APLICACIONES DE LA DERIVADAAutor: Victor Manuel Castro Gonzlez Carrera: Ingeniera Industrial Instituto: Univa Zamora Fecha:18/Febrero/2008

Victor Manuel Castro Gonzlez

MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS

Si una funcin continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto critico mximo relativo, aunque comnmente se le llama solo mximo. Por el contrario, si una funcion continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos puntro critico minimo relativo, o simplemente minimo. Una funcion puede tener uno, ninguno o varios puntos criticos.

METODOS PARA CALCULAR MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA, UTILIZADO PARA UNA FUNCION CONTINUA Y SU PRIMERA DERIVADA TAMBIEN CONTINUA. obtener la primera derivada. igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuacin. El valor o valores obtenidos para la variable, son donde pudiera haber mximos o mnimos en la funcin. se asignan valores prximos (menores y mayores respectivamente) a la variable independiente y se sustituyen en la derivada. Se observan los resultados; cuando estos pasan de positivos a negativos, se trata de un punto mximo; si pasa de negativo a positivo el punto crtico es mnimo.

Cuando existen dos o ms resultados para la variable independiente, debe tener la precaucin de utilizar valores cercanos a cada uno y a la vez distante de los dems, a fin de evitar errores al interpretar los resultados.sustituir en la funcin original (Y) el o los valores de la variable independiente (X) para los cuales hubo cambio de signo. Cada una de las parejas de datos as obtenidas, corresponde a las coordenadas de un punto crtico

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Este mtodo es ms utilizado que el anterior, aunque no siempre es ms sencillo. Se basa en que en un mximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada ser negativa; mientras que en un punto mnimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva.calcular la primera y segunda derivadas igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuacin.

sustituir las races (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada.Si el resultado es positivo, hay mnimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un mximo. Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un mximo o mnimo. sustituir los valores de las races de la primera derivada en la funcin original, para conocer las coordenadas de los puntos mximo y mnimo.

TEOREMA DE BOLZANO

El Teorema de Bolzano afirma que si una funcin es continua en un intervalo cerrado y acotado y en los extremos del mismo sta toma valores con signos opuestos, entonces existe al menos una raz de la funcin en el interior del intervalo

TEOREMA DE BOLZANO

En palabras ms simples, lo que viene a decir el teorema de Bolzano es lo siguiente: Suponiendo que el eje de abscisas (eje x) fuese un ro, y el segmento (a, b) un camino que hemos de seguir: si en el punto a, la grfica est en un lado del ro (tiene valor negativo) y en el punto b est en el otro lado del ro(tiene valor positivo) y la grfica es contnua en ese segmento, lgica y obligatoriamente ha de cortar por lo menos en un punto con el eje x (el ro).

TEOREMA DE BOLZANO

Demostracin

Suponer que f(a) < 0 y f(b) > 0 (en caso contrario se demuestra de manera anloga)Sea Z1 = (a + b)/2

Si f(Z1) = 0, ya estara con c = Z1, sino hay dos posibilidades, f(Z1) > 0 y f(Z1) < 0Si f(Z1) > 0, entonces X1 = a e Y1=Z1

Si f(Z1) < 0, entonces X1 = Z1 e Y1 = b

Teorema de Weierstrass

Las funciones continuas en un intervalo cerrado gozan de una propiedad interesante, recogida en el siguiente teorema:Hiptesis: Si una funcin f es continua en un intervalo cerrado [a,b] entonces Tesis: Hay al menos dos puntos x1,x2 pertenecientes a [a,b] donde f alcanza valores extremos absolutos, es decir para cualquier Corolario: El conjunto imagen de la funcin f est acotado, es decir: Imf = f([a,b]) = [f (x1),f (x2)] donde m=f(x1) simboliza el valor mnimo absoluto y M=f(x2) el valor mximo absoluto

Teorema de Weierstrass

Demostracin: Por hiptesis, f es continua en [a,b] => por el lema de Weierstrass f est acotada en [a,b], es decir, existen m y n tales que m