A∆B = A∆C Ô⇒ B = C

Se inicia la demostracion desde el lado izquierdo.

A∆B = A∆C

Se aplica la definicion R∆S = (R − S) ∪ (S −R):

(A −B) ∪ (B −A) = (A −C) ∪ (C −A)

Se aplica la definicion R − S = R ∩ ¬S:

(A ∩ ¬B) ∪ (B ∩ ¬A) = (A ∩ ¬C) ∪ (C ∩ ¬A)

Se aplica la identidad P = P ∪R:

[(A ∩ ¬B) ∪ (B ∩ ¬A)] ∪A = [(A ∩ ¬C) ∪ (C ∩ ¬A)] ∪A

Se aplica la identidad asociativa de la union:

(A ∩ ¬B) ∪ [(B ∩ ¬A) ∪A] = (A ∩ ¬C) ∪ [(C ∩ ¬A) ∪A]

Se aplica la identidad distributiva (P ∩R) ∪ S = (P ∪ S) ∩ (R ∪ S):

(A ∩ ¬B) ∪ [(B ∪A) ∩ (¬A ∪A)] = (A ∩ ¬C) ∪ [(C ∪A) ∩ (¬A ∪A)]

Se aplica la propiedad ¬P ∪ P = U :

(A ∩ ¬B) ∪ [(B ∪A) ∩ U] = (A ∩ ¬C) ∪ [(C ∪A) ∩ U]

Se aplica la propiedad P ∩ U = P :

(A ∩ ¬B) ∪ (B ∪A) = (A ∩ ¬C) ∪ (C ∪A)

Se aplica la identidad asociativa de la union:

[(A ∩ ¬B) ∪B] ∪A = [(A ∩ ¬C) ∪C] ∪A

Se aplica la identidad distributiva (P ∩R) ∪ S = (P ∪ S) ∩ (R ∪ S):

[(A ∪B) ∩ (¬B ∪B)] ∪A = [(A ∪C) ∩ (¬C ∪C)] ∪A

Se aplica la propiedad ¬P ∪ P = U :

[(A ∪B) ∩ U] ∪A = [(A ∪C) ∩ U] ∪A

Se aplica la propiedad P ∩ U = P :

(A ∪B) ∪A = (A ∪C) ∪A

Se aplica la identidad P ∪R ∪ P = P ∪R:

A ∪B = A ∪C

Se aplica la implicacion P ∪R = P ∪ S Ô⇒ R = S:

B = C

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