calculo numerico de metodo secante

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SERIES TRIGONOMÉTRICAS DE MACLAURIN AÑO DE LA INTEGRACIÓN NACIONAL Y EL RECONOCIMIENTO DE NUESTRA DIVERSIDADUNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA (CREADO POR LEY 25265) E.A.P. MATEMÁTICA- COMPUTACIÓN E INFORMÁTICA TEMA: CÁTEDRA : CALCULO NUMÉRICO CATEDRÁTICA : Lic. YALLI HUAMÁN, Edgar ALUMNOS : JANAMPA MENDOZA, Rosalino PAITAN SOTO, Elías D. [Escribir texto]Página 1

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SERIES TRIGONOMÉTRICAS DE MACLAURIN

AÑO DE LA INTEGRACIÓN NACIONAL Y EL RECONOCIMIENTO DE NUESTRA DIVERSIDAD”

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA

(CREADO POR LEY 25265)

E.A.P. MATEMÁTICA- COMPUTACIÓN E INFORMÁTICA

TEMA:

CÁTEDRA : CALCULO NUMÉRICO

CATEDRÁTICA : Lic. YALLI HUAMÁN, Edgar

ALUMNOS : JANAMPA MENDOZA, Rosalino

PAITAN SOTO, Elías D.

CICLO : IX

HUANCAVELICA - PERÙ

2012

Página 1

Con mucho cariño para docente del curso que se sacrifica día a día para darnos una enseñanza digna.

ÍNDICE

2

INTRODUCCIÓN

OBJETIVOS

Método de secante…………………………………………………………………………….6

Demostración de la formula del método de la secante…………………………...……….7

Ejercicios del método de la secante…………………………………………………………8

Aplicación en excel ……………………………………………………………………………9

Aplicación en matlab…………………………………………………………………………11

Ventajas del método de la secante…………………………………………………………13

Desventajas del método de la secante…………………………………………………….13

Conclusiones……………………………………………………………………………….…14

Bibliografía……………………………………………………………………………….……15

3

INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo mostraremos que es el método de la secante, cuáles son sus funciones,

aplicaciones en algunas disciplinas, fórmula del método de la secante, detallando para su

comprensión con algunos ejemplos para aprender.

Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función

en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la

recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este

método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y

evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.

El método de la secante es un método de tipo abierto, el cual requiere de dos puntos iniciales, los

cuales pueden ser arbitrarios. Lo que hace básicamente, es trazar rectas secantes a la curva de la

ecuación que se esta analizando, y verificar la intersección de dichas rectas con el eje de las X para

conocer si es la raíz que se busca.

Al ser un método abierto, converge con la raíz con una velocidad semejante a la de Newton-

Raphson, aunque de igual forma corre el riesgo de no converger con esta nunca. Su principal

diferencia con el método de Newton-Raphson es que no se requiere obtener la derivada de la

función para realizar las aproximaciones, lo cual facilita las cosas al momento de crear un código

para encontrar raíces por medio de este método.

4

OBJETIVOS:

El objetivo del trabajo monográfico es el estudio del método de la secante (como trabaja),

las diferencias con los otros métodos, demostrar sus ventajas con respecto a los otros

métodos y como se usa para resolver diversos problemas de la vida real.

Uno de los objetivos de este método es eliminar el primera de la derivada de la función, ya

que existen funciones que describen fenómenos físicos en la vida real, cuya derivada es

muy compleja.

MÉTODO DE SECANTE

Un problema potencial en la implementación del método de Newton – Raphson es el de la evaluación de la derivada. Mientras el método de secante es la eliminación de derivadas.

5

Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función

en el punto de estudio,. En otras palabras, el método de la secante es un algoritmo de la raíz de

investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para aproximar mejor la raíz de

una función f. El método de la secante se puede considerar como una aproximación en diferencias

finitas del método de Newton-Raphson.

La formula general del método de la secante:

DEMOSTRACIÓN DE LA FORMULA DEL MÉTODO DE LA SECANTE

6

Reemplasamos la ecuación II en I

7

EJERCICOS DE MÉTODO DE LA SECANTE

Ejemplo N°1: Calcular la raíz de f (x) = e− x – x . Comience con los valores iniciales de X_1= 0 y X0 = 1; con una tolerancia 10−4

solución:

Primera iteración:

X_1 = 0 f (X_1) = e−0 – 0 f (X_1) = 1

Xo = 1 f(Xo) = e−1 – 1 f(Xo) = - 0.63212

X1 = 1 - −0.63212(0−1)1−(−0.63212)

X1 = 0.61270

8

Segunda iteración:

Xo = 1 f (Xo) = - 0.63212

X1 = 0.61270 f (X1) = - 0.07081

X2 = 0.61270 - −0.07081(1−0.61270)−0.63212−(−0.07081)

X2 = 0.56384

Tercera iteración:

X1= 0.61270 f(X1) = - 0.07081

X2 = 0.56384 f( X2) = 0.00518

X3 = 0.56384 - 0.00518(0.61270−0.56384)−0.07081−0.00518

X3 = 0.56 717

Cuarta iteración:

X2= 0.56384 f(X2) = 0.00518

X3 = 0.56 717 f( X3) = - 0.1388

X4 = 0.56 717 - −0.1388(0.56384−0.56717)

0.00518−(−0.1388)

X4 = 0.5671431

APLICACIÓN EN EXCEL

n°iter. X0 X1 f(X0) f(X1) xr Es T

1 0 1 1-

0.63212056 0.61269984

2 1 0.61269984-

0.63212056-

0.07081395 0.56383839 0.04886145 todavía

3 0.61269984 0.56383839-

0.07081395 0.00518235 0.56717036 0.00333197 todavía

4 0.56383839 0.56717036 0.00518235-4.2419E-

05 0.56714331 2.7052E-05 ya esta

9

Ejemplo N°2: Calcular la raíz de f (x) = e− x – log x . Comience con los valores iniciales de X0= 1 y X1 = 2 ;con una tolerancia es 1

solución:

Primera iteración:

X0 = 1 f (X0) = e−1 –log 1 f (X0) = 0.3678794

X1= 2 f(X1) = e−2 –log 2 f(X1) = -0.1656947

X1 = 1 - −0.1656947 (1−2)

0.3678794−(−0.1656947)

X1° = 1.3974105

Segunda iteración

X1 = 2 f (X1) = - 0.1656947

X1° = 1.3974105 f (X1°) = 0.1019123

X2 = 1.3974105- 0.1019123(2−1.3974105)−0.1656947−(0.1019123)

X2° = 1.2854761

Tercera iteración:

X1°= 1.3974105 f(X1°) = 0.1019123

X2° = 1.2854761 f( X2°) = 0.1674549

X3° = 1.2854761 - 0.1674549(1.3974105−1.2854761)

0.1019123−(0.1674549)

X3° = 1.3165830

Cuarta iteración:

X2°= 1.2854761 f(X2°) = 0.1674549

X3° = 1.3165830 f( X3°) = 0.1486014

10

X4° = 1.3165830- 0.1486014(1.2854761−1.3165830)

0.1674549−(0.1486014)

X4° = 1.3079103

APLICACIÓN EN MATLAB

f='exp(-x)-log(x)';f=inline(f);x0=1;x1=2;xra=0;xr=0;xra=0;tol=1;i=1;error_aprox=1;error=0;

f1=f(x1);f2=x0-x1;f3=f(x0);f4=f(x1);

xr=x1-(f1 * f2 / ( f3 - f4 ));

fprintf('It. X0 X1 Xr Error aprox \n');fprintf('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \n',i,x0,x1,xr,error);

while error_aprox >= 0.01,xra=xr;% x1=x0;x0=xr;%

f1=f(x1);f2=x0-x1;f3=f(x0);f4=f(x1);

xr=x1-(f1 * f2 / ( f3 - f4 ));

% error = abs((xr - xra) / xr);error_aprox = error;

11

fprintf('%2d \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \t %11.7f \n',i,x0,x1,xr,error_aprox);i=i+1;end

RESULTADO:

It. X0 X1 Xr Error aprox

1 1.0000000 2.0000000 1.3974105 0.0000000

1 1.3974105 2.0000000 1.2854761 0.0870762

2 1.2854761 2.0000000 1.3165830 0.0236270

3 1.3165830 2.0000000 1.3079103 0.0066310

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VENTAJAS:

Gracias a este método se pude eliminar el problema de calcular la derivada de la función,

ya que existen funciones que describen fenómenos físicos en la vida real, y cuya derivada

es muy compleja.

En este método no se requiere de la primera derivada.

Este método casi nunca falla ya que solo requiere de dos puntos al principio, y después el

mismo método se va retroalimentando, es decir, se va acomodando hasta que encuentra la

raíz.

El método de la secante es un proceso iterativo y por lo mismo, encuentra la aproximación

casi con la misma rapidez que el método de Newton Raphson.

DESVENTAJA:

El método de la secante al ser un proceso iterativo, corre el mismo riesgo que el método de

Newton Raphsonde no converger a la raíz, mientras que el método de la regla de falsa

posición va a la segura.

13

CONCLUSIONES

El método de la secante se basa en el método de newton, donde no se requiere calcular la

derivada.

Resulta más sencillo calcular las raíces con el método de la secante que con el método de

newton debido que con la secante se parte de dos puntos y no solo uno como el método de

newton.

Se puede realizar el algoritmo en MATLAB y también se puede programar en EXCEL para

encontrar las raíces por medio del método de la secante.

14

BIBLIOGRAFÍA

Yamil A. Cerquena Rojas (raíces de ecuaciones) Quintana (calculo numérico) Chapra Carrasco Benegas (Métodos Numéricos Aplicados a la Ingeniería)

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