HOMOTECIA.

Se llama homotecia a la transformación geométrica que sufre una figura. A partir de un determinado punto, todas las medidas quedan multiplicadas por un mismo factor distinto de cero.

En la figura F.7 tienes unos ejes de coordenadas. El triángulo ABC tiene sus vértices en los puntos A(– 2,3), B(4,2) y C(1,2).

Multiplicamos a las coordenadas de cada punto por el factor 2 cuyos valores se transforman en: A’(– 4,6), B’(8,4) y C’(2,4).

El centro de homotecia la hemos situado en O que corresponde a (0,0) del eje de coordenadas.

En F.8 los valores de los puntos de los vértices del triángulo ABC son A(3,0), B(4,1) y C(2,4).El factor es 2 por lo que los vértices del triángulo A’B’C’ serán:(6,0), (8,2) y (4,8) respectivamente.

Al unir los vértices de figuras homotéticas con rectas, éstas se juntan en un punto llamado centro de homotecia (en los ejemplos anteriores y los próximos quedan señalados con la letra O).

En la homotecia tenemos en cuenta la figura original y la homotética, ambas tendrán la misma forma pero sus tamaños serán diferentes dependiendo del factor o razón de homotecia  (generalmente se le representa con la consonante k) si es mayor o menor que la unidad.

En la figura 9 vemos que no ha habido ninguna modificación de tamaño ya que estamos tratando un punto (A) pero sí

tenemos una modificación de distancia: 

En este ejemplo A’ es homólogo de A.

Si el factor k es menor que la unidad tal como lo tienes en F.10, el punto A’ queda situado entre el origen O y el punto A.

La distancia OA’ vale   de la distancia OA 

: 

Lo mismo sucede con las figuras homotéticas cuando k es menor que la unidad.

En la F. 11 ves que el triángulo A’B’C’ queda entre el centro de la homotecia O y el triángulo ABC.

¿Qué sucede cuando k<0?En este caso nos referimos a que el valor del factor sea negativo.

Nos fijamos en la figura 12.

Tenemos un eje de coordenadas. Las coordenadas del punto A son (1,7), B(2,5) y C(– 2,3).

La razón de homotecia o k = – 2.

Las coordenadas de A’ son (4, –6), B’(–4, –10) y C’(–4, –14).

Al unir con líneas discontinuas (en rojo) AA’, BB’ y CC’ vemos el centro de homotecia O y lo que es más importante, se produce una figura mayor e inversa.El triángulo A’B’C’ es mayor e inverso respecto del triángulo

ABC.

 A MODO DE RESUMEN.Es muy aconsejable que, dada la cantidad de conceptos que has visto en esta lección y con la idea de aclarar y consolidar conceptos resuelvas las cuestiones que se te proponen. Cuando el tema ofrezca alguna dificultad encontrarás la solución.8.20  Dados los puntos A y B en una recta y de ellos decimos que son simétricos ¿es correcto?Respuesta: No, serán simétricos respecto a un punto, una recta,..

 8.21  Si decimos, en el problema anterior, que son simétricos respecto al punto O ¿éste punto deberá encontrarse en el medio de los puntos A y B?Respuesta: Sí8.22  ¿Son simétricas las figuras que tienes a continuación? Si son simétricas ¿qué tipo de simetría sería? ¿por qué? 

Respuestas: Son simétricas.                 Simetría central en O (siguiente figura).Un giro en O se produce correspondencia de puntos.

El punto O es el punto medio de las rectas que unen los puntos homólogos.8.23   ¿Puede una recta ser un eje de simetría?Respuesta: SíSoluciónLa recta será mediatriz ya que ha de equidistar de los puntos homólogos.Esto lo puedes comprobar en la siguiente figura.

8.24   Homotecia es:¿….. un giro, …..una ampliación, …. una traslación, …. una transformación, …..de una figura en el plano? Respuesta: Homotecia es una transformación geométrica de un cuerpo que se produce a partir de un punto y aumenta sus medidas. El aumento de cada una de las medidas está originado por el mismo factor.

A partir del punto O la segunda A tiene las medidas de la A pequeña por el factor 3.

La A pequeña se ha transformado en la A grande.8.25 ¿Las figuras homotéticas son semejantes? ¿Por qué?

Respuestas: Las figuras semejantes son homotéticas y viceversa.Las figuras semejantes tienen la misma forma pero sus tamaños son diferentes. Las figuras homotéticas son las que se han transformado porque todas sus medidas han sido alteradas por causa de unfactor respecto a la figura original .  8.26 ¿Puede la figura homotética  ser más pequeña que la original? ¿Cuándo?Respuestas: Sí puede ser más pequeña                     Cuando el factor sea menor que 1.

8.27 ¿Podemos afirmar que una homotecia es una ampliación o reducción de un original?

Respuesta: Sí.

8.29 ¿Es correcto decir que dos figuras son semejantes si tienen áreas diferentes y misma forma?

Respuesta: Sí.

8.30 ¿Los lados de dos figuras homotéticas ¿pueden no ser paralelos?

Respuesta: No.