elementos de geometrÍa euclidiana material...

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

12.1 NOCIONES BÁSICAS

Definición 72. Ángulo diedro.

Sean , distintos, , , , , .

Definimos el ángulo diedro que notamos a la figura .

Esto es . Ver figura 218.

Figura 218

Notas:

Dado el ángulo diedro designaremos los siguientes términos:

se denomina arista del ángulo diedro.

y se llaman las caras del ángulo diedro, o también, lados del

ángulo diedro.

Si y , entonces, y se

denominan ángulos diedros opuestos por la arista.

1 21 2 AB 1P P AB 2Q Q AB

QABP : : AB AB

P Q AB

ABQPQABPABAB

::21

QABP

AB

PAB

:1

QAB

:2

PPAB

:~´1

QQAB

:~´2

QABP ´´ QABP

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Definición 73. Ángulo rectilíneo asociado al ángulo diedro.

Sean un ángulo diedro, , , , ,

.

Definimos como el ángulo rectilíneo asociado al ángulo diedro . Ver

figura 219.

Figura 219

Definición 74. Medida de un ángulo diedro.

La medida de un ángulo diedro es igual a la medida del ángulo rectilíneo asociado. En este

sentido hablaremos de ángulos diedros agudos, rectos, obtusos.

Nota:

Diremos que dos planos son perpendiculares si sus ángulos diedros determinados al

intersectarse son rectos.

QABP O AB OK AB1OK OW AB

2OW

ˆKOW QABP

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Definición 75. Ángulo poliedro convexo.

Sean , ,…., tales que 3 cualesquiera de ellas no sean coplanarias y todas

distintas.

Definimos como ángulo poliedro convexo que notamos a la figura

.

Esto es . Ver figura 220.

Figura 220

Notas:

Dado el ángulo poliedro convexo designaremos los siguientes términos:

O se llama vértice del ángulo poliedro convexo

, ,…., se llaman aristas del ángulo poliedro convexo.

, , …….., son las caras del ángulo poliedro convexo.

Puede concluirse a partir de las condiciones de la definición, que dada una cara cualquiera

del ángulo poliedro convexo, todos los puntos de la figura siempre están contenidas en el

mismo semiespacio con respecto al plano de la cara.

1OA 2OA nOA

1 2.... nO A A A

1 2 .... nOA OA OA O

1 2.... nO A A A 1 2 .... nOA OA OA O

1 2.... nO A A A

1OA 2OA nOA

1 2, ,O A A 2 3, ,O A A 1, ,nO A AMate

rial e

duca

tivo

Uso no

comerc

ial


Definición 76. Sección plana de un ángulo poliedro convexo.

Sean un ángulo poliedro convexo, un plano que intercepta a cada una de

las aristas del ángulo poliedro así: , , …….,

entonces el polígono lo designamos como una sección plana del ángulo poliedro

convexo en el plano . Ver figura 221.

Figura 221

Definición 77. Ángulos diedros de un ángulo poliedro convexo.

Designamos de esta forma cada uno de los ángulos diedros con arista en cada una de las

aristas del ángulos poliedro convexo. Los notaremos mediante los dos puntos que indican sus

aristas. Así en la figura 222 designaremos los tres ángulos diedros del ángulo poliedro

convexo como el diedro OA, el diedro OB, el diedro OC.

1 2.... nO A A A

1 1 OA A 2 2

OA A n nOA A

1 2 ....... nA A A

1 2.... nO A A A

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Figura 222

Definición 78. Ángulo triedro.

Designamos de esta forma el ángulo poliedro determinado por tres semirrectas. Ver figura

223.

Notas:

Un ángulo triedro que tiene un ángulo diedro recto se denomina ángulo triedro

rectángulo.

Un ángulo triedro que tiene dos ángulos diedros rectos se denomina ángulo triedro

birrectángulo

Un ángulo triedro que tiene tres ángulos diedros rectos se denomina ángulo triedro

trirrectángulo. En la figura 223 se indica un ángulo triedro trirrectángulo.

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Figura 223

Definición 79. Poliedro convexo.

Designamos de esta forma a la figura determinada por la unión de un número finito de

polígonos convexos que satisface estas tres condiciones:

1. Cada lado del polígono es exactamente el lado de otro polígono

2. La intersección de dos polígonos cualesquiera es el conjunto vacío, un punto o un lado.

3. Toda la figura está contenida en el mismo subespacio con relación a cada plano que

contiene a cada polígono

En la figura 224 se ilustran algunos poliedros convexos.

Figura 224

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Notas:

Dado un poliedro convexo destacamos los siguientes elementos:

Caras del poliedro son los polígonos que los determinan

Aristas del poliedro son los lados de las caras, es decir los lados del polígono

Vértices del poliedro son los puntos de intersección de tres o más caras del poliedro

Ángulos del poliedro son los ángulos poliedros convexos, con vértice en cada uno de

los vértices del poliedro

Diagonales del poliedro son los segmentos determinados por dos vértices

cualesquiera no contenidos en la misma cara

Área del poliedro es la suma de las áreas de todas las caras del poliedro

Convención. Designamos a un poliedro por medio de sus vértices. Así en la figura 224

tenemos: el poliedro , poliedro , poliedro .

Definición 80. Poliedro convexo regular.

Un poliedro convexo es regular si sus caras son polígonos regulares congruentes y sus

ángulos tienen el mismo número de caras.

Notas:

La definición anterior es equivalente a la siguiente proposición: “Un poliedro convexo

es regular si todas sus caras son polígonos regulares congruentes y todos sus ángulos

poliedros convexos son congruentes”

Existen únicamente cinco poliedros convexos regulares cuyos nombres indican el

número de sus caras respectivas así: Ver figuras 225.

1 2 3 4A A A A 1 2 3 4 5 6 7 8B B B B B B B B 1 2 10.....C C C

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


Número de caras Polígono asociado a la cara Nombre

4 Triángulo equilátero Tetraedro

6 Cuadrado Hexaedro

8 Triángulo equilátero Octaedro

12 Pentágono regular Dodecaedro

20 Triángulo equilátero Icosaedro

a.

b.

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


c.

d.

e.

Figura 225

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial


PROBLEMA

Demuestre que no existe otro poliedro convexo regular distinto a los enunciados.

Definición 81. Poliedros convexos Arquimedianos.

Designamos de esta manera a todos los poliedros convexos cuyas caras son polígonos

regulares y todos sus ángulos poliedros son congruentes.

Notas:

Se concluye de las dos últimas definiciones que todo poliedro convexo regular es un

poliedro convexo Arquimediano, pero su recíproco no es verdadero.

Los poliedros Arquimedianos son en total 13.

PROBLEMA

Consulte las características y los nombres de los ochos poliedros convexos Arquimedianos

restantes.

Materia

l edu

cativ

o

Uso no

comerc

ial

elementos de geometrÍa euclidiana material...

Documents