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CONTENIDOS GENERALES DEL CURSOBLOQUE I. CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE MODELADO DE REACTORES. EN ESPECIAL LOS REACTORES TIPO TANQUE CONTINUOS AGITADOS (RTCA) EN LOS QUE SE DA UNA REACCIN EXOTERMICA DE PRIMER ORDEN. EFECTO DEL CONTROL CON REGULADORES PI Y FENMENOS NO LINEALES BLOQUE II. NOCIONES BASICAS DE CONTROL NO LINEAL BASADOEN METODOS DE GEOMETRA DIFERENCIAL. EN ESPECIAL SE O OS G O C S C S ESTUDIAR EL CONTROL POR LINEALIZACION EXACTA ENTRADASALIDA PARA SISTEMAS MIMO. APLICACIN AL CONTROL DE REACTORES RTCA

CONTROL DE REACTORES TIPO TANQUE CONTINIUOS AGITADOS (RTCA)(RTCA)-(CSTR)Manuel F. Prez Polo. DFISTS. Universidad de Alicante.

BLOQUE III. ESTUDIO DE UN REACTOR RTCA CON REACIN III EXOTERMICA DE PSEUDO-PRIMER ORDEN. DISEO DEL CONTROL NO LINEAL POR LINEALIZACIN EXACTA ENTRADA-SALIDA. ANALISIS DE LA DINMICA INTERNA Y SU INFLUENCIA EN LA APARICIN DE FENMENOS NO LINEALES

CONTENIDOS ESPEFCFICOS1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Caractersticas generales y clasificacin de reactores El reactor RTCA comparado con otros tipos de reactores Balances de materia y energa. Modelado de tanques y reactores RTCA Calor generado-eliminado en reactores RTCA para la reaccin A B Funcionamiento del reactor en rgimen de auto-regulacin Control de reactores RTCA con reguladores PI Fenmenos no li lineales con control PI l l

BIBLIOGRAFIABLOQUE I1. H. Scott Fogler, Elements of Chemical Reaction Engineering, fourth ed., Prentice Hall, 2006. 2. T. Marlin, Process Control, Mc Graw Hill, 2000. 3. W. L. Luyben, P 3 W L L b Process modelling, simulation and control f chemicals d lli i l i d l for h i l engineers, third ed., Mc Graw Hill, 2000. 4. W. L. Luyben, M. L. Luyben, Essential of Process Control, Mc Graw Hill, 2000. 2000 5. B. W. Bequette, Process Control, Prentice Hall, 2003. 6. C. A. Smith, A. B. Corripio, Principles and Practice of Automatic Process Control, Control John Wiley & Sons 1997 Sons, 1997. 7. D. R. Coughanowr, Process Systems Analysis and ontrol, second ed., Mc Graw Hill, 1991. 8. B. A. Ogunnaike, W. H. Ray, 8 B A Ogunnaike W H Ray Process Dynamics Modelling and Control Dynamics, Control, Oxford University Press, 1994

BLOQUE I Q

1. Visin general del control no lineal basado en mtodos geomtricos 2. lgebra de Lie. Relacin con la Controlabilidad y observabilidad de sistemas no lineales 3. Concepto de grado relativo en sistemas SISO y MIMO 4. Linealizacin exacta entrada-salida en sistemas MIMO. Dinmica interna 5. Diseo del sistema de control. Aplicacin a reactores RTCA 1. Anlisis del funcionamiento de un reactor RTCA con reaccin exotrmica de pseudo primer orden con control no lineal. 2. El problema de la dinmica interna. Comportamiento auto-oscilante 3. Estudio de las seales de control y como obtenerlas fsicamente 4. Comportamiento catico y como utilizarlo en el diseo del control

BLOQUE II

BLOQUE III

BIBLIOGRAFIABLOQUE II1. A. Isidori, 1 A Isidori Nonlinear Control Systems third ed Springer 2004 Systems, ed., Springer, 2004. 2. H. Nijmeijer, A. J. van der Schaft, Nonlinear Dynamical Control Systems, Springer-Verlag, 1990. 3. H. K. Khalil, Nonlinear Systems, second ed., Prentice Hall, 1996. 4. S. Sastry, Nonlinear Systems, Analysis, Stability and Control, Springer, 2000. , , g , , 5. R. Marino, P. Tomei, Nonlinear Control Design, Prentice Hall, 1995. 6. M. Vidyasagar, Nonlinear Systems Analysis, Prentice Hall, 1993. 7. C. Kravaris, J. C. Kantor, Geometric Methods for Nonlinear Process Control. 1 Background, Ind. Eng. Chem. Res., 29, 2295-2310, 1990. 8. C. Kravaris, J. C. Kantor, Geometric Methods for Nonlinear Process Control. 2 Controller Synthesis, Ind. Eng. Chem. Res., 29, 2310-2323, 1990. 9. C. Kravaris, M. Soroush, Synthesis of Multivariable Nonlinear Controllers by input/Output Linearization, AIChE Journal, 36, 249-264, 1990.

BIBLIOGRAFIABLOQUE III1. P. Daoutidis, M. Soroush, C. Kravaris, Feedforward/Feedback Control of Multivariable Nonlinear Processes, AIChE Journal, 36, 1471-1484, 1990. , , y 2. P. Daoutidis, C. Kravaris, Inversion and Zero Dynamics in Nonlinear Multivariable Control, AIChE Journal, 37, 527-538, 1991. 3. H. Oscar, R. Femet, V. Gonzlez (Eds), Selected Topics in Dynamics and Control of Chemical and Biological Processes, Springer, (LNCIS 361) g p g ( ) Lecture notes in Control and Information Sciences, 2007. 4. M. Perz, R. Font, M. A. Montava, Regular self-oscillating and Chaotic dynamics of a continuous stirred tank reactor, Comp.,Chem., Eng., 26, 889901, 2002. 5. M. Prez, P. Albertos, Self-oscillating and chaotic behaviour of a PIcontrolled CSTR with control valve saturation, J. Process Control, 14, 5159, 2004 9 2004.

BLOQUE I1. Clasificacin de los reactores se puede hacer en base a:1.1 Patrn de flujo continuo o discontinuo de la mezcla reaccionante 1.2 1 2 De acuerdo con el sistema de transferencia de calor. calor 1.3 Modo en que varan la variables del proceso con el tiempo. 1.4 Caractersticas constructivas del aparato (tamao). 1.5 E f 1 5 En funcin d alimentacin-eliminacin de reactantes-productos i de li t i li i i d t t d t

BLOQUE I1.6 Reactores continuos: a) Reactores en flujo de pistn. ) p q g (RTCA) ) b) Reactores tipo tanque agitados ( c) Otros tipos de reactores (lecho fluido, vaporizadores) 1.7 Reactores discontinuos (batch). 1.8 Reactores semicontinuos

Clasificacin de reactores de acuerdo con el patrn de flujo

Las t i L anteriores formas de clasificacin no son excluyentes. f d l ifi i l t Por ejemplo los reactores continuos o discontinuos se pueden diferenciar en la forma de aportar o eliminar calor

1.6 1 6 Reactores continuos: a) Reactores en flujo de pistn. b) Reactores tipo tanque agitados (RTCA) c) Ot ) Otros tipos de reactores (lecho fluido) ti d t (l h fl id ) 1.7 Reactores discontinuos (batch). 1.8 Reactores semicontinuos

Clasificacin de reactores de acuerdo con el patrn de flujo

Reactor 3 5 m dimetro 38 m altura 3.5 altura. Sntesis de Fischer-Tropsch: CO + 3H2 CH4 + H2O Reactor RTCA 1 m dimetro 2m altura

BLOQUE I1.6 ) Reactor d l h 1 6 c) R t de lecho fluido para produccin de anilina a partir de la hidrogenacin del nitrobenceno en fase p vaporRecipiente con control de presin Intercambiador de calor Lecho fluido. Control de temperatura y nivel Control en cascada temperatura del lecho y agua de refrigeracin

BLOQUE IControl C t l con reguladores PI l d (Lazos de caudal) PID (Lazos de temperatura y nivel) Recipiente con control de d presin i

1.6 c). 1 6 c) Vaporizador de nitrobenceno para el reactor de lecho fluido. No N se d reaccin pero da i el diseo trmico es anlogo al de reactores con reaccin qumica

BLOQUE I1.7; 1.8 1 7; 1 8 Distintos tipos de reactores continuos o discontinuos

BLOQUE I1.7 1 7 Reactor discontinuo (Batch). Mecanismo de agitacin. Sondas (Batch) agitacin para sensores de variables manipuladas presin y temperatura

BLOQUE I1.6 c). 1 6 c) Algunos tipos de reactores especiales difciles de clasificar

BLOQUE I1.6 c). 1 6 c) Algunos tipos de reactores especiales difciles de clasificar

BLOQUE I1.6 b); 1.7 Detalles constructivos de un reactor RTCA o tipo Batch ) refrigerado por camisa con el mecanismo de agitacin y conexiones de sensores para control

BLOQUE I1.6 b) Detalles constructivos de un reactor RTCA refrigerado por camisa ) g p con el mecanismo de agitacin y conexiones de sensores para control

BLOQUE I1.6 b) Layout de conexiones e isomtrico de tuberas en bateras de ) y reactores RTCA

BLOQUE I1.6 b) Layout de conexiones e isomtrico de tuberas en bateras de reactores RTCA

BLOQUE I2. 2 El reactor RTCA comparado con los reactores discontinuos y en flujo de pistnVentajas: Fcil control de volumen y temperatura con PID Barato de construir y fcil de operar Gran capacidad calorfica para reacciones exotrmicas Fcil acceso al interior y a tareas de limpieza

BLOQUE I3. 3 Modelado de reactores RTCA. Curvas de calor generado-eliminado El modelado est basado en balances de materia y energa. energa Estudiaremos reactores con reacciones en fase lquidaFo ; CAo ; To ; ; cp

NOMENCLATURA Y VALORES DE PARMETROS PARA UN REACTOR CSTR

Variable V i blFo Vm Cao Cam Tm Tmj Tmo Vj E U A Tjo H cp cpj

Descripcin D i iCaudal entrada (ft3/h) Volumen medio reactor (ft3) Concentracin media caudal entrada (mol A/ft3) C t i di d l t d ( l Concentracin media en el reactor (mol A/ft3) Temperatura media en el reactor (R) Temperatura media del refrigerante ( R) (R) Temperatura media caudal de entrada (R) Volumen camisa (ft3) Constante de reaccin ecuacin Arrhenius (h-1) Energa de activacin (BTU/mol) Coeficiente transmisin de calor BTU(h.ft2. R) ( rea transmisin calor (ft2) Temperatura entrada fluido refrigerante (R) Calor de reaccin (BTU/mol) Calor especfico mezcla en el reactor (BTU/lb. R) Calor especfico fluido refrigerante (BTU/lb. R) Densidad mezcla (lb/ft3) Densidad fluido refrigerante (lb/ft3) Caudal fluido refrigerante (ft3/h) Temperatura del punto de consigna (R)

Valor V l40 48 0.50 0 50 0.245 600 594 530 3.85 7.08x1010 30000 150 250 530 30000 0.75 1 50 62.3 49.9 600

Reactor RTCAInconvenientes: La conversin de reactante a producto por unidad de volumen del reactor es pequea comparada con los reactores discontinuos y de flujo Se necesita ms volumen para una misma conversin comparada con reactores continuos y di d t ti discontinuos tiFj ; Tjo ; j ; cpj

Fj ; Tj ; j ; cpj AB

T

CA F ; CA ; T ; ; cp

j Fj Tset

BLOQUE IFo ; CAo ; To ; ; cp


Reactor RTCA (CSTR) con control de temperatura y nivel con reguladores PIDFj ;TJ ;


TT LT

T


Ecuacin general del p balance de materia para el componente i

TT LT

T


Ecuacin general del balance de energa para el componente i i

CV2 Fj ; Tjo ; j ; cpj CV1


dNi,acc Acumulacin del componente i en el volumen del reactorV = dt (mol/tiempo)

dEsys dt n dEsys & & n = Q W + Fi Ei Fi Ei i=1 i=1 dt o

=

Acumulacin Ac m lacin de energa en el sistema (kJ/tiempo)

dNi,acc = Fio Fi Gi,r dt

Fio = Caudal de entrada componente i (mol/tiempo) Fi = Caudal de salida componente i (mol/tiempo) Gir = Generacin del componente i debido a lareaccin qumica (mol/tiempo)

& Q Q=

Calor suministrado o eliminado del reactor (kJ/tiempo) (kJ/ti )

n Energa asociada a los caudales de entrada FE = (kJ/tiempo), i =1 i i o

n Energa asociada a los caudales de salida FE = (kJ/tiempo), i =1 i i


BLOQUE ILa L energa acumulada en el reactor Esys es i l d l t igual a la suma de las energas l l d l especficas de los productos multiplicada por el nmero de moles, o sea:


TT LT

T



La energa Ei es la suma de la energa interna, cintica y potencial y otras energas del componente i. Siendo P = i presin y V = Vi el volumen del reactor,el trabajo en un RTCA se reduce a:

E sy s =

1 i=

n

N i Ei =

1 N i ( H i P V i ) i=

n

Derivando respecto al tiempo la ecuacin anterior y teniendo en cuenta que las variaciones de volumen y presin total son despreciables y que por p p p definicin la entalpa del componente i viene dada por: Hi = cpiT se deduce:

& W = Fi P V i + Fi P V i i =1 o i =1

n

n

n dEsys & n = Q + Fi (Ei + PVi ) Fi (Ei + PVi ) dt i=1 i=1 o

n dEsys & n y = Q + Fi0Hi0 Fi Hi dt i=1 i=1

dEsys & & = Q W + Fi Ei Fi Ei i =1 i =1 dt o

n

n

Hi = Ei + PVi

n dEsys & n = Q + Fi0Hi0 Fi Hi dt i=1 i=1

n N c i pi i =1

dT + c T dN i = Q + & pi dt dt

i =1

n

Fi 0 H i 0

Fi H i i =1

n

BLOQUE ILa L ecuacin del balance de moles para el componente i viene dada por: i d l b l d l l t i d d

BLOQUE ILa L ecuacin del balance de moles para el componente i viene dada por: i d l b l d l l t i d d

dNi = Fi0 Fi irV ; r =CieE RT V dt

Ley Arrhenius siendo el factor preexponencial y i es la variacin del nmero de moles del reactante i

1 i=n

n

& N ic pi d T = Q dtn n

1 Fi 0 c p i (T T i 0 ) + ( H R ) ( rV ) i=Siendo cps la capacidad calorfica de la solucin y F10cps viene dada en kJ/ K kJ/s.K

n

n

n N c i pi i =1

dT + c T dN i = Q + & pi dt dt

Fi0 H i0 Fi H i i =1 i =1 H R =

n

n

Nicpi Niocpi = N10(1+ Ni )cpi = N10cps i=1 i=1 i=2 Fi0cpi = F10cps i=1n

La entalpa de reaccin se define de la forma: De las ecuaciones anteriores se deduce:

i =1

n

i H i

Suponiendo que todos los reactantes entran al reactor a la misma temperatura: p q p

1 N i c p i ddTt i=

& =Q

1 Fi 0 c p i (T T i 0 ) + ( H R ) ( rV ) i= Nicpi Niocpi = N10(1+ Ni )cpi = N10cps i=1 i=1 i=2 Fi0cpi = F10cps i=1BLOQUE In n n n

n

& N10 c ps dT = Q F10 c ps T T0 + ( H R ) ( rV ) dtEn la ecuacin anterior hay que especificar la forma que tiene el calor eliminado para reacciones exotrmicas lo cual depende del tipo de sistema de refrigeracin exotrmicas, del reactor, bien sea una camisa, un serpentn o un cambiador de calor externo.

(

)

Para reacciones en fase lquida se cumple:

BLOQUE I Ej Ejemplo 1: M d l de mezclado en un tanque agitado sin l 1 Modelo d l d t it d i reaccin qumica basado en balances de materia y energaCORRIENTE DE

Reactor refrigerado por camisa

Reactor refrigerado por serpentn p

Reactor refrigerado por cambiador exterior

FC , TC FH , T H

CORRIENTE FRIA CORRIENTE CALIENTE

TC

PERTURBACIN FD , T D

Los casos de refrigeracin ms usados son con camisa y con serpentn. El g p reactor refrigerado por cambiador suele ser ms caro y se utiliza en el modelado de reactores RTCA con patrones de flujo no ideales

& Qcamisa = UA T j T

Por consiguiente la forma del balance de energa en la camisa es de la forma:

&serpentin = mcc T T 1 exp UA & pj j Q mcc & pj

LC

h(t)

T

A

F(h) , T

V j c pj j

dT j = F j j c pj T jo T j + UA T T j dt

A continuacin se estudian varios casos de modelado de tanques RTCA sin y con reaccin qumica.

c p

d h(t )T (t ) A dt

A dh(t ) = ( FC + FH + FD ) F (h)dt

= c p (FCTC + FHTH + FDTD ) c p F h(t ) T (t )

BLOQUE I Definicin de variables de estado, control y perturbaciones Trminos no lineales: F h(t ) = K

BLOQUE I Variables de desviacin y clculo del jacobiano. Sistema jacobiano linealizado en el punto de equilibrio

h(t ) ; F[h(t )]T (t ) ; h(t )T (t ) ; FD (t )TD (t )

Variables de estado: altura y la temperatura del tanque:

h(t ) = h(t ) hs ; FH (t ) = FH (t ) FHs ; FD (t ) = FD (t ) FDs T (t ) = T (t ) Ts ; FC (t ) = FC (t ) FCs ; TD (t ) = TD (t ) TDs f 1 h s

h(t ) ; T (t ) Variables de control: caudales de las corrientes fra y caliente:

=

FC(t) ; Fh(t) Perturbaciones: caudal y temperatura corriente que viene de otro proceso:

K 2 A hs

;

FD(t) ; TD(t) Ecuaciones del modelo no lineal:

f 2 h

s

f 1 T s

=0

= 1 2 {F Hs (THs Ts ) + FCs (TCs Ts ) + F Ds (TDs Ts )} Ahs

Punto de equilibrio:

dh(t ) = 1 F (t ) + F (t ) + F (t ) K h(t ) ) A D C dt A( H dT (t ) dh(t ) 1 + T (t ) = ( FH (t )TH + FC (t )TC + FD (t )TD (t )) K T (t ) h(t ) dt dt A A

h(t )

0 = 1 ( FHs + FCs + FDs ) K hs A A FCs FHs FDs 0= THs Ts ) + TCs Ts ) + TDs Ts ) Ahs ( Ahs ( Ahs (

En general la linealizacin de un sistema no lineal en el punto de equilibrio se realiza de la forma: p q

Variables de desviacin

BLOQUE I

& x1 ( t ) = f1 x1 ( t ),..., x n ( t ); u1 ( t ),..., um ( t ); p1 ( t ),..., pk ( t ) & x2 (t ) = . & xn (t ) =

f 2 x1 ( t ),..., x n ( t ); u1 ( t ),..., um ( t ); p1 ( t ),..., pk ( t ) f n x1 ( t ),..., x n ( t ); u1 ( t ),..., um ( t ); p1 ( t ),..., pk ( t )

x(t ) = x (t ) xs ; u (t ) = u (t ) us ; p(t ) = p (t ) ps& x(t ) = f x ; u ; p s s s x s

x(t ) +

f x ; u ; p s s s u (t ) + f xs ; us ; ps u p s s

p(t )

& x(t ) = Ax(t ) + Bu(t ) +Wp(t ) f 1 x 1 f2 A= x1 . fn x 1

& x ( t ) = f x ( t ); u ( t ); p ( t )

& x (t ) = 0 f x s ; us ; ps = 0

f

x(t);u(t); p(t) =

f

1 f xs;us; ps xs ;us ; ps + 1! x s

((x xs )

f x ;u ; p f x ;u ; p + 1 s s s ( (u us ) + 1 s s s ( ( p ps ) +........... 1! u 1! p s s

f1 x2 f2 x2 . fn x2

f f1 1 xn u 1 f2 f2 . xn ; B = u1 . . . fn fn . xn u 1

.

s

f1 u2 f2 u2 . fn u2

f f1 1 um p 1 f2 f2 . um ; W = p1 . . . fn fn . um p 1

.

s

f1 p2 f2 p2 . fn p2

f1 pk f2 . pk . . fn . pk .

s

BLOQUE I Ecuaciones del modelo linealizado en el punto de equilibrio dh(t ) = 1 F (t ) + F (t ) + F (t ) K h(t ) ) A D C dt A( H FC (t ) FD (t ) dT (t ) FH (t ) = TH T ( t ) ) + TC T (t ) ) + TD ( t ) T ( t ) ) dt Ah(t ) ( Ah(t ) ( Ah(t ) (

Ecuaciones linealizadas del modeloK = F H s + FC s + F D s hs

BLOQUE I

m 3 / m in i m 1/ 2 s

; Ts =

F H sT H s + F C sTC s + F D sT D s F H s + FC s + F D s

( f 2 f 1 FH s f 1 FD s d d h(t )

h ) = 0ss

f 2 T

K hs = 1 ( FHs + FCs + FDs ) = = K Ahs Ahs A hss s

f f f = 1 ; 1 = 0 ; 2 = 1 (THs Ts ) ; 2 = 1 (TCs Ts ) FH Fc A FC Ahs Ahs f f f F = 1 ; 1 = 0 ; 2 = 1 (TDs Ts ) ; 2 = Ds FD Fc A TD Ahs Ahs s s s

dh(t ) = f1 h(t ),T (t ), FH (t ), FC (t ), FD (t ),TD (t ) dt dT (t ) ) ) ) ) ), = f 2 h(t ),T (t ), FH (t ), FC (t ), FD (t ) TD (t ) dt

dh(t ) f 1 dt = h dT (t ) f d 2 dt h

f f f 2 f 2 1 1 F (t ) F h(t ) FH FC H T + + D f 2 T (t ) f 2 f 2 FC (t ) f 2 T s FH FC FD s

f 2 TD FD (t ) f 2 TD (t ) TD s

K 2 A hs dt = T ( t ) T s 0 dt

hs

K A hs s

0

h(t ) h s T ( t ) T s FDs A hs s

+

1 A T Ts Hs A hs

1 F (t ) F A Hs H TC s T s F ( t ) F Cs C A hs s

+

1 A T Ts Ds A hs

0

F (t ) F Ds D T (t ) T Ds D

Ejemplo 2: Reactor RTCA sin controlCAi, Ti, Fi, i, cpi Fj, Tj Fjo, TjoAB

BLOQUE I

BLOQUE IEjemplo 2. Reactor RTCA sin control en el que se da una reaccin exotrmica j p q irreversible de primer orden: A B. Aadiendo el balance de energa en la camisa, las tres ecuaciones del reactor son:

T, T CA

CA, T, F, , cp VC2

d ( V ) = i Fi F dt dV = F F i dt

VC1

Camisa Vj

dNA d(VCA) = =CAi Fi CAF rV dt dt

dC a F = o C ao C a C a e E R T V dt d T = F o T T + ( H r ) C e E R T U A a c p V o c pV dt dT dt j = F V j T UA T T T + jo j c V j j j pj j

T

T

j

dC A C A dV + V = C Ai Fi C A F C AVe E / RT dt d d dt dC A Fi = ( C Ai C A ) C A e E / RT V dt d dT = Fi (T T ) + ( Hr ) C eE / RT Q A c p c pV dt V i

A partir de estas ecuaciones se puede analizar el comportamiento de estado estacionario estacionario, para comprobar que es posible un funcionamiento del reactor en rgimen de autorregulacin, o sea que ante perturbaciones en la composicin de entrada Cao, la temperatura de entrada To y la temperatura de entrada del agua de refrigeracin Tjo, el sistema alcanza un estado de eq uilibrio que puede ser adecuado o no.Sean Cae, Te, Tje los valores de equilibrio en los que se verifica:

dCa = dT = dT j = 0 dt dt dt

C ae =

C ao 1 + V e E / RT Fo

BLOQUE IdC a F = o C ao C a C a e E R T V dt ( H r ) Fo dT = T T + C a e E R T U A T T c p j V o c pV dt dT dt j = j T UA T T T + j c V j V jo j j pj j

BLOQUE ICalor eliminado con el caudal de salida y con la refrigeracin:

Q E = c p F o (T e T o ) + U A (T e T je )En el equilibrio se verifica que QG = QE. Despejando del balance de energa de la camisa en equilibrio el valor de la temperatura Tje y sustituyndolo en QE: QE = c p Fo j c pj F j j c pj F jT jo + T + c F T + j c pj F j e p o o j c pj F j

F

De la segunda ecuacin se deduce el balance de energa en estado estacionario

F o ( T T ) + ( H r ) C e E / R T e U A ( T T o e ae e cp V c pV

je

)= 0

1+

UA

1+

UA

La ecuacin anterior se puede considerar que est formada por los trminos: Calor generado por la reaccin:

QG = V ( H r ) Caee E / RTe

QG =

V ( H r ) Caoe E / RTe 1+ V e E / RTe Fo

La ecuacin anterior es una lnea recta cuando se representa QE en funcin de p Te, cuya pendiente y ordenada en el origen dependen del caudal y temperatura de entrada Fo, To, del caudal de refrigerante Fj y de la temperatura de entrada del refrigerante Tjo. Si se representan las ecuaciones QG y QE se pueden dar distintas situaciones, dependiendo del nmero de puntos de corte de ambas curvas, tal como se muestra en la siguiente figura:

BLOQUE IQG =

Sigmoide

BLOQUE I E / R Te

V ( H r ) C a o e 1 + V e E / R Te Fo

Ejemplo 3. Reactor RTCA con control en el que se da una reaccin 3 exotrmica irreversible de primer orden: A B. Anlisis de estado estacionario. Curvas de calor generado-eliminadoF0 , T0 , Ca0 , Kt , t2Regulador PI

c F QE = cp Fo + j pj j c F 1+ j pj j UA

jcpj FjT jo Te + cp FoTo + jcpj Fj 1+ UA

Fj , Tjk A ----> B

e(t) Tset+

Ca , T

VC2TT

En los casos (a) y (e) hay un solo punto de equilibrio, en los (b) (d) dos en el (c) hay tres puntos de equilibrio marcados con P1, P2 y P3 respectivamente. Fijando los valores de los parmetros y eligiendo valores adecuados de (Fo, To, Tjo) es posible tener 1, 2 3 estados de equilibrio. Los casos (a) y (e) son los ms claros. En (a) el reactor funciona a baja temperatura y adems es muy estable, ya que si ( ) j p y ,y q se aumenta algo Te, el calor eliminado es mayor que el generado y por tanto Te tender a bajar, contrarrestndose el efecto de la perturbacin. Si Te baja, el calor generado es mayor que el eliminado y por tanto tendera a subir. El caso (e) se puede analizar de igual forma. Los casos (b) y (d) son intermedios al caso (c) que es el ms interesante. En el caso (c), el punto P2 es siempre inestable, de forma que sin control el reactor no puede permanecer en ese punto.

LT

T(t)VC1

F , T , Ca ,

Fj0 , Tj0

Camisa Vj Tj-

Regulador PI

Punto de Consigna

+

e(t)

Kv , t1

Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PI Ecuaciones del reactor sin control


dV = F F o dtd C a Fo C = Ca Cae E RT V ao dt d T = F o T T + ( H r ) C e E R T U A T T a cp j V o c pV dt dT dt j = j T T + UA T T j c V j V jo j j pj j

dV = F F o dtd C a Fo C = Ca Cae E RT V ao dt d T = F o T T + ( H r ) C e E R T U A T T a cp j V o c pV dt dT dt j = j T T + UA T T j c V j V jo j j pj j

F

F

Ecuaciones de los reguladores PI 1 F (t ) = F K v V V (t ) + V V ( ) d 1

Ecuaciones de los reguladores PI despus de derivar respecto al tiempo:t

F j (t ) = F j K t T

0

set

1 T (t ) + 2

0

t

T

set

T () d

dF = K dV + K (V V ) ; K iv = K v v iv 1 dt dt dF j K K it = t = K t dT + K it (T T set ) ; 2 dt dt


Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PI Matrices A B W del sistema linealizado A, B,

f1 = F o F

F f 2 = o (C a o C a ) C a e E R T V F ( ) UA f 3 = o (T o T ) + Cae E RT T T j V c p c pV F UA j f4 = T T + T T jo j c V j V j j j pj j Definicin de variables desviacin

f1 V f 2 V A= f 3 V f 4 V

f1 C A f 2 C A f 3 C A f 4 C A

f1 T f 2 T f 3 T f 4 T

f1 f1 F T j f1 f 2 T j F ;B= f 3 f 1 F T j f f 4 1 T j F e

f1 f1 F F j 0 f1 f 2 F F j 0 ;W = f 3 f1 F j F0 f 4 f1 F j F0 e

f1 C A 0 f 2 C A 0 f 3 C A 0 f 4 C A 0

f1 T0 f 2 T0 f 3 T0 f 4 T0

Vt)V ( F(t)F 0 0 Ft)F CA(t)CA ( x(t)=xt)xs = ( ; u(t)=ut)u = ( s ( ; p(t)= pt)ps =CA0(t)CA0 Tt)T ( j j F(t)F Tj (t)Tj T(t)Tj j

Valores de las matrices A:

0 0 0 0 4.427103 1.7 8.898103 0 A= 3.559 693.84 14.547 20.833 0 156.344 169.305 0

Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PI Calculo de los jacobiano de la matriz A f1 f1 f1 f1 = = = V e C A e T e T j f $ f f = 2 = 4 = =0 T e V e C A e e

Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PI Calculo de los jacobianos de la matrices B W B,

F0 ( C A 0 C A ) 40 ( 0.5 0.245 ) f 2 = = 4.427 10 3 = V2 48 2 V e

f1 = 1 ; F e f 3 f 3 = F F e j f 4 F j

f1 F j

f f = 2 = 2 e F e F j

=0 e

f 2 F0 40 e E RT = 7.08 1010 e 30000 1.99 600 = 1.7 = 48 V C A e E 30000 f 2 E RT = 7.08 1010 0.245 1.225 10 11 8.898 10 3 = C A e RT 2 1.99 600 2 T e

f = 4 =0 ; e F e

F0 (T0 T ) UA (T T j ) 40 ( 530 600 ) 150 250 ( 600 594.6 ) f 3 + = + = 3.559 = 48 2 50 0.75 48 2 V2 cp V 2 V e

T jo T j 530 594 6 594.6 = = 16.779 = Vj 3.85 e

0 1 0 0 B= 0 0 0 16.779

f 3 ( ) e E R T = 3000 7.08 1010 1.225 10 11 = 693.84 = cp 50 0.75 C A e F0 ( ) E UA f 3 + C A e E RT = 14.547 = cp V RT 2 c pV T e f f F UA UA UA f = 20.833 ; 4 = = 156.344 ; 4 = j = 169.305 3 = T T c pV V j j c pjV j T e j c pjV j j e j e

f1 f1 f2 f3 f4 f4 f4 = = = = = = =0 0 0 0 0 CA0 e T e T e CA0 e T e CA0 e T e f1 f2 CA0 CA 0500245 0.50 0.245 = =5.31210-3 =1; = 48 V F e F e 0 0 f2 F f4 T T 530600 0 0 = 1.4583 = =0.833 ; = 48 0 T e V CA0 e V

0 0 1 5.312103 0.833 0 W = 1.458 0 0.833 0 0 0

BLOQUE I Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PI Teniendo en cuenta las matrices A, B, W anteriores y considerando las variables de desviacin definidas anteriormente se obtiene:

BLOQUE I Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PI En variables de desviacin los reguladores PI se pueden escribir de la forma:

V(t)V F(t)F 0 0 CA(t)CA ; u(t) =ut)u = F(t)F ; p(t) = pt) p =C (t)C x(t) = x(t)xs = ( s ( s A0 A0 T(t)T Fj (t)Fj Tj (t)Tj Tj (t)Tj x & 1 0 x a & 2 = 21 x a & 3 31 x 0 & 4

d F (t ) F

dt d F j (t ) F

= K j

d V ( t ) V v

dtv

+ K

v V 1

dt

= K

d T ( t ) T s + dt

(t ) V Kt T (t ) T s 2

0 a22 a32 0

0 a23 a33 a43

0 x1 1 0 x2 0 + a34 x3 0 a44 x4 0

1 0 0 u1 w21 + 0 u2 w31 b42 0

0 w22 0 0

0 p 0 1 p w33 2 p 0 3

Siendo Ts la temperatura del punto de consigna, que en principio no tiene porqu coincidir con el valor medio de la temperatura del reactor. En la primera ecuacin aparece di directamente la variable de estado x1(t) pero no en la segunda. Para que t t l i bl d t d (t), l d P aparezcan variables de estado en la segunda ecuacin se opera de la forma: d F j (t ) F j

dt

= Kv

d T (t ) T

dtj

+ K T (t ) T + K T T s it it

x5 (t ) = F j (t ) F

;

x6 (t ) = F (t ) F

BLOQUE I Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PI En las nuevas variables los reguladores PI se pueden escribir de la forma:

BLOQUE I Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PI De las ecuaciones anteriores se deduce que es necesario introducir una nueva variable de perturbacin (T Ts ) Las ecuaciones del reactor con los reguladores PI empotrados son: x & 1 x & 2 x & 3 x & 4 x & 5 x & 6 0 a 21 a 31 0 K i iv K t a 31

& & x 5 = K v x1 + K iv x1 & & x 6 = K t x 3 + K it x 3 + K it T

Ts

De las ecuaciones del reactor sin control se obtiene:

& x1 = x 5 + p1 & x 3 = a 3 1 x1 + a 3 2 x 2 + a 3 3 x 3 + a 3 4 x 4 + w 3 1 p1 +

w 3 3 p3

=

0 0 0 0 0 0 a 22 a 23 a 32 a 33 a 34 0 0 a 43 a 44 0 Kv 0 0 0 K t a 32 K t a 33 + K t K t a 31 0 1 w 21 w 31 0 Kv K t w 31

0 0 0 0 0 0 + 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 1 0 x1 0 0 0 x2 0 0 0 x3 0 0 b42 x 4 0 0 0 x5 x 0 0 0 6

Finalmente las ecuaciones de los reguladores PI quedan de la forma:

& x 5 = K v x 5 + p1 + K iv x1 & x 6 = K t a 31 x1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 + a 34 x 4 + K it x 3 + K t w 31 p1 + w 33 p3 + K it T

(

(

)

)

(

)

Ts

+

0 0 0 0 0 p1 w 22 0 0 p2 w 33 0 0 0 p3 0 0 0 p4 0 K t w 33 K it

BLOQUE I Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PIEs interesante resaltar que es posible particionar las matrices anteriores de forma que se haga aparente la presencia de las matrices definidas anteriormente. De esta forma se obtiene un sistema global en el que ahora las entradas son las perturbaciones para obtener un sistema genrico de la forma:

BLOQUE I Ecuaciones del reactor RTCA con reguladores PI La ecuacin anterior se puede formar a partir de las siguientes matrices 0 a 21 a 31 0 1 0 0 0 0 K a 22 a 23 0 0 0 v 0 ; A = ; A = 12 22 a32 a33 a34 0 0 0 0 0 a 43 a 44 0 b42

A11 =

x ( t ) = Ax ( t ) + Bp( t ) x 0 & 1 x a & 2 21 x a & 3 = 31 x 0 & 4 x K & 5 iv x K a & 6 t 31

0 0 0 1 a22 a23 0 0 a32 a33 a34 0 a43 a44 0 0 0 0 0 Kv Kta32 Kta33 + Kt Kta31 0

0 x 1 1 0 x w 2 21 0 x3 w + 31 b42 x4 0 0 x5 Kv 0 x6 Kt w31

0 0 w22 0 0 w33 0 0 0 0 0 Kt w33

0 0 p1 p 0 2 0 p3 p4 0 Kit

A21 = 1 w 21 w 31 0

K iv K a t 31

0 0 0 K t a32 K t a33 + K it K t a34

W 11 =

0 0 0 K 0 w 22 0 0 0 0 v ; W ; W = ; W = = 12 21 K w 22 K 0 K t w 33 0 w 33 0 it t 31 0 0 0

La ecuacin anterior se puede formar a partir de las siguientes matrices

Las matrices A, B para simulacin se construyen de la forma:

A=

A 11

21

A

W A W 12 ; B = 11 12 W W22 A22 21

A = A A ; A21 A22 ; B = W11 W12; W21 W22 11 12

BLOQUE ID t d Datos de simulacin de un reactor RTCA con reguladores PI Se pasan a unidades del sistema SI. Programa: reac_pi.m i Constantes de los reguladores: KV, t1 ; Kt, t2

NOMENCLATURA Y VALORES DE PARMETROS PARA UN REACTOR CSTR

BLOQUE ICurvas de calor generado-eliminado g sin control

Variable V i blFo Vm Cao Cam Tm Tmj Tmo Vj E U A Tjo H cp cpj j Fj Tset

Descripcin D i iCaudal entrada (ft3/h) Volumen medio reactor (ft3) Concentracin media caudal entrada (mol A/ft3) Concentracin media en el reactor (mol A/ft3) Temperatura media en el reactor (R) Temperatura media del refrigerante ( R) (R) Temperatura media caudal de entrada (R) Volumen camisa (ft3) ( Constante de reaccin ecuacin Arrhenius (h-1) Energa de activacin (BTU/mol) Coeficiente transmisin de calor BTU(h.ft2. R) rea transmisin calor (ft2) Temperatura entrada fluido refrigerante (R) Calor de reaccin (BTU/mol) Calor especfico mezcla en el reactor (BTU/lb. R) Calor especfico fluido refrigerante (BTU/lb. R) Densidad mezcla (lb/ft3) Densidad fluido refrigerante (lb/ft3) Caudal fluido refrigerante (ft3/h) Temperatura del punto de consigna (R)

Valor V l40 48 0.50 0 50 0.245 600 594 530 3.85 7.08x1010 30000 150 250 530 30000 0.75 1 50 62.3 49.9 600

P3 P2 P1 Te = 333 K

P1 = Estable P2 = Siempre inestable Estable. P3 = Estable inestable

BLOQUE I Curvas de calor generado-eliminado sin control y estabilidad de los puntos de equilibrio P1, P2, P3. DATOS A SUMINISTRAR AL PROGRAMA: Composicin y temperatura aproximadas en P1. Cia = 7.5 ; Tia = 300 Composicin y temperatura aproximadas en P3. Csa = 1 ; Tsa = 365

BLOQUE IVariacin de la temperatura de la camisa y del caudal de fluido refrigerante en p g funcin de las posibles temperaturas de equilibrio del reactor sin control

Puntp P1 [Ca T Tj] [7.553, 300.2, 299.9]. Autovalores: VAsi [-1.0451, 1 1651 236 65] VA i = [ 1 0451 -1.1651, -236.65] Estable E t bl p [ [ , , ] Puntp P2 [Ca T Tj] [4.117, 333.0, 330.0]. Autovalores: VAsm = [-0.543, 2.9627, -236.18] Inestable Puntp P3 [CA T TJ] [0.895, 363.7, 358.5]. Autovalores: VAss = [-4.57.10-2 2.943j, 2.9627, -235.88] Estable El punto de inflexin de la curva Fjje = f(Tset) corresponde a la temperatura Te = t 333 K en la que el reactor no puede permanecer sin control

BLOQUE I Datos para simulacin con reguladores PI para controlar el volumen y la p g p temperatura del reactor Constantes de los reguladores PI: KV = 2 h-1 , t1 = 1 h ; Kt = 0.3 m3/h.K , t2 = 1 h Autovalores del reactor con control en el punto P1: vpAs = [-2.252, -3.827 2.504j, -0.999 0.999j, -0.867] Estable Valores de la corriente de entrada en equilibrio: Fom = 1.1326 m3/h ; Cao = 8 kmolA/m3; Tom = 295.90 K. Perturbaciones en la corriente de entrada: Fo = 1.4 m3/h ; Co = 9 kmolA/m3; To = 315 K. Temperatura consigna = 333 K Condiciones iniciales: xo1 = [V, Ca, T, Tj F, Fj] xo1 = [1.3592, 4.1176, 333.002, 320.1608, 1.1326, 1.4130] Tiempo de clculo tm = 10 h. Intervalo de integracin T = 0.001 h

BLOQUE I Variacin del volumen del reactor del sistema lineal y no lineal con reguladores PI

Se comprueba que casi coinciden debido a que son variables directamente controladas por el regulador PI de constantes KV t1

BLOQUE I Variacin de la composicin del reactor del sistema lineal y no lineal con p reguladores PI

BLOQUE I Variacin de la temperatura del reactor y del fluido refrigerante del sistema p g lineal y no lineal con reguladores PI

Se comprueba que la coincidencia es muy buena pero ahora la composicin, que no est controlada va al valor que le corresponda. Si las perturbaciones en la corriente de entrada i t d t d aumentan la desviacin entre el sistema lineal y el no lineal aumenta. aumenta

Las temperaturas del modelo lineal y no lineal alcanzan el p punto de consigna (333 K) en aproximadamente 4 h, debido a que estn controladas por el regulador PI de constantes Kt t2. La temperatura del refrigerante en el modelo lineal y no lineal tiende al valor que le corresponde. Es de destacar como el control consigue un salto trmico medible entre la temperatura del reactor y la del t t d l t l d l refrigerante que favorece la eliminacin de calor y por consiguiente mejora el rendimiento de conversin.

BLOQUE I Variacin del caudal de salida del reactor y del fluido refrigerante del sistema g lineal y no lineal con reguladores PI

BLOQUE I Curvas de calor generado y eliminado sin control y con reguladores PI g g

Los caudales de salida del reactor coinciden para ambos modelos, no as el caudal de refrigerante. Esto es debido a la alta sensibilidad del modelo no lineal debido a a la no linealidad del tipo: x.e-C/y debido al efecto de la reaccin Trazado de las curvas: TRiM = Tsm 10; TRsM = Tsm +10 TRiiM = Tsm -80 ; TRssM = Tsm + 80 80 VAsm = [-236.15, -3.15 3.29j, -1 1j, -0.89 Estable

BLOQUE I Fenmenos no lineales en reactores RTCA con reguladores PI. Durante mucho tiempo se afirm que no era p posible la auto-oscilacin

BLOQUE I

Fenmenos no lineales en reactores RTCA

Sistema qumico auto-oscilante. Al reactor se bombean tres soluciones a velocidad constante: iodato potsico, cido perclrico + perxido de hidrgeno y cido que malnico y almidn q sirve como indicador. Se forma un in complejo de azul oscuro que oscila a lo largo del tiempo

BLOQUE IFenmenos no lineales en reactores RTCA

BLOQUE I

Fenmenos no lineales en reactores RTCA

BLOQUE I Datos para simulacin con reguladores PI para obtener una rbita tipo p g p p Shilnikov Constantes de los reguladores PI: KV = 2 h-1 , t1 = 1 h ; Kt = 0.0917 m3/h.K , t2 = 1 h Autovalores del reactor con control en el punto P2: vpaAs = [-2.3279, -0.1878 2.7121j, -0.999 0.999j, -0.7706] Estable Valores de la corriente de entrada en equilibrio: Fom = 1.1326 m3/h ; Cao = 8 kmolA/m3; Tom = 295.90 K. Perturbaciones en la corriente de entrada: Fo = 1.4158 m3/h ; Co = 9.6115 kmolA/m3; To = 300 K. Temperatura consigna = 333.33 K Condiciones iniciales: xo1 = [V, Ca, T, Tj F, Fj] xo1 = [1.3592, 3.9247, 333.333, 330.333, 1.1326, 1.4130] ; Fjmax = 4.2474 m3/h Tiempo de clculo tm = 100 h. Intervalo de integracin T = 0.001 h

BLOQUE I Datos para simulacin con reguladores PI para obtener una rbita tipo p g p p Shilnikov

Se observa que la concentracin en el reactor oscila de forma anmala sin alcanzar un estado estacionario, al igual que la temperatura del reactor y la del fluido refrigerante. Estos resultados no los d el modelo lineal.



Punto al cual tiende el reactor

El caudal de refrigerante oscila de forma anmala mientras que el caudal de salida del reactor tiende hacia el punto de equilibrio. La densidad espectral de p q p potencia de la concentracin muestra un espectro de una seal que tiende a ser aleatoria

Se observa que el caudal de refrigerante nunca excede el valor mximo de 4.2474 m3/h impuesto por ejemplo por la vlvula de control y que el comportamiento del reactor queda auto-oscilante.

BLOQUE IDatos de simulacin con caudal senoidal a la entrada y limitacin del caudal de fluido refrigerante. Se obtiene comportamiento catico


El volumen del reactor en estado estacionario oscila regularmente, mientras la composicin del reactante A vara de forma imprevisible mostrando comportamiento catico

Se comprueba que a pesar de las bruscas oscilaciones de la temperatura del reactor y del refrigerante se verifica T > Tj en todo instante. De esta forma se asegura una pequea transmisin de calor a la camisa



La dependencia sensible a las condiciones iniciales es uno de los indicadores de comportamiento catico. Esta dependencia no es debida a los errores por p p p truncamiento y redondeo en el computador; es algo intrnseco al comportamiento dinmico del reactor en las condiciones dadas


BLOQUE I INociones bsicas de control no lineal basado en mtodos de geometra diferencial Los sistemas no lineales se han controlado a partir del sistema lineal linealizando en un punto de equilibrio:

& x ( t ) = f x ( t ); u ( t )

& x ( t ) = 0 f x e ; ue = 0

x(t ) = x(t ) xe ; u(t ) = u(t ) ue Los sistemas no lineales se han controlado a partir del sistema lineal linealizando a lolargo de una trayectoria:

& x(t ) = Ax(t ) + Bu(t )

El caudal Fj(t) es catico pero el caudal de salida F(t) oscila regularmente. La densidad espectral de potencia es otro indicador de que el comportamiento del t d ti

Sistema lineal con matrices A, B variables con el tiempo

x(t) = x(t) xt ; u(t) = u(t) ut

& x(t) = A(t) x(t) + B(t)u(t)

BLOQUE I INociones bsicas de control no lineal basado en mtodos de geometra diferencial En un sistema no lineal en general no es posible eliminar la no linealidad sin usar algn tipo de transformacin de coordenadas que no sea lineal. Por j p p g ejemplo con una transformacin lineal la ecuacin de un elipsoide sigue siendo lineal:

BLOQUE I INociones bsicas de control no lineal basado en mtodos de geometra diferencial

Esta es la idea que subyace en el estudio de los sistemas de control no lineales: transformar un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales en otro lineal a travs de una transformacin de coordenadas no lineal. Se comprobar que mediante una realimentacin no lineal de la seal de control y un cambio de coordenadas no lineal es posible, bajo ciertas condiciones, transformar el sistema no lineal en otro lineal equivalente. Este procedimiento, a diferencia de la linealizacin en un punto o a travs de d una trayectoria, no esta basado en ninguna aproximacin. Por eso se t t i t b d i i i P habla de linealizacin exacta en una vecindad del punto de equilibrio. g Si se consigue la linealizacin exacta, las tcnicas conocidas de control lineal podran aplicarse para estabilizar al sistema no lineal o bien resolver el problema de seguimiento de trayectorias. En los sistemas no lineales no existen las matrices A B C por lo que es A, B, C, necesario acudir a conceptos geomtricos que veremos a continuacin.

x2 + y2 + z2 =1 = x ; = y ; = z a c b a2 b2 c2 2 +2 + 2 =1 Pero con una transformacin de coordenadas no lineal sew obtiene una ecuacin lineal:

x2 + y2 + z2 =1 = x2 ; = y2 ; = z2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 + + =1

BLOQUE I INociones bsicas de control no lineal basado en mtodos de geometra g diferencial A modo de introduccin consideremos el siguiente ejemplo:2 & x1 = 4 x1 + x2 2 x2 u q Punto equilibrio ( 0,0,0 ) & x2 = 2 senx1 x2 + u

BLOQUE I INociones bsicas de control no lineal basado en mtodos de geometra g diferencialEl resultado anterior se generaliza con el siguiente teorema de estabilizacin por realimentacin lineal del estado: Sea dx/dt = f[x(t), u(t)] con x Rn u Rr y sea su sistema linealizado en torno al punto d equilibrio xo d /dt = Ax + Bu. Si se verifica: t de ilib i dx/dt A B ifi i) f[.,.] es continua y diferenciable y f(xo,0) = 0. ii) El sistema linealizado en torno a x0 es controlable controlable. iii) Existe una matriz K Rrxn tal que la matriz A BK sea de Hurwitz. Entonces la ley de control u = - Kx convierte al punto de equilibrio del sistema no lineal dx/dt = f(x, -Kx) x0 en un punto de equilibrio asintticamente estable. La condicin de controlabilidad para un sistema lineal viene dada por: rango[B|AB|A2B|..|An-1B] = n. La controlabilidad para sistemas no lineales se ver a continuacin continuacin. El teorema anterior es muy til, pero en realidad est basado en la teora de sistemas lineales.

& x (t ) = f x (t ), u (t )

u (t ) = 0

f ( x) =

4 x + 1

2 x2 2 x2 2 senx1 x2

Linealizando en torno al origen (0,0) se obtiene: g ( , ) f ( x , x ) 1 1 2 x1 f ( x , x ) 2 1 2 x1 4 2

A=

f1( x1, x2 ) x2 f 2 ( x1, x2 ) x2 (0,0)

=

4 2

1 2 ; B= 1 1

Sistema linealizadox & 1 x &2

=

2 x1 1 + u I A = 0 = 0; = 3 1 2 1 x2 1

Con u = - Kx se puede formar A BK tal que sea una matriz de Hurwitz con autovalores con parte real negativa y por tanto estabilizar al sistema no lineal

BLOQUE I IConcepto de controlabilidad y observabilidad para sistemas no lineales p pConsideraremos sistemas de control no lineales en forma afn:

BLOQUE I IConcepto de lgebra de Lie. Relacin con la controlabilidad p gUn lgebra de Lie sobre un campo vectorial real R (o complejo C) es un espacio vectorial E para el cual la aplicacin bilineal de la forma general (X Y) [X,Y] (X,Y) [X Y] se define para todo X, Y E a partir del producto cartesiano ExE E tal que se verifica: i) [X,Y] = -[Y,X] para todo X, Y E. ii) [X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0

& x(t ) = f x(t ) +

gi x(t) ui (t) ; x(t)M Rn i=1 T u = (u1, u2 , u3,.....um ) U Rm f [ x (t )..x (t )] ) n 1 1 f [ x (t )..x (t )] n 2 1 : f [ x (t )..xn (t )] n 1 g [ x (t )..x (t )] ) n i1 1 g [ x (t )..x (t )] n i2 1 : g [ x (t )..xn (t )] in 1

m

El vector de estados y los vectores campo f y g vienen definidos de la forma: x (t ) 1 x (t ) 2 : xn (t )

x (t ) =

; f [ x (t )] =

; g i [ x (t )] =

De acuerdo con la definicin anterior, un lgebra de Lie es un espacio vectorial en el que se ha definido un operado [.,.] llamad corchete de Lie con las propiedades i) y ii). La primera propiedad se llama antisimetrica y la segunda , q identidad de Jacobi, la cual muestra el carcter cclico entre cualesquiera tres elementos del lgebra de Lie. Formas concretas del nuevo operador [.,.] introducido pueden ser: 1) El producto vectorial en el espacio tridimensional R3. Es fcil verificar que:

De forma intuitiva un sistema es controlable si existe un vector de entradas admisible u(t) tal que es capaz de transferir el estado desde el valor inicial x(t0) = x0 M hasta el estado final x(tf) M en un tiempo finito tf t0.

r r r r r r i) X Y =Y X ; X ,Y R3 r r r r r r r r r r r r ii) X (Y Z ) +Y (Z X ) + Z ( X Y ) = 0 ; X ,Y , Z R3

BLOQUE I IConcepto de lgebra de Lie. Relacin con la controlabilidad p g Otro ejemplo de lgebra de Lie es considerar el espacio vectorial de matrices cuadradas de dimensiones (nxn) con la operacin conmutador definida por [A,B] ( ) p p [ , ] = AB BA para todo A,B Rnxn. Es fcil verificar que se verifican las dos propiedades anteriores. Desde el punto de vista del control no lineal un lgebra de Lie de gran utilidad es aquella en la que el corchete de Lie se define entre los vectores campo f(x), g(x) Rn de la forma: g 1 x 1 g 2 x 1 .. g n x 1

BLOQUE I IConcepto de lgebra de Lie. Relacin con la controlabilidad p gUna notacin muy conveniente para simplificar el modo de operar entre vectores campo con corchetes de Lie es: [f , g] = adfg. Esta notacin se puede interpretar p [ g p p como un vector campo g operado por el operador adjunto: adf = [f , .]. E acuerdo con esta notacin por ejemplo se tendra: adf3 = [f [f [f , g]]]. As se pueden considerar corchetes de Lie de orden n definidos como adfng = [f..(n-1)..[f , g] ] [ ( ) [ g]] Con el concepto de corchete de Lie de orden n se puede asociar un lgebra de Lie asociada al sistema al sistema no lineal definido por las ecuaciones:

f ,g =

g1 x2 g 2 x2 .. g n x2

.. .. .. ..

f , g = g f f x x f g1 1 x n x1 f g 2 1 f 2 f x n 2 x1 : .. .. f g n n f n x xn 1

g f1 x2 f 2 x2 .. f n x2 f1 xn f 2 .. xn .. .. .. f n xn .. g 1 g 2 : g n

& x(t ) = f x(t ) +

gi x(t) ui (t) i =1

m

Este nuevo conjunto con estructura de lgebra de Lie est formado por todos los posibles corchetes de Lie de orden (n-1) entre f y todas las g (g1, g2 ,.., gm) de la forma:

L = g1,.., g n , ad f g1,.., ad f g m ,.., ad n 1 g1,.., ad n 1 g m f f

BLOQUE I IConcepto de lgebra de Lie. Teorema de controlabilidad p g

BLOQUE I IConcepto de lgebra de Lie. Teorema de controlabilidad Lie

L = g1,.., g n , ad f g1,.., ad f g m ,.., ad n 1 g1,.., ad n 1 g m f fEl conjunto L permite definir un criterio de controlabilidad para sistemas no lineales: El sistema no lineal en forma afin:

L = g1,.., g n , ad f g1,.., ad f g m ,.., ad n 1 g1,.., ad n 1 g m f f Consideremos el sistema lineal: dx(t)/dt = Ax(t) + Bu(t). Comparado con un sistema no lineal es posible establecer las siguientes identificaciones: i t li l ibl t bl l i i t id tifi i f(x) = Ax ; (g1,g2,.,gm) = B ; B = [b1,b2,,bm] siendo bi las columnas de B y u ( (mx1) la seal de control. Si se tiene en cuenta que: ) q

& x(t ) = f x(t ) +

gi x(t) ui (t) i= i 1

m

es controlable si y solo si se verifica: dim(L) = dim(M) = n para x(t) M incluido en Rn. Vamos a analizar el significado del teorema. i) Cada vector campo de L es una funcin del estado x(t), por lo que la dimensin de L puede variar de un punto a otro de Rn, de forma que si la condicin del teorema se cumple solo en una vencidad de un punto M incluido en Rn la controlabilidad es local. Si la condicin del teorema se cumple en M entonces el sistema es globalmente controlable.

bi f f bi = Abi x x Abi ad 2bi = f , f ,bi = f , Abi = f f Abi = A2bi f x x ad f bi = f ,bi =

(

)

ad fj bi = ( 1) A jbijEl conjunto L estar formado por todas las posibles combinaciones de los vectores columna gi = bi, adfjbi de forma que L se puede escribir como:

ii) Sera deseable que el teorema se pudiera aplicar a sistemas lineales O sea lineales. que la condicin anterior se reduce a la conocida condicin de controlabilidad para sistemas lineales.

BLOQUE I IConcepto de lgebra de Lie. Teorema de controlabilidad LieEl conjunto L estar formado por todas las posibles combinaciones de los vectores columna gi = bi, adfjbi de forma que L se puede escribir como:

BLOQUE I IConcepto de lgebra de Lie. Teorema de controlabilidad Lie

L = b1, b2 ,.., bm , ad f b1, , ad f bm ,.., ad n1b1,.., ad n1bm , , ,.., , , f , , f

& x1 = a x1 + b x1 x 2 & x 2 = b x1 x 2 + uEl sistema se puede escribir de la forma:

L = bi , ad fj bi ; 1 i m ; 1 j n 1 = bi ,(1) j A jbi ; 1 i m ; 1 j n 1

{

}

Que coincide con la condicin de controlabilidad obtenida para sistemas lineales:

x & 1 x & 2

=

ax + bx x 1 1 2 + bx1 x2

0 u 1

f ( x) =

ax + bx x 1 1 2 bx1 x2

;g=

0 1

C=

{

B M AB M A 2 B M,....,M A n 1 B

} rango(C ) = n

a + bx bx1 0 bx1 2 = L = g , ad f g ; ad f g = f g = bx x bx1 1 bx1 2

Ejemplo. E t di la controlabilidad del sistema no lineal Ej l Estudiar l t l bilid d d l i t li l

L=

& x1 = a x1 + b x1 x 2 & x 2 = b x1 x 2 + u

0 1

bx1 bx1

rango ( L ) = 2 para x1 0

El sistema es controlable en todo el espacio de fases excepto en x1 = 0 o lo que es lo mismo en el eje x2

BLOQUE I IConcepto de lgebra de Lie. Teorema de controlabilidad LieEjemplo. Estudiar la controlabilidad en el origen del sistema no lineal:2 & x1 = 4 x1 + x 2 sat ( 2 x 2 + u )

BLOQUE I IConcepto de lgebra de Lie. Teorema de controlabilidad LieEjemplo. Estudiar la controlabilidad en el origen del sistema no lineal:2 & x1 = 4 x1 + x 2 sat ( 2 x 2 + u )

& x 2 = 2 senx1 x 2 + u

sat ( ) = i 1 si > 1

si 1

& x 2 = 2 senx1 x 2 + u

sat ( ) = i 1 si > 1

si 1

Si el sistema fuera autnomo con u = 0 el origen (0,0) sera un punto estable. Segn la funcin sat cabe distinguir dos casos a): x 4 x + x 2 2 x 1 & 2 2 + u 1 = 1 x 2sin x x 2 1 &2 1

Si el sistema fuera autnomo con u = 0 el origen (0,0) sera un punto estable. Segn la funcin sat cabe distinguir dos casos b): x 4 x + x 2 1 0 & + u 1 2 1 = x 2sin x x 2 1 &2 1

f ( x) =

4 x + x2 2 x 1 2 2 2sin x1 x2

; g=

1 1

f ( x) =

4 2 x2 1 6 2 x2 = L = g , ad f g ad f g = f g = x 2cos x1 1 1 2cos x1 +1 1 1

4 x + x 2 1 1 2 2sin x1 x2

; g=

0 1

6 2 x2 = 2cos x + 2 + 2 x 0 rango( L) = 2 1 2 2cos x1 +1

4 2 x2 0 2 x2 = L = g , ad f g ad f g = f g = 2cos x x 1 1 1 1

L=

2 x2 = 2 x 0 si x 0 rango( L) = 2 2 2 1 1 0

BLOQUE I IConcepto de lgebra de Lie Relacin con la observabilidad y derivadas Lie. direccionales. Para estudiar la observabilidad partiremos de un campo escalar (x) con x Rn. La derivada del escalar (x) a lo largo de un vector campo f(x) se define como:

BLOQUE I IConcepto de lgebra de Lie. Relacin con la observabilidad y derivadas p g direccionales. Consideremos otro vector campo h(x) = [h1(x) h2(x) . hp(x)]T. Para cada componente de h(x) se puede definir la derivada de Lie a lo largo del vector campo f(x). Por ejemplo para una componente aqrbitraria y para todas las componentes de h(x) se tendra: L h ( x) f 1 L f h2 ( x ) : L f hp ( x)

Lf (x) = (x) f (x) = (x) x x 1

f ( x) 1 (x) ...... (x) f 2 (x) = n x2 xn : i=1 f n ( x)

(x) f (x) xi i

L f h2 ( x ) =

h2 ( x ) ; L f h( x) = x

D im ensiones ( px1)

Se deduce que la derivada de Lie de un campo escalar es tambin un campo escalar. Adems (x)/x es el vector gradiente del escalar (x) y la norma del vector gradiente da el valor mximo de variacin de dicho gradiente. Por consiguiente, el producto del gradiente y el vector campo f(x) da la derivada direccional de Lie. Obsrvese que un vector campo puede considerarse formado por un conjunto de escalares cada uno de ellos son las componentes de dicho vector campo, y por tanto se puede definir una derivada direccional para cada componente.

El concepto de derivada direccional de Lie de un vector campo h(x) se relaciona con el problema de la observabilidad si el vector campo h(x) se asocia a la salida del sistema no lineal. En tal caso se puede definir un espacio de observacin O de la forma:

Lf h(x) O= h(x), Lf h(x), L2 h(x),....., Ln1h(x) L2 h(x) = Lf Lf h(x) = f f f x

f (x)

BLOQUE I IConcepto de lgebra de Lie. Relacin con la observabilidad y derivadas p g direccionales.

BLOQUE I IConcepto de lgebra de Lie. Relacin con la observabilidad y derivadas p g direccionales. Teorema de observabilidad para sistemas no lineales dO = x / O ( x) 1 n 1 ( x) = 2 j ( x) = i ( x) Lif h( x) : i =0 n ( x )

O = h(x), Lf h(x), L2 h(x),.., Ln1h(x) L2 h(x) = Lf Lf h(x) = f f f

Lf h(x)

x

f (x)

; 1 j n

Se ve que el espacio de observacin se forma a partir de las (n-1) derivadas direccionales de Lie de la funcin de salida h(x) del sistema no lineal:

Por consiguiente la distribucin de observabilidad es una matriz jacobiana: ( x) 1 x 1 : n ( x ) x 1

& x (t ) = f x (t ) ; y = h ( x ) Consideremos ahora la distribucin de observabilidad que se denomina dO y que est formada por el vector gradiente de cada componente de O, o sea:

( x) = x

dO = x

( x) 1 n 1 ( x) = 2 j ( x) = i ( x) Lif h( x) ; 1 : i =0 n ( x ) En donde las i(x) son funciones escalares cualesquiera / O

1 ( x ) xn .. : Di imensiones i .. n ( x ) xn ..

( nxn )

jn

Teorema. Un sistema no lineal con vector campo de salida h(x) es observable si y solo si se cumple dim(O) = n. Como en el caso de la controlabilidad este criterio puede tener un alcance local o global, dependiendo si la condicin del teorema se cumple en la vecindad de un punto o en todo el espacio de fases.

BLOQUE I IConcepto de lgebra de Lie. Relacin con la observabilidad y derivadas p g direccionales. Teorema de observabilidad para sistemas no linealesA continuacin se deduce la condicin de observabilidad para sistemas lineales partiendo del espacio de observacin O y de la distribucin de observabilidad dO para sistemas no lineales.

BLOQUE I IInvertibilidad de sistemas dinmicos. Concepto de grado relativo. p gLos sistemas lineales de tiempo invariante se pueden representar en forma de variables de estado o a travs de la matriz transferencia:

f ( x ) = Ax ; h ( x ) = C x O= ), h( x) L f

), ),.., f h ( x ) L2f h ( x ) Ln 1h ( x ) = C x , C Ax , C A 2 x ,...., C A n 1 x

{

L f h ( x ) = h ( x ) f ( x ) = C Ax ; L2f h ( x ) = x

O = Cx, CAx, CA2 x,...., CAn1x = 1,2 ,.....,n

{

L f h( x) f ( x ) = C AAx = C A 2 x x

}

1 & x = Ax + Bu G ( s ) = C ( sI A ) B + D y = C + Du Cx D En general los elementos de la matriz transferencia son cocientes de polinomios en s de la forma: s

} {

}

G ij ( s ) =

s q + b q 1 s q 1 + . . . . + b1 s + b 0 sp

+ a p1 s

p 1

+ . . . . + a1 s + a 0

q p

dO = 1 , 2 ,....., n = C , CA,...., CAn1 dim(dO ) = n x x x Es claro que la condicin anterior no es ms que la condicin de observabilidad para sistemas lineales

{

}

Se define el grado relativo de una funcin transferencia a la diferencia entre el g nmero de polos y de ceros: rd = p q. Cuando este concepto se extiende, como veremos a continuacin a sistemas no lineales aparece el concepto de p p invertibilidad de un sistema. Se podra considerar el problema inverso del control: Qu salida hay que aplicar a un sistema para obtener la entrada?. Se trata de invertir los papeles de las seales de entrad y salida.

BLOQUE I IInvertibilidad de sistemas dinmicos. Concepto de grado relativo. p gPara estudiar el problema de la invertibilidad, consideremos primero un sistema SISO de funcin transferencia: G(s) = Y/s)/U/s). Para G(s) se verifica que p q. Si se desae invertir el sistema hay que considerar 1/G(s) que tendr ms ceros que polos y no ser realizable fsicamente. Poe ejemplo el Bode aumenta sin lmite p p conforme aumenta la frecuencia. Si rd = p q, para evitar este problema se aaden rd ceros a G(s), con lo cual:

BLOQUE I IInvertibilidad de sistemas dinmicos. Concepto de grado relativo. p gLa condicin de invertibilidad para sistemas lineales SISO tambin se puede plantear para representacin en variables de estado a travs del triple A,B,C con ABC dx(t)/dt = Ax + Bu con ecuacin de salida y = Cx. La idea es derivar la seal de salida hasta que la seal de control aparezca en la derivada correspondiente.

Y(s)s d = srd G(s) = s d Q(s) U(s) = P(s) grado P(s) = gradosrd Q(s) r r U(s) P(s) Y(s)s d s d Q(s)La transformada inversa de Laplace de srdY(s) con condiciones iniciales nulas equivale a derivar la seal de salida y(t) rd veces. Por consiguiente, para determinar el sistema inverso de uno dado es necesario que la salida del sistema original, con grado relativo rd, es derivable rd veces. La condicin de invertibilidad para sistemas lineales SISO tambin se puede plantear para representacin en variables de estado a travs del triple A,B,C con ecuacin de salida y = Cx

r

r

{ }

Si CB 0 Grado relativo = 1 & & y = Cx = CAx + CBu Si CB = 0 Seguir derivando Si CAB 0 Grado relativo = 2 && = CAx = CA2 x + CABu & y g Si CAB = 0 Seguir derivando En el primer caso se dice que el sistema es invertible con grado relativo 1 y en el segundo con grado relativo 2. Estas mismas ideas se pueden aplicar a un sistema SISO no lineal de la forma:

& x = f ( x ) + g ( x )u y = h(x)

BLOQUE I IInvertibilidad de sistemas dinmicos. Concepto de grado relativo. p gEstas mismas ideas se pueden aplicar a un sistema SISO no lineal de la forma:

BLOQUE I IInvertibilidad de sistemas dinmicos. Concepto de grado relativo. p g

i) Lgi Lkf hj (x) =;0 1i m ; 1 j p ; 0 k rj 1 r11 Lg1Lf h (x) 1 ii) D(x) = : rp1 Lg L h (x) 1 1 f

& x = f ( x ) + g ( x )u y = h(x)

Derivando sucesivamente respecto al tiempo la ecuacin de salida:

.. LgmLf1 h (x) 1 .. : p con "p" filas independientes en x = x0 rp1 .. LgmLf h (x) 1

r 1

& & y = h( x) dx = h( x) f ( x) + h( x) g ( x)u y = L f h( x) + Lg h( x)u x dt x x Si Lg h( x) = 0 hay que seguir derivando: && = y L f h( x) + Lg h( x)u

x

L h( x ) L h( x ) L h( x ) dx = f x= f f ( x) + f g ( x)u & x x x dt && = L2 h( x) + Lg L f h( x)u y f

La matriz D(x) se denomina matriz de desacoplamiento. Si D(x) es cuadrada, o sea que se eligen tantas salidas como seales de control, implica que el determinante de D(x) debe ser distinto de cero, o bien que D(x) debe ser cero invertible. Para un sistema MIMO con p canales de salida y1, y2, y3, ., yp cada uno de los cuales con grado relativo ri (i = 1,2,3,,p), el grado relativo total del sistema MIMO viene dado por: rd = r1 + r2 + r3 +..+ rp Ms adelante veremos que si la suma de los grados relativos de las salidas coinciden con la dimensin del vector de estados, D(x) es cuadrada e invertible, es posible obtener un control que convierte al sistema en lineal

De esta forma se continua la derivacin hasta que la seal de salida aparezca en la derivada correspondiente

BLOQUE I IEjemplo. Clculo del grado relativo en un sistema MIMO. Para el sistema j p g que se indica determinar su grado relativo

BLOQUE I IEjemplo. Clculo del grado relativo en un sistema MIMO. Para el sistema j p g que se indica determinar su grado relativo0 1 h (x) 0 1 =1 0 ; Lg2 h1(x) = 1 g2 = 0 x 0 x 2 0 1 0 0 = 0 0 x 2

x & 1 x & 2 & x 3 & x4 & x 5

=

x3 + x 0 1 2 0 x x 1 1 1 3 x + x + 1 u + 0 u 1 3 1 2 x2 0 0 0 x2 2 x +x 3 5

; y ( x) =

x 3 x4

Lg1h1(x) =

h1(x) g = 0 0 1 0 x 1

0 1 0

Como Lg1Lf0h1(x) = 1 0 r1 1 = 0 r1 = 1. Para el canal de salida h2(x) = x4 se verifica:0 1 h (x) 1 = 0 ; L h (x) = 1 0 g = 0 g2 2 x 2 0 x 2 0 1 0 = 0 0 0 0

En este caso se tiene h1(x) = x3 ; h2(x) = x4 ; p = 2 con dos seales de control m = 2. Una forma rpida de calcular el grado relativo es calcular alguna de estas expresiones hasta que alguna sea distinta de cero. Entonces del exponente de Lf se calcula r1:

Lg1 Lrf11h1( x ) 0 Lg1 Lrf2 1h2 ( x ) 0

;;

Lg 2 Lrf11h1( x ) 0 Lg 2 Lrf2 1h2 ( x ) 0

Lg1h2(x) =

h2(x) g = 0 0 0 1 x 1

0 0 1

Como Lg1Lf0h2(x) = 0 y Lg2Lf0 h2(x) = 0 hay que seguir derivando.

BLOQUE I IEjemplo. Clculo del grado relativo en un sistema MIMO. Para el sistema j p g que se indica determinar su grado relativox3 +x 1 2 xx 12 L h (x) 0 x1+x3 = x2 ; Lg1Lf h2(x) = f 2 g1 =0 x x 2 x +x2 5 3 0 1 0 0 =10 0 0 0 1 0 0 =10 0 x 2

BLOQUE I IEjemplo. Clculo del grado relativo en un sistema MIMO. Para el sistema j p g que se indica determinar su grado relativoPuesto que al calcular los grados relativos ya se han determinado los elementos de la matriz D(x):

Lf h2(x) =

h2(x) f (x) =0 0 0 1 x

100

D ( x) =

L L0 h ( x ) g1 f 1 L g L f h2 ( x ) 1

L g 2 L f h2 ( x )

L g 2 L0f h1 ( x )

1 0 D ( x) 0 = 1 1

Lg2Lf h2(x) =

Lf h2(x) g =0 1 0 0 x 2

Por consiguiente el grado relativo del sistema es rd = r1 + r2 = 3, que es menor que la dimensin del sistema. La matriz D(x) tiene cada fila asociada a un canal de salida, de forma que para tener un grado relativo asociado a cada canal, las filas deben ser independientes. Si no se cumple esta condicin los canales de salida estn de alguna forma condicin, relacionados y por tanto no es posible definir un grado relativo del sistema MIMO. Cuando existe grado relativo pero su valor es inferior a la dimensin del sistema se dice que existe dinmica interna. Esto significa que existen variables de estado sobre las cuales el control no puede actuar.

Como alguno de los Lg1Lfh2(x) , Lg2Lfh2(x) son distintos de cero (en este caso los dos) entonces: 1 = r2 1 r2 = 2 . Para que los valores anteriores sean el grado ) q g relativo asociado a las salidas se requiere adems que la matriz D(x) sea no singular:

BLOQUE I IDiseo del control para sistemas MIMO. Linealizacin exacta entradap salidaSea un sistema MIMO definido por las ecuaciones de estado en forma afn:

BLOQUE I IDiseo del control para sistemas MIMO. Linealizacin exacta entradap salidaSea un sistema MIMO con salida y = h(x) Consideremos un canal j de salida h(x). j que lo derivamos sucesivamente respecto del tiempo:

& x(t) = f x(t) +

x(t) ( nx1) ; f (x) ( nx1) ; gi (x) ( nx1) ; h(x) ( px1)Si la dimensin de la salida p coincide con la de la entrada m la matriz de desacoplamiento D(x) ser cuadrada D(x) (m x m). Si adems D(x) en x = x0 es no singular, el grado relativo total rd debe ser menor o igual a la dimensin del g , g g vector de estados x(t). Estas consideraciones llevan a la siguiente definicin: Un sistema no lineal MIMO con matriz de desacoplamiento cuadrada es linealizable entrada-salida si la transformacin que defina la entrad-salida es entrada salida entrad salida invertible y el grado relativo coincide con la dimensin del sistema. La relacin entrada-salida se obtendr a partir de las derivadas sucesivas de la salida, teniendo en cuenta el concepto de grado relativo. De la relacin entrada-salida se despeja la seal de control si D(x) es invertible.

gi x(t)ui (t) i=1

m

& yj =

m hj (x) dx hj (x) m f x(t) + & = gi x(t) ui (t) y j = Lf hj (x) + Lgi hj (x)ui x dt x i=1 i=1

Si se continua derivando hasta el orden rj, siendo rj el grado relativo asociado al canal de salida j se puede escribir: Repitiendo l R iti d el procedimiento r1 & y1 : ym & rm r1 L f h1 ( x ) : + Lrm h ( x ) f m

& y j j = L fj h j ( x ) + r1 1 L g1 L f h1 ( x ) : rm 1 hm ( x ) Lg L f 1

r

r

Lg L f i =1i

m

r j 1

h j ( x ) ui

=

.. L g m Lrf1 1h1 ( x ) u 1 : : : u rm 1 .. L g1 L f hm ( x ) m

BLOQUE I IDiseo del control para sistemas MIMO. Linealizacin exacta entradap salida & y1r1 L f1 h1 ( x ) L g1 L f1 h1 ( x ) .. L g m L f1 h1 ( x ) u1 : = : : : : : + &r y mm L rfm h m ( x ) L g L rm 1 h m ( x ) .. L g L rm 1 h m ( x ) u m f f 1 1 r

BLOQUE I IDiseo del control para sistemas MIMO. Linealizacin exacta entradap salidaObsrvese que con la nueva entrada v y con la ley de control definida, ser Ob l t d l l d t l d fi id necesario especificar como queda el sistema no lineal; o sea hay que considerar nuevas variables de estado z1, z2, ., zn definidas a travs de la funcin de salida. La forma de introducir estas nuevas variables de estado que representan al sistema no lineal que se ha linealizado con las transformaciones anteriores, es considerar m grupos cada una de los cuales se define a travs de la salida yi = hi(x) y sus derivadas hasta de orden ri -1. Para entender el procedimiento se 1 considera un caso particular:

r 1

r 1

Definiendo un nuevo vector b(x) y el vector de entradas de la forma:

b ( x ) = L f1 h1 ( x ) L f2 h2 ( x ) .. L fm 1 hm 1 ( x ) Lrfm hm ( x ) r r r

T

v=

r1 & y1

&r y 22

..

&r 1 y mm1

&r y mm

T

& x(t ) = f ( x) + g1( x)u1 + g 2 ( x)u2 y ( x) = y ( x) h ( x) 1 = 1 y2 ( x) h2 ( x)

De las ecuaciones anteriores se deduce la expresin que da la ley de control p q y

u = D1( x)b( x) + D1( x)v u = ( x) + ( x)vPara que la ley de control se pueda calcular se necesita que D(x) se invertible con dimensin igual a la del vector de estados. O lo que es lo mismo que la suma de los grados relativos de las salidas sea igual a la dimensin de x(t)

; x(t ) (5 x1) ; m = p = 2 ; r1 = 2 ; r2 = 3 L L h ( x) g1 f 1 2 L g L f h2 ( x ) 1

&& y 1 &&& y 2

=

L2 h ( x ) f 1 3 + L f h2 ( x )

L g 2 L f h1 ( x ) u 1 2 h ( x ) u Lg L 22

f

2

BLOQUE I IDiseo del control para sistemas MIMO. Linealizacin exacta entradap salida

BLOQUE I IDiseo del control para sistemas MIMO. Linealizacin exacta entradap salidaCon la definicin de variables introducida anteriormente se tiene:

& x(t ) = f ( x) + g1( x)u1 + g 2 ( x)u2 y ( x) h ( x) y ( x) = 1 = 1 y ( x) h ( x) 2 2 && y 1 &&& y 2

; x(t ) (5 x1) ; m = p = 2 ; r1 = 2 ; r2 = 3 L L h ( x) g1 f 1 2 L g L f h2 ( x ) 1 L g 2 L f h1 ( x ) u 1 L g L2 h ( x ) u 2 2

=

2 L f h1 ( x ) + L3 h2 ( x ) f

f

2

z1 = z2 z1 0 & & z2 = &&1 z2 0 & y & z3 = z 4 z3 = 0 & & z 4 = z5 z 4 0 & & z6 = &&&2 z5 0 & y &

1 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 z1 0 0 z2 1 0 z3 + 0 1 z4 0 0 z5 0

0 0 && y1 & 0 &&& z = Az + Bv y2 0 1

Al ser r1 = 2 se toman como nuevas variables: z1 = y1 ; z2 = dy1/dt Al ser r2 = 3 se toman como nuevas variables: z3 = y2 ; z4 = dy2/dt ; z5 = d2y2/dt2 Las nuevas variables de estado se definen en funcin de las derivadas de las salidas. Es claro que si el grado relativo del sistema MIMO no coincide con la , p dimensin del vector de estados, no es posible definir un nmero de variables de estado igual a la dimensin del sistema. Como se ver ms adelante esta situacin lleva a un sistema con dinmica cero sobre la cual no acta el control

Se puede comprobar que el sistema lineal as obtenido es controlable, o sea: controlable

C = B M A B M A 2 B M A 3 B M A 4 B ; rango ( C ) = 5

Esto significa que se pueden aplicar las tcnicas de control de sistemas lineales para determinar la ley de control v, lo lo que es lo mismo la ley de control no q lineal que viene definida en funcin de las derivadas de las seales de salida. En particular la tcnica de colocacin de polos es muy til para definir la ley de control no lineal.

BLOQUE I IDiseo del control para sistemas MIMO. Linealizacin exacta entradap salidaEjemplo. Ejemplo Estudiar si es linealizable entrada-salida el sistema definido por: x x2 0 0 & 1 x = x + x 2 + 1 u + 3 u & 3 1 2 2 1 x x3 2 &3 4 1 x y = h( x) = 1 x2 x y = h( x) = 1 x3

BLOQUE I IDiseo del control para sistemas MIMO. Linealizacin exacta entradap salidaAl ser cero hay que seguir derivando para obtener:

; a) )

; b)

L g1 L f h1 ( x ) = L f h1 ( x ) = 1 0

L f h1 ( x ) g1 x x2

;

L f h1 ( x ) = = x2

La matriz de desacoplamiento para grados relativos de las salidas r1 y r2 es:

D(x) =

r11 Lg1 L f h ( x) 1

Lg2 Lr11h1(x) f

2 0 x1 + x3 3 x1

h1 ( x ) f ( x) x= 0

L f h1 ( x ) x

1 0

r2 1 Lg1 L f h2 ( x)

Lg2 Lr2 1h2 (x) f

0 0 h1( x) h ( x) 1 0 0 1 = 0 ; L h ( x) = 1 1 0 0 3 = 0 Lg1h1( x) = g1 = g2 = g2 1 x x 2 4

0 L f h1 ( x ) 0 1 0 3 = 3 L g 2 L f h1 ( x ) = g2 = x 4 De lo anterior se deduce que el grado relativo de la salida y1 = x1 es r1 = 2. Es importante tener en cuenta que en realidad el grado relativo no est definido hasta verificar que la matriz de desacoplamiento D(x) es no singular

BLOQUE I IDiseo del control para sistemas MIMO. Linealizacin exacta entradap salidaPara la salida y2 = x2 se obtiene:0 h2(x) h (x) Lg1h2(x) = g1 = 0 1 0 1 =1 ; Lg2 h2(x) = 2 g2 = 0 x x 2 La matriz de desacoplamiento para el caso a) ser: 0 0 3 = 3 4

BLOQUE I IDiseo del control para sistemas MIMO. Linealizacin exacta entradap salidaAl ser cero hay que seguir derivando para obtener:

1

L L h (x) L L h (x) g f 1 g2 f 1 1 3 D(x) = 0 D(x) = 1 0 = 0 Lg Lf h (x) Lg Lf h (x) 1 3 2 2 1 2 Como D(x) es singular el sistema no es invertible ni linealizable entrada-salida para el caso a). Veamos ahora el caso b) con h1(x) = x1 ; h2(x) = x3.0 0 h1(x) h (x) 1 0 0 1 = 0 ; L h (x) = 1 1 0 0 3 = 0 Lg1h1(x) = g1 = g2 = g2 1 x x 2 4

Lf h (x) h (x) 1 g ; L h (x) = 1 f (x) x 1 f 1 x x 2 L h (x) 2 Lf h (x) =1 0 0 x1+x3 = x2 f 1 = 0 1 0 1 x 3 x 1 Lg1Lf h (x) = 1

L h (x) Lg1Lf h (x) = f 1 g1 =0 1 1 x

0 0 1 =1 2

0 Lf h (x) 1 ; Lg2Lf h (x) = g =0 1 0 3 =3 1 x 2 4

0 0 h2 ( x) h1( x) Lg1h2 ( x) = g1 = 0 0 1 1 = 2 ; Lg2 h2 ( x) = g2 = 0 0 1 3 = 4 x x 2 4

BLOQUE I IDiseo del control para sistemas MIMO. Linealizacin exacta entradap salidaLa matriz de desacoplamiento D(x) es no singular ya que:

BLOQUE I IDiseo del control para sistemas MIMO. Linealizacin exacta entradap salidaCalculo de las derivadas de las salidas en funcin de la seal de control: && y 1 y & 2

L L h ( x) g f 1 D( x) = 1 0 Lg L f h2 ( x) 1

1 = Lg2 L0 h2 ( x) 2 f

Lg2 L f h1( x)

3 4

D( x) 0

=

L2 h ( x ) f 1 L f h2 ( x )

+

L g 2 L f h1 ( x ) u 1 L g1 L 0f h2 ( x ) L g 2 L 0f h2 ( x ) u 2 L g1 L f h1 ( x ) x2 2 0 x1 + x 3 2 x1 2 = x1 + x 3

El sistema para l salidas del caso b) es linealizable entrada-salida. El proceso i t las lid d l li li bl t d lid de linealizacin se lleva a cabo de la siguiente forma: y Con r1 = 2, las nuevas variables de estado son: z1 = y1 ; z2 = dy1/dt Con r2 = 1, las nuevas variables de estado son: z3 = y2 = x3z 0 1 0 z 0 0 z1 = z 2 & & 1 1 && y z 2 = &&1 z 2 = 0 0 0 z 2 + 1 0 1 y & & & y z & z3 = y 2 & &3 0 0 0 z3 0 1 2

L 2f h1 ( x ) = L f L f h1 ( x ) =

L f h1 ( x ) f ( x ) = 0 1 x

x2 h2 ( x ) 2 3 L f h2 ( x ) = f ( x ) = 0 0 1 x1 + x 3 = x1 x 2 x1

A continuacin hay que calcular las derivadas de las salidas en funcin de la seal de control a travs de:

&& x + x2 1 y 1 = 1 3 + y x3 2 & 2 1

2 1.5 3 3 u1 u1 2x1 + 2x3 +1 5x1 2 1 5 &&1 1.5 y = + 2 3 & 2 u2 u2 x1 x3 0.5x1 1 0.5 y2

BLOQUE I IDiseo del control para sistemas MIMO. Linealizacin exacta entradap salida. Anlisis de la dinmica interna. Si en un sistema de control no lineal la matriz D(x) es invertible, pero su grado relativo es menor que la dimensin del vector de estados (rd < n), no es posible la linalizacin exacta entrada-salida. En este caso puede ser parcialmente linealizable es decir descomponerlo en la linealizable, parte linealizable de dimensin rd y en otra no linealizable de dimensin n rd que se denomina dinmica interna. UN caso particular de la dinmica interna es la dinmica cero. Consideremos el siguiente ejemplo cerox & 1 x & 2 & x3 & x4 & x5 3 x1 + x 2 x x 1 3 x + x + 1 3 x2 x + x2 3 5 0 1 1 u1 + 0 x 2 0 1 0 u2 0 0

BLOQUE I IDiseo del control para sistemas MIMO. Linealizacin exacta entradap salida. Anlisis de la dinmica interna.La nuevas coordenadas del subsistema linealizable se definen a partir de los grados relativos de las salidas:

& & z1 = y1 = x 3 ; z 2 = y 2 = x 4 ; z 3 = y 2 = x 4 = x 2z 0 0 0 z 1 0 z1 = v1 & & 1 1 v z 2 = z3 z 2 = 0 0 1 z 2 + 0 0 1 & & v2 z &3 z3 = v2 0 0 0 z3 0 1 &

=

; y( x) =

x 3 x 4

Las derivadas de las seales de salida se relacionan con las seales de control a travs de la matriz de desacoplamiento D(x) de la forma:v 1 v2

=

L g 2 h1 ( x ) u1 & y1 L f h1 ( x ) Lg1 h1 ( x ) = 2 + u && L h ( x ) y L g1 L f h1 ( x ) L g 2 L f h1 ( x ) 2 2 f 2

Para este sistema se obtuvo que los grados relativos asociados a las salidas eran: r1 = 1; r2 = 2 y adems la matriz de desacoplamiento D(x) era invertible

Calculando las matrices anteriores se obtiene:

BLOQUE I IDiseo del control para sistemas MIMO. Linealizacin exacta entradap salida. Anlisis de la dinmica interna.

BLOQUE I IDiseo del control para sistemas MIMO. Linealizacin exacta entradap salida. Dinmica interna y forma normalEl ejemplo anterior se generaliza fcilmente de la siguiente forma: j l t i li f il t d l i i t f Sea un sistema multivariable no lineal con m entradas-salidas y con matriz de p ( ) g g desacoplamiento D(x) no singular y grado relativo rd < n. Entonces el nuevo vector de estados z(t) para el subsitema linealizado es rd dimensional de la forma:dz(t)/dt = Az(t) + Bv ; A (rd x rd) ; B (rd x m). El vector de estados (t) que define la dinmica interna es (n rd) dimensional y viene dado por una sistema no lineal de la forma: d(t)/dt = (,z) + (,z)v siendo (,z) y (,z) vectores campo de dimensiones (n rd) x 1 y (n rd) x m que representan la parte no linealizable del sistema o dinmica interna interna. Al conjunto del subsistema linealizable y no linealizable se denomina forma normal del sistema de control. La discusin anterior se basa en tener el mismo nmero de entradas y salidas. En caso contrario, se pueden aumentar o disminuir el nmero de salidas que p pueden ser elegidas por el diseador. g p En el subsistema lineal las derivadas de las salidas se pueden definir de la forma: v = -Kz para que la matriz A BK sea de Hurwitz.

L f h1 ( x ) =

h1 ( x ) f ( x ) = 0 0 1 0 0 f ( x ) = x1 + x 3 x h2 ( x ) L f h2 ( x ) = f ( x ) = 0 0 0 1 0 f ( x ) = x2 x L f h2 ( x ) f ( x ) = 0 1 0 0 0 f ( x ) = x1 x 3 L 2f h1 ( x ) = xv 1 v 2

=

y & 1 && y2

=

x1 + x 3 x1 x 3

+

1 1

0 u1 1 u 2

;

D ( x) =

1 1

0 1

La dinmica interna se deduce de las ecuaciones no utilizadas del sistema original, que son la 1 y la 5. Es costumbre, para evitar confusiones, renombrar las variables que forman la dinmica interna: 1 = x1 ; 2 = x5 &1 = 13 + z3 & = + z2 + z u 2 2 1 3 1

Las variables z1 y z3 se pueden determinar del sistema lineal aplicando asignacin de polos: v = - Kz

BLOQUE I IDiseo del control para sistemas MIMO. Linealizacin exacta entradap salida. Dinmica interna y dinmica cero.Concepto de dinmica cero Una vez descompuesto el sistema no lineal en el subsistemas linealizable y en la dinmica interna, la parte lineal se puede estabilizar aplicando colocacin de polos o con un regulador PID. Cmo influye la dinmica interna en el subsistema lineal si es inestable?. Debido a la interaccin de ambos sistemas podra suceder que no se estabilice el sistema lineal. Esto da lugar a estudiar bajo que condiciones la dinmica interna es inestable. S ponen a cero todas las variables de salida y sus derivadas y se pasa a Se t d l i bl d lid d i d estudiar la estabilidad de la dinmica interna en estas condiciones. La dinmica interna bajo la condicin de salida cero se denomina dinmica cero. La dinmica cero implica z = 0, v = 0, o sea: d(t)/dt = ( 0) Si la dinmica cero as definida es 0 0 (,0). asintticamente estable, el diseo del control garantiza la estabilidad asinttica del sistema total. Para el ejemplo anterior la dinmica cero es: d1(t)/dt = -13 ; d2(t)/dt = 2. Es claro que en este caso la dinmica cero es inestable.

BLOQUE I ILinealizacin exacta entrada-salida. Aplicacin al control de un reactor p RTCAEn forma afn, tomando como seales de control el caudal de salida y el caudal de fluido refrigerante son:

dV dt dCa dt = dT dt dT j dt

Fo C a e E / R T + Fo C ao C a Vj

H r C a e E / R T U A T T c p c p V U A T T j j c p j V j 0 1 0 0 + 0 F + 0 T jo T 0 V j

Fo T o T + V

F

j

j

BLOQUE I ILinealizacin exacta entrada-salida. Aplicacin al control de un reactor p RTCA Es claro que en principio sera deseable que las variables de salida estn emparejadas tuvieran grados relativos bien definidos, o sea que la matriz D(x) ( (2x2) fuera invertible y q la suma de los grados relativos fuera igual a cuatro. ) que g g El calculo directo muestra que tomar como salida el volumen V(t) conlleva un grado relativo de 1, la salida Ca0 (t) da un grado relativo 2 con matriz de desacoplamiento D(x) singular. Si se toman como salidas Cao( t) y T(t) se obtienen grados relativos 2 para cada una de las salidas con matriz de acoplamiento no singular. La eleccin de la temperatura del fluido refrigerante como salida aporta un grado relativo 1, por tanto para la linealizacin exacta entrada-salida hay que elegir la composicin y la temperatura del reactor. t t d l t Es preciso tener en cuenta que la eleccin de las salidas est relacionado con la estructura del control ya que son estas salidas las que se realimentan para control, generar la seal de control u(t).

BLOQUE I ILinealizacin exacta entrada-salida. Aplicacin al control de un reactor p RTCALa transformacin z = T(x) es la transformacin no lineal que transforma la variable x en z. De acuerdo con las consideraciones anteriores, el cambio de variables que convierte al sistema no lineal en lineal viene dado por:z 1 z2 z3 z 4 x C am 2 dx 2 dt x3 T m d x3 d t

z = T (x)

=

x(t) = V(t) Ca(t),T(t),Tj(t) V(t),C (t) T(t) T

Con los grados relativos de las salidas el sistema lineal queda de la forma: z & 1 z & 2 & z3 & z4 0 0 0 0

=

1 0 0 0

0 0 0 0

0 z1 0 z2 + 1 z3 0 z4

0 1 0 0

0 d 2 x2 0 dt2 0 d 2 x3 1 dt2

BLOQUE I ILinealizacin exacta entrada-salida. Aplicacin al control de un reactor p RTCASe S puede comprobar que el par [A B] es controlable y l seal d control que h d b l [A,B] t l bl la l de t l hay que aplicar al sistema viene dada por: L2 h (x) 1(x)b(x) + D1(x)v b(x) = f 1 u(x) =D 2 ; Lf h2(x) d 2 x v= 2 2 d x3

BLOQUE I ILinealizacin exacta entrada-salida. Aplicacin al control de un reactor p RTCA. Aplicacin del clculo simblico El clculo de corchetes de corchetes de Lie se puede realizar usando clculo simblico. Por ejemplo: x3 +ex2 1 3 f (x) = x2 sin x +3 3 1 g(x) = 0 x 1

; dt 2

dt 2 d

v =Kx

;

La seal de control, al estar formada por los caudales F y Fj, debe variar de forma que los resultados que se obtengan sean razonables. No es conveniente que la oscilacin de caudales sea muy grande para evitar que la vlvula de control sea muy grande Tampoco es admisible que en el transitorio del caudal alcance valores negativos, lo cual significa que el control no puede eliminar las perturbaciones. El control tiene una forma muy complicada que junto con la no linealidad de las ecuaciones del sistema puede dar lugar a intervalos de simulacin muy pequeos (< 10-5 segundos).

syms x1 x2 x3 y f = [x1^3+exp(-x2); x2^2; sin(x1)+3]; g = [-1; 0; x1]; n = 3; x = sym(zeros(1,n)); for i = 1:n x(i) = [x int2str(i)]; end LB = jacobian(g,x)*f jacobian (f,x)*g; % Lie Breacket

BLOQUE I ILinealizacin exacta entrada-salida. Aplicacin al control de un reactor p RTCA. Aplicacin del clculo simblico Supongamos que se desea calcular la transformacin de coordenadas y la ley de control no lineal para un sistema SISO: ( x) L ( x) f z = T ( x) = ......... L ( x) Ln 1 ( x) f n 1 f

BLOQUE I ILinealizacin exacta entrada-salida. Aplicacin al control de un reactor p RTCA. Aplicacin del clculo simblico Supongamos que se desea calcular la transformacin de coordenadas y la ley de control no lineal para un sistema SISO: ( x) L ( x) f ......... Ln 1 ( x ) f

Ln ( x) + (t ) ; u (t ) = nf1 Lg L f ( x) Lg Ln1 ( x) f

z = T ( x) =L f ( x)n 1

; u (t ) =

Ln ( x ) (t ) f + Lg Ln 1 ( x ) Lg Ln 1 ( x ) f f

T = sym(zeros(n,1)); h1 = h; T(1,1) = h; for i = 2:n+1 j ( , ); dh = jacobian(h,x); Lfh = dh*f; if i > A = [0 0; 0 0] ; B = eye(2); P = [-10+20i -10-20i]; K = place(A.,B,P); Conocida K a partir de las condiciones iniciales z1(0), z2(0) se determinan z1(t) y z2(t) y por tanto se conocen las derivadas de las seales de salida y por tanto se (t), conocen las seales de control. Conviene tener presente que en estas ecuaciones aparece cy que depende de las variables x1(t), x2(t), x4(t) y x6(t). Esto es debido a que en el sistema existe dinmica interna. Las ecuaciones son: d 1 = c x ( )e1 x5 ( ) 10 1 01 1 d , , x , x , x d2 = + c x ( )e1 x5 ( ) 2 02 1 1 2 3 2 3 6 d d 3 = c + c x ( ) 3 30 3 4 5 3 d

1 x x1 c0 x1e 5 y u 0 &1 1 = 1 x5 u 2 & c y y2 c2 x5 x6 1 c y x5 + c1 x1e Las ecuaciones anteriores no son ms que la primera y quinta ecuacin del q g modelo del reactor. Esto es consecuencia de que el grado relativo asociado a las salidas elegidas es uno. Al ser r1 + r2 = 2 < 6 existe dinmica interna. El sistema auxiliar se construye de la forma: 1 0

(

)

(

)

& z1 = x1 z1 0 0 z1 1 0 y1 & & & + C = BM AB rango = 2 = & z2 = x5 z2 0 0 z2 0 1 z2 & & & Aplicando la tcnica de colocacin de polos las derivadas de las salidas son:

y & 1 = K y & 2

z 1 z2

;

k y & 1 = 11 k y & 21 2

k12 z1 z (t ) = A BK z (t ) & ) ( k22 z2

(

)

BLOQUE I I IEfecto de la dinmica interna en el comportamiento auto-oscilante y catico del p reactor. Es importante reconocer que las variables zi() (i = 1, 2) deben venir expresadas p q ( , ) p en variables de desviacin: z1() = x1() x1s ; z2() = x5() = x5() x5s. Esto es debido a que el sistema en las variables zi(), si la ganancia K est bien elegida es asintticamente estable, tendiendo a cero. Sin embargo esto no tiene sentido, y se evita a travs de las variables de desviacin. El comportamiento auto-oscilante y catico p p puede ser importante para estudiar p p varias estrategias de control. Si la reaccin fuera de primer orden sin considerar el inerte M las ecuaciones del reactor se reducen a:

BLOQUE I I IEfecto de la dinmica interna en el comportamiento auto-oscilante y catico del p reactor. Los puntos de equilibrio se deducen de las ecuaciones algebraicas: p q g

0 = xa 0 xa c0 xa e 1 0 = y 0 y + c1 x a e 1

y

y

0 = c3 z j 0 z + c 4 ( y z )

c2 ( y

F0 =

A0

F A0

; cy =

F0 C c C x ; c PS = c PA c y = A 0 xa A0 F A 0 c PS PA A 0 a

dxa = x x c x e 1 y a a0 0 a d dy = y y + c x e 1 y c y z cy ) 0 1 a 2( d dz = c z z + c y z ) 3 j0 4( d

xa0 xa c0 xae1 y = 0 xa0 cc ; c6 = 2 3 c2c3 xa = 1 y 1 y c3 + c4 y0 y + c1xae y z jo = 0 1+ c0e c3 + c4 De las ecuaciones anteriores se elimina la composicin adimensional de equilibrio x*a para dar una ecuacin que relaciona la temperatura y0de entrada con la temperatura de equilibrio del reactor:

z

)

Operando se obtiene:

BLOQUE I I IEfecto de la dinmica interna en el comportamiento auto-oscilante y catico del p reactor. De las D l ecuaciones anteriores se deduce: i t i d d

BLOQUE I I IEfecto de la dinmica interna en el comportamiento auto-oscilante y catico del p reactor. Posibilidad de obtener varios puntos de equilibrio.

y0 = c7 y c6 z jo

c1xa0 c0 + e1/ y

De la ecuacin anterior se deduce que si se fija la composicin de la corriente de entrada xa0 se obtiene la temperatura adimensional de la corriente de entrada en funcin de la temperatura adimensional de equilibrio del reactor y*.

Si y 0 y0 c7 y c6 z j0 ; c7 =1+ c6 Si y y0 c7 y c6 z j0 +

c1xa0 c0 +1

Se deduce que tanto para valores pequeos como grandes de y* la ecuacin tiende hacia rectas de pendiente c7 = 1 + c6.

Dependiendo del valor de xa0 es posible que para un valor fijado de la temperatura adimensional de entrada y0 el reactor tenga uno, do

curso_rtca [modo de compatibilidad]

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