la derivada
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TEMA : LA DERIVADA
José Ángel López Martín Pág 1
1.- TASA DE VARIACION MEDIA
Medimos el crecimiento o decrecimiento de una función en un intervalo calculando la tasa de variación media de la función en dicho intervalo
T.V.M.de f en [x1, x2] =
nteindependieiableladeiaciónfunciónladeiación
varvarvar =
( ) ( )12
12
xxxfxf
−−
x2
f(x1) f(x2) f(x2)-f(x1)
x2 – x1
x1
Ejemplo: Calcula la tasa de variación media de x
xf 3)( = en el intervalo [-3, -1]. ¿Crece o decrece la
función en dicho intervalo?
[ ] ( ) ( )( )
( ) 122
213
3113
31311,3 T.V.M.a) −=
−=
+−=
+−−−−
=−−−
−−−=−−
ff
b) Como la tasa de variación media es negativa, la
función es decreciente en el intervalo dado.
2.- DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO
La derivada de la función f(x) en el punto x = x0 es el limite
hxfhxf
xfh
)()(lim)´( 00
00−+
=→
La derivada f ´(x0 ) es un número que nos indica la variación instantánea de la función en el punto x = x0 x0 x0 + h
f(x0)
f(x0+h)
h
f(x0 + h)-f(x0 )
Ejemplo: Hallar la derivada de x
xf 3)( = en el punto x=-3
f(-3)=-1
hhf
+−=+−
33)3(
( )31
31lim3lim
13
3
lim)3()3(lim30000
−=
−=−=
+−=
−−+−=−′
→→→→ hhh
h
hh
hfhff
hhhh
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Ejemplo: Hallar la derivada de f(x) = - x2 + 6x en el punto x=2
f(2) = - 4 + 12 = 8
( ) ( ) ( ) 82612442622 222 ++−=++−−−=+++−=+ hhhhhhhhf
( ) ( ) 22lim)2(lim2lim)2()2(lim200
2
00=+−=
+−=
+−=
−+=′
→→→→h
hhh
hhh
hfhff
hhhh
Ejemplo: Hallar la derivada de la función ⎩⎨⎧
≥<−
==00
)(xsixxsix
xxf en el punto x=0
( ) 11limlim0
lim)0()0(lim00000
−=−=−
=−
=−+
=−′−−−− →→→→ hhhh h
hh
hh
fhff
( ) 11limlim0
lim)0()0(lim00000
===−
=−+
=+′++++ →→→→ hhhh h
hh
hh
fhff
Como )0´()0´( +≠− ff f no es derivable en x=0
3.- FUNCIÓN DERIVADA.
La función derivada de una función f(x) es una nueva función que asocia a cada número real su derivada. Se denota por f´(x). Su definición es la siguiente:
hxfhxfxf
h
)()(lim)´(0
−+=
→
Ejemplo: Halla la función derivada de f(x) = x2 .
f(x+ h) = (x+h)2 =x2 + 2xh + h2
f (x+h) - f(x) = x2 + 2xh + h2 - x2 = 2xh + h2
( ) xxhh
xhhh
xhhh
xfhxfxfhhhh
22lim)2(lim2lim)()(lim)´(00
2
00=+=
+=
+=
−+=
→→→→
Ejemplo: Halla la función derivada de f(x) = x2 - 2x .Una vez hallada f ‘(x), calcula f ‘(3), f ‘(0) y f ‘ (1)
f(x+ h) = (x+h)2 – 2(x+h) =x2 + 2xh + h2 -2x - 2h
f (x+h) - f(x) = x2 + 2xh + h2 - 2x -2h - x2 + 2x = 2xh + h2 - 2h
( ) 2222lim)22(lim22lim)()(lim)´(00
2
00−=−+=
−+=
−+=
−+=
→→→→xxh
hxhh
hhxhh
hxfhxfxf
hhhh
Por tanto, la función derivada de f(x) = x2 - 2x es f´(x) = 2x - 2
Si ahora se desea hallar la derivada en cualquier punto, basta con sustituir.
f ´(3)= 6 – 2 = 4 f´(0) = 0 - 2= -2 f ´(1) = 2 – 2 -= 0
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4.- REGLAS DE DERIVACIÓN
Derivada de f (x)=k f´(x)= 0 0´10 =→= yLny
Derivada de f (x)=x f´(x)= 1
Derivada de f (x)=xn f´(x)= n· xn-1
xyxy ·2´2 =→= 23 ·3´ xyxy =→= 34 ·4´ xyxy =→=
33122
2
2·2·2´1x
xxyxx
y −=−=−=→== −−−−
21
)( xxxf == → x
xxxf2
1·21·
21)´( 2
1121
===−
−
Derivada de xxf =)( x
xf2
1)´( =
31
3)( xxxf == 2
32
31·
31)´(
xxxf ==
−
Derivada de n xxf =)( 1
1)´(−
=nxn
xf
25
2133
xxx
xy ===−
→ 2
525
25´
3231
25 xxxy ===
−
Derivada de una constante por una función: y=k · f (x) y´= k · f´(x)
445 155·3´3 xxyxy ==→=
223 x763x
72y´x
72y −
=−
=→−
=
533
51´
5
22
3 xxyxy ==→=
Derivada de una suma o diferencia de funciones: y=f (x)+g (x) y´ = f´(x)+g´(x)
31032·5´35 2 +=+=→+= xxyxxy
28922·43·3´7243 2223 −+−=−+−=→−−+−= xxxxyxxxy
Derivada de un producto de funciones: y=f (x) · g (x) y´ = f´(x) · g(x) + f(x) ·g´(x)
)4)(53( 2 xxxy +−=
201492010126123)42)(53()4(3´ 2222 −+=−−+++=+−++= xxxxxxxxxxxy
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Podemos operar primero y derivar después
20149´2073205123)4)(53( 2232232 −+=→−+=−−+=+−= xxyxxxxxxxxxxy
Derivada de un cociente de funciones )()(
xgxfy = 2)(
)´()·()()·´(´xg
xgxfxgxfy −=
( ) ( )( ) ( ) ( )22
2
22
22
22
2
2 1222
12422
121212´
112
+
++−=
+
+−+=
+
−−+=→
+−
=x
xxx
xxxx
xxxyx
xy
( )( ) ( )22222 35
5635
65´35
1xx
xxx
xyxx
y−
−=
−
−−=→
−=
3x
2x1y−
−= → ( ) ( )
( ) ( ) ( )2
2
2
22
2
2
316
3162
3132´
−−+−
=−
+−+−=
−−−−−
=x
xxx
xxxx
xxxy
Derivada de funciones compuestas: y = f(g(x)) )´(·))(´(´ xgxgfy =
La derivada de una composición de funciones es el producto de las derivadas de cada una de las funciones que se componen
( )62 523 +−= xxy
“Es una composición de un polinomio y una potencia por tanto su derivada es el producto de la derivada de la potencia ( )52 5236 +− xx y la derivada del polinomio ( )26 −x ”
( ) ( )26·5236´ 52 −+−= xxxy
125 3 +−= xxy
“Es una composición de un polinomio y una raíz cuadrada por tanto su derivada es el producto de la derivada de la raíz y la derivada del polinomio”
( ))261252
1´3
−+−
= xxx
y
Función potencial
)´(·)(´)( 1 xfxfnyxfy nn −=→=
)(xfy = )´()(2
1´ xfxf
y = n xfy )(= )´()(
1´1
xfxfn
yn n−
=
3)52( += xy → ( )22 5262·)52(3´ +=+= xxy
14xy 3 += → 14
6142
1212142
1´3
2
3
22
3 +=
+=⋅
+=
xx
xxx
xy
( )41
24 2 7373 xxxxy −=−= → ( ) ( )( )4 32
43
2
734
76767341´
xx
xxxxy−
−=−−=
−
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Exponencial de base a: aayay xx ln´=→= )´(·ln´ )()( xfaayay xfxf =→=
2ln2´2 xx yy =→=
3·2ln2´2 5353 ++ =→= xx yy
Exponencial de base e: xx eyey =→= ´ )´(·´ )()( xfeyey xfxf =→=
( )52·´ 55 22
−=→= −− xeyey xxxx xxxxxx eeeeyeey −−− −=−+=→+= )1(´
Logaritmo de base a: ax
yxy a ln11´log =→=
axfxfyxfy a ln
1)()´(´)(log =→=
1011´log
Lnxyxy =→=
101
)13(3´)13log(
Lnxyxy
−=→−=
Logaritmo neperiano: x
yxy 1´ln =→= )()´(´)(ln
xfxfyxfy =→=
43
3´)43ln(+
=→+=x
yxy
86
343
3·21´)43ln(
21)43(ln
+=
+=→+=+=
xxyxxy
Función seno: xyxseny cos´=→= )´(·)(cos´)( xfxfyxfseny =→=
xxyxseny 2·)1cos(´)1( 22 +=→+=
Función coseno: xsenyxy −=→= ´cos )´(·)(´)(cos xfxsenfyxfy −=→=
)56(66·)56(´)56cos( −−=+−=→+= xsenxsenyxy
Funcion tangente: xtgx
yxtgy 22 1
cos1´ +==→= ( ) )´(·1)´(
)(cos1´)( 2
2 xfxtgxfxf
yxftgy +==→=
( )4·)4(14·)4(cos
1´)4( 22 xtg
xyxtgy +==→=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )52cos5262·52cos·523´52 223 ++=++=→+= xxsenxxsenyxseny
Función arco seno: 21
1´x
yxsenarcy−
=→= 2)(1
)´(´)(xf
xfyxfsenarcy−
=→=
( ) 422
2
122
1
1´x
xxx
yxsenarcy−
=−
=→=
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Función arco seno: 21
1´cosx
yxarcy−
−=→=
2)(1)´(´)(cos
xfxfyxfarcy
−
−=→=
1
11
11
11
1´1cos2
2
22
22 −=
−=
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−=→=
xxx
xxx
x
yx
arcy
Función arco tangente: 211´x
yxtgarcy+
=→= 2)(1)´(´)(xf
xfyxfsenarcy+
=→=
( ) ( ) ( ) xxxxyxtgarcy
+=
+=→=
121
21
1
1´ 2
5.- DERIVACION DE LA FUNCIÓN INVERSA O RECIPROCA
Ejemplo halla la derivada de f −1 (x) = arc tg x teniendo en cuenta que la derivada de la función f (x) = tg x es f' (x) = 1 + tg2 x.
Solución:
( )
22
2
11
11´
1´1)(
xytgy
yytgxarctgxtgytg
xarctgy
+=
+=
=+
===
De forma general, podemos hallar la derivada de la función inversa de la siguiente forma
´ ´ 1
´1
´1
´
´ ´ 1
´1
´
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6.- TABLA DE DERIVADAS y = f(x) + g(x) y´ = f´(x) + g´(x) y = f(x)·g(x) y´= f´(x)·g(x) + f(x) g´(x)
y = k f(x) y´ = k f´(x)
)()(
xgxfy = 2)(
)´()()()´(´xg
xgxfxgxfy −=
kxfy )(
= k
xfý )´(´=
))(()( xfgxfgy == o )´())(´(´ xfxfgy =
FUNCION ELEMENTAL FUNCION COMPUESTA y = k y´ = 0 y = x Y´= 1
( )1−≠= nxy n 1´ −= nxny nxfy )(= )´(·)(´ 1 xfxfny n−=
xy = x
y2
1´= )(xfy = )´()(2
1´ xfxf
y =
n xy = n nxn
y1
1´−
= n xfy )(= )´(
)(1´
1xf
xfny
n n−=
xy alog= aLnx
y 11´= )(log xfy a=axf
xfyln1
)()´(´=
Lnxy = x
y 1´= )(ln xfy =
)()´(´
xfxfy =
xay = Lnaay x=´ )( xfay = )´(·ln´ )( xfaay xf= xey = xey =´ )( xfey = )´(·´ )( xfey xf=
y = sen x y´= cos x )(xfseny = )´(·)(cos´ xfxfy =
y = cos x y´ = − sen x )(cos xfy = )´(·)(´ xfxsenfy −=
y = tg x
xxtgy 2
2
cos11´ =+=
)(xftgy =)´(
)(cos1´ 2 xf
xfy = = ( ) )´(·)(1 2 xfxftg+
y = cotg x ( )xsen
xgy 22 1cot1´ −
=+−=)(cot xfgy =
)´()(
1´ 2 xfxfsen
y −= = ( ) )´(·)(cot1 2 xfxfg+−
y = arc sen x 21
1´x
y−
= y = arc sen f(x)
2f(x)1´(x) fy´
−=
y = arc cos x 21
1´x
y−
−=
y = arc cos f(x) 2f(x)1
´(x) f-y´−
=
y=arc tg x 21
1´x
y+
= y=arc tg f(x)
2f(x)1´(x) fy´
+=
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7.- DERIVACION LOGARÍTMICA
f(x) =xx
Tomamos el logaritmo neperiano de ambos miembros
ln f(x) = ln xx = x ln x
derivamos ambos miembros
xxx
xfxf 1·ln)()´(
+=
despejamos f ’(x)
f ’(x) = xx ·[ln x + 1]
8.- DERIVACION IMPLICITA
Hallar la derivada de la función implicita 1925
22
=+yx en el punto x=3
quitamos denominadores
9x2+ 25 y2 = 225
derivamos y despejamos y´
18x + 50 y y' = 0 ; y' = -18x50y
calculamos la ordenada y para x=3
x=3 9·9+25y2 = 225 25y2 = 144 25
1442 =y 5
12±=y
sustituimos en la derivada y´
y' (3) = 20
9120
54
512·50
3·18 −=
−=
− o y' (3) =209
12054
512·50
3·18=
−−
=−
−
9.- DERIVABILIDAD DE UNA FUNCION
Una función será derivable en aquellos puntos en que pueda trazarse recta tangente. Por tanto no será derivable en:
a) Los puntos de discontinuidad
b) Los en los que no coinciden las derivadas laterales (puntos angulosos donde no coinciden las semitangentes por la izquierda y por la derecha)
c) Los puntos en los que la derivada es ∞ (tangente vertical)
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Ejemplo 1: Estudiar la derivabilidad de f(x)= 1
x - 1
Discontinua en x = 1 y por tanto no es derivable en dicho punto.
En el resto es derivable siendo( )21
1)('−−
=x
xf
Ejemplo 2. Estudiar la derivabilidad de f(x) en x= -1
, 12 , 1
En x=-1
lim 1 lim 2 2 1
f no es continua y por tanto tampoco es derivable.
Comprobémoslo
lim1 1
lim1 2 2
lim2 1 1
0 ∞
lim1 1
lim2 2 2
lim2
lim 2 2
No es derivable en x=-1 ya que f´(-1-) ≠ f´(-1+) y además f´(-1-) = ∞
Ejemplo3: Estudiar la derivabilidad de f(x) = 3
x
f es continua en R
3 2
1)´(x
xf = no derivable en x = 0 ya que f´(0)= ∞
En x=0 tiene un punto con tangente vertical
Ejemplo 4: Estudiar la derivabilidad de f(x)=|x|
Es continua en R.
Calculemos la derivada en x =0
100
00
=→
=→
=−
→ + hh
hLim
hh
hLim
hh
hLim
TEMA : LA DERIVADA
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100
00
−=−
→=
→=
−→ − h
hhLim
hh
hLim
hh
hLim
Podemos estudiar la derivabilidad en x= 0 de otra manera. Expresamos la función como una función definida a trozos y la derivamos
⎩⎨⎧
≥<−
==00
)(xsixxsix
xxf ⎩⎨⎧
><−
=0xsi10xsi1
)x´(f
Calculamos la derivada en x=0
f´(0-) = 1)´(lim0
−=→
xfx
f´(0+) = 1)´(lim0
=→
xfx
No es derivable en x =0 ya que no coinciden las derivadas laterales.
Es un punto anguloso