FACULTAD DE INGENIERIA

CALCULO I

DETERMINACIÓN DE LOS INGRESOS Y PRESUPUESTOS NECESARIOS PARA LA AMPLIACIÓN DE MAQUINARIA DE LA

EMPRESA: EMPRESA GALLETERA DÍA

EMPRESA : GALLETERA DIA

Razón Social: Sociedad Anónima

Departamento o Sección: .. DEPARTAMENTO DE VENTAS

Funciones y costo instantáneo ganancia instantánea

Tema de Aplicación:

INTEGRANTES:García Lizarbe, Sammy

Medina Quispe , Franklin

Vergara Padilla Alberto

Zegarra Aliaga ,Jholbert

Docente: PERALTA CASTAÑEDA JULIO CESAR

INFORME FINAL

N° Integrantes Determinación del problema y

variables de estudio

Aplicación de los contenidos del

curso.

Procedimiento.

Análisis

Conclusiones

Nota

1Jholbert Matthew Zegarra

Aliaga

2 Medina Quispe franklin3 Vergara padilla Alberto4 García Lizarbe, sammy5

EXPOSICIÓN -PUNTAJE POR CRITERIOS

N°

Integrantes Nivel de Conocimiento.

Presentación de Materiales

Uso de terminologí

a Apropiada.

Expresiónoral

Responde Preguntas

Nota

1Jholbert Matthew Zegarra

Aliaga

2 Medina Quispe , franklin

3 Vergara Padilla , Alberto

5 García Lizarbe, Sammy

ÍNDICE

1. CARÁTULA……………………………………………………….

2. INDICE…………………………………………………………….

3. RESUMEN………………………………………………………

4. INTRODUCCION (DATOS DE LA EMPRESA)……………

5. FUNDAMENTO TEORICO…………………………………….5.1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES BASICAS

6. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA………………………………..

7. RESULTADOS …………………………………………………

8. CONCLUSIONES……………………………………………….

9. RECOMENDACIONES………………………………………..

10. BIBLIOGRAFIA………………………………………………...

1. RESUMEN

El presente trabajo, como su título lo indica, pretende mostrar algunas de las

muchas aplicaciones que tiene la matemática en todas las ramas del conocimiento

humano. Este proyecto hace uso de las funciones como un conjunto de

herramientas matemáticas, las cuales permiten analizar cuantitativamente la

aprobación de un proyecto empresarial.

Toda empresa antes de empezar con un proyecto comercial en el que se verá

involucrada la condición financiera de la misma prescinde necesariamente de la

elaboración de estudios de mercado que le permitirán determinar la viabilidad del

proyecto a realizar. En el presente caso de estudio se tiene como objetivo lo

siguiente:

Calcular los presupuestos necesarios para el proceso de producción en función

de: salario de trabajadores, costos de maquinaria de producción y cantidad

producida. Así como los beneficios que la empresa obtendrá anualmente.

Toda la información obtenida al realizar este estudio ayudará a la empresa a tomar

las decisiones que convengan y beneficien más a la empresa siempre y cuando se

quieran realizar cambios.

Para ello se realizó un estudio de costos en el área de producción de una empresa

propia de la región, reconocida con éxito comercial debido a que ha tenido un

crecimiento en su mercado y ha diversificado sus productos, en el cuál usaremos

las funciones matemáticas para poder obtener la aprobación del proyecto,

determinando beneficios y costos que traería consigo su implementación.

2. INTRODUCCIÓN (Datos de la empresa)

La empresa “Galletera DIA”, oferta a sus clientes todo tipo de galletas, en

diferentes sabores y presentaciones. La planta se encuentra ubicada en el km 558

de la panamericana Norte Cerca de Moche.

Los presupuestos de producción e ampliación de la fábrica así como las utilidades

para el año 2015 de la empresa “Gallereta Dia” esta elaboran de la siguiente

manera.

La empresa galletera día tiene un ingreso total de por año de 400000000, así

como los costos de la materia prima para la elaboración de las diversas galletas es

de 21000000

Fuente: Entrevista a la encargada de los costos de la empresa “Galletera Día”

Trabajadores: 40Costo: 5000

Costo de Materia Prima = Cmp= 21 000 000

Costo de Maquina = Cm(x)= 1250000 (x = nº de maquinas)

Costo de Producción = Cp(x) = 1

50x2 horas (Si x de máquinas)

Esta empresa cuenta además con diversas áreas de producción para la

elaboración de galletas.

3.-PROBLEMAa. Situación problemática

Una decisión básica que debe tomar cualquier empresa es saber cuánto debe

invertir en un negocio y si es posible maximizar la cantidad obtenida con una

inversión constante. La respuesta a esta pregunta está relacionada con el precio al

que puede comprar los insumos, que determina los gastos de la empresa. El

empresario, que toma las decisiones de costo fijos, de forma tal que sea posible

reducirlos sin que esto afecte a su producción estará minimizando costos lo cual

es muy bueno en una empresa.

En el Perú existen muchas empresas de diversos rubros, ya sean microempresas,

pequeñas empresas, o grandes empresas; una de dichas empresas empresa

“galletera DIA” quien tiene una gran producción e ingresos, pero dichos ingresos

se pueden maximizar con la adquición de más maquinaria haciendo uso de

cálculos y aplicando criterios de la derivada

b. Problema¿Cuál es el presupuesto que la empresa “Galletera Día” debe emplear en salarios

y adquisición de maquinaria, para la ampliación de la fábrica y maximizar los

ingresos?

4.- HIPOTESISEn la adquisición de mayor maquinaria dependen según el ingreso producido por

la empresa, y ya se tiene ingreso fijo, podemos maximizar este ingreso haciendo

uso de las herramientas de cálculo, aplicando los criterios de la derivada.

5.-OBJETIVOS:

A. GENERAL: Calcular el presupuesto necesario para poner en marcha el proyecto de

ampliación de la fábrica así como la maximización de los ingresos

B. ESPECÍFICOS Hallar las funciones de ingreso, costos y utilidad.

Determinar el número de máquinas que se van adquirir para realizar dicho

proyecto.

Dar a conocer la importancia de la matemática en la solución de problemas

dentro de las empresas.

5. FUNDAMENTO TEORICO:Función

Una función f de un conjunto A en un conjunto B es una regla que hace corresponder a cada elemento x perteneciente al conjunto A, uno y solo un elemento y del conjunto B, llamado imagen de x por f, que se denota y=f (x).

Función Lineal: Es una función de y=f(x) de grado 1.

Puede ser de pendiente negativa o positiva. Es decir, y puede

decrecer o crecer con respecto a la variable independiente “x”.

Por ejemplo:

Función cuadrática:

Funciones pol inómicas es de segundo grado, s iendo su

gráf ica una parábola.

f(x) = ax² + bx + c

Representación gráfica de la parábola

Podemos construir una parábola a part i r de estos

puntos:

Vértice

Por el vért ice pasa el e je de simetr ía de la parábola.

La ecuación del e je de simetr ía es:

2. Puntos de corte con el eje OXEn el eje de abscisas la segunda coordenada es cero,

por lo que tendremos:

ax² + bx + c = 0Resolviendo la ecuación podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x 1 , 0) y (x 2 , 0) si b² − 4ac > 0 Un punto de corte: (x 1 , 0) si b² − 4ac = 0 Ningún punto de corte s i b² − 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OY

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.

1. Vértice

x v = − (−4) / 2 = 2        y v= 2² − 4· 2 + 3 = −1            

 V(2, −1)

2. Puntos de corte con el eje OX

x² − 4x + 3 = 0

             

(3, 0)           (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY

(0, 3)

Derivada

En cálculo (rama de las matemáticas), la derivada es una función que

representa el cambio de una determinada función (cambio de la variable

dependiente) cuando se produce un cambio infinitesimal (suficientemente

pequeño)en la variable independiente. En términos poco rigurosos, una

derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una

función en un punto dado (o sea su velocidad de variación); por ejemplo, la

derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo, es la

velocidad instantánea con la cual el vehículo está viajando.

La derivada de una función es un valor de entrada dado que

describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de

entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada

en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la

gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la

derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se

aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo

estrechamente relacionado es el diferencial de una función.

La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones.

Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con

que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una

herramienta de

cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en

ciencias sociales como la Economía y la Sociología.

En particular, se tiene que la derivada de la función en el punto se define

como sigue:

f '( a)=limh→0

f (a+h )− f (a )h

Si este límite existe, de lo contrario, f' no está definida. Esta última

expresión coincide con la velocidad instantánea del movimiento

continuo uniforme acelerado en cinemática.

OPTIMIZACIÓN

Optimización es el proceso de hallar el máximo o mínimo relativo de una

función, generalmente sin la ayuda de gráficos.

Optimización sin restricción

Funciones objetivo de una variable Sea la función: y = f(x), los pasos o condiciones para obtener el (los)

máximo(s) o mínimo(s) relativo(s) serán:

1. Identificar los puntos críticos. Tomar la primera derivada e igualarla a 0,

dydx

=0

2. Tomar la segunda derivada, evaluar los puntos críticos, y revisar los

signos. Esta condición es llamada “condición suficiente”. Si un punto crítico

es “a”, entonces:

• f′′(a) < 0, la función es cóncava en “a”, por ende un máximo relativo

• f′′(a) > 0, la función es convexa en “a”, por ende un mínimo relativo

• f′′(a) = 0, el test es inconcluso y es necesario realizar el test de las

“derivadas sucesivas”:

o

Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior,

cuando se evalúa un punto crítico es una derivada de grado impar (tercer,

quinto, etc.) la función es un punto de inflexión.

Si el primer valor diferente de cero de una derivada de orden superior,

cuando es evaluado en un punto crítico es una derivada de grado par,

entonces la función es un extremo relativo en “a”. Si esta derivada tiene

valor negativo entonces la función es cóncava en “a” (y por ende, es un

máximo relativo). Caso contrario, la función es convexa y presenta un

mínimo relativo en “a”.

6. SOLUCION DEL PROBLEMA

Para poder lograr la aprobación de nuestro proyecto y por consiguiente la obtención del presupuesto para la adquisición de maquinaria para la Ampliación en la “Empresa galletera DIA.”, haremos uso de las funciones matemáticas (linéales y/o cuadráticas) para lo cual haremos un análisis de Costo-Beneficio que involucra tanto la compra de materia maquinaria, materia prima, mano de obra así como los ingresos generados por las ventas.

Pasos:Solución:

Pasos:

1. Evaluación de la rentabilidad del Proyecto2. Maximización del beneficio

1. Mediante la comparación entre Ingresos totales y costos totales:

a.- Los ingresos totales, la funcion de costos y la funcion utilidad en funcion del numero de maquinas suponiendo que todo lo que se produce se vende.

Fuente: Entrevista a la encargada de los costos de la empresa “Galletera Día”

Trabajadores: 40Costo: 5000

Ingreso Total

I = 80000*5000 = 400000000 U.m

Costo Total

C(X) =Costo de Materia Prima+ Costo de Maquinas+ Costo de ProduccionC(x) = Cmp + Cm +Cp

o Costo de Materia Prima

Cmp=21 000 000

o Costo de Maquina

Maquinas entonces Cm(x)= 1250000Donde x= N0 de maquinas

o Costo de produccion

Cp(x)Si tenemos X deMaquina entonces

fabrica en1

50x2 horas

N0 de horas

H=80000∗150x2 =1600

x2

Cp (x)= N0 Trabajadores * costo * hora * N0 horas

Cp (X )= 40∗5000∗1600

x2= 320000000

x2

Por tanto la función costo total es: C(x) = 21 000000 +1250000x+

C ( X )=21000000+1250000 x+ 320000000x2

A) Beneficio Costo Beneficio

B (X )=400000000−21000000−1250000 x−320000000x2

Como podemos observar nuestro beneficio esta expresado en una función matemática, teniendo como variable al número de maquinarias por lo tanto usaremos una de las Aplicaciones de la “DERIVADA” para poder maximizar nuestra función y obtener el número de máquinas que podrán maximizar nuestra función:

B) Numero de máquinas que maximizan el beneficio

B (x) = 379000000-1250000x-

B' (X )=−1250000−640000000 x2√ x3

Si B’ (x) = 0 X= 2 maquinas Por lo tanto se necesitan 2 máquinas para maximizar el beneficio

Beneficio MáximoB Max = 296500000 U.m

7. CONCLUSIONES

A través del siguiente trabajo se logró determinar que por obtención de

dos nuevas maquinarias la empresa “Galletera DIA” puede aumentar sus

ingresos hasta en un 296500000UM.

Se logró determinar la función utilidad.

Se logró aplicar los conocimientos obtenidos de un problema de las

empresas “Galletera DIA “a través de la aplicación de cálculos

8. RECOMENDACIONES

Se recomienda a la empresa “Galletera DIA”, hacer uso de los cálculos

matemáticos para sus proyecciones de ventas e ingresos, para poder tener

una mayor utilidad.

La empresa de conocer con certeza la cantidad de producción así como la

cantidad de maquinar que puedan cubrir la demanda de galletas.

9. BIBLIOGRAFIA.

Análisis Matemático I, Eduardo Espinoza Ramos, 6ta Edición, Lima Perú.

Figueroa g. Geometría analítica .Lime-peru.editorial r.f.g

http://www.slideshare.net/alexibombon/proyecto-de-calculo-4100883.

Consultada el 4 de junio de 2014.

Bartle, Robert G; Sherbert, Donald, R.: Introducción al Análisis matemático

de una Variable ISBN 968-18-1725-7

Lee, Karel de: Calculus, Editorial Universitaria de Buenos Aires, pág. 61,

1972

o Serge Lang: "Introducción al análisis matemático" pág.56