sus extremos, y, formando con esta primera parte una circunferencia y con la parte

restante  un cuadrado. Ejemplo 3 (Ejercicio 3 sección 7.6.)Se dispone de una cartulina cuadrada de lado a y se quiere hacer una caja sin tapa recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando sus lados. ¿Cuál debe ser la longitud del lado del cuadrado que se recorta para que el volumen de la caja sea máximo? ¿Cuál es el volumen de la caja?.Solución:Sea x: longitud del lado del cuadrado que se recorta en cada una de las esquinas (fig.

9.30. (a)), donde  .

(a)                                               (b) fig. 9.30.

Al doblar la parte de cartulina restante, se forma la caja abierta que aparece en la fig. 9.30. (b). Ahora, volumen de la caja = área de la base x altura. Esto es,

;  (1). Puesto que V (x) (función a maximizar) es una función continua en el

intervalo  , entonces V (x) alcanza un valor máximo y un valor mínimo en dicho intervalo. Al derivar V (x) en (1) e igualar a cero, se obtienen los puntos críticos. En efecto:

puntos críticos Para analizar la naturaleza de los puntos críticos, se usa el criterio de la segunda derivada. Asi, 

, lo cual indica que corresponde a un mínimo relativo. (interprete geométricamente el resultado).  

, lo cual indica que corresponde a un máximo relativo. En consecuencia, el volumen máximo se obtiene recortando en las esquinas de la

cartulina cuadrados de lado  y se obtiene de esta forma una caja cuyo volumen viene dado por:

 Ejemplo 4.Dos pasillos de 6 y 9 pies de ancho están unidos en ángulo recto (Ver fig. 9.31.). Encuentre la longitud de la barra recta mas larga que puede pasarse horizontalmente de un pasillo a otro por una esquina.

Solución:Supóngase que la barra puede pasar horizontalmente, cuando esté en la posición como aparece en la figura adjunta.

fig. 9.31.

Si (radianes) denota el ángulo que forma la barra con el pasillo menor,

entonces  será el ángulo que forma con el pasillo mayor. La longitud deseada es la longitud L mínima de la barra.

(1).

En el triángulo APB se tiene:  (2)

En el triángulo BQC se tiene:  (3) Sustituyendo (2) y (3) en (1) se obtiene la función a maximizar:

(4) ; 

Note que  cuando  ó  (Porqué?) Luego,  (R.D. 15 y 16)

(5)

Asi que  (Rad.)

Ahora, el signo de  solo depende del signo del factor  . Para ello, considere la gráfica de la función tangente (fig. 9.32. (a)) y en la cual se ha señalado el valor de  para  .  

(a)                                                            (b) fig. 9.32.

A la izquierda de  ,  , con lo

cual,  .

A la derecha de  ,  , con lo

cual,  . Del análisis anterior, se deduce que  (Rad.) corresponde a un mínimo relativo de L( ) y cuya gráfica se parece a la de la fig. 9.32. (b). Esto significa que el valor mínimo absoluto de L (y por lo tanto, la longitud máxima de la varilla en cuestión) es:

Un procedimiento algebráico, para obtener el valor exacto de L es el siguiente: Como,

y,    Se tiene que:

(factor común)

es la longitud de la barra que cumple las condiciones del problema.5. Variables Relacionadas, Variables Ligadas o Razones AfinesLos conceptos de crecimiento y de decrecimiento de funciones, se aplican también a funciones que varían con el tiempo; si la variable y depende del tiempo t,

entonces,  se llama: razón de cambio con respecto al tiempo. En particular, si

y mide una distancia,  se llama velocidad. Nuestro interés está centrado en una amplia variedad de razones de cambio con respecto al tiempo: La razón con la que el agua fluye en un depósito, la razón con la cual crece o decrece su altura, la razón en la cual se separan dos móviles, después de pasar por un punto específico P, etc... Cuando la variable y está dada en términos de t, basta con derivar y calcular luego el valor de la derivada en el tiempo requerido. Pero, en la mayoría de los casos, la variable y está ligada (relacionada) con otras variables de las cuales conocemos su razón de cambio. Estos problemas donde intervienen derivadas de variables relacionadas entre si, se llaman: problemas de variables ligadas, o de variables relacionadas, o razones afines y es típico en ellos que:

i. Ciertas variables están relacionadas en una forma determinada para todos los valores de t que se consideran en el problema; ii.Se conocen los valores de algunas o de todas las variables y de sus derivadas para un instante dado; iii.Se pide hallar la derivada de una o de varias de las variables en dicho instante.Las variables que intervienen en un problema dado, pueden considerarse como funciones del tiempo, y si se derivan con respecto a t las ecuaciones que las ligan, las igualdades obtenidas expresan la forma en las cuales están relacionadas las derivadas de estas variables. De acuerdo con lo anterior, se pueden señalar en la solución de este tipo de problemas los siguientes pasos: 1. De ser posible, hacer una figura que ilustre la situación propuesta. La figura que se traza debe indicar la situación en cualquier instante t y no precisamente en el instante particular. 2. Determinar cuales son las variables que intervienen en el problema y representarlas por medio de letras como x, y, z, h, etc... 3. Establecer las ecuaciones que relacionan entre sí la diferentes variables que intervienen en el problema. 4. Obtener las relaciones necesarias entre las variables y sus razones instantáneas de cambio, derivando adecuadamente las ecuaciones planteadas en el paso 3. 5. Sustituir los valores particulares de variables y derivadas dados en el problema y despejar las variables o derivadas que interesan.Todo lo anterior, se ilustra con los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1 (Ejercicio 1 sección 7.6.)A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 mts. de radio y 16 mts. de altura entra agua a una razón de 50 cm3/seg. ¿A que velocidad está subiendo el nivel del agua cuando este se encuentra a 4 mts. de altura? ¿A que velocidad está cambiando el radio en ese mismo instante?.Solución.En la fig. 9.33. aparece el cono con las dimensiones dadas y una porción del volumen en cualquier instante t.  

fig. 9.33.Designese por: V: volumen (en cm3) de agua en el tanque en el instante t (seg.). x: radio (en cm.) de la sección del cono al nivel del líquido en el instante t. y: altura del agua (en cm.) en el instante t

Datos:  El volumen del agua en el instante t viene dado por:

(1) De la semejanza de los triángulos ODE y OBC, se deduce que:

Puede formularse la pregunta asi:

cuando y = 4 mts. = 400 cm.

Una manera simple de calcular  consiste en expresar V en (1) en términos únicamente de la variable y (usando (3)) y derivando en ambos lados con respecto a t. Asi, 

De donde  De acuerdo a las condiciones del problema:

(5); indicando con esto que la altura crece a esa velocidad. b. Puede formularse la pregunta asi:

cuando y = 4 mts. = 400 cm.  x = 100 cm. Una manera sencilla de encontrar la solución, consiste en derivar ambos miembros de (3) con respecto a t.

Asi,  (6)   Indicando con esto que el radio crece a esta velocidad. Otra manera de obtener la solución, consiste en expresar V en (1) en términos únicamente de la variable x (usando (2)) y derivar en ambos lados con respecto a t.(¡Verifique!)

Ejemplo 2Un vigilante colocado en la parte superior de un faro de 250 pies de altura, observa un bote de motor que se acerca al faro a una velocidad de 20 pies/seg. ¿Con qué rapidez cambia el ángulo formado por la visual con respecto al bote cuando este se encuentra a 300 pies de la base del faro?.Solución:

En la fig. 9.34. (a) aparecen las variables que intervienen en el problema. x : distancia del bote al pie de la base P del faro en cualquier tiempo t.

:  ángulo formado por la visual y el bote B en cualquier tiempo t.

Nótese que cuando "Bse acerca a P"  , entonces es de esperar que  también decrece.

fig. 9.34.(a)                                              (b)

De la fig. 9.34. (a) se tiene:

(1) Derivando ambos miembros de (1) con respecto a t, se

tiene: 

De donde,  (2) En el caso particular que interesa, x = 300

Asi que  (fig. 9.34. (b)). Usando la identidad trigonométrica:  , se puede escribir en este caso:

(3)

De otro lado:  (4) Sustituyendo (3) y (4) en (2) se tiene finalmente:

Lo cual indica que el ángulo  decrece (como era de esperar) a una velocidad de aprox. 0.0327 Rad/seg.

Ejemplo 3.

Un puente está construido perpendicularmente a la dirección de un río recto y a una altura de 5 mts. sobre el nivel del mismo. En cierto momento un auto pasa por el centro C del puente (fig. 9.35.) a una velocidad de 12 mts/seg. En ese mismo instante una lancha L que se acerca al puente a una velocidad de 20 mts/seg., dista 100 mts. del punto P situado sobre el agua y exactamente bajo el centro del puente. Si la carretera continúa perpendicular al río, ¿cuál es la velocidad a la cual se están separando la lancha y el auto 8 seg. después de que aquella pasó por el punto P?.

fig. 9.35.Solución:En primer lugar se definen las variables que varían con el tiempo. x: distancia que recorre la lancha desde el momento en que el auto pasa por el punto C. y: distancia que recorre el auto desde el momento en que pasa por C. w: distancia de P a D. z: distancia que separa la lancha del auto.Como los triángulos BPD y PCD son rectángulos en P y C respectivamente, se tiene de acuerdo a la relación pitagórica:

(1) También,  (2)De acuerdo con las condiciones del enunciado, cuando han transcurrido 8 seg., el auto está en el punto D y la lancha en el punto B. Asi que x = 160 mts. e y = 96 mts. La pregunta del problema puede formularse de la siguiente forma:

cuando  Para responderla, se sustituye (2) en (1) y luego se deriva en ambos lados con respecto al tiempo. Esto es:

Ahora,  Remplazando los valores particulares, se obtiene finalmente:

Lo que indica que la lancha y el auto se están separando a una velocidad de aproximadamente 20.75 mts/seg.Ejemplo 4.Una piscina cuyas medidas son las indicadas en la fig. 9.36., tiene agua hasta 4 pies de profundidad en el extremo mas hondo. a. ¿Qué porcentaje de la piscina está llena?. b. Si se echa agua en ella a razón de 10 pies3/min. ¿a qué ritmo sube el nivel del agua en el instante para el cual hay agua hasta 4 pies de profundidad?.  

fig. 9.36.Solución:a. Se debe calcular inicialmente el volumen total de la piscina. Este corresponde al volumen de un sólido cuya base es un trapecio con las siguientes medidas: base mayor: 9 p, base menor: 4 p; y cuyo espesor es de 20 pies. Luego: Vp = (Área de la base) . (espesor)

Ahora, el porcentaje de piscina llena corresponde al volumen Vll del sólido que aparece indicado en la fig. 9.37.  

fig. 9.37.Vll = (Área de la base) . (espesor)

Como los triángulos ADB y PDC son semejantes, se tiene la siguiente proporción:

Asi que  Usando una regla de tres simple se establece: Si  corresponde al 100%

corresponde  b. Supóngase que en un instante t determinado, el volumen de piscina llena corresponde al volumen del sólido que aparece en la fig. 9.38. en el cual, y (nivel vertical) y x (nivel horizontal) están creciendo con respecto al tiempo.  

fig. 9.38.

Se tiene entonces: (1)

Pero,  (2) Sustituyendo (2) en (1) se puede escribir: V = 80 y2 (3)

Derivando en ambos lados de (3) con respecto a t se tiene: 

De donde, 

Como  y y = 4 pies, se tiene finalmente:

Esta es la velocidad a la cual crece el nivel del agua en ese instante. Puede verificarse fácilmente (¡verifique!) que el nivel horizontal x, también esta

creciendo en ese mismo instante a una razón de   6 Método de Newton (para calculo de raices)El llamado MÉTODO DE NEWTON es un procedimiento iterativo para calcular valores aproximados de una raiz o un cero de la ecuación f (x) = 0, partiendo de un punto conocido y cercano a la raiz buscada.   MÉTODO DE NEWTON Sea r una raiz de f (x) = 0 situada en el intervalo (a, b) y supóngase que f ’(x) existe en (a, b). La recta tangente a la curva en el punto P(a, f(a)) de abscisa a (valor que se toma como la aproximación inicial de r) viene dada por:

(1) (punto – pendiente)

fig. 9.39.Para determinar el punto de intersección de esta recta con el eje x, que se llamará a1 y que se considera como la siguiente aproximación de r, se hace y = 0 en (1), de lo cual se obtiene:

;  En muchas ocasiones a1es una aproximación a r mejor que a; en tales casos se repite de nuevo el procedimiento reemplazando el punto a por a1. La recta tangente a la curva en el puntoP1(a1, f(a1))y de pendiente  viene dada por (2)   El intercepto de esta recta con el eje x, que se llamará a2 y que se considera la siguiente aproximación de r, se obtiene al hacer y = 0 en la ecuación (2), y asi se obtiene:

  ;  El procedimiento se continua de esta manera utilizando la siguiente fórmula de recurrencia:

;  Son muchos los casos en los cuales la fórmula anterior proporciona una sucesión de valores an que progresivamente se van acercando a la raiz exacta. Observaciones: i. Hay casos en los cuales el procedimiento efectuado no proporciona una raiz que se acerca a la raíz buscada. Este hecho se reconoce al notar que la sucesión de valores an no se estabiliza por mas que se aumente el número de iteraciones. ii. La elección de la primera aproximación puede ser fundamental. Si se hubiese elegido el punto b de la fig. 9.39. como valor inicial, la aproximación siguiente b1 sería peor que b. Puede demostrarse aunque aquí no se hará, que se debe elegir el extremo del intervalo (a, b) en donde f y f ’’ coincidan en el signo. En la función de la fig. 9.39., por ejemplo, en el extremo a se cumple que f (a) y f ’’(a) (cóncava hacia arriba) son positivas; en el extremo b por el contrario, f (b) < 0, y, f ’’(b) > 0 iii. Una manera práctica de utilizar el algoritmo o método de Newton consiste en repetir el procedimiento hasta que ciertos dígitos del resultado se estabilicen. Asi, si se desean dos cifras decimales exactas, se repite el procedimiento hasta que la tercera cifra decimal se empiece a repetir y las dos primeras estén completamente estabilizadas.En los dos ejemplos siguientes se ilustra la manera de usar el método de Newton teniendo en cuenta las observaciones mencionadas anteriormente.Ejemplo 1.

Usar el método de Newton para resolver la ecuación:  , con tres cifras decimales exactasSolución:

La ecuación:  , puede escribirse en la forma:

x > 0. Por simple inspección se encuentra que las raices de f (x) deben estar en el intervalo (1; 10), ya que f (1) = – 5 < 0 y f (10) = 10Ln10-5 > 0, indicando con esto que f (x) cambia de signo en dicho intervalo; además, en (0, 1] la función es siempre negativa, y, en [10,  ) es siempre positiva.

 Además, f ’(x) = Ln x +1 > 0 en el intervalo [1, 10], f es creciente allí, y por lo tanto solo existe una raiz entre 1 y 10.

Ahora,  . Asi que f (1) = – 5, y,  y,   En consecuencia, de acuerdo a la observación ii. se elige el punto 10 como aproximación inicial. Sea a = 10, el primer valor, entonces:

Ahora, se repite el procedimiento a partir del punto  y se obtiene:

Continuando el proceso, se tiene:

En este punto se observa que las tres primeras cifras decimales se han estabilizado (el 7 que ocupa la cuarta cifra decimal en a3 y a4 se han obtenido por redondeo, asi que su estabilidad puede ser aparente), con lo cual se puede considerar resuelto el problema.Ejemplo 2.Usar el método de Newton, para calcular  con tres cifras decimales exactas.Solución:

El problema propuesto es equivalente a resolver la ecuación:   Como f (2) = – 3, y, f (3) = 2, entonces la raiz buscada está en el intervalo (2, 3). Mas aún, como f (x) es creciente en el intervalo (2, 3), solo existe una raiz allí. Ahora,  ;  Asi que f (2) = – 3, y, 

, y,  De acuerdo a la observación ii. se debe elegir el punto a = 3 como aproximación inicial ya que en el la función y su segunda derivada tienen el mismo signo. La forma particular de la fórmula de recurrencia puede escribirse asi:

Iniciando las iteraciones con a = 3, se tiene:

En la calculadora  con siete cifras decimales exactas; luego, dos aplicaciones del método (hasta a2) bastaron para obtener tres cifras decimales exactas.7. La Diferencial

Hasta ahora se ha usado para la derivada de una función y con respecto a x, la

notación de Leibnitz  como un símbolo y no como el cociente del símbolo dy (diferencial de la variable y) entre dx (diferencial de la variable x). Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permite representar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto. La definición esta motivada por el siguiente razonamiento geométrico. Sea P(x0, y0) un punto fijo sobre la gráfica de y = f (x) (fig. 9.40. (a)).  

fig. 9.40.Tomando el punto P(x0, y0) como origen, se introduce un nuevo sistema de coordenadas cuyos ejes dx y dy son paralelos a los ejes antiguos. En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P, pasa por el origen y en consecuencia, su ecuación es bastante simple, a saber dy = mdx, donde m es la pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antiguo, esto es m = f ’(x), se tiene entonces: dy = f ’(x) dx  Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferenciales.Se llama diferencial de la variable independiente x, denotada por dx, al incremento  ; esto es  . Si y = f (x) es una función derivable de x, la diferencial de y en el punto x, denotada por dy, se define como  , o también,  dy= f '(x) dx. Interpretación geométrica de la diferencial

Sea f una función derivable en x. En el triángulo PRQ, se tiene:  , en donde m es la pendiente de la recta tangente a la curva en P (fig. 9.40. (b)), y por tanto, m = f ’(x0).

Asi que:  (1) Además,  (2) Se puede observar entonces que:

: es el incremento en y medido sobre la curva; y, dy : es el incremento en y medido sobre la recta tangente. Observaciones: i) Si la ecuación y = f (x) corresponde a una linea recta, entonces  para cualquier x del dominio. ii) Puesto que  , si  , entonces al dividir ambos miembros de la

última igualdad por dx, se tiene:  y se puede de esta forma interpretar la derivada de una función como el cociente de dos diferenciales.

iii) De acuerdo a la observación ii. todas las reglas de diferenciales se deducen de las reglas de derivación (R.D.1.- R.D.16., sección 9.5.), multiplicando ambos miembros de estas últimas por dx. En la tabla siguiente aparecen las principales reglas de diferenciales deducidas de las correspondientes reglas de derivación.  

Regla de la derivadaRegla de la diferencial

R.D.1  R.d.1. 

R.D.9.  R.d.9. 

R.D.3.,4.  R.d.3.,4. 

R.D.5.  R.d.5. 

R.D.7.  R.d.7. 

R.D.10.  R.d.10. 

Asi por ejemplo, si  , entonces, la

derivada  viene dada por:

Es decir,  Multiplicando ambos miembros de la última igualdad por  , se obtiene finalmente: 

dy =iv) Si y = f (x) y x = g (t), entonces la regla de la cadena en forma de diferencial se

expresa asi:   Aproximaciones: Las diferenciales pueden utilizarse para aproximar valores de funciones. Para ello, supóngase que la gráfica dey = f (x) corresponde a la de la fig. 9.41. 

fig. 9.41.

Cuando se da a x un incremento  la variable y, recibe un incremento  , que puede considerarse como un valor aproximado de dy. Por lo tanto, el valor

aproximado de  es:  (1) Asi por ejemplo, supóngase que se quiere calcular (usando diferenciales), un valor

aproximado de  .

En primer lugar, nótese que  puede escribirse como  y puesto

que  , se puede pensar en la función:  y hallar dy con x =

125 y  = -3. Esto es, .

Pero, 

, con lo cual,  . En consecuencia, usando (1) se puede escribir:

Estimación de errores: Un problema característico en ciencias es el siguiente. Un investigador mide cierta variable x para obtener un valor x0 con un posible error de magnitud  . El valor x0

se usa después para calcular un valor y0 de la variable y que depende de x. El valor de y0 queda supeditado al error de x, pero ¿con que magnitud?. El procedimiento regular consiste en estimar el error por medio de diferenciales. Por ejemplo, un tanque cilíndrico tiene un radio de 5 mts. y una altura de 10 mts. Se desea pintar la superficie exterior con una capa de pintura de 0.001 mts. de espesor. Hallar: a. La cantidad aproximada dV de pintura que se necesita. b. La cantidad exacta  de pintura que se necesita. c. Hallar el error:  .Solución: Sea x el radio del cilindro en cualquier instante (fig. 9.42.)

fig. 9.42.

El volumen viene dado por la función:  . La diferencial de V en x = 5, será el valor

aproximado:  . será el valor exacto, es decir,