Victrola de La Transformada deFourier

Introducción para MúsicosJuan I Reyes

juanig@Maginvent.ORG

artElabLaboratorios de Artes Electronicas

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Análisis de Sonido

Análisis de sonido abarca todas las técnicas queofrecen una descripción cuantitativa y cualitativade las características de un sonido. Por ejemplo:

• Altura, Amplitud, Envolvente.• Espectro de amplitudes y fase.• Envolvente Espectral,• Nivel armónico, Formantes, Nivel de Ruido.

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Señal

• Señal se define como la representación (odescripción) de un sonido y suscaracterísticas básicas.

• Una señal también puede ser un modelo delcomportamiento acústico (espectral) decualquier sonido dado.

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Tipos de Señales

• Hay señales analógicas y señales digitales.• Al multiplicar una señal analógica por un

valor de voltaje, por ejemplo: −1 ≤ v0 ≤ 1, o|v0| ≤ 1, se obtiene una señal eléctrica.

• Una señal digital se obtiene a partir delmuestreo de una señal analógica.

• Existen tanto señales de audio, de vídeo ymuchas otras como oscilaciones en lasplacas tectónicas de la tierra y fluctuacionesen los valores de los bonos en la bolsa.

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Convertidores

• Los convertidores de análogo a digital[CAD]muestrean valores de voltaje en una señalanáloga para obtener una señal digital.

• Un convertidor de digital a análogo [DAC]convierte valores de una señal discreta endiferencias de voltaje utilizando diferentesmétodos de interpolación.

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Tratamiento de Señal

Tratamiento de Señal [DSP], es el estudio detransformaciones y cambios en una señal pormedio de métodos matemáticos casi siempredesarrollados a partir de técnicas de análisis ysíntesis como la Transformada de Fourier.

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Teorema de Shannon

El teorema de Claude Shannon (padre de la Teoría de laInformación) formula el proceso de muestreo de una señalcontinua. La frecuencia Nyquist definida por Harry Nyquistes la tasa de muestreo mínima para garantizarcondiciones óptimas de fidelidad tanto en surepresentación digital como en su reconstrucción análoga.

El teorema de Shannon se define en lossiguientes términos:

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Teorema de Shannon

• Muestreo de señal es el proceso por el cuáluna señal continua s(n) función del tiempo oespacio se transforma en una sucesiónnumérica s[n], que también es una funcióndiscreta del tiempo o espacio.

• La señal continua s(n), debe estar delimitadapor un ancho de banda.

• La frecuencia de muestreo fs, debe sermayor que doble del ancho de banda de s(n)

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Teorema de Shannon• Una señal delimitada por sus bandas extremas es

básicamente restringida a la rapidez de sus cambios ya la cantidad de detalles almacenados en cada puntode cada intervalo discreto en su duración.

• El teorema del muestreo garantiza que muestrasdiscretas sean la representación completa y fiel de unaseñal en la que el ancho de banda es menor que lamitad de la frecuencia de muestreo fs, denominadacomo frecuencia crítica o frecuencia Nyquist.

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Teorema de Shannon• Los componentes de frecuencias que están por

encima de la frecuencia Nyquist están sujetos a unfenómeno llamado “aliasing” que es poco deseable enla mayoría de aplicaciones. La severidad de esteproblema depende de la intensidad relativacomponentes con este “aliasing”.

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Análisis Espectral

• Análisis Espectral es un tipo de algoritmosque describen el contenido de frecuencias deun sonido.

• La STFT da un espectro corto en longitud detiempo a una sucesión de análisis tomadosdentro de un sonido periódico.

• La evolución de energía o amplitud de cadacomponente espectral pueden serrepresentados por medio de un sonograma.

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La Transformada de Fourier

• Al considerar una señal analógica S(t), endonde t está expresado en segundos, elespectro de esta señal s(t) se define como:

S(ω0) =

∫ ∞

−∞

s(t)e−j2πω0t , dt.,

donde ω0 es el componente de frecuenciasrepresentado en Hz.

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La Transformada de Fourier

• El resultado de S(ω0) es un numero complejoy puede ser expresado en términos de sumagnitud y fase:

S(ω0) = |s(ω)|ejθω

• |s(ω)|, es la amplitud del espectro.• |ejθω|, es el ángulo de fase del espectro.

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La Transformada Inversa de Fourier

La transformada inversa de Fourier da la señals(t), en términos de su espectro:

s(t) =

∫ ∞

−∞

S(ω0)ej2πω0t , dω0.,

En esta expresión se ve más claro el significadode S(ω0). La señal s(t) es representada por unaintegral (o suma continua) con términosdependientes en cada frecuencia ej2πω0, que a lavez son valorizados (amplificados) por lacantidad S(ω0).

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Identidad de Euler

El término ej2πω0t, se denomina un exponencialcomplejo y gracias a la identidad de Euler puedemostrarse en la siguiente forma:

ej2πω0t = cos(2πω0t) + j sin(2πω0t)

Esto significa que al utilizarlo en la Transformadade Fourier, la señal se expresa como una sumade frecuencias (senos y cosenos) con diferentesamplitudes |S(ω0)| y ángulos de fase θω0

.

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Transformadas de Fourier

• La Transformada de Fourier en términos della identidad de Euler y en términos de Senosy Cosenos:

S(ω0) =

∫ ∞

−∞

s(t)[cos(2πω0t)+j sin(2πω0t)] , dt.,

• La Transformada Inversa de Fourier entérminos de Senos y Cosenos:

s(t) =

∫ ∞

−∞

S(ω0)[cos(2πω0t)+j sin(2πω0t)] , dt.,

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Series de Fourier

Las series de Fourier se definen como:

fper(ω0t) = a0+∞∑

m=1

bm cos(2πmω0t)+cm sin(2πmω0t)

• donde, a0 es D.C. o el componente deamplitud promedio en la señal y

• los coeficientes bm y cm, representan en lasmagnitudes de los componentes Seno yCoseno para cada frecuencia ω0t.

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Transformada Discreta de Fourier:

Partiendo de las series de Fourier la [DFT,]produce el espectro de un sonido con duraciónfinita. El dominio de la [DFT,] consiste en lasucesión de muestras s(m), y se define como:

S(k) =M−1∑m=0

s(m)e−j 2π

Mkm, k = 0, ..., (M − 1).,

donde M es el numero de muestras en lasucesión de entrada.

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Espectro con la [DFT]

El espectro con la [DFT] S(k) es un númerocomplejo y puede ser convertido a un espectrode amplitud discreta |S(k)| y a un espectro defases discretas θ(k).

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Espectro con la [DFT]

La amplitud |S(k)| y la fase θ(k), son la amplitudy la fase de un exponencial complejo así:

ej2π k

m = cos(2πk

m) + j sin(2π

k

m),

donde la frecuencia es,

kfs

MHz.

fs, es la frecuencia de muestreo.

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Frecuencia Angular

Si definimos la frecuencia angular ωk como:

ωk∆

=2πk

N

La frecuencia del K-ésimo contenedor (bin) serála siguiente:

Y (k)∆

=N−1∑n=0

y(n)e−jωkn, k = 0, 1, 2, ..., N − 1

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IDFT con Frecuencia Angular

La IDFT se define como:

y(n)∆

=1

N

N−1∑n=0

Y (k)ejωkn, k = 0, 1, 2, ..., N − 1

Nótese el cambio de símbolo en el exponencial complejo.y(n) ↔ Y (k) conforman un par de transformadasdonde k es el índice de las frecuencias y n es elíndice en el tiempo.

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Aplicaciones de la DFT

• Vocoder de Fase (Phase Vocoder)• Modelos Espectrales• Predicción Lineal de Parciales (LPC)• Convolución de Espectros• Filtros

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Conclusiones

• La Transformada de Fourier se utiliza paraanálisis y síntesis de sonido entre otrasvarias aplicaciones.

• Señal es una representación de un fenómenoacústico, visual, etc.

• Al multiplicar una señal por un voltaje dadohay una señal eléctrica.

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Conclusiones

• Hay señales discretas y continuas (digitales yanálogas).

• El timbre de un sonido o su espectro sedefine como una suma de senos y cosenos(sinuosidales).

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