Republica Bolivariana De VenezuelaMinisterio Del Poder Popular Para La Educación Superior

Universidad FERMIN TOROCabudare- Estado Lara

Calculo Numérico y Manejo de Errores

Pablo PerazaCI: 23.849.016

ING: MANTENIMIENTO MECANICO.

Concepto de Análisis Numérico. Es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo

precisos. Se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos.

el análisis numérico proporcionará todo los pasos necesarios para llevar a cabo todos los procedimientos matemáticos existentes en base a algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos.

Métodos Numéricos e importancia.

Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos matemáticos en: Cálculo de derivadas, Integrales, Ecuaciones diferenciales, Operaciones con matrices, Interpolaciones, Ajuste de curvas y Polinomios. Los métodos numéricos también son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. El objetivo principal de dicho análisis es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples. Los métodos numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial. Ingeniería Química. Ingeniería Civil. Ingeniería Mecánica. Ingeniería eléctrica.

Número de Máquina.Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base 2. El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es de base 2. Este tipo de representación requiere de menos dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares.

Número de Máquina Decimal. Son aquellos números cuya representación viene dada de la siguiente forma: ± 0,d1 d2 d3 ... dk x 10 n, 1£ d1 £ 9, 1£ dk £ 9 para cada i=2, 3, 4, ..., k;

Errores absolutos y relativos.

Error absoluto: Es la diferencia entre el valor exacto. Y su valor calculado o redondeado, o sea el valor exacto menos el valor calculado. Puede ser positivo o negativo, según sea la medida si esta es superior al valor real o inferior.

Error relativo: Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo porque puede ser por exceso o por defecto no tiene unidades.

Ejemplo.Obtenemos el error absoluto y relativo al considerar: a) 3,5 m como longitud de un terreno que mide realmente 3,59 m. b) 60 m como la distancia entre dos postes que están situados a

59,91 m.

a) Ea = |3,59 - 3,5| = 0,09 m E r = | 3 , 59 - 3 , 5 | 3 , 59 = 0 , 025 = 2 , 5 % b) Ea = |59,91 - 60| = 0,09 m E r = | 59 , 91 - 60 | 59 , 91 = 0 , 0015 = 0 , 15 %

Cota de errores absolutos y relativos. Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra

significativa.  Una cota para el error relativo es: Cota de error relativo=cota del error absoluto /valor real

Ejemplo.Da una cota para el error absoluto y otra para el error relativo cometidos al hacer las siguientes aproximaciones: a) Precio de una casa: 275 miles de €. b) 45 miles de asistentes a una manifestación. c) 4 cientos de coches vendidos.Respuesta: a) |Error absoluto| < 500 € error relativo<500/275000=0,0018 b) |Error absoluto| < 500 personas error relativo=500/45000=0,011 c) |Error absoluto| < 50 coches error relativo<50/400=0,125

Fuentes básicas de Errores.Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de truncamiento y error de redondeo.

Error de Redondeo: Se asocia con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una PC (para comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en que se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC).

Error de Truncamiento: Se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo. Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una serie).

Errores De Una Suma Y Una Resta.

En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números existan temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la división de un número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual trae como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes.