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De la Hipotesis Adiabatica a la fase deBerry

Por

William Alberto Gomez Guzman

Dirigido por: Juan Carlos Giraldo Acuna

Proyecto Curricular de Licenciatura en FısicaUniversidad Distrital Francisco Jose de Caldas

Con el objeto de recibir el titulo de Licenciado en

Fisica en la facultad de Ciencias y educacion.

Noviembre 2016

I N T R O D U C C I O N

El desarrollo de la mecanica cuantica desde sus orıgenes con los trabajos desa-

rrollados por Max Planck, genera un rompimiento en la forma de comprender la

naturaleza desde un punto de vista fısico, matematico e incluso filosofico. Esto se ob-

servo con la crisis que sufrıa la mecanica de Newton y la electrodinamica de Maxwell

en el momento de explicar ciertos fenomenos tales como la radiacion de cuerpo ne-

gro, el efecto Compton y el efecto fotoelectrico. Sin embargo, Planck supone para la

explicacion de la radiacion del cuerpo negro que la energıa de un oscilador es multi-

plo entero de cierta cantidad. Esta cantidad la denomino h y lleva su nombre. Pero,

dicha cantidad carecio de sentido fısico en su momento y en el intento de explicarla,

Ehrenfest propone una justificacion basada en cambios lentos en el entorno que se

encuentra inmerso el oscilador. Por medio de ello, llega a la definicion de cantidades

conservadas ante estas transformaciones, las cuales les da el nombre de ”invariantes

adiabaticos”.

Aunque la hipotesis de Ehrenfest se encuentra enmarcada en la mecanica clasica, se

considera como el origen de un principio mas general en la mecanica cuantica lla-

mado ”Teorema Adiabatico” y propuesto por Max Born y Vladimir Fock en 1928. Este

Teorema se encarga de estudiar sistemas que cambian su entorno lentamente. Pero el

interes de este trabajo es mostrar una de las consecuencias del teorema adiabatico, la

”fase geometrica de Berry”, la cual considera que el entorno del sistema cambia cıclica-

mente, es decir, que retorna a las mismas condiciones iniciales.

Este trabajo pretende acercar al lector al reconocimiento de la hipotesis adiabatica en

el marco de la mecanica cuantica primitiva, ası como a la relacion de sus ideas con el

teorema adiabatico.

En el primer capıtulo se realiza explicacion de la hipotesis de Ehrenfest y se vincula

3

4

en el contexto de la mecanica cuantica de Bohr haciendo estudio de los estados esta-

cionarios en el trabajo de las ”lıneas espectrales”. En el segundo capıtulo se presenta la

formalizacion del teorema adiabatico de Born y Fock, empleando el trabajo expuesto

en 1928 por ellos. En el tercer capıtulo se muestra el desarrollo de la fase de Berry y

su conexion con el teorema de Born y Fock. Por ultimo se realiza una discusion del

contenido expuesto y se propone una justificacion e interpretacion de la fase de Berry.

I N D I C E G E N E R A L

1. nociones preliminares 9

1.1. Hipotesis Adiabatica 9

1.2. Invariantes Adiabaticos 15

1.3. Variable accion y Teorema de Liouville 18

1.4. Invariantes adiabaticos en la descripcion de los estados estacionarios 19

2. aproximacion adiabatica y teorema adiabatico 25

2.1. Aproximacion adiabatica desde la hipotesis de Ehrenfest 25

2.2. Prueba del teorema adiabatico 26

2.3. Oscilador Armonico Unidimensional en un campo electrico variable 32

3. construccion de la fase de berry 35

3.1. Transporte paralelo y fase geometrica 35

3.2. Fase de Berry 37

3.3. Pruebas experimentales 44

3.4. Espın 1/2 en un campo magnetico variable 48

3.5. Efecto Aharonov-Bohm 51

4. discusion final-conclusiones 57

4.1. Fase de Berry como un invariante adiabatico 57

4.2. Conclusiones 60

Bibliografıa 66

5

I N D I C E D E F I G U R A S

1. Pendulo cuya longitud depende del tiempo 11

2. Pozo de potencial con barreras variables en el tiempo 12

3. Plano inclinado con inclinacion variable en el tiempo 12

4. Energıa media de un oscilador armonico en funcion del tiem-

po 21

5. Cambio en la orientacion de un vector al transportarse parale-

lamente 36

6. Bloque girando sin friccion, atado a una cuerda que cambia su

longitud con el tiempo 38

7. Arreglo del experimento de Chiao y Wu 46

8. Arreglo del experimento de Tycko 47

9. Arreglo del experimento de Bitter y Dubbers 47

10. Cambio de orientacion del campo magnetico con una depen-

dencia θ 48

11. Lıneas de campo magnetico por una superficie 53

7

1

N O C I O N E S P R E L I M I N A R E S

El trabajo desarrollado por Planck y su justificacion acerca de la cuantizacion

de la energıa establece una revolucion en el estudio de los fenomenos fısicos; sin

embargo, esta conclusion no tiene fundamento fısico. Ehrenfest propone una forma

de explicar la existencia de la cuantizacion y por medio de ella, se puede llegar a

la justificacion matematica de la existencia de los estados estacionarios propuestos

por Bohr. El argumento empleado por Ehrenfest fue mediante la hipotesis adiabatica

desarrollada en 1917 [1], nombre que le acuno Einstein y no el mismo Ehrenfest. La

importancia de la hipotesis radica en la existencia de los invariantes adiabaticos. En

este capıtulo se desarrollan las ideas de Ehrenfest y sus consecuencias en el estudio

de sistemas periodicos.

1.1 hipotesis adiabatica

El trabajo que desarrollo Planck incluıa la idea de cuantizacion de la energıa,

la cual se establece por medio de

(1.1.1) E = hν

donde h es la denominada constante de Planck y ν es la frecuencia de oscila-

cion del sistema. Sin embargo, la inclusion de h no daba una explicacion clara, ya que

surgıa como una necesidad para que se ajustaran los datos experimentales. Planck

9

10 nociones preliminares

llega a esta conclusion suponiendo que existen osciladores armonicos vibrando con

una frecuencia determinada. Con la finalidad de comprender el significado de h, Eh-

renfest supone la existencia de cambio lentos en un sistema mediante el cambio de

parametros que describen el sistema; esto lo expresa como

”Para un conjunto general de parametros a1, a2,..., solo son posibles aquellos movi-

mientos que estan adiabaticamente relacionados con posibles movimientos para algun valor de

parametros particulares a10, a20,..., los cuales pueden cambiar reversiblemente” [1]

Al hablar Ehrenfest de reversibilidad, intuitivamente establece que el sistema

debe volver a sus condiciones iniciales, por lo que esta restringiendo el uso de la

hipotesis a sistemas exclusivamente periodicos y/o armonicos con un periodo de os-

cilacion determinado τ; en esencia, toma en consideracion movimientos de libracion.

Este conjunto de parametros es el que describe el entorno del sistema, los cuales

cambian de valores a1, a2,..., a valores a10, a20,... respectivamente, mediante un pro-

ceso adiabatico; a esto es a lo que se refiere la aclaracion adiabaticamente relacionado

en la hipotesis. Por lo tanto, es indispensable reconocer el (o los) parametro(s) que

cambia(n). Considerese los siguientes ejemplos:

Un pendulo con una cuerda de longitud l oscila libremente. Luego se permite

que la cuerda cambie su longitud, de modo que l→l(t) (figura1).

Un pozo de potencial de paredes infinitas y de ancho b se hace expandir lenta-

mente de modo que b→ b(t) (figura 2).

Un plano inclinado que cambia su inclinacion θ, de modo que θ→ θ(t) (figura

3).

1.1 hipotesis adiabatica 11

Figura 1: Pendulo cuya longitud depende del tiempo

Para que los sistemas cambien los parametros, es necesario realizar un trabajo

externo, de modo que este debe durar determinado tiempo T. Con lo anterior, la

condicion para que el sistema se encuentre cambiando adiabaticamente es

(1.1.2) T >> τ

es decir, el tiempo que tarda la accion externa realizando trabajo, debe ser

mucho mayor que el periodo de oscilacion. En otras palabras, mientras el sistema

realiza un numero muy grande de oscilaciones, el cambio en el parametro externo es

muy pequeno.


Figura 2: Pozo de potencial con barreras variables en el tiempo

Con el fin de comprender claramente lo anterior considere el primer ejemplo.

Suponga que el pendulo se encuentra inmerso en una caja y en la parte superior tiene

un orificio; por allı sale la cuerda del pendulo. Se deja oscilar libremente y mientras

el oscila se va halando lentamente, tan lento, que mientras el pendulo realiza un gran

numero de oscilaciones, la longitud de la cuerda varıa muy poco con respecto a la

longitud inicial.

Figura 3: Plano inclinado con inclinacion variable en el tiempo

1.1 hipotesis adiabatica 13

Ahora bien, la condicion de reversibilidad implica que el sistema debe volver

a sus parametros iniciales y ademas ser periodico, por lo tanto, de los tres ejemplos

en cuestion solamente el del pendulo cumple ambas condiciones (figura 1). Entonces,

al analizar el pendulo simple oscilando libremente, se observa que el parametro que

describe el sistema es la longitud de la cuerda, ya que la energıa potencial asociada

cambiara al varıar la longitud inicial. Con esto, se sabe que la frecuencia de oscilacion

ν del pendulo esta dada por

(1.1.3) ν =1

2π

√gl

Al cambiar el parametro l lentamente por causa de la accion externa, es decir

l(T), la frecuencia esta dada por

(1.1.4) ν =1

2π

√g

l(T)

Para poder determinar como varıa la frecuencia, basta con saber de que modo

cambia la longitud. Al realizar cambios lentos en los parametros que describen el

sistema, se puede suponer que dichos cambios pueden ser constantes en la escala de

tiempo, de modo que

(1.1.5)dadt→ 0

Estos parametros a tales como la longitud del pendulo, la constante elastica de

un resorte, la distancia de separacion de dos cargas, entre otras, al varıar producen

un cambio en la energıa potencial del sistema. Por ejemplo, al variar la longitud del

pendulo la energıa potencial varıa, ya que

(1.1.6) V = mgh = mg(l(T)− l(T)cosθ)


donde m es la masa, g el valor de la gravedad y h es la altura. En el caso de

un resorte, al varıar su rigidez dada por la constante k, la energıa potencial tambien

cambiara debido a

(1.1.7) V =12

k(T)x2

donde x es la elongacion del resorte. Y lo mismo ocurre con la distancia de

separacion r de dos cargas, ya que

(1.1.8) V = Kq1q2

r(T)2

donde q1 y q2 son cargas y K es la constante electrica. En conclusion, los para-

metros del sistema generan un cambio en la energıa potencial asociada a ellos [2] de

modo que

(1.1.9) V = V(q, a(τ))

mientras que la energıa cinetica

(1.1.10) T = T(q, a(τ))

donde q hace referencia a las coordenadas generalizadas, q a las velocidades

generalizadas, a a los parametros del sistema y τ es el tiempo de alteracion externo.

Con lo anterior, el sistema queda completamente definido por medio del Hamilto-

niano

(1.1.11) H = H (q, p, a(τ))

donde p es el momento generalizado. Ahora bien, la hipotesis adiabatica trae

consigo una consecuencia que es de gran importancia en el estudio de la mecanica, y

en el presente trabajo una posible justificacion a la existencia de la cuantizacion de la

energıa de Planck y de los estados estacionarios de Bohr [3].

1.2 invariantes adiabaticos 15

1.2 invariantes adiabaticos

”Si una cantidad Ω en un movimiento permitido, determinado por los parametros a1,

a2,..., posee el mismo valor para cada uno de los movimientos permitidos, determinados por

los parametros a10, a20,..., se dice que esta cantidad es un invariante adiabatico”(Ehrenfest,

1917)

Esto quiere decir que al realizar cambios adiabaticos, existen cantidades que permane-

cen inalteradas ası haya cambios en el sistema; estos son los denominados ”invariantes

adiabaticos”. Para establecer de donde surgen los invariantes adiabaticos, se parte de

el principio de mınima accion

(1.2.1) δ’∫ t2

t1L (q, q, a(T))dt = 0

donde δ’ hace referencia a la variacion sobre el parametro del sistema. Como

ya se ha establecido, la hipotesis adiabatica y, por lo tanto, los invariantes adiabaticos

se aplican a sistemas periodicos, de modo que los tiempos de oscilacion corresponden

al periodo de oscilacion τ, ası

(1.2.2) δ’∫ τ

0L (q, q, a(T))dt = 0

donde L es el Lagrangiano del sistema

(1.2.3) L (q, q, a(T)) = T −V

Como la energıa cinetica es una funcion homogenea de grado 2 (para los siste-

mas de interes en el presente trabajo), por lo tanto, el lagrangiano tambien lo es y ası,

haciendo uso del Teorema de Euler para funciones homogeneas

(1.2.4) x∂F∂x

= rF


con F como una funcion cualquiera, x es la variable independiente y r es el

grado de homogeneidad; asumiendo un grado de libertad,

(1.2.5) q∂L

∂q= qp = mq2 = 2T

donde se ha empleado el hecho de que

(1.2.6)∂L

∂q= p

y

(1.2.7) T =12

mq2

con esto, se puede expresar (1.2.2) como

(1.2.8) δ’∫ τ

02Tdt = 0

La demostracion de la expresion anterior segun la desarrollo Ehrenfest, se en-

cuentra en la referencia [1].

Para mostrar la validez del invariante adiabatico considerese un oscilador armoni-

co unidimensional, tal que su energıa esta dada por

(1.2.9) E =12

mx2 +12

kx2

Teniendo en cuenta que ω2 = km , la ecuacion (1.2.9) se puede expresar como

(1.2.10) E =12

mx2 +12

mω2x2

y cuya solucion esta dada por

(1.2.11) x = Acos(ωt)

1.2 invariantes adiabaticos 17

ω hace referencia a la frecuencia del oscilador armonico, A es la amplitud y x

es la coordenada generalizada, la cual indica en este caso que se mueve solo en una

direccion. Ahora bien, al derivar (1.2.11) y sustituir en (1.2.8) se tiene

(1.2.12) δ’∫ τ

02Tdt = δ’

∫ τ

02(

12

mx2)dt = δ’∫ τ

0m(ωAsen(ωt))2dt = 0

resolviendo el cuadrado, realizando la integral y evaluando en los lımites de

integracion, se obtiene que

(1.2.13) δ’[mω2A2τ

2]= 0

La energıa de un oscilador armonico esta dada por la expresion (1.2.10), pero

su energıa maxima se obtiene de reemplazar la solucion (1.2.11) en ella, de modo que

(1.2.14) E = mω2A2τ

2

es decir, la energıa del oscilador depende de la frecuencia de oscilacion. Por

tal motivo, si la frecuencia se ve alterada, la energıa tambien lo estara; es decir, si la

frecuencia es considerada como parametro que cambia adiabaticamente, se tiene que

(1.2.15) δν[Eτ] = 0

y como τ y ν son inversamente proporcionales

(1.2.16) δν

[Eν

]= 0

por tal motivo, al hacer un proceso adiabatica, la razon entre la energıa y fre-

cuencia permanece inalterada, de modo que

(1.2.17)Eν= Inv. Adiab.


Este resultado indica que existe una cantidad invariante al realizar cambios

lentos en un sistema y corresponde a la constante de planck h. Con esto, se da jus-

tificacion teorica desde un punto de vista clasico a la propuesta de cuantizacion de

Planck, en la que la energıa tiene valores definidos por la frecuencia de oscilacion

de un oscilador armonico (para un desarrollo diferente puede dirigirse a la referen-

cia [4]).

1.3 variable accion y teorema de liouville

En el estudio de la mecanica clasica existen ciertos elementos que se utilizan

para analizar sistemas periodicos, ellos son las variables accion-angulo [5] las cuales

son fruto de una transformacion canonica de las variables q y p. En particular la

variable accion tiene significado desde los invarianteas adiabaticos. Al reemplazar la

expresion (1.2.5) en (1.2.8), se tiene que

(1.3.1) δ’∫ τ

0pdq = 0

donde δ’ corresponde a la variacion sobre un parametro. La integral∫ τ

0 pdq

hace referencia a la variable accion, la cual se denota con la letra J, de modo que

(1.3.2) δ’ J = 0

La expresion (1.3.2) establece que la variable accion de un sistema es un inva-

riante adiabatico, es decir

(1.3.3) J =∮

pdq = Inv. Adiab.

donde la integral de lınea cerrada hace referencia a que se evalua en un periodo

de oscilacion.

1.4 invariantes adiabaticos en la descripcion de los estados estacionarios 19

Ahora bien, en la integral de accion se observan las variables q y p, las cuales se

relacionan en el diagrama de fase. Al estudiar el diagrama de fase, el teorema de Liou-

ville define que el volumen del espacio de fase que describe un sistema, permanece

inalterado ası el sistema evolucione en el tiempo,

”En cada elemento de volumen Ω del espacio de fase, la densidad de puntos representa-

tivos del conjunto estadıstico permanece constante con el tiempo” [6]

En terminos formales,

(1.3.4) Ω =∫ ∫

dpdq =∫

pdq

Por lo tanto, al comparar (1.3.2) y (1.3.3), se puede concluir que

(1.3.5) δ’Ω = 0

lo que claramente indica que el volumen en el espacio de fase es un invariante

adiabatico.

1.4 invariantes adiabaticos en la descripcion de los estados esta-

cionarios

El trabajo realizado por Niels Bohr sobre las lıneas espectrales, trajo consigo un

desarrollo en la mecanica cuantica primitiva [3], hasta llegar a establecer un cimiento

de gran importancia en la construccion de la mecanica cuantica; este hecho es el de

definir los estados estacionarios en un atomo. En esta seccion se considera el caso de

un grado de libertad.

Uno de los problemas que originan el cambio de pensamiento entre la fısica clasica

y la teorıa cuantica es el de la radiacion de electrones al estar orbitando alrededor

del nucleo del atomo. Al estar orbitando, el electron se encuentra acelerado y con

esto emitirıa radiacion. Al radiar, el atomo serıa inestable ya que pierde energıa con

el tiempo, de modo que su orbita estarıa en constante acercamiento al nucleo y el


universo conocido no serıa posible. Esta es la explicacion que daba la mecanica y la

electrodinamica clasica; pero era evidente que esto no sucedıa. Para poder explicar

este fenomeno, Bohr soporta su teorıa en dos principios

Un sistema atomico solo puede existir permanentemente en estados cuyos va-

lores de energıa toman valores discontinuos, en donde cualquier cambio de

energıa (absorcion o emision), se realiza por una transicion de estado. Estos

estados se llaman estados estacionarios.

La emision o absorcion de radiacion durante una transicion tiene una frecuencia

unica y determinada por

(1.4.1) En − Em = hν

donde Em y En son dos estados estacionarios, h es la constante de Planck y ν es

la frecuencia de radiacion.

Sin embargo, en el trabajo de Bohr no existe una descripcion matematica de

los estados mencionados, es decir, los estados estacionarios encajan en la teorıa de

una forma axiomatica. Mas alla de intentar comprender la nocion ontologica de los

estados estacionarios de Bohr, la presente seccion se centra en relacionar conceptos

fısicos que dan explicacion a su existencia. Como se menciono con anterioridad, la fısi-

ca clasica tenıa limitaciones que impedıan comprender los estados estacionarios, pero

ante el lenguaje de la epoca, la unica manera de entenderlos era mediante conceptos

clasicos, por lo tanto, se busca justificar estos estados por medio de los conceptos

conocidos.

Partiendo de la suposicion del oscilador armonico, la energıa en cada estado

estacionario se encuentra bien definida por la frecuencia de oscilacion ν, con esto, la

energıa tambien se encuentra determinada y adquiere valores dicretos. Sin embargo,

si se considera que la frecuencia entre un nivel y otro difieren en sus valores lige-

ramente, los valores de la energıa tambien lo haran, ası, la frecuencia que emite el


Figura 4: Energıa media de un oscilador armonico en funcion del tiempo

oscilador al cambiar de nivel de energıa comparada con el valor medio de las frecuen-

cias individuales sera muy pequena, de modo que

(1.4.2) ν− ν1 = ν− ν2 ∼ 0

donde

(1.4.3) ν =ν1 + ν2

2

es la frecuencia media. Debido a que la energıa es proporcional a la frecuencia,

entonces la energıa media tiende a ser constante (figura 4). Bajo lo anterior, se puede

considerar que el oscilador cambia lentamente de estado, es decir el cambio lo hace


adiabaticamente; por lo tanto, debe existir alguna cantidad que permanece inalterada,

segun se analizo en las secciones precedentes.

Para lo anterior, considere que el oscilador armonico pasa por medio de un

proceso adiabatico del estado n al estado m, cuyas energıas asociadas son En y Em,

respectivamente. Como consecuencia de esta variacion existira un invariante adiabati-

co; de modo que por medio de la expresion

(1.4.4) δ’∫ τ

0pqdt = 0

y realizando la variacion de la expresion bajo el signo integral

(1.4.5)∫ τ

0(pδq + qδp)dt +

∫ τ

0pqd(δt) = 0

La segunda integral se hace cero, ya que se variacion se hace sobre extremos

fijos, por lo tanto

(1.4.6)∫ τ

0(pδq + qδp)dt = 0

Integrando por partes la primera parte del parentesis y operando, se tiene que

(1.4.7)∫ τ

0(qδp− pδq)dt = 0

Segun las ecuaciones de Hamilton,

(1.4.8)∂H

∂p= q

y

(1.4.9)∂H

∂q= − p


Entonces, sustituyendo (1.4.9) y (1.4.8) en (1.4.7) se tiene que

(1.4.10)∫ τ

0(

∂H

∂pδp +

∂H

∂qδq)dt = 0

como el hamiltoniano es una funcion que depende de p y q, al variarlo se tiene

(1.4.11) δH (q, p) =∂H

∂pδp +

∂H

∂qδq

de modo que sustituyendo (1.4.11) en (1.4.10) se obtiene

(1.4.12)∫ τ

0δH dt = 0

Como el oscilador armonico es un sistema conservativo, el hamiltoniano co-

rresponde a la misma energıa del sistema, tal que

(1.4.13)∫ τ

0δEdt = 0

Ası, al realizar un proceso adiabatico, la energıa del oscilador permanece cons-

tante. Por lo anterior, existe niveles de energıa media que permanecen inalterados

(figura 4); estos son los estados estacionarios del sistema. Intercambiando el sımbolo de

la variacion con el de la integral de (1.4.13) e integrando, se obtiene

(1.4.14) δ∫ τ

0Edt = δ(Eτ) = 0

Nuevamente, como se ha considerado un oscilador armonico, el periodo τ es

el inverso de la frecuencia ν, de modo que al cambiar la frecuencia debe cambiar la

energıa del sistema, sin embargo si

(1.4.15) δ

(Eν

)= 0


entonces

(1.4.16)Eν= constante

este resultado esta en concordancia con la cuantizacion de Planck dada por la

constante h, de modo que bajo la suposicion de los invarianteas adiabaticos, la exis-

tencia de los estados estacionarios esta supeditada a la existencia de una invariancia

en la relacion de E y ν.

2

A P R O X I M A C I O N A D I A B A T I C A Y T E O R E M A A D I A B A T I C O

Al estudiar la cuantizacion introducida por Planck y sus aspectos en el origen

de la mecanica cuantica, se encuentra un relacion importante dada por los invariantes

adiabaticos desde el punto de vista de la mecanica clasica. Esta relacion establece que

exite una cantidad que permanece constante al realizar cambios muy lentos en un sis-

tema; dicha relacion postula que la razon entre la energıa y la frecuencia no cambia.

Consecuentemente, tal relacion es la misma constante de Planck h. Ahora bien, los

invariantes adiabaticos surgen como una consecuencia de la hipotesis adiabatica pre-

sentada por Ehrenfest [1]. Sin embargo, dicha hipotesis se puede considerar como un

estudio precedente de fenomenos asociados a la mecanica cuantica cuando las condi-

ciones externas cambian lentamente, por ejemplo, un oscilador armonico en presencia

de un campo electrico variable y el espın de un electron cuando varıa lentamente el

campo magnetico en el que se encuentra inmerso. Para ello Vladimir Fock y Max

Born en 1927 [7] realizan la prueba de el teorema adiabatico, el cual fue propuesto

por Max Born en 1926 [8]. En el presente capıtulo se estudia el teorema adiabatico y

su relacion con la hipotesis de Ehrenfest.

2.1 aproximacion adiabatica desde la hipotesis de ehrenfest

La energıa de un sistema cuantico se encuentra determinada por los numeros

cuanticos que caracterizan el sistema. Con esto y relacionandolo con los resultados

obtenidos en el capıtulo anterior sobre los invariantes adiabaticos (cantidades que

25

26 aproximacion adiabatica y teorema adiabatico

permanecen inalteradas en un sistema periodico cuando se realiza cambios lentos

sobre el), un sistema expuesto a un proceso adiabatico, quedara caracterizado por los

mismos numeros cuanticos que tenıa antes de sufrir el cambio, es decir, su energıa

permanece inalterada. En esencia, esto es lo que postula Ehrenfest en su hipotesis

adiabatica. Sin embargo, la hipotesis de Ehrenfest se aplicaba a sistemas mecanicos.

Born generaliza esta hipotesis para sistemas cuanticos [8]. El teorema establece:

”Si un sistema estaba inicialmente en un estado con numeros cuanticos definidos, en-

tonces, despues de un proceso adiabatico, la probabilidad de transicion del sistema a un estado

con diferentes numeros puede ser infinitamente pequena, a pesar de que los niveles de energıa

despues de la transformacion adiabatica puedan diferir de los niveles iniciales por valores fini-

tos” [7].

El teorema expresado por Born establece que ası el sistema cambie su nivel de

energıa por medio de cambios adiabaticos, la probabilidad de transicion entre estados

es infinitamente pequena, con lo cual el sistema estarıa en el mismo estado inicial. Si

se considera a H inicial (el hamiltoniano que describe el sistema inicialmente), el cual

es llevado a H final (el hamiltoniano que lo describe luego de la transicion adiabatica),

el sistema pasara del eigenestado 1 inicial al eigenestado 1 final, del 2 inicial al 2 final

y ası sucesivamente, manteniendo su energıa correspondiente.

2.2 prueba del teorema adiabatico

La evolucion de un sistema cuantico se encuentra gobernada por la ecuacion

de Schrodinger

(2.2.1) H (t)|ψ(t)〉 = ih∂|ψ(t)〉

∂t

2.2 prueba del teorema adiabatico 27

donde |ψ(t)〉 es la funcion que describe el sistema y h = h2π . Al sistema estar

expuesto a un proceso adiabatico, se supone que se encuentra instantaneamente en

el tiempo en un eigenestado, de modo que satisface la ecuacion de valores propios

(2.2.2) H (t)|φk(t)〉 = Ek|φk(t)〉

donde |φk(t)〉 es el estado propio instantaneo y Ek la energıa asociada al estado

propio k.

Todas las funciones de onda |φk(t)〉 describen el mismo sistema, entonces las

funciones |ψ(t)〉 y |φk(t)〉 se encuentran relacionadas por

(2.2.3) |ψ(t)〉 =n

∑k=1

ck(t)φk(t)〉

donde ck(t) = 〈φk(t)|ψ(t)〉. Al estar representando estados instantaneos dife-

rentes, el conjunto de funciones |φk(t)〉 son ortonormales, es decir que

(2.2.4) 〈φj(t)|φk(t)〉 = δjk

Cuando se encuentran en el mismo nivel de energıa el producto interno es

1 de lo contrario es 0. Con esto, todas las funciones de onda que tengan la misma

orientacion son solucion de la ecuacion (2.2.2), salvo por un factor de fase adicional,

es decir |φk(t)〉 es solucion para el nivel k en determinado tiempo, pero tambien lo es

(2.2.5) |φk(t)〉 → e−ih∫

Ekdt|φk(t)〉

Esto tambien se puede interpretar como una evolucion temporal [9] de la fun-

cion de onda entre dos instantes de tiempo determinados. Realizando el producto

interior de (2.2.5) se observa que se cumple (2.2.4). De esta manera, la funcion de

onda que representa el sistema en cuestion queda determinada por

(2.2.6) |ψ(t)〉 =n

∑k=1

ck(t)e−ih∫

Ekdt|φk(t)〉


Ahora bien, al suponer que (2.2.6) es solucion de la ecuacion de Schrodinger,

se tiene que

∂|ψ(t)〉∂t

=n

∑k=1

ck(t)e−ih∫

Ekdt|φk(t)〉+ ck(t)∂|φk(t)〉

∂t)e−

ih∫

Ekdt − ih

Ekcke−ih∫

Ekdt|φk(t)〉

(2.2.7)

utilizando (2.2.6) y (2.2.7) en (2.2.1) se obtiene [10]

(2.2.8)n

∑k=1

(ck(t)|φk(t)〉+ ck(t)

∂|φk(t)〉∂t

)e−

ih∫

Ekdt = 0

Multiplicando por izquierda a (2.2.8) por el dual de (2.2.5)

ck(t)〈φj(t)|φk(t)〉eih∫

Ejdte−ih∫

Ekdt =

−ck(t)〈φj(t)|φk(t)〉eih∫

Ejdte−ih∫

Ekdt(2.2.9)

donde |φk(t)〉 =∂φk∂t . Al analizar el lado izquierdo de la igualdad, existe una

comparacion entre dos estados Ej y Ek. Teniendo en cuenta la ortonormalidad expre-

sada por (2.2.4), este termino se hace cero.

Ahora bien, el lado derecho de la expresion (2.2.9) permite encontrar informacion

acerca de como es la transicion entre un estado Ek a un estado Ej. Realizando las

consideraciones anteriores

(2.2.10) cj(t) = −ck(t)〈φj(t)|φk(t)〉e−ih∫(Ej−Ek)dt

de modo que

(2.2.11) cj(t) = −∫

ck(t)〈φj(t)|φk(t)〉e−ih∫(Ej−Ek)dtdt


El teorema adiabatico habla de una probabilidad de transicion entre dos esta-

dos; ası, por definicion [9], la probabilidad de pasar de un estado k a uno j viene dada

por

(2.2.12) Pjk = |cj(t)|2 = |cj ∗ (t)cj(t)|

teniendo en cuenta que la probabilidad debe ser finita.

Al suponer (como se ha hecho al inicio) que la funcion de onda inicial del sistema es

conocida, se da por hecho que el valor de la constante ck(t) es conocida con un valor

constante cualquiera; por facilidad sera 1. Consideremos a (1.4.1)

(2.2.13) (Ej − Ek) = hωjk

ası, la ecuacion (2.2.11) queda

(2.2.14) cj(t) = −∫〈φj(t)|φk(t)〉e−i

∫ωjkdtdt

Ahora bien, cambiando a la imagen de Heisenberg y con esto haciendo la

diferenciacion sobre el operador, la expresion (2.2.2) queda determinada por

(2.2.15) ˙H (t)|φk(t)〉+H (t)|φk(t)〉 = Ek|φk(t)〉+ Ek|φk(t)〉

multiplicando izquierda a (2.2.15) por 〈φj(t)|

〈φj(t)| ˙H (t)|φk(t)〉+ 〈φj(t)|H (t)|φk(t)〉 =

〈φj(t)|E|φk(t)〉+ 〈φj(t)|E|φk(t)〉(2.2.16)

Teniendo en cuenta que el operador Hamiltoniano es hermıtico y que puede

actuar sobre el bra o el ket, ademas que la energıa en cada estado instantaneo es

constante y utilizando (2.2.2) y (2.2.4) se tiene que

(2.2.17) 〈φj(t)| ˙H (t)|φk(t)〉 = (Ek − Ej)〈φj(t)|φk(t)〉


Haciendo uso de (2.2.17) en (2.2.14)

(2.2.18) cj(t) = −∫ 〈φj(t)| ˙H (t)|φk(t)〉

(Ek − Ej)ei∫

ωjkdtdt

La evolucion del hamiltoniano se puede hacer de dos maneras; la primera sidHdt → ∞, es decir si la diferencia entre los hamiltonianos en el tiempo t0 y t1 son

grandes, se presenta una transicion de estado; y la segunda, si dHdt → 0, lo cual indica

que la variacion entre los 2 hamiltonianos en los tiempos t0 y t1 son tan pequenos

que se hacen indetectables, en este caso la variacion se considera adiabatica y no

existe transicion de estado. Como la variacion de H se realiza mediante un proceso

adiabatico, estas variaciones del hamiltoniano son uniformes. Por lo tanto, el tiempo

que tarda en hacer el cambio debe ser muy grande, es decir T → ∞. Al tener en

cuenta las consideraciones anteriores, para una evolucion temporal entre los tiempos

t0 y t1, la expresion (2.2.13) queda expresada como

(2.2.19) cj(t) = −〈φj(t)| ˙H (t)|φk(t)〉

hωjk

∫ t1

t0

eiωjk(t1−t0)dt

tal que

(2.2.20) cj(t) = i〈φj(t)| ˙H (t)|φk(t)〉

hωjk2

(eiωjk(t1−t0) − 1

)Ahora, la probabilidad de esta transicion esta determina por

Pjk =

∣∣∣∣∣(− i〈φj(t)| ˙H (t)|φk(t)〉

hωjk2

(e−iωjk(t1−t0) − 1

))∣∣∣∣∣××∣∣∣∣∣(

i〈φj(t)| ˙H (t)|φk(t)〉

hωjk2

(eiωjk(t1−t0) − 1

))∣∣∣∣∣(2.2.21)

lo cual da como resultado

(2.2.22) Pjk =4

hωjk2 |〈φj| ˙H |φk〉|

2sin2

(iωjk(t1 − t0)

2

)


En vista que la probabilidad es finita y puede tomar valores entre 0 y 1, implica

que 0 ≤ sin2

(iωjk(t1−t0)

2

)≤ 1, entonces

(2.2.23) Pjk ≤4

hωjk2 |〈φj| ˙H |φk〉|

2

Ası, la probabilidad de transicon entre dos estados depende exclusivamente de

la razon de variacion del hamiltoniano, y al ser variado lentamente, el cambio en la

probabilidad difiere en una cantidad infinitamente pequena.

Por definicion, el periodo de oscilacion esta determinado por τ = 2π|ωjk|

. Al

aplicar un proceso adiabatico sobre un sistema, la probabilidad de transicion debe ser

muy pequena como lo plantea Born en el teorema adiabatico [8]; con esto presente,

se tiene que (2.2.23) queda representada como

(2.2.24) Pjk ≤ |τ2

π

〈φj| ˙H |φk〉Ej − Ek

| << 1

Lo cual explıcitamente expresa que

(2.2.25) 〈φj| ˙H |φk〉 << πEj − Ek

τ

De la expresion (2.2.25) se puede concluir que si ˙H → 0 entonces 〈φj| ˙H |φk〉 →

0 (para que el proceso sea adiabatico), y con ello que no existe transicion de estado.

Adicional a ello, al cumplirse lo anterior, se observa que aunque no exista transicion

de estado, existe una diferencia entre los estados de enerıa iniciales y finales, mos-

trandose ası el teorema de adiabatico de Born y Fock.

Con el fin de hacer uso del teorema adiabatico, a continuacion se soluciona un

oscilador armonico en un campo electrico variable.


2.3 oscilador armonico unidimensional en un campo electrico va-

riable

Sea m la masa de la partıcula, q la carga y E(t) el campo electrico dependiente

del tiempo, el hamiltoniano que describe el oscilador es

(2.3.1) H (t) = − h2

2m∂2

∂x2 +12

mω2x2 − qE(t)x

Realizando el siguiente cambio de variable

(2.3.2) a(t) =q

mω2 E(t)

se tiene que

(2.3.3) H (t) = − h2

2m∂2

∂x2 +12

mω2(

x− a(t))2− 1

2mω2a2(t)

Los primeros dos terminos hacen referencia a un oscilador armonico unidi-

mensional sin perturbacion, corrido del origen una distancia a(t). El ultimo termino

establece la dependencia del campo electrico y, por lo tanto, la inlfluencia sobre el

sistema oscilante cargado.

La solucion general de un oscilador armonico sin perturbacion esta dado por

[9] [11] (para un desarrollo completo revisar las referencias)

(2.3.4) Ψ(x) =

(α√

π2nn!

) 12

e−α2x2

2 Hn(αx)

donde Hn son los polinomios de Hermite, α =(mω

h) 1

2 y ω =( k

m) 1

2 . De modo

que la solucion para el sistema corrido del origen una distancia a(t) sera

(2.3.5) Ψ(x− a) =

(α√

π2nn!

) 12

e−α2(x−a)2

2 Hn(α(x− a))

2.3 oscilador armonico unidimensional en un campo electrico variable 33

Realizando las correcciones hechas por la teorıa de perturbaciones indepen-

diente del tiempo, los niveles de energıa para un oscilador armonico estan dadas

por

(2.3.6) En(t) =(

n +12

)hω− 1

2mω2a2(t)

y la frecuencia de transicion entre dos estados n y m, se encuentra determinada

por

(2.3.7) ωnm =En − Em

h

Consideremos que el oscilador se encuentra en el estado base y que el campo

electrico realiza un proceso adiabatico hacia el primer nivel de energıa, entonces, al

considerar la variacion del hamiltoniano (2.3.3) con respecto al tiempo se tiene

(2.3.8)∂H

∂t= −mω2 ax = −q

dEdt

x

Utilizando los resultados obtenidos para los elementos matriciales de x (ver

Schiff)

(2.3.9) 〈Ψn|x|Ψm〉 =

1α (

n+12 )

12 m = n + 1

1α (

n2 )

12 m = n− 1

0 cualquier otro caso

Como la transicion se realiza entre el estado base, o el estado m = 0 al estado

n = 1, se puede observar de (2.3.9) que el elemento matricial

(2.3.10) 〈Ψ1|x|Ψ0〉 = x10 =1α

(12

) 12=( h

2mω

) 12


ya que m = n − 1. Empleando la definicion de probabilidad de transicion

(2.2.12) y los coeficientes dados por (2.2.19)

(2.3.11) P10 =

∣∣∣∣∣ 1hωjk

∫ t

t0

〈φ1| ˙H |φ0〉eiω10(t−t0dt

∣∣∣∣∣2

Ahora, en vista de que

(2.3.12) 〈φ1| ˙H |φ0〉 =(∂H

∂t

)10

= −qdEdt

x10

Utilizando (2.3.10) en (2.3.12), queda representado como

(2.3.13) 〈φ1| ˙H |φ0〉 = −qdEdt

( h2mω

) 12

De forma que la probabilidad de transicion es

(2.3.14) P10 =q2

2mω310h

∣∣∣∣dEdt

∣∣∣∣2 ∣∣∣eiω10t1 − eiω10t0∣∣∣2

Como el tiempo en el que actua la variacion del campo electrico es muy grande,

es decir T → 0, el cambio en el hamiltoniano debe ser pequeno, es decir dHdt → 0, lo

cual implica que dEdt → 0. Considerando (2.3.14) se tiene que p10 → 0. Con lo anterior,

se muestra, que al variar adiabaticamente el campo electrico externo de una partıcula

cargada, la probabilidad de transicion tiende a cero, es decir la probabilidad de pasar

de un estado a otro es muy pequena.

3

C O N S T R U C C I O N D E L A FA S E D E B E R RY

La nocion de trayecto en mecanica cuantica es un concepto que no se encuentra

definido; sin embargo, al construir la fase de Berry es inevitable hablar de camino, en-

tonces surge la pregunta ¿como se determina la trayectoria mencionada en un sistema

cuantico? El desarrollo hecho por Michael Berry muestra la existencia de una trayec-

toria en un espacio parametrico, en el cual toma realidad fısica dicha consideracion.

En la presente seccion se muestra la construccion de la fase de Berry y su aplicacion

al efecto Aharonov-Bohm como una fase geometrica.

3.1 transporte paralelo y fase geometrica

Imagine un vector el cual se ubica sobre una esfera (figura 5); su orientacion

inicial en el punto A se hace paralela (tangente) a un meridiano, y se empieza a mover

hasta el polo norte N, pero su orientacion siempre es tangente al meridiano; al llegar

al polo norte N se desplaza hacia otro punto B ubicado en el Ecuador de la esfera,

manteniendo la direccion. Por ultimo, retorna al punto de partida pero sin alterar en

ningun momento su orientacion. Al volver a su punto de partida observa una varia-

cion de β grados con respecto a la orientacion inicial [12]. Lo anterior se conoce como

transporte paralelo y es utilizado para describir situaciones en fısica al considerarse

superficies curvas, ası como en una rama de las matematicas denominada geometrıa

35

36 construccion de la fase de berry

diferencial [13]. Lo anterior tambien se puede entender como un cambio global sin

cambio local.

Figura 5: Cambio en la orientacion de un vector al transportarse paralelamente

Como los vectores son objetos matematicos que representan la realidad fısica

de un sistema, se puede suponer que el transporte paralelo puede ser aplicado a

algunos sistemas fısicos. Una situacion real que se puede relacionar a este tipo de

”fenomeno” es el ”pendulo de Foucault”, el cual fue desarrollado en 1851 por M. L.

Foucault con el fin de mostrar el movimiento de rotacion de la Tierra [14]. Foucault

construyo un pendulo de gran longitud conectado a algun punto fijo, y ubicado en

el mismo eje de rotacion de la tierra pudo mostrar la rotacion de la Tierra al obervar

que el plano de oscilacion final del pendulo cambiaba con respecto al inicial. Suponga

que un observador se ubica con el pendulo oscilante; este observa que el plano de

oscilacion del pendulo siempre va dirigido en algun sentido definido (consideremos

que es de este a oeste). Dicho observador no percibe que exista cambio en el plano

3.2 fase de berry 37

de oscilacion a medida que el tiempo transcurre ya que para el, el pendulo sigue el

mismo camino. Ahora bien, otro observador se encuentra ubicado fuera del pendulo

y para el, el pendulo empieza a rotar su plano de oscilacion. Esto es en principio lo

que sucede con el pendulo de Foucault, el cual al no alterar su oscilacion presenta un

cambio en la orientacion con el transcurrir del tiempo. Esta demostracion realizada

en 1851 da un ejemplo real del transporte paralelo.

Ahora bien, el cambio de angulo al completar un ciclo tiene una interpretacion

fısica. Al realizar el transporte paralelo de un vector sobre una superficie curva, se

encuentra que al realizar un ciclo existe diferencia entre la orientacion inicial y final;

esta diferencia es vista desde la geometrıa dfiferencial como una anholonomia, e indica

una perdida de informacion del sistema con respecto a su geometrıa. Esto es lo que

se considero como fase geometrica, ya que solo influye la forma de la trayectoria y

de la superficie encerrada, no tiene ningun parametro fısico que pueda alterarlo tal

como la masa, la carga, entre otras. Es decir, la fase geometrica surge, cuando en un

trayecto cerrado existe una ”orientacion” diferente de algun vector con respecto a su

orientacion inicial [15].

A continuacion se establece las consideraciones de la fase geometrica y se trata

de dar una relacion con el transporte paralelo y con el teorema adiabatico, hasta llegar

al resultado obtenido por Berry.

3.2 fase de berry

Como se hablo en los capıtulos anteriores, al realizar un cambio sobre un sis-

tema rapidamente, su descripcion se va a ver alterada y hasta cierto punto sera com-

pleja. Sin embargo, al realizar cambios sutiles y de cierta manera indetectables, la des-

cripcion del sistema permanecera basicamente inalterada. Consideremos la siguiente

situacion; un bloque sobre una superficie plana sin friccion atada por una cuerda al

centro de una mesa y girando en torno a ella con una frecuencia determinada. Su-

ponga que la cuerda en el centro pasa por un orificio y en la parte inferior alguien


va halando lentamente. En este caso, el sistema sigue aparentemente sin cambio, ya

que tiene un cambio adiabatico asociado el cual permite determinar instantaneamen-

te el estado del sistema; pero si se hala bruscamente, el bloque tendera a irse hacia el

centro, perdiendo su rotacion sobre el eje central y su oscilacion se vuelve difıcil de

establecer, perdiendo la configuracion inicial.

Figura 6: Bloque girando sin friccion, atado a una cuerda que cambia su longitud con

el tiempo

Retomemos el ejemplo del vector transportado paralelamente sobre una super-

ficie esferica. Cada direccion en la que apunta el vector (localmente) es paralela con la

anterior o la siguiente, esto indica que localmente no hay cambios. Si se supone que

cada orientacion esta bien definida, se puede establecer el estado energetico que tiene

el sistema que se encuentra representado por ese vector, es decir, tiene un estado ins-

tantaneo. Ahora bien, si se hace corresponder este vector con un sistema cuantico, se

puede relacionar cada uno de esos vectores orientados con el estado instantaneo del

sistema. Como cada vector representa la orientacion del vector en cualquier instante,

se puede representar la evolucion del sistema cuantico por medio del vector |Ψ(t)〉.

Los vectores instantaneos se representaran por |n(R)〉 y tendra una energıa asociada

En. Es decir, cada orientacion o cada estado instantaneo sera un estado estacionario.

R representa los parametros que describen el sistema, tal que R = (x, y, z, ...). El estu-

dio en la mecanica cuantica de estos estados se denomina estatica cuantica. Estudiando

estas transiciones lentas entre estados estacionarios, Michael Berry [16] de la Universi-

dad de Bristol logra encontrar anomalıas en sistemas cuyos estados iniciales y finales


son los mismos, es decir los cuales completaban un trayecto cerrado. Considere el

siguiente ejemplo: un lapiz se encuentra sobre una superficie apuntando su punta ha-

cia arriba. La superficie en la que se encuentra se cierra formando una curva cerrada,

de la forma de la cinta de Mobius. El lapiz se empieza a mover siempre apuntando

hacia arriba, pero a medida que va avanzando, la superficie se empieza a curvar, sin

embargo el lapiz localmente sigue sin cambio. Al retornar a su punto de partida se ob-

serva que el lapiz ya no esta apuntando hacia arriba, sino hacia abajo. En lo anterior,

el medio externo (la superficie) realizo un cambio en sus parametros el cual altero

el camino que seguıa el sistema (lapiz) mientras se transportaba sin cambio aparente

(transporte paralelo) para completar el ciclo y, por ello, se presento un cambio en la

orientacion del sistema (anholonomia). Esto en principio es lo que se postula en la

fase de Berry; ası, se puede abstraer que el responsable de ese cambio es el medio y

mas aun los parametros del medio. Ahora bien, en sistemas cuanticos no se puede

representar estas trayectorias, ellas se dan en un espacio parametrico, establecido por

los parametros que describen cada sistema.

Considere el hamiltoniano H = H (R(t)) el cual cambia al variar lentamen-

te los parametros R, los cuales cambian con el tiempo. El sistema cuantico describe

en el espacio mencionado un circuito entre el tiempo t = 0 y t = τ, de modo que

los parametros R(0) = R(τ). Ahora bien, si T → ∞ el sistema esta evolucionando

adiabaticamente, lo cual indica (como se definio en el capıtulo anterior) que la proba-

bilidad de transicion de un estado a otro es muy pequena segun lo establecido por el

teorema adiabatico. Ası, la funcion de onda debe satisfacer la ecuacion de Schrodin-

ger

(3.2.1) H [R(t)]|Ψ(t)〉 = ih|Ψ(t)〉

entonces, al pasar de un estado a otro, el sistema transita por cada estado

estacionario, es decir, instantaneamente tiene energıa bien definida, de modo que

(3.2.2) H [R(t)]|n(R)〉 = En|n(R)〉


Es decir, al considerarse dos estados n y k, se cumple la condicion de ortogona-

lidad

(3.2.3) 〈k(R)|n(R)〉 = δkn

por tanto no permite relacion entre dos estados que se encuentren en niveles

de energıa diferentes, es decir, los estados instantaneos son ortonormales. Adiabati-

camente un sistema preparado en uno de esos estados |n(R(0)〉 evolucionara con H

hasta |n(R(τ)〉. Como se hizo anteriormente, considerese que la funcion de onda que

describe el sistema en general es

(3.2.4) |Ψ(t)〉 = ∑n

cn(t)e−ih∫ τ

0 En(t)dt|n(t)〉

Sin embargo, como el hamiltoniano esta cambiando con respecto a algunos

parametros R que dependen del tiempo, entonces

(3.2.5) |Ψ(t)〉 = ∑n

cn(t)e−ih∫ τ

0 En(R(t))dt|n(R(t))〉

Sustituyendo (3.2.5) en (3.2.1) se tiene que

(3.2.6) cn(t) = −∑k

ck〈n(t)|ddt|k(t)〉e−

ih∫ τ

0

(Ek(R(t))−En(R(t))

)dt

El procedimiento anterior es similar al desarrollado en la descripcion del teore-

ma adiabatico. Sin embargo, existe una consideracion adicional: al separar el n-esimo

termino de la serie anterior [17] se tiene

cn(t) = −cn(t)〈n(t)|ddt|n(t)〉 −

∑k 6=n

ck〈n(t)|ddt|k(t)〉e−

ih∫ τ

0

(Ek(R(t))−En(R(t))

)dt(3.2.7)


La expresion (3.2.6) establece que el sistema evoluciona de un estado n a uno

k, donde evidentemente n y k en ningun instante son iguales. Ahora, la expresion

(3.2.7) indica que en algun momento los estados n y k pueden ser los mismos; por

tal motivo, el sistema luego de evolucionar adiabaticamente, vuelve a su punto de

partida, es decir, desarrolla un circuito en algun espacio abstracto.

Ahora, recordando los resultados obtenidos en el capıtulo anterior para el teo-

rema adiabatico, donde

(3.2.8) |〈n(t)|H |k(t)〉| → 0

entonces

(3.2.9) 〈n(t)| ddt|k(t)〉 → 0

por lo tanto, segun el teorema adiabatico el segundo termino de la expresion

(3.2.7) tiende a cero, de modo que

(3.2.10) cn(t) = −cn(t)〈n(t)|ddt|n(t)〉

Integrando la expresion anterior se tiene

(3.2.11) ln cn(t) = −∮

cn(t)〈n(t)|n(t)〉dt

ası

(3.2.12) cn(t) = eiσn

donde

(3.2.13) σn = i∮〈n(t)|n(t)〉dt


Sin embargo, hay que recordar que los estados en cuestion no estan descritos

por los cambios en el tiempo, sino por el cambio de los parametros que dependen del

tiempo; es decir |n(R(t)

)〉, por tal motivo

|n(t)〉 → |n(R(t)

)〉 = d

dt|n(R(t)

)〉

=d

dR|n(R(t)

)〉dR

dt= |∇Rn(R(t))〉R(3.2.14)

Ası, sustituyendo en (3.2.13) se tiene que

(3.2.15) σn = i∮〈n(R(t)

)|∇Rn

(R(t)

)〉 · dR

La integral (3.2.15) establece una circulacion de un vector en un camino deter-

minado, sin embargo, el uso de caminos en el contexto cuantico no es algo definido,

por lo tanto, la descripcion anterior es carente de realidad fısica. Utilizando el teorema

de Stokes

(3.2.16)∮

A · ds =∫ ∫

∇×A · da

donde A es un vector cualquiera, ds un diferencial de camino, da es un diferen-

cial de superficie y ∇×A es la rotacion del vector en cuestion. Es decir, el termino

de la izquierda representa la circulacion de algun campo vectorial en un circuito C,

mientras que el termino de la derecha establece que esta circulacion es la misma

que produce la rotacion del mismo campo vectorial en la superficie encerrada por el

circuito C. Entonces comparando (3.2.15) y (3.2.16), se tiene

(3.2.17) A→ 〈n(R(t)

)|∇Rn

(R(t)

)〉; ds→ dR

donde la expresion 〈n(R(t)

)|∇Rn

(R(t)

)〉 tiene caracter vectorial por el opera-

dor ∇R. Por tal motivo, la integral


∮〈n(R(t)

)|∇Rn

(R(t)

)〉 · dR

=∫ ∫ (

∇× 〈n(R(t)

)|∇Rn

(R(t)

)〉)· da(3.2.18)

La expresion (3.2.18) es la aplicacion del teorema de Stokes. Sin embargo, se

encuentra una relacion fısica importante al comparar el campo vectorial descrito por

〈n(R(t)

)|∇Rn

(R(t)

)〉). Su circulacion sobre el circuito en cuestion y la rotacion del

mismo campo al atravesar una superficie tiene el mismo significado. Al tener en

cuenta las ecuaciones de la magnetostatica, se encuentra que el rotor de un potencial

vectorial produce un campo magnetico, [18], es decir

(3.2.19) ∇×A = B

donde A es el potencial vectorial y B es el campo magnetico producido. Tenien-

do en cuenta el cambio de variable realizado en (3.2.17), se encuentra analogıa entre

la ecuacion (3.2.19) y el integrando de la (3.2.18); de tal suerte que se puede asemejar

este rotor con el flujo de un vector Bn. Entonces sustituyendo esto en (3.2.18), la fase

de Berry queda determinada por

(3.2.20) σn = i∫ ∫

Bn · da

La expresion (3.2.20) establece el resultado central de la fase de Berry, el cual

determina el ”flujo” del vector Bn que atraviesa la superficie encerrada por el circuito

C y cuyo campo se determina por medio de

(3.2.21) Bn = ∇R × 〈n(R(t)

)|∇Rn

(R(t)

)〉

aplicando las propiedades del operador ∇


Bn = 〈∇Rn(R(t)

)| × |∇Rn

(R(t)

)〉

+〈n(R(t)

)|∇R ×∇Rn

(R(t)

)〉(3.2.22)

donde el rotor de un gradiente es cero [19], de modo que

(3.2.23) Bn = 〈∇Rn(R(t)

)| × |∇Rn

(R(t)

)〉

Ahora, teniendo en cuenta los resultados obtenidos en el capıtulo anterior para

el teorema adiabatico y los elementos matriciales de la evolucion del hamiltoniano

(3.2.24) 〈m(R(t)

)|∇Rn

(R(t)

)〉 =〈m(R(t)

)|∇RH |∇Rn

(R(t)

)En − Em

, n 6= m

de tal forma que al emplear la relacion de completez [9]

(3.2.25) 1 = ∑ |m(R(t)

)〉〈m

(R(t)

)|

junto con (3.2.24) y (3.2.23)

(3.2.26) B = 〈∇Rn(R(t)

)|m(R(t)

)〉 × 〈m

(R(t)

)|∇Rn

(R(t)

)〉

y con esto

Bn =

〈∇Rn(R(t)

)|∇RH |m

(R(t)

)〉 × 〈m

(R(t)

)|∇RH |∇Rn

(R(t)

)(En − Em)2(3.2.27)

3.3 pruebas experimentales

A pesar de que la construccion teorica de la Fase de Berry se da bajo la su-

posicion de un circuito en un espacio parametrico, es decir, en un espacio que no es

3.3 pruebas experimentales 45

real fısicamente, esta fase sı puede ser detectada; por lo tanto, deja de ser solamente

una construccion teorica para tener toda la validez fısica , y ası predecir y justificar

fenomenos cuanticos.

Sin embargo, la medicion de la fase geometrica no se realiza directamente por

varias razones; una de ellas es debido a que los sistemas cuanticos estan restringidos

por el principio de incertidumbre de Heisenberg. Entonces, la medicion de la fase

se hace analizando dos ondas de sistemas identicos; una se hace evolucionar bajo

influencias adiabaticas hasta volver a las mismas condiciones iniciales, la otra no es

afectada de ninguna manera. Al hacerlas coincidir, se produce patrones de interfe-

rencia. La diferencia que existe entre las amplitudes corresponde a la diferencia de

fase entre las dos [12]. En otras palabaras, el patron de interferencia revela la fase

geometrica, ası los valores de la fase estan entre 0 y 2π. Lo dicho anteriormente no

solo tiene significado en el marco de la fısica, sino tambien en el de la geometrıa.

Al considerar el espacio parametrico en tres dimensiones y el sistema coordenado

en coordenadas esfericas y suponiendo conocido el ”vector”〈n(R(t)

)|∇Rn

(R(t)

)〉, el

cual determina el sistema que se estudia; se encuentra que la superficie de la esfera

y el angulo solido que se forma con el circuito corresponde con el mismo valor de la

diferencia de amplitudes en la interferencia de las dos ondas.

Ahora, la fase de Berry para sistemas que cambian su entorno adiabaticamente

ha sido corroborada en muchas ocasiones. A continuacion se describen brevemente

tres experimentos realizados contemporaneamente a la publicacion del trabajo de

Berry.

Chiao y Wu [20] consideran manifestaciones de la fase de Berry para fotones

en un estado de helicidad adiabaticamente invariante. El foton tiene espın 1. Al

varıar un campo magnetico externo, obligara a que el espın empiece a moverse;

al hacerse adiabaticamente el cambio, la orientacion del espın tambien cambiara

adiabaticamente. Al retornar el campo a sus condiciones iniciales, la funcion de

onda del espın cambia de signo con respecto a un espın identico en un campo

inalterado. Este cambio de signo se observa en el patron de interferencia. Por lo


tanto, la fase geometrica adiquiere un valor de π. El experimento realizado por

los autores, consiste en hacer incidir un haz de luz en una fibra optica y cambiar

la orientacion de la fibra con respecto al eje incidente inicial. Al comparar la

polarizacion inicial y final, observaron un cambio (Figura 7); esta corresponde

con la fase geometrica.

Figura 7: Arreglo del experimento de Chiao y Wu

Tycko [21] por su parte, describe una muestra de una rotacion del espectro de re-

sonancia magnetica, usando resonancia cuadrupolar de nucleos puros. Con una

muestra de un solo cristal que contiene espın nuclear S con simetrıa cuadrupo-

lar axial y acoplamiento constante de frecuencia ωQ y direccion de eje principal

z, se hace girar sobre el eje principal con velocidad angular ωR. El espectro de re-

sonancia nuclear cuadrupolar es obtenido al aplicar pulsos de radio-frecuencia

y detectando senales de decaimiento de libre induccion con un solenoide a lo

largo enrollado a lo largo de eje z (Figura 8). La condicion que plantea para que

el fenomeno sea adiabatico es que ωR << ωQ, de modo que el hamiltoniano

de espın tambien cambie adiabaticamente. En su artıculo muestra el espectro de

resonancia cuadrupolar nuclear del cloro (Cl) de un cristal de clorato de sodio

(NaClO3) al observarlo con varias frecuencias de rotacion.

Bitter y Dubbers [22] encuentran mediciones de la fase de Berry en un expe-

rimento en rotacion de espın de neutrones en un giro de campo magnetico.

Usaron un haz monocromatico de neutrones polarizados linealmente . Los ele-

mentos entraban y salıan de un material cilındrico, donde no hay campo que

los afecte. El material es un cilindro coaxial. La direccion de polarizacion de los

3.3 pruebas experimentales 47

Figura 8: Arreglo del experimento de Tycko

neutrones entrantes puede elegirse arbitrariamente. Dentro del material cilındri-

co los neutrones entran y salen en un campo magnetico helicoidal estatico, el

cual es perpendicular a la direccion de viaje de los neutrones. La bobina que

genera el campo magnetico esta enrollada a lo largo de la superficie y atraviesa

la entrada del cilindro hueco (Figura 9).

Figura 9: Arreglo del experimento de Bitter y Dubbers

En las siguientes secciones, se presentan respectivamente, un ejemplo de la

fase geometrica de una partıcula con espın en un campo magnetico variable y el

efecto Aharonov-Bohm expresado como una fase geometrica.


3.4 espin 1/2 en un campo magnetico variable

Figura 10: Cambio de orientacion del campo magnetico con una dependencia θ

Consideremos una partıcula con espın 12 moviendose en un campo magnetico

que cambia adiabaticamente bajo un angulo θ (FIgura 10), de la forma

(3.4.1) B(t) =

sen(θ) cos(ωt)

sen(θ) sen(ωt)

cos(θ)

donde ω es la frecuencia angular de rotacion. Como se menciono anteriormen-

te, al rotar el campo magnetico, el espın del electron realiza la misma rotacion. El

Hamiltoniano para el espın esta dado por

(3.4.2) H (t) = µB · σ

En la expresion (3.4.2) aparece el termino σ el cual corresponde a las matrices

de Pauli [9] las cuales estan dadas por

(3.4.3) σ1 =

0 1

1 0

, σ2 =

0 −i

i 0

, σ1 =

1 0

0 −1

3.4 espin 1/2 en un campo magnetico variable 49

mientras que

B1 = B0 sen(θ) cos(ωt), B2 = B0 sen(θ) sen(ωt),

B3 = B0 cos(θ)(3.4.4)

Segun el formalismo de las rotaciones de Pauli

(3.4.5) B · σ = B1σ1 + B2σ2 + B3σ3 = σ1 =

B3 B1 − iB2

B1 − iB2 −B3

por lo tanto,

(3.4.6)

B3 B1 − iB2

B1 − iB2 −B3

= B0

cos(θ) e−iωt sen(θ)

e−iωt sen(θ) − cos(θ)

de modo que (3.4.2) queda expresado como

(3.4.7) H (t) = µB0



donde µ = 1

2em h. Para determinar el estado instantaneo |n(t)〉 de espın, se tiene

en cuenta la ecuacion de valores propios

(3.4.8) H (t)|n(t)〉 = En|n(t)〉

solucionando se tiene que

(3.4.9)

∣∣∣∣∣∣ µB0 cos(θ)− En µB0e−iωt sen(θ)

µB0eiωt sen(θ) −µB0 cos(θ)− En

∣∣∣∣∣∣ = 0

donde

(3.4.10)((

µB0 cos(θ)− En)(− µB0 cos(θ)− En

)−(µB0

)2e−iωteiωt)= 0


Ası, los correspondientes valores propios estan determinados por

(3.4.11) E± = ±µB0

con esto, los vectores propios correspondientes son

µB0



(x±y±

)=

±µB0

(x±y±

)(3.4.12)

x± cos(θ) + y±e−iωt sen(θ) = ±x±

x±eiωt sen(θ)− y± cos(θ) = ±y±

(3.4.13)

y teniendo en cuenta los valores propios obtenidos para E+ y E−, se obtiene

respectivamente

(3.4.14) |n+(t)〉 =( cos φ

2

eiωt sen φ2

), |n−(t)〉 =

( − sen φ2

eiωt cos φ2

)Tomando el operador ∇ en coordenadas esfericas

(3.4.15) ∇|n±(t)〉 =∂|n±(t)〉

∂rr +

1r

∂|n±(t)〉∂θ

θ +1

r sin θ

∂|n±(t)〉∂φ

φ

Realizando la operacion para cada uno de los estados obtenidos, y recordando

que φ = ωt

∇|n+(t)〉 =1r

( −12 sin φ

212 eiωt cos φ

2

)θ +

1r sin θ

(0

ieiωt sin φ2

)φ

∇|n−(t)〉 =1r

( −12 cos φ

2

−12 eiωt sin φ

2

)θ +

1r sin θ

(0

ieiωt cos φ2

)φ(3.4.16)

3.5 efecto aharonov-bohm 51

Al realizar el producto interno dado por el integrando de la expresion (3.2.13)

con los resultados obtenidos de los estados propios correspondientes de (3.4.16) se

tiene que

〈n+|∇|n+〉 = isin2 θ

2r sin θ

φ

〈n−|∇|n−〉 = icos2 θ

2r sin θ

φ(3.4.17)

Como se observa en la figura 10, el radio es constante si se asume que es la

longitud del campo magnetico, θ es constante, ya que su inclinacion sobre el eje z no

cambia y φ varıa entre 0 a 2π al rotar completamente. Tomando coordenadas esfericas

y su elemento de lınea correspondiente ds = drr + rdϕϕ + r sin ϕdφφ y realizando la

integral de la expresion (3.2.13), se tiene que

(3.4.18)∮〈n±|∇|n±〉 · ds =

∮〈n±|∇|n±〉r sin ϕdφφ = iπ(1∓ cos ϕ)

Es decir, que la fase de Berry del problema anterior es

(3.4.19) σ = iπ(1∓ cos ϕ)

3.5 efecto aharonov-bohm

En el trabajo realizado por Aharonov y Bohm en 1959 [23], ellos encuentran

un resultado importante sobre los potenciales en sistemas cuanticos, y muestran que

el potencial vectorial deja de ser una simple herramienta matematica y toma sentido

fısico. Supongase que se tiene un haz de electrones el cual sale de la misma fuente.

Al pasar por algun arreglo el haz se divide en dos, y recorren caminos separados.

Sin embargo, luego vuelven a encontrarse y llegan juntos a una pantalla; en esta

situacion se observa en la pantalla un patron de interferencia constructiva, con lo que

se puede concluir que los electrones se encuentran en fase. Ahora bien, supongamos


que en el mismo arreglo anterior, se introduce una region con un campo magnetico

perpendicular a la trayectoria que siguen los dos haces; el resultado que se obtiene

es el mismo patron de interferencia, pero con un corrimiento determinado. Ahora,

Aharonov y Bohm plantean un experimento en el cual delimitan el campo magnetico

a una region determinada en la cual se aseguran de que los electrones no van a

interactuar con el campo, es decir, en lugar de una region con campo, se introduce en

el arreglo un solenoide, donde el campo se va a encontrar solamente en el interior del

mismo. Luego, se realiza la misma situacion y se observa que existe una interferencia

entre los haces que inciden, pero esta vez no es constructiva, sino que se concluye

que existe una diferencia entre las fases de las funciones de onda de cada haz. Segun

las ecuaciones de Maxwell, el potencial vectorial se encuentra circulando las lıneas de

flujo del campo magnetico, es decir

(3.5.1) ∇×A = B;

por lo tanto, el potencial es lo unico que se encuentra fuera del solenoide en

cuestion. Para los principios de la electrodinamica cuantica este potencial solo servıa

como justificacion matematica a las ecuaciones de Maxwell; sin embargo, al hablar

de sistemas cuanticos, Aharonov y Bohm establecen que el unico responsable de la

interferencia entre los dos haces, o de la diferencia en la fase de las funciones de onda

de los dos haces, es el potencial vectorial. Con esto, ellos justifican la existencia real de

un potencial vector, es decir toma sentido fısico y deja de ser una simple herramienta

matematica.

Ahora, supongase que la funcion de onda que describe el haz de electrones que

toma el primer y el segundo trayecto estan dadas por φ1 y φ2, respectivamente. Ahora

al hacerlas tomar los mismos trayectos anteriores, pero con el campo en el solenoide

activo, la funcion de onda que las describe son

(3.5.2) Ψ1 = φ1e−iqh∫ 2

1 A·dx1 , Ψ2 = φ2e−iqh∫ 2

1 A·dx2


Figura 11: Lıneas de campo magnetico por una superficie

respectivamente. Llamese

(3.5.3) S1 =qch

∫ 2

1A · dx1, S2 =

qch

∫ 2

1A · dx2

por lo tanto, para determinar la diferencia de fase


∆S =qch

[∫ 2

1A · dx2 −

∫ 2

1A · dx1

]=

qch

[∫ 2

1A · dx2 +

∫ 1

2A · dx2

](3.5.4)

∆S =qch

∮A · dx(3.5.5)

Donde dx = dx1 + dx2. La expresion anterior establece la relacion entre el

potencial vectorial y el cambio en la fase. Ahora bien, el efecto descrito es posible

reinterpretarlo como una fase geometrica segun la formulacion anterior. Sin embar-

go, existen variaciones con respecto a las consideraciones establecidas para la fase

geometrica. La primera de ellas es que, segun se analiza en la expresion (3.5.5), existe

un trayecto cerrado lo cual evita la necesidad de un cambio adiabatico en el entorno,

ademas que no se esta haciendo variar el entorno de ninguna manera. Es decir, en

este caso los electrones se estan moviendo de alguna manera en un trayecto cerrado,

y en su centro se encuentra el solenoide. En el exterior solamente aparece el efecto

del potencial; por lo tanto, si consideramos que el radio del solenoide es R, solo el

potencial actua para valores de r > R.

Los electrones estan descritos por un estado de energıa determinado, el cual

satisface la ecuacion de Schrodinger para estados estacionarios. La funcion de onda

que describe el haz de electrones para un estado de energıa en cuestion es

(3.5.6) n(r− R) = φn(r− R)eiqh∫ r

R A·dx

como se habıa propuesto con anterioridad. Haciendo uso de la expresion (3.2.17)

(3.5.7) 〈n(R(t)

)|(∇Rn

(R(t)

)= A

y utilizando (3.5.6) y (3.5.7) se tiene que


〈n(R(t)

)|(∇Rn

(R(t)

)= φ∗n(r− R)e−

iqh∫ r

R A·dxeiqh∫ r

R A·dx[∇Rφn(r− R)− iq

hφn(r− R)∇RA

](3.5.8)

= φ∗n(r− R)∇Rφn(r− R)− φ∗n(r− R)φn(r− R)iqh

A(3.5.9)

El primer termino de la expresion (3.5.9) corresponde al producto interior entre

un estado cualquiera y la derivada del mismo estado, el cual, como Born y Fock [7]

lo plantean, es cero

(3.5.10)∫

φ∗n(x)∇φn(x)d3x = 0

ası, la expresion (3.5.9) se puede presentar como

(3.5.11) 〈n(R(t)

)|(∇Rn

(R(t)

)=∫ ∫ ∫

n∗(R(t)

)∇Rn

(R(t)

)d3x

y queda expresada por

〈n(R(t)

)|(∇Rn

(R(t)

)=∫ ∫ ∫

φ∗n(r− R)∇φn(r− R)d3x−∫ ∫ ∫φ∗n(r− R)φn(r− R)d3x

iqh

A(3.5.12)

Utilizando (3.5.10) y la condicion de normalizacion, se tiene

(3.5.13) 〈n(R(t)

)|(∇Rn

(R(t)

)= − iq

hA

de tal forma que la fase geometrica del efecto Aharonov-Bohm es

σn = i∮〈n(R(t)

)|∇Rn

(R(t)

)〉 · dR

σn = −i∮ iq

hA · dR(3.5.14)


la integral∮

A · dR corresponde al flujo Φ, ası

(3.5.15) σn =qh

Φ

lo cual corresponde con el resultado obtenido por Aharonov y Bohm [23]. Con

esto se muestra el efecto de los potenciales vectoriales en un sistema cuantico expre-

sado como una fase geometrica.

4

D I S C U S I O N F I N A L - C O N C L U S I O N E S

4.1 fase de berry como un invariante adiabatico

Los avances en mecanica cuantica y sus descubrimientos, han dejado de lado,

con poca importancia ante un gran sector de la comunidad cientıfica, los fundamentos

y los cimientos en los que esta construida la teorıa. Sin embargo, en el desarrollo

anterior se ha presentado la importancia que tienen los invariantes adiabaticos y la

hipotesis adiabatica propuesta por Ehrenfest en el estudio de sistemas cuanticos que

evolucionan lentamente. Ahora bien, muchos conceptos clasicos en el marco de la

mecanica cuantica no se encuentran bien definidos, como es el caso de las trayectorias,

pero se observa de una manera interesante el hecho de que Berry asocia este concepto

introduciendo un espacio abstracto parametrico para darle sentido a sus suposiciones,

las cuales estan en concordancia con los experimentos que se realizaron poco tiempo

despues con el fin de probar la existencia de la fase. Este indicio de trayectoria, de

cierta manera da cabida a la suposicion de una relacion entre las trayectorias clasicas

en el diagrama de fase y las trayectorias que sigue el espacio parametrico introducido

por Berry.

La existencia de un espacio de fase en el cual se pueda observar la evolucion

de un sistema y comparar el estado inicial y final del mismo, se encuentra determi-

nado por el Teorema de Liouville [6]. Este relaciona las coordenadas generalizadas

de la posicion y el momentum en la mecanica clasica, conceptos que no se encuen-

57

58 discusion final-conclusiones

tran bien definidos en la mecanica cuantica por la restriccion dada por el principio

de incertidumbre de Heisenberg y su relacion con la influencia del observador en la

medicion. Al no estar bien definida la posicion, la trayectoria que sigue en ese espacio

una partıcula tampoco lo esta. Sin embargo, al introducir un espacio que esta determi-

nado por caracterısticas del entorno de un sistema, se puede encontrar una relacion

entre operadores en mecanica cuantica; es decir, debe existir una similitud entre el

espacio de fase y el espacio abstracto de la fase geometrica. Para ello, se consideran

relaciones entre el momentum y la posicion clasicos, con el operador momentum y

posicion de la mecanica cuantica.

Con el fin de comprender lo anterior, consideremos lo siguiente: La fase de

Berry se encuentra expresada por (3.2.18);

(4.1.1) σn = i∮〈(R(t)

)|∇Rn

(R(t)

)· dR

al relacionar lo anterior con el operador momentum de la mecanica cuantica,

(4.1.2) pq = −ih∇R

y, al reorganizar la expresion (4.1.1) y haciendo uso de (4.1.2) se tiene

(4.1.3) σn = −1h

∮〈(R(t)

)| pq|n

(R(t)

)· dR

La expresion anterior establece el valor esperado del momentum ¯pq en el esta-

do instantaneo |n(t)〉. Ahora, como los parametros que afectan el sistema son espacia-

les, estos se pueden relacionar con las coordenadas en las que se “mueve” el sistema

en un sistema de coordenadas cualquiera. Ası, estas coordenadas seran generalizadas,

de modo que, dR sera dq.

(4.1.4) σn = −1h

∮¯pq · dq

4.1 fase de berry como un invariante adiabatico 59

Pero la integral de la expresion (4.1.4) tiene forma similar a la variable accion

empleada en la mecanica clasica y propuesta en la ecuacion (1.3.3). Ası, la fase de

Berry vista desde un marco clasico, se puede expresar como

(4.1.5) σn = −1h

J

Sin embargo, la nocion de la variable accion implica varias situaciones. La

primera de ellas es que el sistema debe ser periodico, y tal como se ha expresado en

la fase de Berry en el capıtulo anterior, el sistema al retornar a sus valores iniciales,

se puede considerar como periodico en determinados parametros. Lo siguiente, y lo

mas importante en el contexto del presente trabajo, es que la variable accion es un

invariante adiabatico, por tal motivo y bajo las suposiciones impuestas, la fase de

Berry para un sistema determinado es un invariante adiabatico, es decir,

(4.1.6) σn = Inv. Adia.

Esto se puede ver en el hecho que la fase de Berry para partıculas con espın12 siempre es la misma y solo depende del angulo solido que encierra la “trayectoria”

como se aclaro mas arriba con los experimentos que comprobaron la fase. Ası como

para partıculas con espın 1.

Pero las relaciones (4.1.4), (4.1.5) y (4.1.6), permiten suponer la existencia de

un espacio en el cual se pueda describir la periodicidad y la invarianza del sistema

y de la fase, un espacio similar al diagrama de fase, donde el volumen encerrado

por la trayectoria corresponda con el valor del angulo solido y, a su vez, con la fase

geometrica de Berry.

Esto puede relacionarse con el teorema de Liouville para la mecanica clasica,

en el cual el volumen en el espacio de fase se mantiene invariante con la evolucion

del sistema, y se enuncia como

(4.1.7) Ω =n

∑i=0

∫ ∫dpidqi

60 discusion final-conclusiones

donde qi son las coordenadas generalizadas del sistema y pi los momentum.

Al restringir el sistema a un grado de libertad, que en este trabajo vendrıa a ser dado

por el parametro que cambia en el entorno, y el momentum que depende de el, se

podrıa definir que

(4.1.8) Ω = σn

Es decir, que la fase de Berry y el ”volumen” encerrado por determinada trayec-

toria en el espacio abstracto son equivalentes. De esta manera se pretende relacionar

el espacio parametrico con algun “espacio de fase”. Lo anterior propone la existencia

de un espacio abstracto, donde se pueda evidenciar la periodicidad de un sistema

cuantico.

4.2 conclusiones

Este trabajo ha permitido reconocer un efecto que se presenta en el marco de la

mecanica cuantica cuando un sistema fısico se encuentra inmerso en un medio cam-

biante lentamente. Sin embargo, el llegar a describir sus principios se harıa imposible

sin conocer el origen de ellos. El mas importante es la hipotesis adiabatica y como

consecuencia de el, los invariantes adiabaticos; ası, se pudo mostrar como a partir

de los invariantes adiabaticos se da una explicacion a los estados estacionarios de un

sistema cuantico. Esto se da con el hecho de que la razon entre la energıa y la frecuen-

cia permanece invariante, ası mostrando que la constante de Planck tiene realidad

y sentido fısico. Pero la importancia de la hipotesis adiabatica no termina ahı. En el

segundo capıtulo se mostro como el teorema adiabatico parte de los mismos concep-

tos que Ehrenfest vinculo en su hipotesis. Sin embargo, aquı se generaliza a sistemas

cuanticos al introducir la probabilidad de transicion de sistemas, cuyo entorno evolu-

ciona lentamente. Y como consecuencia de ello, surge la denominada Fase de Berry

cuando el entorno completa un ciclo, es decir, cuando vuelve a sus mismas condi-

ciones iniciales. Esta fase se denomino geometrica ya que depende de la ”forma”de

4.2 conclusiones 61

la trayectoria (en el sentido en que cambia algun parametro). Al tener propiedades

geometricas, la fase de Berry se encuentra vinculada con elementos de la geometrıa

diferencial, y en particular con el transporte paralelo. Este transporte paralelo es un

concepto fundamental, ya que permite definir cambios globales sin cambios locales.

Con el fin de mostrar la validez de la fase de Berry, se realizo una revision del

efecto Aharonov-Bohm, y se llego a una formulacion en terminos de la fase geometri-

ca. Con todo lo anterior, en la ultima seccion se deja abierta una propuesta de estudio

con respecto a la relacion que puede existir entre la fase de Berry y el teorema de Liou-

ville, mostrando que el volumen que se encierra en la trayectoria de fase es invariante

al evolucionar en el tiempo.

B I B L I O G R A F I A

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