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Cálculo matricial de estructurasGuillermo Rus Carlborg

Álgebra matricial Elasticidad

Guillermo Rus Carlborg

Índice Álgebra matricial

DefiniciónOperaciones (+ – × ÷)

Elasticidad Desplazamientos + deformaciones Tensiones + Esfuerzos Relaciones constitutivas



Álgebra matricial – Definición de matriz

Un sistema de ecuaciones lineal se puede representar:

coeficientes variables

términos independientes

Matriz: negrita mayúscula

Vector: negrita minúscula



Álgebra matricial – Definición de matriz

Algunos casos particulares de matriz A tienen nombre:

Traspuesta

Cuadrada

Simétrica

Identidad



Álgebra matricial – Operaciones

Multiplicación:

Propiedades: Conmutativa NO

Asociativa

Distributiva

Identidad

Transposición




Suma y resta:

Determinante:

término a término

submatriz: eliminando fila 1, columna i




Inversa:

Condiciones:

Propiedades:




Inversa: Para resolver los métodos modernos no calculan

Métodos directos: tiempo~N3

Eliminación de Gauss: Descomposición LU: Descomposición QR:

Métodos iterativos: tiempo~N2

Jacobi: Gauss-Seidel: Gradiente conjugado:

GMRes: de los mejores algoritmos



Elasticidad – Desplazamiento y deformación

Posición:

Desplazamiento:

Movimiento:

Vectores unitarios

Variables Lagrangianas

Variables Eulerianas



Elasticidad – Desplazamiento y deformación

Distancia:

Pequeños desplazamientos:

Tensor de deformación de Lagrange



Elasticidad – Tensión y tracción

La cinética de los sólidos se describe por fuerzascontinuos tensiones

Para conocer las tensiones en un punto interior, cortamos por

punto + dirección n

Resultante que compensa lo eliminado

tracción



Elasticidad – Tensión y tracción

Definimos como estado tensional en un punto lo necesario para conocer la tracción en cualquier dirección n

Para un plano no canónico:

tensión

Definido por n Sumatorio

de Einstein



Elasticidad – Relaciones constitutivas

Al igual que en 1D: ahora:

Suponiendo elasticidad lineal isótropa: 2 constantes

Lamé Hooke



Elasticidad – Barra

Elemento barra a flexión de Euler-Bernoulli: Hipótesis:

H1: Sección transversal planaH2: Sección inextensibleH3: Sección perpendicular

Deformación:

Comportamiento:



Elasticidad – Barra

Elemento barra a flexión de Euler-Bernoulli: El comportamiento longitudinal está desacoplado del transversal:

Equilibrio longitudinal:

Equilibrio Transversal:

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