DEFINICIÓN DE DERIVADA

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA

JAVIER BERENGUER MALDONADO

Hasta el momento, de una función expresada algebraicamente, y=f(x), podemos conocer:

• Dominio

• Cortes de la gráfica con el eje X y eje Y

•Continuidad

•Asíntotas y ramas parabólicas

Pero en cambio la fórmula es poco útil cuando quiero conocer:

• Intervalos de crecimiento / decrecimiento

• Máximos y mínimos relativos

Para estos dos puntos es necesario el estudio de LAS DERIVADAS

La clave para el estudio de las dos cosas que nos proponemos (máximos mínimos, e intervalos de crecimiento y decrecimiento) son las rectas tangentes:

m=0

m=0

m<0

m>0m<0 En los puntos de

máximo o mínimo, la recta tangente es

horizontal ( es decir, la pendiente es 0)

En los tramos de crecimiento la recta

tangente tiene pendiente positiva, en los de

decrecimiento la tiene negativa.

Llamamos derivada de la función f en x=a a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa a

y=-3/2x-24

y=-4

y=3

y=1,2x+1,5

y=-1,3x+13

La derivada de la función f en a se denota con el símbolo f’(a), que se lee “f prima de a”

f’( -4,5)= -3/2 porque la tangente en el punto de abscisa 4,5 tiene

pendiente -3/2.

f’(-2)= 0 f’(4)=0

f’(2)=1,2 f’(6)=-1,3

Conocidos dos puntos de la recta tangente puedo calcular su ecuación.

(1,-1)

(3,2) y=mx+nPasa por (1,-1)

-1=m+n

Pasa por (3,2)2=m·3+n

Resolviendo el sistema:y= 3/2 x-5/2

De esta manera f’(3)=3/2

Lo anterior es muy largo pues lo único que me

interesa saber es la “m”. Para calcularla hay una

manera muy fácil:

(1,-1) )=(x0,y0)

(3,2)=(x1,y1)

De esta manera f’(3)=3/2

1 0

1 0

2 ( 1) 3

3 1 2

y ym

x x

- - -= = =

- -

1 0

1 0

y ym

x x

-=

-

1 0

1 0

( ) ( )f x f xm

x x

-=

-

O LO QUE ES LO MISMO:

Nos proponemos ahora calcular la pendiente la recta t tangente en un punto de abscisa x=a. Pero sólo tenemos el punto de tangencia A de la recta t, y para hallar su pendiente necesitamos dos puntos. ¿Qué hacer? Resolvamos la cuestión en varias etapas.

A(a,f(a))

Recta t

Estamos sobre el eje X en a, abscisa del punto A de tangencia, y nos desplazamos hacia la derecha o izquierda una distancia h. Tenemos así el punto x=a+h sobre el eje X y su correspondiente punto de la gráfica P((a+h), f(a+h))

A(a,f(a))

Recta t

a a+h

P(a+h,f(a+h))

A(a,f(a))

Recta t

a a+h

P(a+h,f(a+h))

Calculamos la pendiente de la recta secante AP con las coordenadas de los dos puntos A y P.

h

f(a+h)-f(a)

( ) ( ) ( ) ( )f a h f a f a h f am

a h a h

+ - + -= =

+ -

Si h es muy pequeño, a+h está muy cerca de a. De esta forma:

A

a a+h

P

h 0

A

a a+h

P

h 0

P está muy próximo a ALa secante AP “casi” se confunde con la tangente tLa pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t

Ahora bien, el valor de h no puede ser 0, aunque sí todo lo pequeño que

se quiera. Y aquí interviene el concepto de límite.

A

a a+h

P

P está muy próximo a ALa secante AP “casi” se confunde con la tangente tLa pendiente de la secante AP es “casi” la pendiente de t

0lim(pendientes de las secantes)= pendiente de la tangenteh®

0

( ) ( )lim '( )h

f x h f xf a

h®

+ -=

Así pues la derivada es un número que se obtiene mediante un límite

Calcula la derivada de f(x)=x2/4 para a=2

0

(2 ) (2)'(2) lim

h

f h ff

h®

+ -=

( )2 222 4 4

(2 ) 1 0,254 4

(2) 1

h h hf h h h

f

ìï + + +ïï + = = = + +ïíïïï =ïî

2

0 0 0

(2 ) (2) 0,25'(2) lim lim lim(1 0,25 ) 1

h h h

f h f h hf h

h h® ® ®

+ - += = = + =

* La pendiente de la recta tangente a la función en el punto x=2 es 1, por lo que la recta tangente a mi función en x=2 es:

'(2) 1f =f(x)=x2/4

( ) '( )( )y f a f a x a= + -

1 1( 2)y x= + -

1y x= -

* Además como la derivada es +, esto indica que cerca de x=2 la función es creciente.

(x0,y0) y=y0+m(x-x0)