GUÍA II PEDAGÓGICA

ALGEBRA 8. Donde el saber se junta con la sabiduría.

El siguiente material es con fines netamente

pedagógicos. Prohíbase su copia total o parcial sin

la debida autorización por escrito del editor

(editado por Naren Jonathan Calle Mondragón

para el liceo Psicopedagógico Superior

Campestre)

naren calle

El uso de la siguiente web- grafía es parcial para la

elaboración del material.

https://www.portaleducativo.net/septimo-

basico/787/decimales-finitos-e-infinitos

https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real

http://www.vitutor.com/di/re/r8.html

http://www.vitutor.net/1/12.html

1

SOLUCIÓN DE ECUACIONES

En general para resolver una ecuación de primer grado debemos seguir los siguientes

pasos:

1. Quitar paréntesis.

2. Quitar denominadores.

3. Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.

4. Reducir los términos semejantes.

5. Despejar la incógnita.

1. Despejar

Despejamos la incógnita:

2. Agrupar términos

Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

3. Quitar paréntesis

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos y sumamos:

2

Despejamos la incógnita:

4. Quitar denominadores

Quitamos denominadores, para ello en primer lugar hallamos el mínimo común múltiplo.

Quitamos paréntesis, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

Despejamos la incógnita:

5. Quitar paréntesis y denominadores

Quitamos paréntesis y simplificamos:

Quitamos denominadores, agrupamos y sumamos los términos semejantes:

3

6. Quitar corchetes

Quitamos corchete:

Quitamos paréntesis:

Quitamos denominadores:

Quitamos paréntesis:

Agrupamos términos:

Sumamos:

Dividimos los dos miembros por: −9

ACTIVIDAD # 1

4x = 12

5x − 3 = 66 + 2x

9x − 5 = 3 · (x − 2) + 13

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TALLER # 1 SOLUCIÓN DE ECUACIONES

5

PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON ECUACIONES LINEALES

tenga en cuenta que el lenguaje algebraico se puede expresar de forma simbólica o literal

de la siguiente manera

De esta manera se logra evidenciar que el álgebra tiene la aplicabilidad simple de

representar de manera simbólica una situación la cual tiene como fin fundamental dar a

conocer una incógnita.

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PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN CON ECUACIONES LINEALES

teniendo en cuenta que cada situación se puede mostrar como una ecuación la cual

puede dar una solución a una incógnita se evidencian las siguientes formas:

Taller # 2 solución de ecuaciones

1. En cada caso, hallar el número que cumple:

a) Su doble más 5 es 35.

b) Al sumarle su consecutivo obtenemos 51.

c) Al sumar su doble, su mitad y 15 se obtiene 99.

d) Su cuarta parte es 15.

e) Marta tiene 15 años, que es la tercera parte de la edad de su madre. ¿Qué edad

tiene la madre de Marta?

f) ¿Cuánto mide una cuerda si su tercera cuarta parte mide 200 metros?

g) Hallar tres números consecutivos cuya suma sea 219.

h) Recorremos un camino de 1km a una velocidad de 6km/h. ¿Cuánto tardamos

en llegar al destino?

i) Héctor guarda 25 euros en su hucha, que supone sumar una cuarta parte del

dinero que ya había. ¿Cuánto dinero hay en la hucha?

j) Dado un número, la suma de su mitad, su doble y su triple es 55. ¿Qué número

es?

k) (PLUS)Hallar cuatro números múltiplos de 4 y consecutivos cuya suma es igual al triple del menor de los tres números. Nota: para obtener el número consecutivo y múltiplo de 4 de un número, sumamos 4.

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ECUACIONES LINEALES

Las ecuaciones lineales o de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier

otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión.

Las ecuaciones lineales tienen como premisa el encontrar la consecución de puntos con

respecto a una situación continua que se encuentra en el conjunto de los números reales.

Formando una relación entre un resultado y el otro.

Además, se debe tener en cuenta que formulas primordiales de proporcionalidad todas son

ecuaciones lineales como, por ejemplo.

Base: X+18 (mide 18 cm más que la altura) = 10+18=28

Altura: x (desconocemos la longitud de la altura) =10

Perímetro: 76cm

X

X+18

recordemos que el perímetro es la suma de todos los lados de la

figura, en este caso la figura es un rectángulo.

X+X+(X+18)+(X+18)=76

4X=76-18-18

4X=40

X=40/4

X= 10

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TALLER #3 ECUACIONES LINEALES (PRIMER GRADO)

Fila 1 números pares, fila 2 números impares, fila 3 primeros 10 y

últimos 10.

1. Calcula tres números consecutivos cuya suma sea 51. 2. Calcula el número que sumados con su anterior y con su siguiente sea 114. 3. Calcula el número que se triplica al sumarle 26. 4. La tercera parte de un número es 45 unidades menor que su doble. ¿Cuál es el número? 5. ¿Qué edades tiene Rosa sabiendo que dentro de 56 años tendrá el quíntuplo de su edad

actual? 6. Tres hermanos se reparten 1300e. El mayor recibe doble que el mediano y este el cuádruple

que el pequeño. ¿Cuánto recibe cada uno? 7. Si a la edad de Rodrigo se le suma su mitad se obtiene la edad de Andrea. ¿Cuál es la

edad de Rodrigo si Andrea tiene 24 años? 8. Un padre tiene 47 años y su hijo 11. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del

padre sea triple que la del hijo? 9. Dos ciclistas avanzan uno hacia el otro por una misma carretera. Sus velocidades son de

20km/h y de 15 km/h. Si les separan 78 km. ¿Cuánto tardarán en encontrarse? 10. Un camión sale de una ciudad a una velocidad de 60km/h. Dos horas más tarde sale en su

persecución un coche a 100 km/h ¿cuánto tardarán en encontrase? 11. En un rectángulo la base mide 18 cm más que la altura y el perímetro mide 76 cm. ¿Cuáles

son las dimensiones del rectángulo? 12. En un control de Biología había que contestar 20 preguntas. Por cada pregunta bien

contestada dan tres puntos y por cada fallo restan dos. ¿Cuántas preguntas acertó Elena sabiendo que ha obtenido 30 puntos y que contestó todas?

13. Cada vez que un jugador gana una partida recibe 7 euros y cada vez que pierde paga 3 euros. Al cabo de 15 partidas ha ganado 55 euros. ¿Cuántas partidas ha ganado y cuántas ha perdido?

14. La mitad de un número multiplicada por su quinta parte es igual a 160. ¿Cuál es ese número?

15. En un garaje hay 110 vehículos entre coches y motos y sus ruedas suman 360. ¿Cuántas motos y coches hay?

16. Un granjero lleva al mercado una cesta de huevos, de tan mala suerte que tropieza y se le rompen 2/5 partes de la mercancía. Entonces vuelve al gallinero y recoge 21 huevos más, con lo que ahora tiene 1/8 más de la cantidad inicial. ¿Cuántos huevos tenía al principio? 22

17. De un barril lleno de agua se saca la mitad de contenido y después un tercio del resto, quedando en él 200 litros. Calcula la capacidad del barril.

18. Un reloj marca las 4 de la tarde. ¿A qué hora se superpondrán las manecillas? 19. Se han consumido las 7/8 partes de un bidón de gasolina. Añadiendo 38 litros se llena hasta

las 3/5 partes. Calcula la capacidad del bidón. 20. Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años la edad del padre será tres

veces mayor que la del hijo? 21. Si al doble de un número le sumas su mitad resulta 90. ¿Cuál es el número? 22. La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el

perímetro mide 30 cm? 23. En una granja hay doble número de gatos que de perros y triple número de gallinas que de

perros y gatos juntos. ¿Cuántos gatos, perros y gallinas hay si en total son 96 animales?

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24. Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

25. Luis hizo un viaje en el coche, en el cuál consumió 20 litros de gasolina. El trayecto lo hizo en 2 etapas, en la primera consumió 2/3 de la gasolina que tenía el depósito y en la segunda etapa la mitad de lo que le quedaba. ¿Cuántos litros tenía? ¿Cuántos litros consumió en cada etapa?

26. En una librería Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y un comic con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12e. ¿Cuánto dinero tenía Ana?

27. Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la edad de este. Hace cuatro años la edad del padre era el doble que la edad del hijo. Hallar las edades de ambos.

28. Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40º más que C y que A mide 40º más que B.

29. Una madre tiene 60 años y su hijo la mitad. ¿Cuántos años hace que la madre tenía tres veces la edad del hijo?

30. Ana tiene 7 años más que su hermano Juan. Dentro de dos años la edad de Ana será el doble de la de Juan. ¿Qué edad tiene cada uno en la actualidad?

31. Un padre tiene 34 años y su hijo 12. ¿Al cabo de cuántos años la edad del padre será el doble que la del hijo?

32. La edad de una madre y un hijo suman 40 años y dentro de 14 años la edad de la madre será el triple de la del hijo. Calcula la edad actual de cada uno.

33. Un padre tiene 37 años y las edades de sus tres hijos suman 25 años. ¿Dentro de cuántos años las edades de los hijos sumarán como la edad del padre?

34. Preguntado el padre por la edad de su hijo contesta: “si el doble de los años que tiene se le quitan el triple de los que tenía hace 6 años se tendrá su edad actual”. Halla la edad del hijo en el momento actual.

35. Una madre es 21 años mayor que su hijo y en 6 años el niño será 5 veces menor que ella. ¿Qué edad tiene el hijo?

36. Se distribuyen 400 bolsas en tres urnas sabiendo que la primera tiene 80 menos que la segunda y esta tiene 60 menos que la tercera, averigua cuántas bolsas tiene cada una.

37. Reparten 390e entre dos personas de tal modo que la parte de la primera sea igual al doble de la parte de la segunda menos 60.

38. Un granjero tiene 12 caballos de 9 y 11 años. La suma de sus edades es de 122 años. ¿Cuántos caballos había de cada edad?

39. En una empresa trabajan 160 personas y todas ellas deben someterse a un reconocimiento médico en el plazo de tres días. El primer día lo hace la tercera parte de los que lo hacen durante los otros dos días. El segundo día y el tercero lo hacen el mismo número de personas. Calcule el número de trabajadores que acuden al reconocimiento cada día.

40. Trabajando juntos, 2 obreros tardan en hacer un trabajo 17 horas. ¿Cuánto tardarán en hacerlo por separado si uno es más rápido que el otro?

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DESIGUALDADES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

Una inecuación es una desigualdad compuesta por dos expresiones algebraicas, relacionadas por los signos de orden; menor que (<), menor o igual que (≤), mayor que (>) o mayor o igual que (≥).

Ejemplo:

Las inecuaciones pueden tener una o más incógnitas (variables), las cuales solo se verifican para determinados valores de las incógnitas.

El ejemplo anterior, es una inecuación con una incógnita. A las inecuaciones se les llama también desigualdades de condición.

Las expresiones algebraicas que están a ambos lados de la desigualdad, reciben el nombre de miembros de la desigualdad, y a las cantidades que están separadas por los signos más o menos se les llama términos de la desigualdad. Así en el ejemplo anterior los términos son 5x, 3, 2x y 6

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TALLER # 4 DESIGUALDADES LINEALES CON UNA INCÓGNITA

1- En cada caso, comprueba si el

valor propuesto forma parte del

conjunto de soluciones de la

inecuación correspondiente. a) x = 2 para 7x – 5 > 2 – 5x b) x = 0 para 3x – 5 ≤ 2x – 5

2- Resuelve las inecuaciones siguientes de

forma numérica y gráfica:

a) 2x – 3(2x – 4) ≥ 12 – 6x b) 3x – 3(2x – 1) – 2x ≤ 2x – 4(3x – 1) – 11 c) 3 – 2x ≥ (x/ 2) – 3(–2x – 1)

3. encuentre solución a cada

inecuación. 4. ejercicio (PLUS)

El perímetro de un

cuadrado no supera el

perímetro del rectángulo

de la figura. ¿Qué se

puede asegurar acerca

de la superficie S del

cuadrado?

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RADICACIÓN Y LOGARITMACIÓN EN LOS NÚMEROS

REALES

Los pasos que debe tener en cuenta para resolver este tipo de ecuaciones son Tener un sólo logaritmo en ambos miembros de la ecuación

Aplicamos las propiedades de los logaritmos: • El producto de un número por un logaritmo se convierte en el logaritmo de una potencia. • La suma de logaritmos se convierte en el logaritmo de un producto. • La diferencia de logaritmos se convierte en el logaritmo de un cociente. Con esto conseguimos tener un solo logaritmo en ambos miembros de la ecuación log A = log B 2. Resolver la ecuación que nos queda.

Para obtener las posibles soluciones de la ecuación logarítmica resolvemos una ecuación que no es logarítmica. Puede ser una ecuación de primer grado, de segundo grado o de otro tipo.

Las soluciones que obtenemos son para esa ecuación y puede que no lo sean para la ecuación logarítmica por eso hay que comprobar siempre las soluciones. 3. Comprobar la validez de las soluciones obtenidas. Para comprobar las soluciones sustituimos los valores obtenidos de x en la ecuación logarítmica. Si se cumple la ecuación logarítmica y tiene sentido*ese valor de x será solución, en caso contrario no.

* No tiene sentido si al sustituir obtenemos el valor del logaritmo de un número negativo o el logaritmo de cero que no existen.

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TALLER #5 RADICACIÓN Y LOGARITMACIÓN EN LOS

NÚMEROS REALES

Tenga en cuenta las funciones logarítmicas para la

solución de los ejercicios.

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POLINOMIOS

Un pol inomio es una expresión algebraica de la forma:

P(x) = an xn + an − 1 xn − 1 + an − 2 xn − 2+ .. . + a1x1 + a0

Siendo:

an , an− 1 . . . a1 , aonúmeros, l lamados coef icientes n un número natural x la var iable o indeterminada an es el coef iciente principal ao es el término independiente

Grado de un Polinomio

El grado de un pol inomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la var iable x.

Según su grado los pol inomios pueden ser de:

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TIPOS DE POLINOMIOS

1. Polinomio nulo

Es aquel pol inomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

P(x) = 0x2 + 0x + 0

2. Polinomio homogéneo

Es aquel pol inomio en el que todos sus términos o monomios

son del mismo grado.

P(x) = 2x2 + 3xy

3. Polinomio heterogéneo

Es aquel pol inomio en el que no todos sus términos no son del

mismo grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 – 3

4. Polinomio completo

Es aquel pol inomio que tiene todos los términos desde el

término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x – 3

5. Polinomio incompleto

Es aquel pol inomio que no tiene todos los términos desde el

término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x3 + 5x – 3

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6. Polinomio ordenado

Un pol inomio está ordenado si los monomios que lo forman

están escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x3 + 5x – 3

7. Polinomios iguales

Dos pol inomios son iguales si veri fican:

Los dos pol inomios t ienen el mismo grado.

Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 5x − 3 + 2x3

8. Polinomios semejantes

Dos pol inomios son semejantes si veri fican que tienen la

misma parte l i teral.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 3x3 + 7x – 2

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Taller #6 POLINOMIO

En el siguiente cuestionario elija la opción correcta.

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VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un

número cualquiera

x = 1.

P(x) = 2x3 + 5x − 3 P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4

TALLER # 7 POLINOMIO

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MULTIPLICACIÓN DE UN NÚMERO POR UN POLINOMIO

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes literales.

Ejemplo

1.

3 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Ejemplo:

3x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) 6x5− 9x4 + 12x3 − 6x2

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3. Multiplicación de polinomios

Este t ipo de operaciones se puede l levar a cabo de dos formas dist intas.

Mira la demostración con el s iguiente ejemplo:

P(x) = 2x2 − 3 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

OPCIÓN 1

1 Se mult ipl ica cada monomio del primer pol inomio por todos los

elementos del segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x)

4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3+ 9x2 − 12x

2 Se suman los monomios del mismo grado.

4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

3 Se obtiene otro pol inomio cuyo grado es la suma de los grados de

los pol inomios que se mult ipl ican.

Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5

OPCIÓN 2

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TALLER # 8 MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

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DIVICION DE POLINOMIOS

Para expl icar la división de pol inomios nos valdremos de un ejemplo práct ico:

P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1

P(x) : Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo . Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja. Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x5 : x2 = x3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

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Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo mult ipl icamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 : x2 = 2 x2

Procedemos igual que antes.

5x3 : x2 = 5 x

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Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 : x2 = 8

10x − 16 es el resto , porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x3 + 2x2 + 5x + 8 es el cociente .

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TALLER # 9 DIVISIÓN DE POLINOMIOS.

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PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

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TALLER # 10 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES